Viết phương trình các cạnh của tam giác, biết bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC bằng 3 ... Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, a.[r]
(1)Nguyễn Phú Khánh Bài tập tự luyện Bài tập Viết phương trình đường tròn ( C ) , biết: a Đi qua A (3; ) và các hình chiếu A lên các trục tọa độ b Có tâm nằm trên đường tròn ( C1 ) : ( x − ) + y = và tiếp xúc với hai đường thẳng ∆1 : x − y = và ∆ : x − 7y = c Đi qua các điểm H, M, N Biết A ( 0; ) , B ( −2; −2 ) , C ( 4; −2 ) và H là chân đường cao kẻ từ B, M, N là trung điểm AB, AC d Tiếp xúc với hai trục tọa độ Ox, Oy đồng thời tiếp xúc ngoài với ( C ) : ( x − )2 + ( y − )2 = Bài tập Viết phương trình đường tròn ( C ) : a Có tâm nằm trên đường thẳng 4x − 5y − = và tiếp xúc với các đường thẳng: 2x − 3y − 10 = 0, 3x − 2y + = b Qua điểm A ( −1; ) tiếp xúc với các đường thẳng 3x + 4y − 35 = 0, 4x + 3y + 14 = c Tiếp xúc với các đường thẳng: 3x + 4y − 35 = 0, 3x − 4y − 35 = 0, x − = d Có tâm M nằm trên d : x − y + = , bán kính lần bán kính đường tròn ( C' ) : x2 + y2 − 2x − 2y + = và tiếp xúc ngoài với đường tròn ( C' ) e Tiếp xúc với hai trục tọa độ Ox,Oy đồng thời tiếp xúc ngoài với đường tròn ( C' ) : ( x − )2 + ( y − )2 = Bài tập Viết phương trình đường tròn ( C ) a Đi qua điểm A, B, M ( 0; ) Trong đó A, B là giao điểm đường tròn ( C1 ) : x2 + y2 − 2x − 2y − 18 = và ( C2 ) : ( x + 1)2 + ( y − )2 = b Đi qua hai điểm A ( 2;1) , B ( 4; ) và có tâm thuộc đường thẳng ∆ : x − y + = c Đi qua hai điểm A ( 0; ) , B ( 2; ) và có bán kính R = 10 d Đi qua hai điểm A ( 1; ) , B ( 2; ) và tiếp xúc với đường thẳng d : x − y = e Đi qua A ( −1;1) ,O và tiếp xúc với d : x − y + − = 606 Lop12.net (2) Nguyễn Phú Khánh Bài tập Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, a Cho điểm A ( 0; ) và đường thẳng d : x − 2y + = Tìm trên đường thẳng d hai điểm B,C cho tam giác ABC vuông B và AB = 2BC b Cho đường thẳng d : x − 3y − = và đường tròn ( C ) : x + y − 4y = Tìm M thuộc d và N thuộc ( C ) cho chúng đối xứng qua A ( 3;1) 25 và đường thẳng d : 5x + 2y − 11 = Tìm điểm C trên d cho tam giác ABC có trọng tâm G nằm trên đường tròn ( C ) biết A (1; ) , B ( 3; −2 ) c Cho đường tròn ( C ) : ( x − ) + ( y − ) = 2 d Cho điểm A ( −1;14 ) và đường tròn ( C ) có tâm I ( 1; −5 ) và bán kính R = 13 Viết phương trình đường thẳng d qua A cắt ( C ) M, N cho khoảng cách từ M đến AI nửa khoảng cách từ N đến AI e Cho tam giác ABC có đường cao AH : x − 3 = , phương trình đường phân giác góc B và góc C là : x − 3y = và x + 3y − = Viết phương trình các cạnh tam giác, biết bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC Bài tập Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, a