Lập phương trình đường thẳng đi qua hai điểm D,G với D là chân đường phân giác trong góc A và G là trọng tâm của ∆ABC... Nguyễn Phú Khánh.[r]
(1)Nguyễn Phú Khánh Dạng Đường thẳng Viết phương trình đường thẳng • Để viết phương trình tổng quát đường thẳng ∆ ta cần xác định - Điểm A ( x0 ; y ) ∈ ∆ Một vectơ pháp tuyến n ( a; b ) ∆ Khi đó phương trình tổng quát ∆ là a ( x − x0 ) + b ( y − y0 ) = • Để viết phương trình tham số đường thẳng ∆ ta cần xác định - Điểm A ( x0 ; y0 ) ∈ ∆ Một vectơ phương u ( a; b ) ∆ x = x0 + at Khi đó phương trình tham số ∆ là , t∈ y = y0 + bt • Để viết phương trình chính tắc đường thẳng ∆ ta cần xác định - Điểm A ( x0 ; y ) ∈ ∆ Một vectơ phương u ( a; b ) ,ab ≠ ∆ Phương trình chính tắc đường thẳng ∆ là x − x0 a = y − y0 b Chú ý: o Nếu hai đường thẳng song song với thì chúng có cùng VTCP và VTPT o Hai đường thẳng vuông góc với thì VTCP đường thẳng này là VTPT đường thẳng và ngược lại o Phương trình đường thẳng ∆ qua điểm M ( x0 ; y0 ) có dạng ∆ : a ( x − x ) + b ( y − y ) = với a + b2 > o Phương trình đường thẳng qua A ( a; ) , B ( 0; b ) với ab ≠ có dạng Xét vị trí tương đối hai đường thẳng Để xét vị trí tương đối hai đường thẳng d1 : a1x + b1 y + c1 = 0; d2 : a x + b y + c = a x + b1 y + c1 = Ta xét hệ a x + b y + c = (I) + Hệ ( I ) vô nghiệm suy d1 d 528 Lop12.net x y + =1 a b (2) Nguyễn Phú Khánh + Hệ ( I ) vô số nghiệm suy d1 ≡ d + Hệ ( I ) có nghiệm suy d1 và d cắt và nghiệm hệ là tọa độ giao điểm Chú ý: Với trường hợp a b2 c2 ≠ đó: + Nếu a1 a thì hai đường thẳng cắt ≠ b1 b + Nếu a a c1 = ≠ b1 b c thì hai đường thẳng song song + Nếu a a c1 = = b1 b c thì hai đường thẳng trùng Ví dụ 1 Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, cho các đường thẳng d1 : x + y + = 0, d2 : x − y − = 0, d3 : x − 2y = Tìm tọa độ điểm M nằm trên đường thẳng d3 cho khoảng cách từ M đến đường thẳng d1 hai lần khoảng cách từ M đến đường thẳng d2 Trong mặt phẳng Oxy, cho hai đường thẳng d1 : 3x + y + = , d : 3x + y + = và điểm I ( 1; −2 ) Viết phương trình đường thẳng qua I và cắt d1 , d A và B cho AB = 2 Trong mặt phẳng Oxy, tìm toạ độ các đỉnh tam giác vuông cân, biết đỉnh C ( 3; −1) và phương trình cạnh huyền là 3x − y + = Lời giải Ta có M ∈ d3 ⇒ M ( 2m;m ) Suy d ( M,d1 ) = Theo giả thiết ta có: d ( M,d1 ) = 2d ( M,d2 ) ⇔ 3m + 3m + = , d ( M,d2 ) = m−4 m−4 3m + = 2m − ⇔ ⇔ m = −11 m = 3m + = −2m + • Với m = −11 ⇒ M ( −22; −11) • Với m = ⇒ M ( 2;1) 529 Lop12.net (3) Nguyễn Phú Khánh A ∈ d1 ⇒ A ( a; −3a − ) , B ∈ d ⇒ B ( b; −3b − 1) IA = ( a − 1; −3a − ) ≠ 0, IB = ( b − 1; −3b + 1) b − = k ( a − 1) I, A, B thẳng hàng ⇒ IB = kIA ⇔ −3b + = k ( −3a − ) Nếu a = ⇒ b = ⇒ AB = (không thỏa mãn) Nếu −3b + = AB = ( b − a) b−1 ( −3a − ) ⇔ a = 3b − a −1 + ( a − b ) + = 2 ⇔ t + ( 3t + ) = 8, với t = b − a 2 ⇔ 5t + 12t + = ⇔ t = −2 t = − Với t = −2 ⇒ b − a = −2 ⇒ b = 2,a = ⇒ ∆ : 5x + y − = 2 Với t = − ⇒ b − a = − ⇒ b = ,a = ⇒ ∆ : 13x + y − 11 = 5 5 Gọi hai đỉnh còn lại là A, B Toạ độ điểm C không thoả mãn phương trình cạnh huyền nên tam giác ABC vuông cân C Gọi I là hình chiếu vuông góc C lên cạnh huyền ( I là trung điểm AB ) x−3 y+1 Phương trình đường thẳng CI là = ⇔ x + 3y = −1 x + 3y = 1 Toạ độ điểm I là nghiệm hệ: ⇒ I− ; 3x − y + = 5 A, B nằm trên đường tròn tâm I , bán kính CI = 72 có phương trình: 3 1 72 x + + y − = 5 5 3x − y + = 2 Toạ độ hai điểm A, B là nghiệm hệ: 3 1 72 x + + y − = 5 5 19 17 Giải hệ ta ( x; y ) = ; , − ; − 5 19 17 Vậy, toạ độ hai đỉnh cần tìm là : ( x; y ) = ; , − ; − 5 Ví dụ Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, cho tam giác ABC 530 Lop12.net (4) Nguyễn Phú Khánh Xác định tọa độ đỉnh C , biết H ( −1; −1) hình chiếu vuông góc C trên đường thẳng AB , đường phân giác góc A có phương trình x − y + = và đường cao kẻ từ B có phương trình 4x + 3y − = Xác định tọa độ đỉnh B,C Phương trình đường trung trực d cạnh BC , đường trung tuyến CC' là x + y − = và 2x − y + = Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC cân C có phương trình cạnh AB là 9 x − 2y = , điểm I ( 4; ) là trung điểm AB , điểm M 4; thuộc cạnh BC , diện 2 tích tam giác ABC 10 Tìm tọa độ các đỉnh tam giác ABC biết tung độ điểm B lớn Lời giải Kí hiệu d1 : x − y + = 0, d2 : 4x + 3y − = Gọi H' là điểm đối xứng với H qua d1 Khi đó H' ∈ AC ∆ là đường thẳng qua H và vuông góc với d1 , nên có: ∆ : x + y + = x + y + = Gọi I là giao điểm d1 và ∆ nên tọa+ độ I thỏa: ⇒ I ( −2;0) x − y + = Vì I là trung điểm HH' nên H'( −3;1 ) Đường thẳng AC qua H' và vuông góc với d2 nên có phương trình : 3x − 4y + 13 = x − y + = ⇒ A (5;7 ) AC cắt d1 A Tọa độ A là nghiệm hệ: 3x − 4y + 13 = Do CH qua H và vuông với AH , suy phương trình CH :3x + 4y + = 3x + 4y + = 10 Tọa độ điểm C là nghiệm hệ : ⇒ C − ; 4 3x − 4y + 13 = Gọi C ( c;2c + 3) ∈ CC' Khi đó: phương trình BC : x − y + c + = 531 Lop12.net (5) Nguyễn Phú Khánh Gọi M là trung điểm BC, suy A 3−c x = x + y − = ⇔ M: x − y + c + = y = c + C' c ⇒ B (3 − 2c;6 − c ) ⇒ C' − c;4 − c Vì C' ∈ CC' nên 2( − c ) − − + = 2 14 ⇔ − c+7 =0⇒ c = 19 Vậy, B − ; , 3 B M C 14 37 C ; là tọa độ cần tìm 3 Gọi tọa độ điểm B ( 2y B ; y B ) , y B ≥ ⇒ A ( − 2y B ; − y B ) ⇒ AB = 20 y B − Gọi tọa độ điểm C ( xC ;10 − 2xC ) ⇒ CI = − xC Diện tích tam giác ABC là : S ABC = CI.AB = 10 ⇔ 4y B + 2xC − xC y B − = 2 ⇔ x C y B − 4y B − 2xC = −6 ( 1) x C y B −+4y B − 2xC = −10 ( ) − xC = k ( 2y B − ) Vì M ∈ BC ⇒ CM = kMB ⇔ 11 9 − + 2xC = k y B − 2 ⇒ 2xC y B − 6y B − 5xC + 16 = ( ) x y − 4y B − 2xC = −6 y = −1 − Từ ( 1) và ( ) : C B không thỏa y B ≥ ⇒ B 2xC y B − 6y B − 5xC + 16 = y B = −1 + x y − 4y B − 2xC = −10 y = Từ ( ) và ( ) : C B ⇔ B 2xC