Ôn tập phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

Trần Thành Minh – Phan Lưu Biên - Trần Quang Nghĩa H ÌNH H ỌC 10 Ch ơng Phương Pháp Toạ Độ Phẳng http://www.saosangsong.com.vn/ Save Your Time and Money Sharpen Your Self-Study Skill Suit Your Pace Chương3 Phương pháp toạ độ phẳng § Phương trình tổng qt đường thẳng A Tóm tắt giáo khoa Vectơ n khác vng góc đường thẳng ∆ gọi vectơ pháp tuyến (VTPT) ∆ • Phương trình đường thẳng qua M0( x0 ; y0 ) có VTPT n = (a ; b) : a(x – x0) + b(y – y0) = • Phương trình tổng qt đường thẳng có dạng : ax + by +c=0 n n = (a ; b) VTPT • ∆ vng góc Ox Ù ∆ : ax + c = a ∆ vng góc Oy Ù ∆ : by + c = ∆ qua gốc O Ù ∆ : ax + by = ∆ x y ∆ qua A(a ; 0) B(0 ; b) Ù ∆ : + = ( Phương trình φ a b theo đọan chắn ) M • Phương trình đường thẳng có hệ số góc k : y = kx + m với k = tanφ , φ góc hợp tia Mt ∆ phía Ox tia Mx Cho hai đường thẳng ∆1: a1x + b1y + c1 = ∆2 : a2x + b2y + c = Tính D = a1 b – a2 b1, Dx = b1 c – b2 c1 , Dy = c a – c2 a1 D ⎞ ⎛ D • ∆1 , ∆2 cắt Ù D ≠ Khi tọa độ giao điểm : ⎜ x = x ; y = y ⎟ D D ⎠ ⎝ ⎧D = ⎪ • ∆1 // ∆2 Ù ⎨ ⎡ D x ≠ ⎪⎢D ≠ ⎩⎣ y • ∆1 , ∆2 trùng Ù D = Dx = Dy = Ghi : Nếu a2, b2 , c2 ≠ : • ∆1 , ∆2 cắt Ù Ù • ∆1 // ∆2 Ù • a1 b1 ≠ a b2 a1 b1 c1 = ≠ a b2 c a b c ∆1 , ∆2 trùng Ù = = a b2 c B Giải tóan Dạng tóan : Lập phương trình tổng qt đường thẳng : Cần nhớ : • • Phương trình đường thẳng qua điểm M(x0 ; y0 ) vng góc n = (a; b) : a(x – x0 ) + b(y – y0) = Phương trình đường thẳng qua điểm M(x0 ; y0 ) phương a = (a ; a ) : x − x o y − yo = a1 a2 www.saosangsong.com,vn Chương3 Phương pháp toạ độ phẳng • Phương trình đường thẳng song song đường thẳng : ax + by + c = có dạng : by + m = với m ≠ c • Phương trình đường thẳng qua M(x0 ; y0 )có dạng : a(x – x0 ) + b(y – y0) = ax + ( a2 + b2 ≠ ) • Phương trình đường thẳng qua A(a ; 0) B(0 ; b) : x y + =1 a b Ví dụ : Cho tam giác ABC có A(3 ; 2) , B(1 ; 1) C(- 1; 4) Viết phương trình tổng qt : a) đường cao AH đường thẳng BC b) trung trực AB c) đường trung bình ứng với AC d) đuờng phân giác góc A Giải a) Đường cao AH qua A(3 ; 2) vng góc BC = (- ; 3) có phương trình : - 2( x – 3) + 3(y – 2) = Ù - 2x + 3y = Đường thẳng BC tập hợp điểm M(x ; y) cho BM = ( x − 1; y − 1) phương x −1 y −1 = ( điều kiện phương hai vectơ) Ù 3(x – BC = (−2;3) nên có phương trình : −2 1) + 2(y – 1) = Ù 3x + 2y – = b) Trung trực AB qua trung điểm I( ; 3/2 ) AB vng góc AB = (- ; - 1) nên có phương trình tổng qt : 2(x – 2) + 1.(y – 3/2) = Ù 4x + 2y – 11 = c) Đường trung bình ứng với AB qua trung điểm K( ; 5/2) phương AB = (- ; - 1) Đường tập hợp điểm M(x ; y) cho KM = ( x − 0; y − ) phương x −0 y −5/ = ( điều kiện phương hai vectơ) AB = (−2;−1) nên có phương trình : Ù x – 2y + = d) Gọi D(x ; y) tọa độ chân đường phân giác Theo tính chất phân giác : DB AB =− AC DC Mà AB = 22 + 12 = 5, AC = 42 + 22 = , : DB = − 2DC = − DC DC ⎧2(1 − x) = x + ⎧ x = 1/ Ù ⎨ ⎨ ⎩2(1 − y) = y − ⎩y = Vậy D = (1/3 ; 2) Vì yA = yD = nên phương trình AD y = Ví dụ : Cho hình chữ nhật ABCD , phương trình AB : 2x – y + = , đường thẳng AD qua gốc tọa độ O , tâm hình chữ nhật I( ; ) Viết phương trình cạnh lại Giải Vì AD vng góc với AB nên VTPT n = (2 ; - 1) AB VTCP AD Phương trình AD x y qua O : = Ù x + 2y = −1 www.saosangsong.com,vn Chương3 Phương pháp toạ độ phẳng ⎧2x − y + = Tọa độ A nghiệm hệ : ⎨ Giải hệ ta : x = - ; y = => A(- ; 1) ⎩ x + 2y = ⎧ x A + x C = 2x I = ⎧ x C = 10 I trung điểm AC , suy : ⎨ : C(10 ; 9) ⎨ y y 2y 10 y + = = = C I ⎩ A ⎩ C Đường thẳng CD song song với AB nên n = (2 ; - 1) A B VTPT CD CD qua C(10 ; 9) , phương trình CD : I 2(x – 10) - (y – 9) = Ù 2x – y – 11 = Đường thẳng BC qua C song song AD , phương trình BC : (x – 10) + 2(y – 9) = Ù x – 2y – 28 = C D Ví dụ : Cho đường thẳng d : 3x – 4y – 12 = a) Tính diện tích tam giác mà d hợp với hai trục tọa độ b) Viết phương trình đường thẳng d’ đối xứng d qua trục Ox c) Viết phương trình đường thẳng d” đối xứng d qua điểm I(- ; 1) Giải : a) Cho x = : - 4y – 12 = Ù y = - => d cắt Oy tai A(0 ; - 3) Cho y = : 3x – 12 = Ù x = => d cắt Ox tai B(4 ; 0) Diện tích tam giác vng OAB : ½ OA.OB = ½ = đvdt b) Gọi A’(0 ; 3) đối xứng A qua Ox Ta có d’ qua A’ B , phương A' B = (4;−3) có phương x −0 y−3 = Ù 3x + 4y – 12 = trình : −3 c) Gọi B1là đối xứng B qua I => B1 (- ; 2) Đường thẳng d” qua B1và song song với d , có phương trình : 3(x + 6) – 4(y - 2) = Ù 3x – 4y + 26 = y A’ B1 I *Ví dụ : Viết phương trình đường thẳng qua M(3 ; 2) , cắt tia Ox A, tia Oy B cho : a) OA + OB = 12 b) hợp với hai trục tam giác có diện tích 12 Gọi A(a ; 0) B(0 ; b) với a > , b > , phương trình đường x y thẳng cần tìm có dạng : + = Vì đường thẳng qua M(3 ; 2) nên : a b + = (1) a b a) OA + OB = 12 Ù a + b = 