Cho đường tròn ( C ) : ( x − 1) + ( y − 1) = và đường thẳng ∆: x – 3y – = 2 Tìm tọa độ điểm M nằm trên ∆, cho từ M vẽ hai tiếp tuyến MA, MB ( A, B là tiếp điểm) thỏa ∆ ABM là tam giác vuông b Cho đường thẳng d : x − y + = và đường tròn ( C ) có phương trình x + y + 2x − 4y = Tìm điểm M thuộc đường thẳng d cho từ M kẻ = 600 hai đường thẳng tiếp xúc với đường tròn A và B , cho AMB c Cho đường tròn ( C ) : x + y = Đường tròn ( C') tâm I ( 2; ) cắt ( C ) hai điểm A, B cho AB = Viết phương trình đường thẳng AB d Cho hai điểm A ( 2;1) , B ( 0; ) , đường tròn ( x – 1) + ( y – ) = và đường 2 thẳng d : x + 2y + = Từ điểm M trên d kẻ hai tiếp tuyến ME,MF đến ( C ) ( E,F là hai tiếp điểm) Biết ABEF là hình thang, tính độ dài đoạn EF e Cho đường tròn ( C ) : x + y − 8x − 2y = và điểm A ( 9; ) Viết phương trình đường thẳng qua A cắt ( C ) theo dây cung có độ dài 607 Lop12.net (3) Nguyễn Phú Khánh Bài tập Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, a Cho đường tròn ( C ) : ( x − 1)2 + ( y − 1)2 = 10 Đường tròn ( C' ) tâm I' ( −2; −5 ) cắt ( C ) hai điểm A, B cho AB = Viết phương trình đường thẳng AB b Cho điểm I ( 2;4 ) và hai đường thẳng d1 : 2x − y − = 0, d : 2x + y − = Viết phương trình đường tròn tâm I cắt d1 hai điểm A, B và cắt d hai điểm C, D cho AB + CD = 16 c Cho tam giác ABC cân C, đỉnh B ( −3; −3 ) , đường tròn nội tiếp tam giác ABC có phương trình: x + y − 2x − = Lập phương trình các cạnh tam giác ABC Biết đỉnh C có tung độ dương d Cho điểm M ( 2;1) và hai đường thẳng d1 : 2x − y + = 0, d : x + y + = Viết phương trình đường tròn ( C ) có tâm nằm trên d1 , qua điểm M và cắt d hai điểm phân biệt A, B cho AB = Bài tập Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, a Cho đường tròn ( C ) : ( x − 1)2 + ( y + )2 = và đường thẳng d : 3x − 4y + m = Tìm m để trên d có điểm P mà từ đó có thể kẻ hai tiếp tuyến PA, PB tới ( C ) ( A, B là các tiếp điểm) cho tam giác PAB b Cho tam giác ABC có A ( −5; −2 ) , B ( −3; −4 ) Biết diện tích tam giác ABC và bán kính đường tròn ngoại tiếp Tìm tọa độ điểm C có hoành độ dương c Cho tam giác ABC có đỉnh A nằm trên đường thẳng ∆ : x + 2y + = 0, đường cao BH có phương trình x + = 0, đường thẳng BC qua điểm M ( 5;1) và tiếp xúc với đường tròn ( C ) : x + y = Xác định tọa độ các đỉnh tam giác ABC biết các đỉnh B, C có tung độ âm và đoạn thẳng BC = d Cho đường tròn ( C ) : x + ( y − ) = và đường tròn ( C′ ) cắt ( C ) hai điểm phân biệt A, B Giả sử đường thẳng AB có phương trình là x + y − = 0, hãy viết phương trình đường tròn ( C′ ) có bán kính nhỏ e Cho đường tròn: ( C ) : x + y − x − 4y − = 0, A ( 3; −5 ) , B ( 7; −3 ) Tìm M thuộc đường tròn ( C ) cho MA + MB2 