y B − 6y B − 5xC + 16 = xC = Vậy, tọa độ các đỉnh tam giác ABC là: A ( 2;1) , B ( 6; ) , C ( 2; ) Ví dụ Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, cho ∆ABC , biết: A ( −2;1) , B ( 2; ) , C ( 1; −5 ) Lập phương trình đường thẳng qua hai điểm D,G với D là chân đường phân giác góc A và G là trọng tâm ∆ABC 532 Lop12.net (6) Nguyễn Phú Khánh A ( 4; −1) , đường cao kẻ từ B có phương trình ∆ : 2x − 3y = , trung tuyến qua đỉnh C có phương trình ∆ ' : 2x + 3y = Lập phương trình các cạnh ∆ABC Lời giải Gọi D ( x D ; y D ) là chân đường phân giác hạ từ A ∆ABC Ta có AB = ( −2 − )2 + ( − 1)2 = , AC = (1 + )2 + ( −5 − 1)2 = AB x D − = ( − x D ) x = 8 1 Do đó BD = DC = DC ⇔ ⇔ ⇒ D ; − − AC 5 y − = ( −5 − y ) y = D D 1 1 G ; − là trọng tâm ∆ABC 3 3 19 Ta có DG − ; − suy đường thẳng DG nhận u ( 19; ) làm VTCP nên có 15 15 x = + 19t phương trình là y = − + 2t + Ta có AC qua A ( 4; −1) và vuông góc với ∆ nên nhận u ( 3; ) làm VTPT nên có phương trình là ( x − ) + ( y + 1) = hay 3x + 2y − 10 = 3x + 2y − 10 = x = Suy toạ độ C là nghiệm hệ : ⇔ ⇒ C ( 6; −4 ) 2x + 3y = y = −4 x + yB − Giả sử B ( x B ; y B ) suy trung điểm I B ; AB thuộc đường thẳng ∆ ' đó : xB + y −1 + B = hay 2x B + 3y B + = ( 1) 2 Mặt khác B ∈ ∆ suy 2x B − 3y B = ( 2) 5 Từ ( 1) và ( ) suy B − ; − 6 21 31 19 Ta có AB − ; , BC − ; 6 533 Lop12.net (7) Nguyễn Phú Khánh 21 31 x = − t x = − t ' Phương trình đường thẳng AB : , BC : y = −1 + t y = −4 + 19 t ' 6 Ví dụ Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có 1 tâm I ;0 Phương trình đường thẳng AB ;à : x − 2y + = và AB = 2AD Tìm tọa độ 2 các đỉnh A,B,C,D ; biết A có hoành độ âm Lời giải Cách 1: • Dựng IH ⊥ AB ⇒ AD = 2IH ⇒ AH = 2HI = 2d ( I;AB ) = • Xét tam giác vuông AIH : AI2 = AH2 + HI2 = • Gọi A ( a;b ) , a < thì b = 25 a +2 Do A ∈ AB 2 a + 25 Nên IA2 = a − + = ⇒ a = −+2 ⇒ A ( −2;0) 2 Tương tự B ( 2;2) Dựa vào tính chất trung điểm tìm C (3;0 ) ,D( −1; −2) Cách 2: x +2 x = +1 2 a b Gọi A a; + , B b; + , a < 0, a ≠ b I là trung điểm AC và BD nên 2 a b C − a; − − , D − b; − − AC = BD a = −b a = −2 Từ tính chất hình chữ nhật : ⇒ ⇒ AB = 2AD a2 = b = ⇒ A ( −2;0) , B ( 2;2) , C (3;0 ) , D ( −1; −2) ( AB) : x − 2y + = ⇒ y = Cách 3: Khoảng cách từ I đến AB là IH = d ( I;AB ) = 534 Lop12.net ⇒ AD = 2IH = (8) Nguyễn Phú Khánh Và IA = IB = ⇒ A,B là các giao điểm đường thẳng AB với đường tròn tâm I và x − 2y + = 2 bán kính R = Tọa độ A,B là nghiệm hệ 1 5 x − + y = 2 2 x = −2 ⇒ A ( −2;0 ) , B ( 2;2) , C (3;0 ) , D ( −1; −2) là tọa độ cần tìm ⇔ y = Ví dụ Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, cho hình vuông ABCD , có 5 5 tâm I ; , phương trình cạnh AB là : 4x + 3y − = Tìm tọa độ các đỉnh A,B,C,D 2 2 biết C có hoành độ dương Lời giải 5 5 x + ⇒ A a; − a + , B b; − b + 3 3 3 10 10 Do I là giao điểm đường chéo ⇒ C − a; a + , D − b; b + 3 3 + BI.AC = BI ⊥ AC Theo tính chất hình vuông : ⇔ 2 (I) BI = AC BI = AC 5 5 Mà BI = − b; b + ;AC = − 2a; a + 3 ( AB) : 4x + 3y − = ⇒ y = − ( a − b)2 = 25 a = b = −1 Từ ( I) ⇔ ⇒ ⇒ 2 a = 10 b = 50b − 50b + 125 = 2a − 2a + ( ) A ( 2; −1 ) ,B ( −1;3) ,C (3;6 ) ,D( 6;2) Vậy, 35 23 50 38 A 10; − ,B 7; − ,C −5; ,D −2; Mà xC > ⇒ A ( 2; −1 ) ,B( −1;3) ,C (3;6 ) ,D( 6;2) là tọa độ cần tìm Ví dụ Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, cho ∆ABC vuông A , phương trình đường thẳng BC là : 3x − y − = , các đỉnh A và B thuộc trục hoành và bán kính đường tròn nội tiếp Tìm tọa độ trọng tâm G ∆ABC 535 Lop12.net (9) Nguyễn Phú Khánh Lời giải Cách : Vì B = ( BC ) ∩ Ox nên B (1;0 ) ( BC ) : y = = 3x − ⇒ hệ số góc ( BC ) là k = tanB = 600 ⇒ C = 300 hay B ( ) Giả sử A ( a;0) ,C a; 3a − ∈ ( BC ) ( ) A B Khi đó : AB = r cot + cot hay a − = + 2 A + 3;0 TH1: a − = + ⇒ a = + ⇒ C + 3;6 + 7+ 6+2 Khi đó G ; A −2 − 1;0 TH2: a − = −2 + ⇒ a = −2 − ⇒ C −2 − 1; −6 − −1 − −6 − Khi đó G' = ; 3 Cách : Phương trình đường ( d1 ) phân giác góc A là : y = −x + a ( ( ( ) ( ) ) ) ( ( ) ) Phương trình đường ( d2 ) phân giác góc B là : y = 3 x− 3 + 3a a − ; Tọa độ tâm I1 là giao điểm ( d1 ) , ( d2 ) nên I 1+ 1+ Theo giả thiết : d ( I;AB ) = d ( I;Ox ) = ⇒ tìm a ⇒ ycbt ( Cách ) Cách 3: ta có AB = a − , AC = a − ,BC = a − S = AB.AC = ( a − 1)2 S a −1 2 = 2⇒ a −1 = +1 ⇒r = = P +1 a −1 + a −1 P= 7+4 6+ * a = + ⇒ G ; −4 − −6 − * a = −2 − ⇒ G ; 3 Cách : Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp ∆ABC vì r = ⇒ y = ±2 ( 536 Lop12.net ) (10) Nguyễn Phú Khánh Phương trình BI : y = tan300 ( x − ) = x −1 ⇔ ±2 = x −1 ⇒ x =1±2 * Nếu A và O khác phía B ⇒ x = + và d ( I;AC ) = ⇒ a = x + 7+4 6+ ⇒ G ; * Nếu A và O cùng phía B ⇒ x = − ⇒ a = x − Ví dụ Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy Cho ∆ABC với AB = , đỉnh C ( −1; −1) , đường thẳng ( AB ) : x + 2y − = và trọng tâm G ∆ABC thuộc đường thẳng x + y − = Xác định tọa độ A, B tam giác Cho hình chữ nhật ABCD có phương trình cạnh AB : x − 2y − = , đường chéo BD : x − 7y + 14 = và đường chéo AC qua điểm E ( 2;1) Tìm tọa độ các đỉnh hình chữ nhật Lời giải Gọi I là trung điểm AB , G ( xG ; y G ) là +tọa độ trọng tâm ∆ABC 2x − xG = ⇒ CG = CI ⇔ y = 2y − G G ∈ x + y − = nên có: 2x − 2y − + −2=0 3 x + 2y − = Tọa độ điểm I thỏa mãn hệ: 2x − 2y − ⇒ I ( 5; −1) + −2=0 2 AB Gọi A ( x A ; y A ) ⇒ IA = ( x A − ) + ( y A + 1) = = Hơn A ∈ x + 2y − = suy tọa độ điểm A là nghiệm hệ: x A + 2y A − = x = xA = A ⇔ 2 x − + y + = y = − ( ) ( ) A A yA = − A 537 Lop12.net (11) Nguyễn Phú Khánh 1 3 Vậy, A 4, − , B 6; − ngược lại là tọa độ cần tìm 2 2 B = AB ∩ BD ⇒ toạ độ điểm B là nghiệm hệ: x − 2y − = x = ⇔ ⇒ B = ( 7; ) x − 7y + 14 = y = Giả sử: A = ( 2a + 1; a ) ∈ AB : − 2y − = 0, D ( 7d − 14; d ) ∈ BD : x − 7y + 14 = ⇒ AB = ( − 2a; − a ) , BD = ( 7d − 21; d − ) , AD = ( 7d − 2a − 15; d − a ) Vì AB ⊥ AD ⇒ AB.AD = ⇔ ( − a )( 15d − 5a − 30 ) = ⇔ a = ( không thỏa ) 3d − a − = ⇒ a = 3d − ⇒ AD = ( d − 3; − 2d ) Hơn nữa: BC = ( xC − 7; yC − ) ABCD là hình chữ nhật nên d − = x − x = d + C AD = BC ⇒ C ⇒ C = ( d + 4; − 2d ) 6 − 2d = yC − yC = − 2d ⇒ EA = ( 6d − 13; 3d − ) , EC = ( d + 2; − 2d ) và d ≠ Lại có: E ( 2;1) ∈ AC ⇒ EA, EC cùng phương + ⇔ ( 6d − 13 )( − 2d ) = ( d + )( 3d − ) ⇔ d − 5d + = ⇔ d = ⇒ a = ⇒ A ( 1; ) , B ( 7; ) , C ( 6; ) , D ( 0; ) Vậy, A ( 1; ) , B ( 7; ) , C ( 6; ) , D ( 0; ) là các đỉnh hình chữ nhật cần tìm Ví dụ Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, cho hai đường thẳng d1 : x + y − = 0, d2 :3x − y + = Tìm tọa độ các đỉnh hình bình hành ABCD , biết I (3;3) là giao điểm hai đường chéo, hai cạnh hình bình hành nằm trên hai đường thẳng d1 ,d2 và giao điểm hai đường thẳng đó là đỉnh hình bình hành Lời giải x + y − = x = −1 Tọa độ giao điểm d1 và d2 là nghiệm hệ: ⇔ 3x − y + = y = Ta giả sử A ( −1;2) và AB ≡ d1 ,AD ≡ d2 , suy C (7;4 ) 538 Lop12.net (12) Nguyễn Phú Khánh Gọi d là đường thẳng qua I và d2 song song với AB , suy phương D trình d : x + y − = Tọa độ giao điểm d và AD : C d1 I A x = x + y − = 23 ⇔ ⇒ M ; 4 3x − y + = y = 23 19 9 7 M là trung điểm AD Khi đó D ; , suy B ; − 2 2 2 B Ví dụ Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy Cho hình chữ nhật ABCD có cạnh AB : x − 3y + = 0, đường chéo BD : x − y − = và đường chéo AC qua điểm M ( −9; ) Tìm tọa độ các đỉnh hình chữ nhật ABCD Cho đường thẳng d1 :x − 3y = 0, d :2x + y − = 0, d : x − y = Tìm tọa độ các điểm A ∈ d1 , B ∈ d , C, D ∈ d để tứ giác ABCD là hình vuông + Lời giải x − 3y + = x = Tọa độ điểm B là nghiệm hệ phương trình: ⇔ ⇒ B ( 4; ) x − y − = y = Gọi A ( −5 + 3a;a ) ∈ AB ⇒ MA = ( + 3a; −2 + a ) ⇒ n AC = ( − a; + 3a ) Ta có: n AB = ( 1; −3 ) , n BD = ( 1; −1) , n AC = ( − a; + 3a ) là vectơ pháp = BAC ⇒ cos ABD = cos BAC tuyến AB, BD, AC Hơn ABD = Mà cos ABD 10 a + = , cos BAC 10 a + Nên có : 10 ( − a )2 + ( + 3a )2 10 ( − a ) + ( + 3a ) 2 = , bình phương vế, rút gọn ta phương trình : a + 2a − = ⇔ a = −3 a = ∗ Với a = −3 không thỏa vì AC BD 539 Lop12.net (13) Nguyễn Phú Khánh ∗ Với a = ⇒ A ( −2;1) Đường thẳng AD qua A và vuông góc với AB nên có phương trình : 3x + y + = x − y − = x = −1 Tọa độ điểm D là nghiệm hệ : ⇔ ⇒ D ( −1; −2 ) 3x + y + = y = −2 3 1 Gọi I ; là trung điểm BD đó I là trung điểm AC ⇒ C ( 5; ) 2 2 Vậy, A ( −2;1) , B ( 4; ) , C ( 5; ) , D ( −1; −2 ) là tọa độ cần tìm Gọi B ( b; − 2b ) ∈ d Đường thẳng ∆1 qua B và vuông góc d cắt d C Phương trình ∆1 : x + y + b − = x − y = 5−b 5−b Tọa độ C là nghiệm hệ ⇒ C ; x + y + b − = Đường thẳng AB d nên có phương trình x − y + − 3b = x − y + − 3b = 9b − 15 3b − Tọa độ A là nghiệm hệ ⇒ A ; x − 3y = Đường thẳng ∆ qua A và vuông góc d cắt d D Phương trình ∆1 : x + y − 6b + 10 = x − y += Tọa độ D là nghiệm hệ ⇒ D ( 3b − 5; 3b − ) x + y − 6b + 10 = ABCD là hình vuông ⇔ AD = CD ⇔ 2b2 − 9b + 10 = ⇔ b = b = 3 1 3 3 b = ⇒ A ; , B ( 2;1) , C ; , D ( 1;1) 2 2 2 b= 15 5 5 5 ⇒ A ; , B ; , C ; , D ; 4 4 2 2 Ví dụ 10 Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy Cho đường thẳng ( d ) : x + 2y − = 0, ( d' ) : 3x + y − = M (1; ) , đồng thời cắt cắt I Viết phương trình đường thẳng qua đường thẳng ( d ) và ( d' ) A và B cho AI = 2AB Cho các điểm A ( 1; ) , B ( −2; ) ,C ( −1; ) , D ( 3; ) và đường thẳng d : 3x − y − = Tìm điểm M trên ( d ) cho hai tam giác MAB, MCD có diện tích 540 Lop12.net (14) Nguyễn Phú Khánh Lời giải Tọa độ điểm I là nghiệm hệ phương trình: x + 2y − = x = −3 ⇔ ⇒ I ( −3; ) y = 3x + y − = Lấy H ( 1; ) ∈ ( d ) và K ∈ ( d' ) ⇒ K ( a; −7 − 3a ) cho IH = 2KH Ta có, HI = ( −4; ) và HK = ( −1 + a; −7 − 3a ) 2 Mà IH = 2KH ⇔ IH = KH2 ⇔ 20 = ( a − 1) + ( + 3a ) ⇒ a = −2 AI = 2AB IH HK Ta có: ⇒ = ⇒ HK AB AI AB IH = 2KH Vậy, đường thẳng cần tìm là đường thẳng qua M và có vectơ phương là x−1 y −2 KH = ( 3;1) có phương trình: = M ( x; y ) ∈ d ⇔ 3x − y − = AB = 5,CD = 17 Ta có: AB ( −3; ) ⇒ n AB ( 4; ) ⇒ phương trình đường thẳng AB : 4x + 3y − = CD ( 4;1) ⇒ nCD ( 1; −4 ) ⇒ phương trình+đường thẳng CD : x − 4y + 17 = S MAB = S MCD ⇔ AB.d ( M, AB ) = CD.d ( M,CD ) ⇔ ⋅ 4x + 3y − = 17 ⋅ x − 4y + 17 17 ⇔ 4x + 3y − = x − 4y + 17 Tọa độ M cần tìm là nghiệm hệ: 3x − y − = 7 3x − y − = 3x + 7y − 21 = ⇔ ⇒ M1 ; ,M ( −9; −32 ) 3x − y − = 3 4x + 3y − = x − 4y + 17 5x − y + 13 = Ví dụ 11 Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy Cho tam giác ABC có diện tích 96 Gọi M ( 2; ) là trung điểm AB, phân giác góc A có phương trình: ( d ) : x − y − 10 = Đường thẳng AB 541 Lop12.net (15) Nguyễn Phú Khánh tạo với ( d ) góc ϕ thỏa mãn cos ϕ = Xác định các đỉnh tam giác ABC Cho điểm A ( 1;1) , B ( 3; ) , C ( 7;10 ) Viết phương trình đường thẳng ∆ qua A cho tổng các khoảng cách từ B và C tới đường thẳng ∆ lớn Lời giải M' đối xứng với M ( 2; ) qua ( d ) : x − y − 10 = ⇒ M' ( 10; −8 ) Đường thẳng qua M ( 2; ) với vectơ pháp tuyến n ( a; b ) có phương trình: a ( x − ) + by = tạo với ( d ) : x − y − 10 = góc ϕ ⇒ a−b a +b = cos ϕ = a = 7b ⇔ b = 7a ∗ Với a = 7b ⇒ ( AB ) : 7x + y − 14 = AB cắt d A ⇒ A ( 3; −7 ) và B đối xứng A qua M ⇒ B (1; ) ⇒ AB = 10 ⇒ S ∆AM ' B = ⇒ C ( 17; −9 ) 1 AB.d M', AB = 48 = S ∆ABC ⇒ AC = 2AM ' 2 + ∗ Với b = 7a ⇒ ( AB ) : x + 7y − = AB cắt d A ⇒ A ( 9; −1) và B đối xứng A qua M ⇒ B ( −5;1) ⇒ AB = 10 ⇒ S ∆AM ' B = 1 AB.d M', AB = 48 = S ∆ABC ⇒ AC = 2AM ' 2 ⇒ C ( 11; −15 ) Vậy, A ( 3; −7 ) , B (1; ) , C ( 17; −9 ) A ( 9; −1) , B ( −5;1) ,C ( 11; −15 ) là tọa độ cần tìm ∗ Nếu