12 Ù a = 12 – b (2) + =1 Thế (2) vào (1) : 12 − b b Ù 3b + 2(12 – b) = (12 – b)b Ù b2 – 11b + 24 = Ù b = hay b = Giải : www.saosangsong.com,vn B A B A x Chương3 Phương pháp toạ độ phẳng x y + = x + 3y − = x y • b = : a = , phương trình cần tìm : + = 2x + y − = b) Diện tích tam giác OAB ½ OA.OB = ½ ab = 12 Ù a = 24/b (3) 3b + = Ù b2 + 16 = 8b Thế (3) vào (1) : 24 b Ù (b – 4)2 = Ù b = x y Suy : a = , phương trình cần tìm : + = Ù 2x + 3y – 12 = Dạng : Tìm vị trí tương đối hai đường thẳng • b = : a = , phương trình cần tìm : Ví dụ : Tìm vị trí tương đối cac đường thẳng sau : a) 9x – 6y – = , 6x + 4y – = b) 10x – 8y + 2/3 =0 ; 25x – 20y + 5/3 = −6 ≠ nên hai đường thẳng cắt 10 −8 / b) Ta có : = = = nên hai đường thẳng trùng 25 −20 / Giải a) Ta có : * Ví dụ : Cho d : (m + 1)x – 2y + m + = d’ : mx - 3y + = a) Định m để hai đường thẳng cắt Tìm tọa độ giao điểm M b) Tìm m ∈ Z để tọa độ giao điểm số ngun ⎧(m + 1)x − 2y + m + = (1) Giải a) Tọa độ giao điểm M nghiệm hệ : ⎨ ⎩mx − 3y + = (2) m +1 − Hai đường thẳng cắt Ù D = = −3(m + 1) + 2m = −m − ≠ m −3 Ùm≠-3 − m +1 = - 2.1 + 3(m + 1) = 3m +1 Ta có : Dx = −3 Dy = m +1 m +1 = m(m + 1) – 1.(m+1) = m2 - m Dx - 3m - ⎧ ⎪⎪x = D = m + Tọa độ giao điểm M : ⎨ ⎪y = D y = - m + ⎪⎩ D m+3 −3(m + 3) + 8 b) Ta có : x = =-3+ m+3 m+3 y = − m +3− m+3 Để x y ∈ Z chia hết cho (m + 3) www.saosangsong.com,vn Chương3 Phương pháp toạ độ phẳng Ù (m + 3) ∈ { ± ; ± ; ± ; ± } Ù m ∈ {- ; - ; - ; - ; ; - ; ; - 11 } Ví dụ : Cho đường thẳng d : 2x + y - 13 = điểm A (1 ; 1) a) Viết phương trình đường thẳng d’ qua A vng góc d b) Tìm tọa độ hình chiếu A lên d tọa độ điểm A’ , đối xứng A qua A Giải a) Đường thẳng d’ vng góc d nên VTPT n = (2 ; 1) d VTCP d’ Suy phương trình d’ : x −1 y −1 Ù x – 2y + = = A b) Tọa độ giao điểm H d d ‘ thỏa hệ : ⎧2x + y − 13 = ⎧x = H Ù ⎨ : H(5 ; 3) , hình chiếu A lên d ⎨ y − + = = x 2y ⎩ ⎩ H trung điểm AA’ , suy : ⎧x A ' = x H − x A = : A' (9 ; 5) ⎨ ⎩y A' = y H − y A = A’ C Bài tập rèn luyện 3.1 Cho đường thẳng d : y = 2x – a) Vẽ đường thẳng d Xác định giao điểm A B d với Ox Oy.Suy diện tích tam giác OAB khoảng cách từ O tới d b) Viết phương trình đường thẳng d’ song song với d , cắt Ox M , Oy N cho MN = 3.2 Viết phương trình tổng qt đường thẳng d : a) qua điểm A(1 ; - 2) có hệ số góc b) qua B ( - 5; ) phương a = ( ; - 5) c) qua gốc O vng góc với đường thẳng : y = − 3x d) qua I(4 ; 5) hợp với trục tọa độ tam giác cân e) qua A(3 ; 5) cách xa điểm H(1 ; 2) 3.3 Chứng minh tập hợp sau đường thẳng : a) Tập hợp điểm M mà khoảng cách đến trục hồnh gấp đơi khoảng cách đến trục tung b) Tập hợp điểm M thỏa MA + MB2 = 2MO với A(2 ; ) B( ; - 2) Cho tam giác ABC có A(4 ; 1) , B(1 ; 7) C(- 1; ) Viết phương trình tổng qt a) Đường cao AH , đường thẳng BC b) Trung tuyến AM trung trực AB c) Đường thẳng qua C chia tam giác thành hai phần , phần chứa điểm A có diện tích gấp đối phần chứa điểm B Cho tam giác ABC có phương trình đường thẳng AB, BC CA : AB : x – = ; BC : 4x – 7y + 23 = ; AC : 3x + 7y + = www.saosangsong.com,vn Chương3 Phương pháp toạ độ phẳng a) Tìm tọa độ A, B, C diện tích tam giác b) Viết phương trình đường cao vẽ từ A C Suy tọa độ trực tâm H Cho hai đường thẳng d : mx – y + m + = d’ : x – my + = a) Định m để hai đường thẳng cắt Tìm tọa độ giao điểm M , suy M di động đường thẳng cố định b) Định m để d d’ đường thẳng ∆ : x + 2y – = đồng quy Cho hai điểm A(5 ; - 2) B(3 ; 4) Viết phương trình đường thẳng d qua điểm C(1 ; 1) cho A B cách đường thẳng d 3.8 Cho hình bình hành hai cạnh có phương trình 3x – y – = x + y – = Viết phương trình hai cạnh lại biết tâm hình bình hành I(3 ; 1) *3 Cho tam giác ABC có trung điểm AB I(1 ; 3) , trung điểm AC J(- 3; 1) Điểm A thuộc Oy đường BC qua gốc tọa độ O Tìm tọa độ điểm A , phương trình BC đường cao vẽ từ B *3.10 Cho điểm M(9 ; 4) Viết phương trình đường thẳng qua M , cắt hai tia Ox tia Oy A B cho tam giác OAB có diện tích nhỏ * 3.11 Cho điểm M(3 ; 3) Viết phương trình đường thẳng qua M , cắt Ox Oy A B cho tam giác MAB vng M AB qua điểm I(2 ; 1) D Hướng dẫn hay đáp số : 3.1 a) A(2 ; 0) , B(0 ; - 4) ; S = đvdt Ta có : 1 1 = + = + = => OH = 2 16 16 OH OA OB b) Phương trình d’ có dạng : y = 2x + m , cắt Ox M(- m/2 ; 0) , cắt Oy N(0 ; m) Ta có MN = OM + ON = |m| =3 Suy : m = ± 3.2 a) y + = 3(x – 1) Ù y = 3x – x+5 y−2 = 5x + y + 21 = −5 c) y = x ( hai đường thẳng vng góc Ù tích hai hệ số góc – 1) b) d) Vì d hợp với Ox góc 450 hay 1350 nên đường thẳng có hệ số góc tan 450 = hay tạn(1350) = - , suy phương trình : y = x + ; y = - x + e) Đường thẳng cần tìm qua A vuông góc AH = ( −2;−3) 3.3 a) Gọi (x ; y) toạ độ M : |y| = 2|x| Ù y = 2x hay y = - 2x b) MO2 = x2 + y2 , MA2 = (x – 2)2 +(y – 1)2 , MB2 = (x – 1)2 + (y + 2)2 Suy : 3x – y – = c) Đường thẳng cần tìm qua điểm D cho : DA = −2DB Ù D = (2 ; 5) www.saosangsong.com,vn Chương3 Phương pháp toạ độ phẳng a) A(3 ; - 2) ; B(3 ; 5) ; C(- ; 1) , S = ½ AB CH = 47/ đvdt b) AH : y = , AK : 7x + 4y – 13 = , H(9/7 ; 1) a) D = – m2 ≠ Ù m ≠ ± , toạ độ giao điểm : Dx m+2 ⎧ x = = − = − − ⎪⎪ D m +1 m +1 ⎨ D ⎪y = y = ⎪⎩ D m +1 => x + y + = => M di động trênđường thẳng : x + y + = b) Thế toạ độ M vào phương trình : x + 2y – = , ta : m = - 2/3 d đường thẳng qua C : • Và qua trung điểm I(4 ; 1) AB • hay phương AB = ( −2;6) 3.8 Gọi AB : 3x – y – = AD : x + y – = Giải hệ , ta A = (1 ; 1) Suy C = (5 ; ) CD : 3x – y – 14 = ; BC : x + y – = * A = (0 ; a) => B(2 ; – a) C(- ; – a) BC qua gốc O OB OC phương Ù 2(2 – a) = (6 – a) ( - 6) Ù a=5 10 Đặt A(a ; 0) (0 ; b) ,với a , b > Phương trình đường thẳng cần tìm có dạng : x y + = Đường qua I Ù + = a b a b Áp dụng bđt Côsi cho hai số : = => ab ≥ 12 => S OAB = 9 12 + ≥2 = a b a b ab ab ≥ 72 Vậy tam giác OAB có diện tích nhỏ 72 thẳng cần tìm : = = a = 18 ; b = PT đường a b x y + = x + y − 72 = 18 3.11 Đặt A(a ; 0) , B(0 ; b) , ta có : MA.MB = ( a − 3)(−3) + ( −3)(b − 3) = Ù a + b = (1) www.saosangsong.com,vn Chương3 Phương pháp toạ độ phẳng Mặt khác phương trình đường thẳng AB : (AB) qua I(2 ; 1) Ù x y + = a b + = Ù 2b + a = ab (2) a b Thế (1) vào (2) : 2b + (6 – b) = (6 – b)b Ù b2 – 5b + = Ù b = hay b = Suy : (a = ; b = 2) hay (a = ; b = 3) § Phương trình tham số đường thẳng A Tóm tắt giáo khoa a khác phương với đường thẳng ∆ gọi vectơ phương (VTCP) ∆ • Phương trình tham số đường thẳng qua M0 (x0 ; y0) có VTCP ⎧ x = x o + ta1 a = (a1 ; a2 ) : ⎨ ⎩ y = y o + ta • Phương trình tắc đường thẳng qua M0 (x0 ; y0) có VTCP a x − x o y − yo = = (a1 ; a2 ) : ( a1 ≠ a2 ≠ 0) a1 a2 Nếu n = (a; b) VTPT ∆ a = (b ; - a) hay ( - b ; a) n a ∆ M VTCP ∆ B Giải tốn Dạng tốn : Lập PT tham số đường thẳng • Tìm điểm M(x0 ; y0 ) VTCP (a ; a2) : ⎧ x = xo + a1t ¾ phương trình tham số : ⎨ ⎩ y = yo + a2t x − xo y − y0 =− ¾ phương trình tắc : (a1, ≠ 0) a1 a2 ¾ phương trình tổng qt : a2(x – x0) – a1( y – y0) = • Tìm điểm M(x0 ; y0 ) VTPT (a ; b) => VTCP (b ; - a) Áp dụng Ví dụ : Cho A( ; 2) , B(3 ; - 4) , C(0 ; 6) Viết PT tham số , tặc tổng qt : a) đường thẳng BC b) đường cao BH c) đường thẳng qua trọng tâm G tam giác ABC song song với d : 3x -7y = Giải a) BC qua B(3 ; - 4) có VTCP BC = (−3;10) nên có PTTS : www.saosangsong.com,vn Chương3 Phương pháp toạ độ phẳng ⎧ x = − 3t ⎨ ⎩ y = −4 + 10t 10 => PTCT : x −3 y + = −3 10 PTTQ : 10( x − 3) + 3( y + 4) = Ù 10x + 3y -18 = b) Đường cao BH qua B(3 ; - 4) vng góc AC (−1; 4) nên có VTCP (4 ; 1) Suy PTTS : ⎧ x = + 4t ⎨ ⎩ y = −4 + t x−3 y +4 PTCT : = PTTQ : 1(x – 3) – 4(y + 4) = Ù x – 4y – 19 = c) Đường thẳng song song với d : 3x – 7y = nên vng góc VTPT n d (3 ; - 7), suy VTCP (7 ; 3) Tọa độ trọng tâm G : (4/3 ; 4/3 ) ⎧ x = / + 7t PTTS đường thẳng cần tìm : ⎨ ⎩ y = / − 3t 4 x− y− 3 = PTCT : PTTQ : 3(x – 4/3) – 7(y – 4/3) = Ù 3x – 7y + 16 =0 Dạng tốn : Tìm điểm đường thẳng Tọa độ điểm M đường thẳng cho PTTS Ứng với t , ta điểm đường thẳng Bài tốn thường đưa việc giải phương trình hay hệ phương trình mơ tả tính chất điểm ⎧ x = − 2t Ví dụ : Cho đường thẳng d : ⎨ ⎩ y = + 3t a) Tìm d điểm M cách điểm A(4 ; 0) khoảng b) Biện luận theo m vị trí tương đối d d’: (m + 1)x + my – 3m – = Giải : a) Tọa độ điểm M thuộc d cho phương trình tham số d : M = (3 – 2t ; + 3t) Ta có : AM = (-1 – 2t ; + 3t ) => AM2 = (1 + 2t)2 + (1 + 3t)2 = 13t2 + 10t + Ta có : AM2 = 25 Ù 13t2 + 10t + = 25 Ù 13t2 + 10t – 23 = Ù t = hay t = - 23/13 Ù M = (1 ; 4) hay M = ( 85/13; - 56/13) b) Thế phương trình tham số d vào phương trình d’ , ta phương trình tính tham số t giao điểm , có : (m + 1)(3 – 2t) + m(1 + 3t) – 3m – = Ù (m – 2)t + m – = (1) • m – = Ù m = : (1) thỏa với m Ù d d’ có vơ số điểm chung Ù d , d’ trùng • m – ≠ Ù m ≠ : (1) có ngh Ù d d’ cắt Ghi : Có thể biến đổi d dạng tổng qt : 3x + 2y – 11 = biện luận www.saosangsong.com,vn Chương3 Phương pháp toạ độ phẳng 60 b) Δ cắt Δ , Oy (P) K, H , M Tìm tọa độ điểm c) Gọi I trung điểm OH Viết phương trình đường thẳng IM chứng tỏ đường thẳng IM cắt (P) điểm d) Chứng minh MI vng góc KF Từ suy MI phân giác góc KMF 3.122 Trong mặt phẳng Oxy, cho A(1 ; 1) , A’ (1 ; - 1) Gọi M điểm di động Oy có tung độ m a) Viết phương trình hai đường cao tam giác MAA’ b) Chứng minh trực tâm H tam giác MAA’ thuộc parabol cố định 3.123 Chọn câu : Phương trình tắc parabol mà khỏang cách từ đỉnh tới tiêu điểm 3/ : a) y2 = x b) y2 = x c) y2 = 3x d) y2 = 6x 3.124 Chọn câu : Điểm M ∈ (P) : y2 = 4x FM = hòanh độ M a) b) c) 3/2 d) 125 Chọn câu : Đường thẳng d : x – 2y + 5m - = có điểm chung