đạt giá trị nhỏ 608 Lop12.net (4) Nguyễn Phú Khánh Bài tập Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy 3 7 5 a Cho ∆ABC có M ; và N ; là trung điểm BC và AC 2 2 2 x = Lập phương trình đường tròn ngoại tiếp ∆ABC để d : là đường phân y = + t giác BAC b cho đường tròn (K ) : x2 + y = và hai điểm A ( 0;2) , B ( 0; −2) Gọi C,D ( C ≠ A,B) là hai điểm thuộc ( K ) và đối xứng với qua trục tung Biết giao điểm E hai đường thẳng AC, BD nằm trên đường tròn ( K1 ) : x2 + y + 3x − = 0, hãy tìm tọa độ E c Cho tam giác ABC vuông A Đỉnh B (1;1 ) , đường thẳng AC có phương trình: 4x + 3y − 32 = , trên tia BC lấy điểm M cho BC.BM = 75 Tìm đỉnh C biết bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác AMC 5 Bài tập Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, ( Cm ) : a Cho họ đường cong x + y + 2mx − ( m − 1) y + = Định m để ( Cm ) là đường tròn tìm tập hợp tâm các đường tròn m thay đổi b Cho đường tròn ( C ) : ( x − 1) + ( y + ) = M là điểm di động trên đường thẳng 2 d : x – y + = Chứng minh từ M kẻ hai tiếp tuyến MT1 , MT2 tới (C) ( T1 , T2 là tiếp điểm ) và tìm toạ độ điểm M , biết đường thẳng T1T2 qua điểm A (1; −1) c Viết phương trình đường tròn ( C ) qua A ( 1; ) và tâm đường tròn ( C' ) : x + y = Biết ( C ) cắt ( C' ) B,C cho diện tích tam giác ABC 2,7 d Cho đường thẳng d : 2x + 4y − 15 = và hai đường tròn có phương trình là ( C1 ) : ( x − 1) + ( y − ) = , 2 ( C2 ) : ( x + 1)2 + y = Tìm M trên ( C1 ) và N trên ( C ) cho MN nhận đường thẳng d là đường trung trực và N có hoành độ âm Bài tập 10 Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, 609 Lop12.net (5) Nguyễn Phú Khánh a Cho đường tròn ( C ) : x + y − 4x + 2y − = Từ điểm A ( 5; ) kẻ tiếp tuyến với đường tròn ( C ) Viết phương trình đường thẳng qua tiếp điểm ( d ) : x + y + = Tìm điểm tiếp tuyến tiếp xúc ( C ) M, N thoả mãn b Cho đường tròn ( C ) : x + y = và đường thẳng A thuộc ( d ) cho từ A vẽ diện tích tam giác AMN 3 Bài tập 11 Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, cho ∆ABC có A ( −1;1) , trực tâm H ( −31; 41) và tâm I ( 16; −18 ) đưởng tròn ngoại tiếp ∆ABC Hãy tìm tọa độ các đỉnh B,C Bài tập 12 Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, (C) : x cho đường tròn + y − 2x + 4y = và đường thẳng d : x − y = Tìm tọa độ các điểm M trên đường thẳng d , biết từ M kẻ hai tiếp tuyến MA,MB đến ( C ) ( A, B là các tiếp điểm) và đường thẳng AB tạo với d góc ϕ với cos ϕ = 10 Bài tập 13 Trong mặt phẳng toạ độ đề các , vuông góc Oxy, cho đường tròn ( C ) : ( x − 1)2 + ( y + 1)2 = có tâm I M ( −6; ) và cắt đường tròn ( C ) Viết phương trình đường thẳng ∆ qua hai điểm phân biệt A, B cho tam giác IAB có diện tích 2 và AB > Bài tập 14 Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, cho đường tròn ( C ) : x2 + y − 2x + 4y − = có tâm I và đường thẳng ∆: 2x + my + − = Tìm m để diện tích tam giác IAB là lớn Bài tập 15 Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, cho đường tròn ( C ) : ( x − 1)2 + ( y + 1)2 = 25 và M ( 7; 3) Viếp phương trình cắt ( C ) A, B cho MA = 3MB Bài tập 16 Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, 610 Lop12.net đường thẳng qua M (6) Nguyễn Phú Khánh a Cho đường tròn ( C ) có phương trình : x + y − 2x − 6y + = và điểm M ( −3;1) Gọi T1 ,T2 là các tiếp điểm các tiếp tuyến kẻ từ M đến ( C ) Viết phương trình đường thẳng qua T1 ,T2 b Cho đường tròn ( C ) : x2 + y − 4x + 2y − 15 = Gọi I là tâm đường tròn ( C ) Đường thẳng ∆ qua M ( 1; − ) cắt ( C ) hai điểm A và B Viết phương trình đường thẳng ∆ biết tam giác IAB có diện tích và cạnh AB là cạnh lớn Bài tập 17 Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, cho tam giác ABC có trực tâm H Biết đường tròn ngoại tiếp tam giác HBC là x + y − x − 5y + = , H thuộc đường thẳng ∆ : 3x − y − = , trung điểm AB là M ( 2; ) Xác định toạ độ các đỉnh tam giác Bài tập 18 Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, cho điểm A ( 1; ) và các đường tròn ( C ) : x + y = và ( C' ) : x + y = Tìm tọa độ các điểm B và C nằm trên các đường tròn ( C ) và ( C' ) để tam giác ABC có diện tích lớn , Bài tập 19 Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, cho đường tròn ( C ) : ( x − 1)2 + ( y − )2 = 25 Từ E ( −6; ) vẽ hai tiếp tuyến EA, EB (A, B là tiếp điểm) đến (C) Viết phương trình đường thẳng AB Bài tập 20 Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, cho đường tròn ( C ) : ( x − 1) + y = và hai điểm A ( 1; −1) , B ( 2; ) Tìm tọa điểm M thuộc đường tròn ( C ) cho diện tích tam giác MAB Bài tập 21 Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, cho đường tròn ( C ) : ( x − ) + ( y − 1) 2 = 10 Tìm tọa độ các đỉnh hình vuông MNPQ, biết M trùng với tâm đường tròn ( C ) , hai đỉnh N, Q thuộc đường tròn ( C ) , đường thẳng PQ qua E( −3; 6) và xQ > 611 Lop12.net (7) Nguyễn Phú Khánh Bài tập 22 Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, cho đường thẳng Δ : x + y + = và đường tròn ( C ) : x + y − 4x − 2y = Gọi I là tâm và M thuộc đường thẳng ∆ Qua M kẻ tiếp tuyến MA,MB Tìm M cho diện tích tứ giác MAIB 10 Bài tập 23 Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, cho đường tròn ( C ) : ( x − 1)2 + ( y − )2 = 25 a Viết phương trình tiếp tuyến ( C ) : ∗ Xuất phát từ điểm N ( −6;1) ∗ Tại điểm M ( 4; ) b Từ E ( −6; ) vẽ hai tiếp tuyến EA,EB ( A, B là tiếp điểm) đến ( C) Viết phương trình đường thẳng AB Bài tập 24 Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A ( 3; −7 ) , trực tâm là H ( 3; −1) , tâm đường tròn ngoại tiếp là I ( −2; ) Xác định toạ độ đỉnh C , biết C có hoành độ dương Bài tập 25 Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, , a Cho hai đường thẳng d1 : 3x + y = và d : 3x − y = Gọi ( T ) là đường tròn tiếp xúc với d1 A , cắt d hai điểm B và C cho tam giác ABC vuông B Viết phương trình ( T ) , biết tam giác ABC có diện tích và điểm A có hoành độ dương b Cho đường tròn ( C ) : x + y − 2x + 4y = và đường thẳng d : x − y = Tìm tọa độ các điểm M trên đường thẳng d , biết từ M kẻ hai tiếp tuyến MA, MB đến ( C ) ( A, B là các tiếp điểm) và khoảng cách từ điểm N ( 1; −1) đến AB Bài tập 26 Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, cho cho điểm A ( 1; ) Tìm hai điểm M, N năm trên hai đường tròn ( C1 ) : ( x − )2 + ( y − )2 = 13 và ( C2 ) : ( x − 1)2 + ( y − )2 = 25 cho tam giác MAN vuông cân A 612 Lop12.net (8) Nguyễn Phú Khánh Bài tập 27 Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, 2 và ( C2 ) : ( x − ) + ( y − ) = Viết phương trình đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn ( C1 ) và cắt đường tròn a Cho các đường tròn ( C1 ) : ( x − 1) + y = ( C2 ) theo dây cung có độ dài 2 b Cho ( C ) : ( x − 1)2 + ( y + 1)2 = có tâm qua M ( −6; ) và cắt đường tròn ( C ) đường tròn đường thẳng ∆ I Viết phương trình hai điểm phân biệt A, B cho tam giác IAB có diện tích 2 và AB > c Cho đường tròn ( C ) : x + y − 4x − 4y − = à đường thẳng d : y = mx − m + Đường thẳng d cắt (C) hai điểm A, B Tiếp tuyến A và B cắt P Xác định các giá trị d' : x + 3y + = m biết P thuộc đường thẳng Bài tập 28 Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn ( C ) : ( x − 1) + ( y − ) = 2 a Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M ( 3; −1) và cắt đường tròn ( C ) hai điểm A,B cho AB = b Viết phương trình đường thẳng d1 qua N ( 2;1) cho d1 cắt đường tròn (C) hai điểm C, D có độ dài nhỏ Bài tập 29 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, a Cho hình vuông ABCD, có cạnh AB qua điểm M ( −3; −2 ) , và x A > Tìm tọa độ các đỉnh ( C) :( x − ) + ( y − 3) 2 hình vuông ABCD đường tròn = 10 nội tiếp ABCD ( ) b Cho tam giác ABC, có A ( 2, −2 ) , B ( 4,0 ) , C 3; − và ( C ) là đường tròn ngoại tiếp tam giác Đường thẳng d có phương trình 4x + y − = Tìm trên d điểm M cho tiếp tuyến qua M tiếp xúc với ( C ) N thỏa mãn S NAB đạt giá trị lớn nhất? ( C ) : ( x − 1)2 + ( y + )2 = và đường thẳng ( ∆ ) : 2x − y + = thuộc đường thẳng ( ∆ ) cho từ A kẻ các tiếp tuyến c Cho đường tròn Tìm điểm A 613 Lop12.net (9) Nguyễn Phú Khánh AB, AC ( B,C là các tiếp điểm ) đến đường tròn ( C ) đồng thời