đường thẳng ∆ cắt đoạn BC điểm M Khi đó: d B, ∆ + d C, ∆ ≤ BM + CM = BC Đẳng thức xảy đường thẳng ∆ vuông góc với BC ∗ Nếu đường thẳng ∆ không cắt đoạn BC Gọi I ( 5; ) là trung điểm BC Ta có: d B, ∆ + d C, ∆ ≤ 2d I, ∆ ≤ 2AI Đẳng thức xảy đường thẳng ∆ vuông góc với AI 542 Lop12.net (16) Nguyễn Phú Khánh Vì ∆ABC nhọn nên 2AI > BC , đó d B, ∆ + d C, ∆ lớn và đường thẳng ∆ qua A và có vectơ pháp tuyến AI = ( 4; ) Đường thẳng cần tìm: ( x − 1) + ( y − 1) = hay 4x + 5y − = Ví dụ 12 Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, cho đường thẳng ∆ : x − 2y − = và hai điểm A (3;2) , B ( −1;4 ) Tìm điểm M thuộc đường thẳng ∆ cho MA + MB nhỏ Viết phương trình đường thẳng d' cho đường thẳng d :3x + 4y + = là đường phân giác góc tạo hai đường thẳng d và d' Lời giải Nhận thấy A và B nằm phía so với đường thẳng ∆ Gọi A' là điểm đối xứng với A qua ∆ Khi đó với điểm M thuộc ∆ , luôn có: MA = MA' Do đó: MA + MB = A'M + MB ≥ A'B Đẳng thức xảy và M = A'B ∩ ∆ Vì A'A ⊥ ∆ nên AA' có phương trình: 2x + y − = 2x + y − = Gọi H = ∆ ∩ AA' ⇒ H : x − 2y − = B + A 19 x = 19 ⇔ ⇒ H ; 5 y = ∆ M M A' Vì H là trung điểm AA' nên 23 x A' = 2xH − x A = 23 ⇒ A' ; − 5 y = 2y − y = − H A A' 28 26 Suy A'B = − ; , đó phương trình A'B : 13x + 14y − 43 = 5 16 x= x − 2y − = Tọa độ M thỏa hệ phương trình: ⇔ 13x + 14y − 43 = y = 10 543 Lop12.net (17) Nguyễn Phú Khánh 16 ⇒ M ; 10 Gọi I là giao điểm ∆ và d nên tọa độ điểm I thỏa hệ phương trình : x − 2y − = x = ⇔ ⇒ I (1; −1 ) 3x + 4y + = y = −1 Vì d là phân giác góc hợp hai đường thẳng ∆ và d' nên d và d' đối xứng qua d , đó I ∈ d' 16 Lấy E (3;0) ∈ ∆ , tìm F ; − là điểm đối xứng với E qua d và F ∈ d' 5 11 Suy FI = ; , đó phương trình d':11x − 2y − 13 = 5 Ví dụ 13 Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, cho tam giác ABC M ( −1; −1) , N ( 0; ) là trung điểm AB, AC và D ( 1; ) là chân đường phân giác góc A Tìm tọa độ các đỉnh tam giác 5 M ( 1; ) , N ( −1; ) là trung điểm BC,CA và H ; − là trực tâm tam giác 3 + ABC D ( 2; −1) ,E ( 2; ) ,F ( −2; ) là chân đường cao hạ từ A, B,C Xác định tọa độ các đỉnh tam giác ABC Lời giải Gọi A ( a; b ) ⇒ B ( −2 − a; −2 − b ) ,C ( −a; − b ) Suy BD = ( a + 3; b + ) , CD = ( a + 1; b − ) a+3 b+2 ⇔ 3a − b + = ⇒ b = 3a + (1 ) = a+1 b−4 Mặt khác D là chân đường phân giác góc A nên AD, AB = AD, AC Vì B,C, D thẳng hàng nên ( AD.AB AD.AC ⇔ cos AD, AB = cos AD, AC ⇔ = AB AC ( ) ( ) 544 Lop12.net ( ∗) ) ( ) (18) Nguyễn Phú Khánh Mà AD = ( − a; − b ) , AB = ( −2a − 2; −2b − ) , AC = ( −2a; − 2b ) Nên ( ∗) ⇔ ( a − 1)( a + 1) + b ( b + 1) = ( a − 1) a + ( b − ) b ( ) 2 a2 + ( b − 2) ( a + 1) + ( b + 1) Thay (1 ) vào ( 2) ta có: 2a + 9a + 11 ⇔ 2a + 10a + 13 ( ) ( 2a ( a + 1) + ( 3a + ) 2 = a − a + ( 3a + )( 3a + ) a + ( 3a + ) 2a + 7a + 2a + 6a + ) ( + 12a + = ⇔ ( a + ) ( a ⇔ 2a + 