với (P) : y2 = mx ( m ≠ ) , m : a) số ngun lẻ b) số ngun chẵn c) số hữu tỷ khơng ngun d) số vơ tỉ 3.126 Chọn câu : Một tam giác OMN có điểm thuộc (P) : y2 = 8x Vậy cạnh tam giác gần với số : a) 26 b) 27 c) 28 d) 29 3.127 Chọn câu : Có hai parabol qua điểm M có tung độ cách tiêu điểm khỏang 19 Tổng hai tham số tiêu chúng : a) 38 b) 72 c) 18 d) đáp số khác 3.128 Chọn câu : Cho parabol (P) , độ dài dây cung MN parabol vng góc Ox Vậy khỏang cách từ tiêu điểm đến đường chuẩn : a) 12 b) c) d) đáp số khác 3.129 Chọn câu : Cho (P) : y2 = 16x Một đường thẳng qua tiêu điểm F có hệ số góc cắt (P) M, N Tính độ dài MN a) 28 b) 32 c) 40 d) 20 130 Chọn câu : Cho (P) : y2 = 8x Một đường thẳng qua tiêu điểm F có hệ số góc m > , cắt (P) M, N Biết |FM – FN| = , m = b) 2 / c) d) 2/ a) 2 D Hướng dẫn hay đáp số 3.109 a) Tọa độ A( ; 2 ) B(1 ; 2 ) Độ dài AB = b) Gọi x0 hồnh độ điểm cần tìm , ta có : FM = p + xo = + x0 = Ù x0 = Suy tọa độ điểm cần tìm ( ; ± ) c) Thế x = - y – m vào phương trình (P) , ta phương trình tung độ giao điểm d (P) : y2 = 8(- y – m ) Ù y2 + 8y + 8m = (1) YCBT Ù (1) có nghiệm Ù ∆’ = 16 – 8m = Ù m = www.saosangsong.com,vn Chương3 Phương pháp toạ độ phẳng 61 3.110 a) Gọi M(x0 ; y0 ) điểm cần tìm , ta có : d(M , d) = xo − yo + 32 + = xo − yo + y Thế x0 = yo ( M ∈ (P) ) , ta : d(M , d) = M y o − yo + 10 x = yo − 16 yo + 40 Ta có : 3y02 – 16y0 + 40 = F O 20 40 ⎞ 56 ⎤ ⎛ 16 ⎡ ⎜ yo − yo + ⎟ = ⎢( yo − )2 + ⎥ > 3 ⎠ 9⎦ ⎝ ⎣ 56 ⎤ ⎡ ⎢( yo − )2 + ⎥ 56 14 9⎦ ⎣ Suy : d(M , d) = ≥ = 60 15 20 Vậy GTNN d(M, d) 14/ 14 , đạt ( y0 - y 8 ) = Ù y0 = 3 B M b) Tọa độ A(1 ; - 2) , B(4 ; 4) , M(x; y) H Ta có : AB = 32 + = Phương trình đường thẳng AB : 2x – y – = Khoảng cách từ M đến AB : x O 2x − y − 2x − y − A 2x − y − 3 ( y + 2)( y − 4) y − 2y − = Thế x = y2 / , ta : S = 4 Diện tích MAB : S = ½ = Vì – ≤ y ≤ nên (y + 2)(y – 4) ≤ , suy : S= 3 27 ⎡⎣ − ( y − 1)2 ⎤⎦ ≤ (- y2 + 2y + 8) = 4 Vậy S nhỏ y = c) Phương trình hồnh độ M , N : (x + m)2 = 4x Ù x2 + 2( m – 2)x + m2 = (1) ∆’ = – 4m + ≥ Ù m ≤ Nghiệm x1 , x2 hồnh độ M N Ta có : FM = + x1 , FN = + x2 FM = 2FN Ù x1 – 2x2 = (1) y Theo Viết : x1 + x2 = – m (2) , x1.x2 = m2 (3) Giải (1) (2) : x1 = Thế vào (3) : 7m2 + 7m – = Ù m = 3.111 a) y2 = 2x M − 2m 1− m , x2 = 3 b) x2 = d) y2 = 2px Ta có : FM = 3y −7 ± 189 14 c) y2 = 12x p + x =6Ùp=4 3.112 a) y2 = 2px Ta có : 16 = 2px Ù x = 8/ p www.saosangsong.com,vn x O N F Chương3 Phương pháp toạ độ phẳng Khoảng cách : FM = 62 p p + x = Ù + = p2 − 10 p + 16 = 2 p Ù p = hay p = p ; ) , M ( ; −1), N ( ;3) 2p 2p p p − − 2p 2p Ùp2 = Ù p = F, M, N thẳng hàng Ù = −1 − 3−0 p c) Theo định nghĩa parapol : d(M, ∆) = FM = 5/ Ù + x = (1) 2 ( x : hồnh độ M ) Lại có : y2 M = 2pxM = 2px Ù x = (2) p p = Ù p2 – 5p + = Ù p =1 hay p = Thế (2) vào (1) : + p b) y2 = 2px F( y A Vậy ta tìm parabol (P1) : y2 = 2x (P2 ) : y2 = 8x 3.113 a) Gọi (x1 ; y1 ) , (x2 ; y2 ) tọa độ A B , ta có : y12 = 2px1 , y22 = 2px2 => y12 – y22 = 2p ( x1 – x2) => I y1 − y2 2p = = k => yI = p / k x1 − x2 y1 + y x O B F Vậy I di động đường thẳng y = p/ k song song với Ox b) yI = p/ k = Ù k = p/ Vậy phương trình AB : y – = p (x – 2) y Ù px – 4y – 2p + 16 = 3.114.: Vẽ đường thẳng d song song với Oy cách trục Oy khoảng bán kính đường tròn (C) có tâm F(2 ; 0) Thế : FM = d(M, d) = R + r Vậy tập hợp điểm M parabol tiêu điểm F (2; 0) , đường chuẩn x = - => p = 4=> phương trình parabol : y2 = 8x d M H x x y 3.115.a) Phương trình OM : y0x – x0y = Ù = (1) xo yo O F Tọa độ H (x0 ; ) , A( ; - 2) , phương trình AH : x−0 y+2 x y+2 (2) = = x0 − 0 + xo Từ (1) (2) : y+2 y 2y 2x , xo = = yo = yo y+2 y+2 2 2 x0 + y0 = y ⎛ x ⎞ ⎛ 2y ⎞ 2 2 Ù ⎜ ⎟ +⎜ ⎟ =4Ùx +y =x +y y y 2 + + ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ I M Ù x2 + y2 = y2 + 4y + Ùy=- x −1 x O Vậy I di động parabol có phương trình : y = - x −1 A www.saosangsong.com,vn H Chương3 Phương pháp toạ độ phẳng 3.116.a) y = 63 x Ù x2 = 4y Suy p = Vậy F = ( ; 1) đường chuẩn ∆ : y = - b) Phương trình đường chuẩn : y = - => yM = - Suy tọa độ M ( m ; - 1) Vậy tọa độ trung điểm I FM y m 1−1 m ( ; ) = ( ; 0) 2 m Phương trình (t) qua I ( ; 0) vng góc với FM = (m; −2) m m2 ) – 2( y – 0) = Ù mx – 2y =0 : m(x 2 F T x O M c) Tọa độ điểm chung (t) (P) thỏa hệ : ⎧ x = y (1) ⎪ ⎨ m2 mx y − − = (2) ⎪ ⎩ Thế (1) vào (2) : 2mx – x2 – m2 = Ù (x – m)2 = Phương trình hồnh độ giao điểm có nghiệm kép x = x2 = m , chứng tỏ (P) (t) có điểm chung ( x = m ; y = m2 ) 3.117 a) Phương trình d : y = kx – k Phương trình hồnh độ giao điểm : (kx – k)2 = 4x Ù k2x2 – 2(k2 + 2)x + k2 = (1) Phương trình ln có hai nghiệm x1 , x2 Tích khỏang cách : |y1| |y2| = x x = x x = 4.1 = : giá trị khơng đổi b) FM = 4FN Ù + x1 = 4(1 + x2) Ù x1 = 4x2 + Thế