diện tích tam giác ABC 2,7 d Cho đường tròn ( C ) : x + y − 2x − 4y − = có tâm I và điểm M ( 3; ) Viết phương trình đường thẳng ∆ , biết ∆ cắt ( C ) hai điểm phân biệt A , B cho tứ giác ABIM là hình bình hành Bài tập 30 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, a Cho đường tròn ( C ) : ( x − ) + ( y − ) = Điểm A ( 2; ) ,B ( 6; ) nằm trên ( C ) 2 Đỉnh C tam giác ABC di động trên đường tròn ( C ) Tìm tọa độ trực tâm H tam giác ABC biết H nằm trên đường thẳng ( d ) : x − y + = b Cho đường tròn ( C ) : x2 + y2 = ( C') : x + y − 18x − 6y + 65 = Từ ( C ) , gọi A, B là các tiếp điểm Tìm tọa và điểm M thuộc ( C' ) kẻ tiếp tuyến với độ điểm M biết AB = 4,8 c Cho tam giác ABC Đường tròn ( C ) nội tiếp tam giác ABC có phương 2 7 trình là ( x − 1) + ( y − ) = , đường thẳng BC qua điểm M ;2 Xác định 2 , tọa độ điểm A d Cho đường tròn ( C1 ) : x + y = 13 và ( C2 ) : ( x − ) + y = 25 Gọi A là giao điểm ( C1 ) và ( C2 ) với y A < Viết phương trình đường thẳng qua A và cắt ( C1 ) , ( C ) theo dây cung có độ dài Bài tập 30 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, a Cho đường tròn (C) : x + y − 2x − 2my + m − 24 = có tâm I và đường thẳng ∆ : mx + 4y = Tìm m biết đường thẳng ∆ cắt đường tròn ( C ) điểm phân biệt A, B thoả mãn diện tích IAB = 12 b Cho tam giác ABC có trực tâm H thuộc đường thẳng 3x − y − = 0, biết đường tròn ngoại tiếp tam giác HBC có phương trình : x + y − x − 5y + = , trung điểm cạnh AB là M ( 2; ) Tìm tọa độ đỉnh 2 tam giác ? 614 Lop12.net (10) Nguyễn Phú Khánh c Cho đường tròn ( C ) : x + y − 2x + 4y + = Gọi ( C' ) là đường tròn có tâm I ( 5;1) và cắt đường tròn (C) điểm M, N cho MN = Hãy viết phương trình ( C' ) d Cho tam giác ABC có đỉnh A ( 1;1) , trực tâm H ( −1; ) , tâm đường tròn ngoại tiếp I ( 3; −3 ) Xác định tọa độ các đỉnh B, C, biết x B < xC Bài tập 31 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, a Cho đường thẳng ( d ) : x − y + = và đường tròn ( C ) : x + y − 2x + 4y − = Tìm điểm M thuộc đường thẳng ( d ) cho qua M kẻ các tiếp tuyến MA,MB đến đường tròn với A, B là các tiếp điểm đồng thời khoảng cách từ 1 điểm N ;1 đến đường thẳng qua AB là lớn 2 b Cho đường tròn ( C ) : ( x + 1)2 + ( y − )2 = 16 và đường thẳng ∆ có phương trình 3x + 4y − = Viết phương trình đường tròn ( C′ ) có bán kính tiếp xúc ngoài với ( C ) cho khoảng cách từ tâm I nó đến ∆ là lớn , c Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn ( C ) : ( x − 1)2 + ( y − 1)2 = 10 Điểm M ( 0; ) là trung điểm cạnh BC và diện tích tam giác ABC 12 Tìm tọa độ các đỉnh tam giác ABC d Cho điểm M ( 2, −1) , ( x − 1)2 + ( y + )2 = 25 Gọi ( d ) N ( 3;2 ) , P ( −3;4 ) và đường tròn (C) : qua M cắt ( C ) A,B