9a + 11 ⇔ a + 6a = a − + ( 3a + )( 3a + ) + 6a + − 2a + 7a + ) ( 2a 2 ) + 10a + 13 = ) + 4a + = ⇔ a = −2, b = Vậy, A ( −2;1) , B ( 0; −3 ) ,C ( 2; ) Gợi ý cách khác: Gọi M' là điểm đối xứng M qua AD và AC ≡ M' N Gọi N' là điểm đối xứng N qua AD và AB ≡ MN' + Gọi C ( x; y ) ⇒ B ( − x; − y ) , A ( −2 − x; − y ) AH.BC = 5 Vì H ; − là trực tâm tam giác ABC nên 3 CH.MN = ( ∗) 23 Mà AH = + x; − + y , BC = ( 2x − 2; 2y − ) , 3 CH = − x; − − y , MN = ( −2; −1) 3 23 + x 2x − + − + y ( 2y − ) = Nên ( ∗) ⇔ 2 x − + y + = ( 2) 3 ( ) ⇔ 2x + y + = ⇒ y = −1 − 2x ( 1) thay vào ( 1) ta : 545 Lop12.net (19) Nguyễn Phú Khánh 7 26 + x ( 2x − ) + + 2x ( 10 + 4x ) = ⇔ 15x + 86x + 123 = 3 ⇔ x = −3 x = − 41 15 • x = −3 ⇒ y = ⇒ A ( 1;1) , B ( 5; ) , C ( −3; ) • x=− 41 67 11 23 71 53 41 76 ⇒y= ⇒ A ; , B ; , C − ; 15 15 15 15 15 15 15 15 Gọi H ( a; b ) là trực tâm tam giác ABC Ta có tứ giác BDHF, CDHE, BCEF là các tứ giác nội tiếp nên suy = HBF; HDE = HCE; HBF = HCE ⇒ HDF = HDE ⇒ AH là phân giác HDF góc EDF Tương tự, ta có BH là phân giác A Suy H là tâm đường góc DEF tròn nội tiếp tam giác DEF EH.EF EH.ED = + Ta có : EF ED , giải hệ này ta FH.FE FH.FD EF = FD F H E B tìm a = 1, b = hay H (1;1) D C Suy HD = ( 1; −2 ) nên phương trình BC : x − 2y − = HE = ( 1;1) nên phương trình AC : x + y − = HF = ( −3;1) nên phương trình AB : 3x − y + = 3x − y + = x = −1 Vì A = AB ∩ AC ⇒ A : ⇔ ⇒ A ( −1; ) x + y − = y = Tương tự, ta tìm B ( −4; −4 ) ,C ( 4; ) Ví dụ 14 Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, cho điểm A ( 3; ) , các 546 Lop12.net (20) Nguyễn Phú Khánh đường thẳng d1 : x + y − = và: d : x + y − = Tìm tọa độ điểm B ∈ d1 , và C ∈ d cho tam giác ABC vuông cân A Lời giải Vì B ∈ d1 : x + y − = nên B ( b; − b ) , C ∈ d : x + y − = nên C ( c; − c ) 2 AB = AC AB = AC Tam giác ABC vuông cân A và ⇔ AB ⊥ AC AB.AC = 2 2 ( b − ) + ( b − 1) = ( c − ) + ( c − ) Hay ( b − )( c − ) + ( b − 1)( c − ) = u + u + 2 = v − + v − ( ) ( ) ( ) Đặt u = b − 3, v = c − , ta có: u ( v − 1) + ( u + )( v − ) = 3u + 3u + v = u + u + = v − + v = u + ( ) ( ) ⇔ ⇔ ⇔ +3 ( u + 1) = ( u + 1)2 = uv − 3u + v − = + u ( ) u = u = −3 ⇔ v = v = + Vậy có hai cặp điểm thỏa yêu cầu bài toán là: B ( 4; −1) ,C ( 6; ) B ( 0; ) ,C ( 4; ) Chú ý: Ngoài cách trên, ta có thể giải theo cách khác sau: Tịnh tiến hệ trục tọa độ Oxy hệ tục XAY theo véc tơ OA , ta có công thức dời x = X + trục: y = Y + Trong hệ trục mới, ta có phương trình d1 : X + Y + = 0, d : X + Y − = Vì tam giác ABC vuông cân A nên phép quay Q (A,±900 ) Mà B ∈ d1 ⇒ C ∈ d'1 = Q (A; ±900 ) • Xét phép quay Q (A;900 ) :B→C (d1 ) , đó C ≡ d ∩ d'1 , ta có phương trình d'1 : X − Y − = X − Y − = X = x = Do đó tọa độ C là nghiệm hệ: ⇔ ⇒ X + Y − = Y = y = • Xét phép quay Q (A; −900 ) , ta có phương trình d'1 : X − Y + = 547 Lop12.net (21)