vào : x1 x2 = , ta : 4x22 + 3x2 – = c) Ta chứng minh : OM.ON = x x + y1 y < Chú ý : y1 = k(x1 – 1) , y2 = k(x2 – 1) 3.118 b) Giải tương tự 3.117 c) Chú ý : MH + NK = MF + NF = MN , HK = |yM – yN | 3.119 a) (P) : x2 = 4y => F(0 ; 1) , Δ : y + = b) Phương trình đường thẳng : y = mx + Phương trình hồnh độ giao điểm : x2 – 4mx – = Phương trình có hai nghiệm phân biệt với k tọa độ I : x1 + x ⎧ = 2m xI ⎪x I = y I = +1 ⎨ ⎪⎩ y I = mx + x2 I di động parabol (P’) : y = + Tập hợp x 3.120 a) d : y = kx ; d’ : y = − M( 2/k2 ; 2/k) , N(2k2 ; - 2k) k y M K O F x I b) Phương trình MN : k(x – 2) + (k2 – 1)y = => MN ln qua điểm cố định K (2 ; 0) N www.saosangsong.com,vn Chương3 Phương pháp toạ độ phẳng 64 ⎧ ⎪⎪x I = k + k c) Tọa độ I : ⎨ => y2I = xI – ⎪y = − k ⎪⎩ I k => I ∈ parabol : y2 = x – 3.121 a) F(1 ; 0) , Δ : x + = b) K( - 1; m) , H(0 ; m) ; M(m2 /4 ; m) c) I(0 ; m/2) IM : 4x – 2my + m2 = Phương trình tung độ giao điểm : y2 – 2my + m2 = Ù y = m Điểm chung M d) Tam giác KMF cân M y K H M I x O F 13.122 a) Đường cao từ M : y = m (1) Đường cao qua A(1 ; 1) vng góc A ' M = (−1; m + 1) : -1.(x – 1) + (m + 1)(y – 1) = Ù x – (m + 1)y + m = (2) b) Thế (1) vào (2) : x – y2 = Ù y2 = x y 3.123 (b) A 3.124 (d) 3.125 (c) 3.126 (c) Hồnh độ đỉnh M (x ; y) : x = |y| x Cạnh 16 p 36 + = 19 Ù p2 – 38p + 72 = p 3.127 (a) x = 36/p 3.128 (d) Độ dài dây cung 2p => p = 3/2 3.129 (b) Phương trình hồnh độ giao điểm : x2 – 24x + 16 = MN = p p + x + + x = 32 2 3.130 (a) Phương trình hồnh độ giao điểm : m2 x2 - 4(m2 + 2)x + 4m2 = |FM – FN) = Ù |x1 – x2| = Ù (x1 + x2)2 – 4x1x2 = Mà x1x2 = , suy : x1 + x2 = Vậy : 4(m + 2) =5 m2 Ùm=2 §8 Các Đường Cơnic A Tóm tắt giáo khoa Đường chuẩn : x y2 x y2 + = : hay (H) : − = 12 a b2 a b2 a a2 • Δ1 : x = - = − gọi đường chuẩn ứng với F1( - c ; 0) e c Cho (E) : www.saosangsong.com,vn H M A' Chương3 Phương pháp toạ độ phẳng • Δ2 : x = Δ1 a a2 = gọi đường chuẩn ứng với F1( - c ; 0) e c Δ2 Δ1 Δ2 M F1 O 65 H2 F2 M F1 H1 O F2 Chú ý : Đối với êlip tâm O gần tiêu điểm đường chuẩn tương ứng Trong với hypebol , tâm O gần đường chuẩn tiêu điểm tương ứng Tính chất : Với M ∈ (E) hay (H) : MF1 MF2 = =e d ( M; Δ ) d ( M; Δ ) Định nghĩa : Cho điểm F cố định đường thẳng Δ cố định , tập hợp điểm cho : MF = e ( số dương cho trước ) gọi đường cơnic d (M; Δ) F : tiêu điểm , Δ : đường chuẩn , e : tâm sai • e < : cơnic êlip • e = : cơnic parabol • e > : cơnic hypebol B Giải tốn : Dạng tốn : Lập phương trình tắc cơnic với đường chuẩn Ví dụ : Lập phương trình tắc êlip có đỉnh (0 ; ) khỏang cách hai đường chuẩn x y2 Giải (E) : + = Theo đề , ta có : b = Ù a2 = + c2 b a a + c2 = Ù = Ù 2c2 – 9c + 10 = c c Ù c = hay c = 5/2 • • x y2 + =1 y2 x2 c = 5/2 : a2 = 15/2 => (E): + =1 15 / c = : a2 = => (E) : Ví dụ : Lập phương trình tắc hypebol có tiệm cận y = 2x đường chuẩn x = x y2 Giải (H) : − = b a b Ta có : = b = 2a Ù c2 – a2 = 4a2 Ù c = a a www.saosangsong.com,vn Chương3 Phương pháp toạ độ phẳng 66 a2 a2 =1 Ù =1 Ù a = c a x y2 − =1 Suy : b = => (E) : 20 Dạng tốn : Lập phương trình cơnic định nghĩa Và Ví dụ : Lập phương trình parabol tiêu điểm O đường chuẩn Δ : 3x – 4y + = Giải Gọi (P) parabol cần tìm , ta có : M(x ; y) ∈ (P) Ù MO = d(M ; Δ ) | 3x − y + | Ù x + y2 = Ù 25(x2 + y2 ) = (3x – 4y + 5)2 Ù 16x2 + 24xy + 9y2 – 30x + 40y – 25 = Ví dụ : Lập phương trình hypebol tiêu điểm F(1 ; 0) , đường chuẩn Δ : x – y = tâm sai e = `Giải Gọi (H) hypebol cần tìm , ta có : M(x ; y) ∈ (H) Ù Ù MF = d(M; Δ) ( x − 1) + y = Ù MF = d(M ; Δ) |x−y| 2 Ù (x – 1)2 + y2 = (x – y)2 Ù 2xy – 2x + = Dạng tốn : Nhận dạng cơnic theo tâm sai Ví dụ : Cho cơnic có tiêu điểm F(1 ; 1) đường chuẩn Δ : x + y – = Biết cơnic qua gốc O , cho biết dạng cơnic Giải Ta có : OF = d(O, Δ) = Suy : e = MF = < , d(M; Δ) cơnic êlip Ví dụ : Chứng minh đồ thị hàm số y = hypebol 2x xy = (1) 2x Cộng hai vế cho : x2 + y2 + 2x + 2y + , ta : (1) Ù x2 + y2 + 2x + 2y + 1+ 2xy = x2 + y2 + 2x + 2y + + `Giải Ta có : y = Ù (x + y + 1)2 = (x + 1)2 + (y + 1)2 Ù | x + y +1| = ( x + 1) + ( y + 1) Gọi F điểm ( - ; - 1) , Δ đường thẳng : x + y + = M = (x ; y) , : (1) Ù d(M ; Δ) = MF www.saosangsong.com,vn Chương3 Phương pháp toạ độ phẳng Ù 67 MF = => cơnic hypebol tiêu điểm F đường chuẩn Δ d(M : Δ) C Bài tập rèn luyện 3.131 Lập phương trình tắc : a) êlip qua M(- ; 2) đường chuẩn x = b) hypebol có tiệm cận y = x khỏang cách giũa hai đường chuẩn 18 / c) hypebol có đỉnh A( ; 0) , đường chuẩn hợp với hai tiệm cận tam 10 d) êlip đỉnh A2 ( ; 0) cách đường chuẩn ứng với F1 khoảng e) hypebol có hai tiệm cận vng góc đường chuẩn x = giác có diện tích 3.132 Cho biết dạng cơnic lập phương trình tắc : a) tiêu điểm (4 ; 0) đường chuẩn x = b) đường chuẩn x = 9/2 qua M(0 ; ) c) đỉnh ( ; 0) khỏang cách giũa tiêu điểm đường chuẩn tương ứng 3.133 Lập phương trình tổng qt cơnic định nghĩa biết tiêu điểm F , đường chuẩn Δ , tâm sai e a) F( - 1; 0) , Δ : x = , e = 1/ b) F(0 ; 0) , Δ : x – y + = , e = c) F(- ; 0) , Δ : x + 2y , e = 134 Cho parabol có đường chuẩn Δ : x – y – = đỉnh O Tìm tiêu điểm F phương trình parabol 3.135 Cho cơnic có tâm đối xứng I(2 ; 4) , đường chuẩn Δ : x + y + = tiêu điểm tương ứng thuộc Oy Hãy tìm tiêu điểm , tâm sai nhận dạng cơnic 3.136 Cho cơnic có tiêu điểm (0 ; 3) , đường chuẩn x + y = , tâm sai e = Tìm giao điểm cơnic với trục tọa độ 3.137 Nhận dạng đường có phương trình sau : a) x + y =| x − y − | c) x2 + 2y2 + 2x - = e) xy = b) 2( x + y − 2x + 1) =| x + y | d) x2 + y2 – 2xy + 2x + 2y – = 3.138 Biện luận theo m hình dạng đường (C) có phương trình : x2 + y2 = m(x – 2)2 D Hướng dẫn hay đáp số www.saosangsong.com,vn Chương3 Phương pháp toạ độ phẳng 3.131 a) (E) : 68 a2 x y2 − = Ta có : = a = 5c 2 c b a Suy : b2 = a2 – c2 = 5c – c2 M(- ; 2) ∈ (E) Ù + = Ù 5b2 + 4a2 = a2 b2 b a Ù 5(5c – c2 ) + 20c = 5c(5c – c2 ) Ù c2 – 6c + = ) ( chia hai vế cho 5c) Ùc=3 b) (H) : a2 x y2 − = Ta có : 4a = 3b (1) = (2) c a b2 Vì : c2 = a2 + b2 = 25a2 / Ù c = 5a/3 ( (1) ) Thế (2) : a = a2 ab x y2 − = Ta có : Tam giác có đường cao cạnh đáy 2 c c b a a 3b b 10 Suy : = 5 = Ù 9b = 2c2 c c c) (H) : Thế c2 = a2 + b2 = + b2 : 2b2 – 9b + 10 = Ù b = hay b = 5/2 3.132 a) c = , a2 = a = Suy : a < c Vậy cơnic hypebol :b2 = c a2 = Ù 2a2 = 9c (1) Vì cơnic qua M ∈ Oy nên cơnic êlip b2 = b) c Vậy : a2 = + c2 Thếvào (1) : 2(5 + c2) = 9c Ù 2c2 – 9c + 10 = Ù c = hay c = 5/2 c) Ta có : a = a2 a − c | 52 − c | =4 −c = = c c c ⎡5 − c = 4c ⎡c + 4c − = ⎡c = ⎢ ⎢c = 2 ⎢⎣c − = 4c ⎢⎣c − 4c − = ⎣ x y2 • c = < a : cơnic êlip : + =1 x y2 − =1 • c = > : cơnic hypebol : 20 Ù ⎢ 3.133 a) M(x ; y) ∈ (C) Ù y MF = e ( x + 1) + y = ( x − 3) Lập phương trình d (M; Δ) tổng qt cơnic định nghĩa biết tiêu điểm F 134 Ta tìm hình chiếu H O lên Δ tiêu diểm F điểm đối xứng H qua O H(2 ; - 2) => F(- ; 2) M(x ; y) ∈ (P) Ù MF = d(M ; Δ) Ù (x + 2)2 + (y – 2)2 = ( x − y − 4) Khai triển rút gọn, ta phương trình tổng qt cần tìm www.saosangsong.com,vn F x O H Chương3 Phương pháp toạ độ phẳng 69 3.135 Phương trình đường thẳng qua I vng góc Δ : x – y + = Đường cắt Oy F(0 ; 2) tiêu điểm cơnic Ta có : c = IF = 2 , a2 = d(I, Δ) = => a2 = 16 Ù a = c Vậy e = c/a = : cơnic êlip 3.136 Gọi M(x ; 0) giao điểm ∈ Ox , ta có : y MF = d(M ; Δ) I ( x + 0) Ùx= ± Ù x + = F 3.137 a) Xét điểm O(0 ; 0) đường thẳng Δ : x – y – 1= , ta có : O x + y ; d(M ; Δ) = MO = PT Ù | x − y −1| x MO = Vậy tập hợp hypebol tiêu d ( M; Δ ) điểm O đường chuẩn Δ b) Xét điểm F(1 ; 0) Δ : x + y = Tập hợp parabol c) PT Ù 2(x2 + y2 ) = x2 - 2x + Ù Ù x + y = | x − | Xét O(0 ; 0) Δ : x – = : tập hợp êlip d) 2(x2 +y2 ) = x2 + y2 + 2xy - 2x - 2y + Ù 2(x2 + y2) = (x + y – 1)2 Ù x + y2 = | x + y −1| Xét O Δ : x + y – = : tập hợp parabol e) 2xy = Cộng hai vế cho x2 + y2 + 2x + 2y + Ù x2 + y2 + 2xy + 2x + 2y + = x2 + y2 + 2x + 2y + Ù (x + y + Xét F( - )2 = (x + )2 + (y + )2 Ù ; ) Δ : x + y + (x + ) + ( y + ) = |x+y+ | 2 = : tập hợp hypebol tiêu điểm F , đường chuẩn Δ , e = 3.138 * Nếu m < : PT vơ nghiệm => tập hợp ∅ * Nếu m = : x = y = => tập hợp {O} * Nếu m > : xét O Δ : x – = , ta có : • • • MO = m d ( M, Δ ) m < : êlip m = : parabol m > : hypebol § 9.Trắc nghiệm cuối chương A Đề : Phương trình đường thẳng qua A(3 ; - 2) có vectơ phương (- ; 6) : a) 3x + y – = b) – x + 3y + = www.saosangsong.com,vn Chương3 Phương pháp toạ độ phẳng 70 c) x + 3y + = d) 3x – y – 11 = Cho tam giác ABC với A(2 ; 4) , B(2 ; 1) C(5 ; ) Trung tuyến CM qua điểm N có hồnh độ 20 tung độ ? a) - 12 b) - 12, c) - 13 d) – 13, Khoảng cách hai đường thẳng song song : 3x – 4y + = 3x – 4y – = : a) / b) c) d) đáp số khác Có điểm M thuộc Ox cách đường thẳng 2x – y + = khoảng , tích hai hồnh độ chúng : a) – 75/4 b) – 25/ c) – 225 / d) đáp số khác Hai đường thẳng d : mx + y – = d’ : (m – 3) x + y + m = song song m = a) 4/3 b) – 4/3 c) 3/4 d) – 3/4 Đường thẳng d : 3x – 2y + = tiếp xúc với đường tròn tâm I(1; - 1) , bán kính : a) b) 13 c) 13 d) đáp số khác 13 Gọi α góc hai đường thẳng : y = 5x + x - 5y – = , cos α = a) 1/ 26 b) 2/ 13 c) 5/ 13 d) Có hai đường thẳng y = kx hợp với d : x – y = góc 600 Tổng hai giá trị k : a) b) – 8/ c) – d) - Phương trình đường tròn có đường kính AB với A(- ; 1) B(5 ; 7) : b) x2 + y2 - 2x + 8y – = a) x2 + y2 + 2x + 8y – = 2 d) x2 + y2 - 2x - 8y – = c) x + y + 2x - 8y – = 10 Có giá trị m ngun để phương trình : x2 + y2 – 2x + 2my + 10 = phương trình đường tròn ? a) b) c) d) vơ số 11 Có hai đường tròn có bán kính 10 qua A (- ; 2) B(1 ; - 6) Một đường tròn có tung độ tâm : a) - b) - c) - d) 12 Đường tròn (C) : x2 + y2 – 2x + 4y – = cắt đường thẳng x – y + = theo dây cung có độ dài : a) b) c) d) đáp số khác 13 Gọi (C) đường tròn tiếp xúc với Oy A(0 ; 5) có tâm thuộc đường thẳng 3x – y - = B.àn kình đường tròn gần với số : a) 3, b) 3, c) 3, d) 3, 14 Đường tròn (C) : x2 + y2 + 6x – 4y + = có bán kính : b) c) a) 10 d) 29 15 Lập phương trình tiếp tuyến (C) : x2 + y2 + 4x + 4y – 17 = biết tiếp tuyến song song với ∆ : 3x – 4y + 12 = a) 4x - 3y – 27 = b) 4x +3 y – 11 = c) 3x – 4y + 23 = d) 3x - 4y + 27 = 16 Elip : 4x2 + 8y2 = 32 có tiêu cự : www.saosangsong.com,vn Chương3 Phương pháp toạ độ phẳng a) 71 b) c) d) 2 x y + = Câu sau sai ? a) Một tiêu điểm elip ( - 2; 0) b) Một đỉnh trục nhỏ (0 ; ) c) Độ dài trục lớn d) Diện tích hình chữ nhật sở 17 Cho elip : 18 Elip có tiêu điểm F ( ; ) cách đỉnh B khoảng , có độ dài trục nhỏ : a) b) c) d) 10 x y2 19 Elip (E) : + = Điểm M ( 3; 1) (E) nhìn hai tiêu điểm góc vng Tung độ dương M : a) ½ b) c) d) đáp số khác x y2 + = Điểm M (E) thỏa F1M – F2M = Hồnh độ M gần với số ? a) 1, b) 1, c) 1, d) 1, 20 Cho elip (E) : 21 Cho parabol y2 = 2px qua điểm M( ; 6) Khoảng cách từ M đến đường chuẩn : a) 6, b) c) 11 d) đáp số khác 22 Parabol y2 = x có tiêu điểm : a) ( ¼ ; ) b) (1 /2 ; ) c) (0 ; ¼ ) d) (0 ; ½) 23 Parabol y2 = 2px (p > ) qua điểm M có tung độ cách đường chuẩn khoảng Ta hai parabol có tổng hai giá trị p : a) b) 10 c) d) đáp số khác 24 Cho (P) : y2 = 4x Đường thẳng d qua F có hệ số góc , cắt (P) M N Độ dài MN : a) b) c) d) 25 Hypebol : 2x2 – 4y2 = : a) có tiêu cự 2 c) Câu (a) (b) b) có tiệm cận : y = x d) Câu (a) (b) sai x y2 26 Một điểm M hypebol (H) : − = Tích khoảng cách từ M đến hai tiệm cận : 16 a) b) c) d) khơng xác định 5 27 Hypebol có tiêu điểm F(10 ; ) tiệm cận : y = 2x Hypebol có độ dài trục thực : b) c) d) đáp số khác a) 2 x y 28 Hypebol : − = qua điểm M ( ; 4) có tiệm cận y = x Thế ab = a b a) 17 b) 34 c) 34 d) đáp số khác www.saosangsong.com,vn Chương3 Phương pháp toạ độ phẳng 72 29 Hypebol có đỉnh A1 ( - ; ) đỉnh cách tiệm cận khoảng Thế độ dài trục ảo gần với số ? a) 4, b) 4, c) 4, d) 4, 2 2 x y x y + = hypebol (H) : − = có tiêu điểm độ dài trục thực 30 Elip (E) : 16 a b (H) độ dài trục nhỏ (E) Vậy (E) (H) cắt bốn điểm nằm đường tròn có bán kính : a) b) 2 c) d) B Bảng trả lời : (a) 2.(b) (b) 4.(a) (d) 6.(b) (c) 8.(b) 9.(d) 10.(d) 11 (a) 12.(b) 13 (c) 14.(a) 15 (c) 16.(b) 17 (d) 18.(b) 19.(a) 20.(b) 21.(a) 22.(a) 23.(b) 24.(d) 25.(d) 26.(b) 27.(b) 28.(a) 29.(d) 30.(b) C Hướng dẫn giải (a) 2.(b) Phương trình trung tuyến : 5x + 6y – 25 = Cho x = 20 : y = -12 , 3.(b) Khỏang cách 3x – 4y + = 3x – 4y – = 4.(a) Gọi M(x ; 0) : | 2x + | = Ù |2x + 5| = 10 Ù x = 5/2 hay x = - 15/2 Vậy có điểm M tích hồnh độ – 75/4 5.(d) d // d’ Ù ⎧m − = 5m m −5 Ùm=-¾ = ≠ ⎨ m−3 m ⎩m ≠ −25 6.(b) R = d(I, d) = 13 = 13 13 7.(c) (b) Phương trình đường thẳng cần tìm : kx – y = Ta có : | k + 1| k +1 = cos 600 = Ù 3k + 8k + = => k1 + k2 = - 8/3 (d) 10 (d) a2 + b2 – c = m2 – > Ù m > hay m < - : vố số giá trị m ngun 2 ⎧a = 2b + ⎪⎧IA = IB 11.(a) Gọi I(a ; b) tâm : ⎨ ⎨ 2 ⎩(a + 3) + (b − 2) = 100 ⎩⎪IA = R = 100 www.saosangsong.com,vn Chương3 Phương pháp toạ độ phẳng 73 Thế , ta : b2 + 4b – 12 = Ù b = - hay b = 12 (b) (C) có tâm I(1 ; - 2) , R = Khỏang cách d từ I đến đường thẳng : / Suy độ dài dây cung : R − d = − = 13.c Vì đường tròn tiếp xúc Oy A( ; 5) nên tâm I(a ; 5) I ∈ 3x – y – = Ù a = 10/3 Bán kính đường tròn 10/3 = 3,333… 14 (a) (C ) có tâm I( - 3/2 ; 5/2 ) , bán kính R = 46 => MT2 = IM2 + R2 = => MT = 15 (c) 16 (b) 17 (d) Hình chữ nhật sở có diện tích 4ab = 12 18 ( b) Tam giác OBF cho : OB2 = BF2 - OF2 = 25 – = 16 => BF = b = Vậy độ dài trục nhỏ 19.(a) Ta c ó hệ : 2 ⎪⎧ x + 5y = => y = 1/ => | y | = ⎨ 2 ⎪⎩ x + y = Vậy tung độ dương M ½ ⎧ F1 M + F2 M = ⎧ F1 M = ⎨ ⎩ F1 M − F2 M = ⎩ F2 M = 20 (b) Ta có hệ : ⎨ Suy : F1M2 – F2M2 = 4cx = 12 => x = 3/2 21(a) (P) : y2 = 2px qua điểm (2 ; 6) Ù 36 = 4p Ù p = Khoảng cách từ M đến đường chuẩn : x + p = + 4, = 6, 22( a) ⎧4 = px p ⎪ 23.(b) Gọi (x ; 2) tọa độ M , ta có hệ : ⎨ => + = ( x > ) p p ⎪⎩ x + = Ù p2 – 10p + = Phương trình có nghiệm tổng 10 24 (d) Phương trình đường thẳng d : y = x – Phương trình hồnh độ giao điểm M , N : 2 – 1) = 4x Ù x – x + = (1) Gọi x1 , x2 hồnh độ M , N , ta có : MN = FM + FN = (1 + x1 ) + (1 + x2 ) = + x1 + x2 = 25(d) x2 y2 − =1 : www.saosangsong.com,vn (x Chương3 Phương pháp toạ độ phẳng 74 => tiêu cự : (a) sai * có c = * có tiệm cận : y = ± x /2 : (b) sai 26(b) (H) : 2x2 – 8y2 = 16 Phương trình hai tiệm cận : x ± 2y = x − 4y2 x + 2y x − 2y Tích khoảng cách : = = 5 5 27(b) Ta có : c = 10 b = 2a Suy : a2 + b2 = 100 Ù 5a2 = 100 Ù a = Vậy độ dài trục thực ⎧ 25 16 ⎪⎧a = 17 ⎪ − =1 28(a) Ta có hệ : ⎨ a Ù ⎨ => ab = 17 b ⎩⎪b = 34 ⎪b2 = a2 ⎩ 29(d) Ta có : a = Phương trình tiệm cận : bx + 4y = Khoảng cách từ A1 đến tiệm cận : −4 b b + 16 = Ù 16b2 = 4b2 + 64 Ù b2 = 16/ Vậy độ dài trục ảo : 2b = ≈ 4, 30(b) Ta có : 2a = Ù a = Ngồi r a: 16 – = a2 + b2 = + b2 Ù b2 = ⎧ x y2 − = Tọa độ giao điểm (E) (H) : ⎩4 Vậy (H) : ⎨ ⎧ 16 ⎪⎪ x = ⎪⎧ x + y = 16 Ù ⎨ => x2 + y2 = ⎨ 2 ⎪⎩2 x − y = ⎪y2 = ⎪⎩ 2 Vậy giao điểm thuộc đường tròn tâm O , bán kính 2 www.saosangsong.com,vn [...]...Chương3 Phương pháp toạ độ phẳng 11 theo hệ phương trình 2 ẩn C Bài tập rèn luyện 3.12 : Cho đường thẳng d có hương trình tham số : x = 3 + 2t 5t ;y=2(1) 3 6 a) Tìm một VTCP của d có tọa độ ngun và một điểm của d Viết một phương trình tham số khác của d b) Tìm trên d một điểm A có hồnh độ gấp đơi tung độ c) Tìm trên d một điểm B cách gốc O một khoảng là 58 3 13 phương a) b) c) d) e)... : Viết phương trình phân giác , phân giác trong , ngồi www.saosangsong.com,vn Chương3 Phương pháp toạ độ phẳng 16 Ví dụ 1 : Cho tam giác ABC với AB : 3x – 4y + 6 = 0 AC : 5x + 12y – 25 = 0 , BC : y = 0 a) Viết phương trình các phân giác của góc B trong tam giác ABC b) Viết phương trình phân giác trong của góc A trong tam giác ABC Giải : a) AB cắt BC tại B(- 2 ; 0) , AC cắt BC tại C( 5 ; 0) Phương. .. phương trình các cạnh tam giác 3.15 Cho hình chữ nhật ABCD có AB : 2x – y – 1 = 0 , AD qua M(3 ; 1) và tâm I có tọa độ là ( - 1 ; ½ ) Viết phương trình các cạnh AD , BC và CD *3 16 Cho tam giác ABC có trung điểm M của AB có tọa độ (- ½ ; 0) , đường cao CH với H(- 1; 1) , đường cao BK với K(1 ; 3) và biết B có hồnh độ dương a) Viết phương trình AB b) Tìm tọa độ B, A và C 3.17 Chọn câu đúng : Phương. .. và phương trình cạnh AB b) Tìm tọa độ điểm D biết nó có hồnh độ dương * 3.34 Cho hình chữ nhật ABCD có tâm I(2 ; 2) , AB : x – 2y – 3 = 0 và AB = 2AD và yA > 0 a) Tìm tọa độ hình chiếu K của I lên AB b) Tìm tọa độ A và B * 3.35 Cho đường thẳng d : x + 2y – 4 = 0 và A(1 ; 4) , B(6 ; 4) a) Chứng minh A, B nằm một phía đối với d Tìm tọa độ A’ đối xứng của A qua d www.saosangsong.com,vn Chương3 Phương. .. Phương trình BC qua J : bx – ay – 5b – 3a = 0 Phương trình AD qua L : bx – ay – 2b – 4a = 0 Ta có : d(I, CD) = d(J, AD) | 4 b + 2a | a 2 + b2 Ù = Ù J | 3b − a | b2 + a 2 D b = - 3a hay a = - 7b ⎧a = 1 ⎧a = 7 hay ⎨ ⎩b = −3 ⎩b = −1 Chọn : ⎨ www.saosangsong.com,vn C Chương3 Phương pháp toạ độ phẳng 22 § 4 Đường tròn A Tóm tắt giáo khoa 1 .Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , phương trình đường tròn tâm I(h ; k) bán... tâm I thuộc d : x + y – 1 = 0 a) Tìm tọa độ I b) Viết phương trình AD và BC * 3.31 Cho tam giác đều có A( 3 ; - 5) và trọng tâm G (1 ; 1) a) Viết phương trình cạnh BC b) Viết phương trình cạnh AB và AC *3.32 Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có A(2 ; - 3) , B(3 ; - 2) , diện tích tam giác bằng 3/2 và trọng tâm G thuộc đường thẳng d : 3x – y – 8 = 0 Tìm tọa độ đỉnh C * 3.33 Cho hình thoi ABCD... 2 13 Vậy độ dài MN = 2MH = 2 = 26 2 Cần nhớ : Cho đường tròn (I , R) và đường thẳng Δ : • Δ tiếp xúc (I) Ù d(I, Δ) = R • Δ cắt (I) Ù d(I, Δ) < R www.saosangsong.com,vn A H I N d Chương3 Phương pháp toạ độ phẳng • 24 Δ ở ngỏai (I) Ù d(I, Δ) > R Dạng tốn 2 : Thiết lập phương trình đường tròn Có 2 cách để thiết lập phương trình đường tròn : 1 Tìm tọa độ (h ; k) của tâm và tính bán kính R , phương trình... k)2 = R2 • Phương trình đường tròn (O, R) là : x2 + y2 = R2 y 2 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , mọi phương trình có dạng : x2 + y2 + 2ax + 2by + c = 0 với a2 + b2 – c > 0 là phương trình đường tròn : • Tâm I(- a ; - b) • Bán kính R = I O x a +b −c 2 2 3 Tiếp tuyến với đường tròn (x – h)2 + (y – k)2 = R2 tại tiếp điểm T(x0 ; y0) là đường thẳng qua T và vng góc IT = ( x 0 − h; y 0 − k ) có phương trình... (1 ; 6) Suy ra phương trình ⎧x = t ⎩ y = 4 + 6t tham số : ⎨ 3.14 BC và BH cắt nhau tại B(2 ; 0) BC và CK cắt nhau tại C(1 ; - 2) Phương trình AB qua B và vuông góc CK là : 3(x – 2) – 1(y – 0) = 0 3.15 AD qua M và vuông góc AB có phương trình : 1.(x – 3) + 2(y – 1) = 0 Ù x + 2y – 5 = 0 Suy ra tọa độ A = AB ∩ AD = (7/5 ; 9/5) Suy ra toạ độ C, đối xứng của A qua I *3 16 a) Phương trình AB... 6y + 7 = 0 a) Điểm M(- 1; 1) ở trong hay ở ngòai đường tròn Lập phương trình dây cung qua M và có độ dài ngắn nhất b) Lâp phương trình đường thẳng qua O và cắt (C) theo một dây cung có độ dài là 2 3 43 Lập phương trình đường tròn : a) có tâm I(3 ; - 2) , bán kính 2 b) có tâm I(2 ; - 4) và qua gốc tọa độ c) có tâm I(1 ; - 2) và tiếp xúc đường thẳng x – y 0 * 3 44 Lập phương trình đường tròn : a) qua