cho S IAB đạt giá trị lớn Hãy xác định tọa độ E ∈ ( d ) cho EN + EP đạt giá trị nhỏ nhất, với I là tâm đường tròn Hướng dẫn giải Bài tập 1.a Gọi A1, A2 là hình chiếu A lên hai trục Ox, Oy suy A1 ( 3; ) , A ( 0; ) Giả sử ( C ) : x + y − 2ax − 2by + c = 615 Lop12.net (11) Nguyễn Phú Khánh a = −6a − 8b + c = −25 Do A,A1 , A ∈ ( C ) nên ta có hệ: −6a + c = −9 ⇔ b = −8b + c = −16 c = Vậy phương trình ( C ) : x + y − 3x − 4y = b Gọi I ( a; b ) là tâm đường tròn (C), vì I ∈ ( C1 ) nên: ( a − ) + b = ( ∗) Do ( C ) tiếp xúc với hai đường thẳng ∆1 , ∆ nên d ( I, ∆1 ) = d ( I, ∆ ) ⇔ a−b = a − 7b ⇔ b = −2a,a = 2b • b = −2a thay vào ( ∗) ta có được: ( a − ) + 4a = 16 ⇔ 5a − 4a + = phương 5 trình này vô nghiệm • a = 2b thay vào ( ∗) ta có: ( 2b − ) + b = 4 ⇔ b = ,a = 5 2 8 4 Suy R = d ( I, ∆1 ) = Vậy phương trình ( C ) : x − + y − = 5 25 , H ( x; y ) , ta có: c Ta có M ( −1; ) , N ( 1; −2 ) , AC = ( 4; −4 ) Gọi x = BH ⊥ AC 4 ( x + ) − ( y + ) = ⇔ ⇔ ⇒ H ( 1;1) H ∈ AC y = 4x + ( y − ) = Giả sử phương trình đường tròn: x + y + ax + by + c = Ba điểm M, N, H thuộc đường tròn nên ta có hệ phương trình : a − c = a = −1 a − 2b + c = −5 ⇔ b = a + b + c = −2 c = −2 Phương trình đường tròn: x + y − x + y − = d Đường tròn ( C ) có tâm I ( 6; ) , bán kính R = Gọi ( C' ) : ( x − a ) + ( y − b ) = R '2 thì ( C' ) có tâm I' ( a; b ) , bán kính R’ 2 Vì ( C' ) tiếp xúc với Ox, Oy nên suy a = b d ( I',Ox ) = d ( I',Oy ) ⇔ a = b = R ' ⇔ a = − b 616 Lop12.net (12) Nguyễn Phú Khánh Hơn (C’) tiếp xúc với Ox, Oy và tiếp xúc ngoài với (C) nên (C’) nằm bên phải trục Oy, đó a > TH1: a = b = R ⇒ ( C' ) : ( x − a ) + ( y − a ) = a 2 Vì ( C' ) tiếp xúc ngoài với ( C ) nên: II ' = R + R ' ( a − )2 + ( a − )2 = + a ⇔ a = ⇔ a = 18 Trường hợp này có đường tròn là : (C ) : (x − 2) ' ( ) + ( y − ) = và C'2 : ( x − 18 ) + ( y − 18 ) = 182 2 TH2: a = − b = R ⇒ ( C' ) : ( x − a ) + ( y + a ) = a 2 Tương tự trường hợp 1, ta có : II ' = R + R ' ⇔ a = ( ) Vậy trường hợp này có đường tròn là C'3 : ( x − ) + ( y − ) = 36 2 Tóm lại , có đường tròn thỏa cần tìm là : ( x − )2 + ( y − )2 = 4, ( x − 18 )2 + ( y − 18 )2 = 182 2 81 25 2 , (x + 8) + ( y + ) = ( x − )2 + ( y − 1)2 = 13 , 13 Bài tập 2.a b và ( x − ) + ( y − ) = 36 349 185 ( x − )2 + ( y − 1)2 = 25, x + 202 +y − = 49 49 49 2 2 35 40 32 2 c x − + y − = , ( x − ) + y = 16, ( x + 15 ) + y = 256 3 d Đường tròn ( C' ) có tâm I' ( 1;1) , bán kính R ' = Gọi I là tâm và R là bán kính đường tròn ( C ) , ta có R = 2R ' = và I ∈ d ⇒ I ( a; a + ) Vì ( C ) và ( C' ) tiếp xúc ngoài với nên II ' = R + R ' = ⇔ ( a − 1) + ( a + ) = ⇔ a + a − = ⇔ a = a = −2 2 • a = ⇒ I ( 1; ) ⇒ ( C ) : ( x − 1) + ( y − ) = 2 • a = −2 ⇒ I ( −2;1) ⇒ ( C ) : ( x + ) + ( y − 1) = 2 e Đường tròn ( C' ) có tâm I' ( 6; ) , bán kính R ' = Gọi ( C ) : ( x − a ) + ( y − b ) = R thì ( C ) có tâm I ( a; b ) , bán kính R 2 617 Lop12.net (13) Nguyễn Phú Khánh Vì ( C ) tiếp xúc với Ox,Oy nên suy d ( I,Ox ) = d ( I,Oy ) ⇔ a = b = R ' ⇔ a = − b a = b Hơn ( C ) và ( C' ) tiếp xúc ngoài và nằm bên phải trục Oy , đó a > TH1: a = b = R ⇒ ( C ) : ( x − a ) + ( y − a ) = a 2 Vì ( C ) và ( C' ) tiếp xúc ngoài nên : II ' = R + R ' ⇔ ( a − )2 + ( a − )2 = + a ⇔ a = a = 18 Trường hợp này có đường tròn là : ( C1 ) : ( x − )2 + ( y − )2 = và ( C2 ) : ( x − 18 )2 + ( y − 18 )2 = 182 2 TH2: a = − b = R ⇒ ( C ) : ( x − a ) + ( y + a ) = a Tương tự trường hợp 1, II ' = R + R ' ⇔ ( a − )2 + ( a + ) = + a ⇔a=6 Vậy, trường hợp này có đường tròn là ( C3 ) : ( x − ) + ( y − ) = 36 2 Tóm lại , có đường tròn thỏa cần tìm là : ( x − )2 + ( y − )2 = 4, ( x − 18 )2 + ( y − 18 )2 = 182 và ( x − ) + ( y − ) = 36 2 Bài tập 3.a Tọa độ giao điểm ( C1 ) và ( C2 ) là nghiệm hệ: , 2 x + y − 2x − 2y − 18 = x + y − 2x − 2y − 18 = ⇔ 2 2 ( x + 1) + ( y − ) = x + y + 2x − 4y − = 15 x + y − 2x − 2y − 18 = y = 2x + ⇔ ⇔ 15 =y 5x + 24x + 93 = ( ∗) 2x + 15 15 Gọi x1 , x là hai nghiệm ( ∗) , suy A x1 ; 2x1 + , B x ; 2x + 2 111 Suy AB2 = ( x1 − x ) = ( x1 + x ) − 4x1x = x + x2 12 x = =− 12 27 M Gọi M là trung điểm AB , suy ⇒ M− ; 10 y = x + x + 15 = 27 M 10 Phương trình đường thẳng AB : 4x − 2y + 15 = Phương trình đường trung trực ∆ đoạn AB : x + 2y − = Gọi I là tâm đường tròn ( C ) , suy I ∈ ∆ ⇒ I ( 2a + 3; −a ) 618 Lop12.net (14) Nguyễn Phú Khánh (10a + 27 ) + 111 = 2a + + a + AB2 Mặt khác: d ( I, AB ) + = IM ⇔ ( ) ( ) 20 20 ⇔a=1 2 Suy I ( 5; −1) , bán kính R = IM = Vậy, phương trình ( C ) : (x − 5)2 + (y + 1)2 = 74 b Gọi ( C ) : x + y − 2ax − 2by + c = −4a − 2b + c = −5 Vì ( C ) qua A, B nên ta có: −8a − 6b + c = −25 (1) Mặt khác: ( C ) có tâm I ( a; b ) thuộc ∆ : x − y + = ⇒ a − b + = ( 2) −4a − 2b + c = −5 a = Từ (1) và ( 2) ta có hệ : −8a − 6b + c = −25 ⇔ b = a − b + = c = Vậy phương trình ( C ) : x + y − 10y + = c Gọi I ( a; b ) là tâm đường tròn ( C ) Ta có phương trình ( C ) : ( x − a ) + ( y − b ) = 10 2 Do A, B ∈ ( C ) nên ta có hệ a = −1 a + b − 10b + 15 = a + b2 − 10b + 15 = b = ⇔ ⇔ a = a + b − 4a − 6b + = 4a − 4b + 12 = b = Vậy có hai đường tròn thỏa yêu cầu bài toán là: , ( x + 1)2 + ( y − )2 = 10 và ( x − ) + ( y − ) = 10 2 d Giả sử đường tròn ( C ) có phương trình là : x + y − 2ax − 2by + c = 1 − 2a + c = Do A, B ∈ ( C ) nên ta có: 4 − 4a + c = ( C ) tiếp xúc với d ( ) nên suy d I, ( d ) = R ⇔ a−b = a + b2 − c ⇔ a + b2 + 2ab − 2c = ( ) 3 , b = ,c = a = , b = − ,c = 2 2 Vậy, có hai đường tròn thỏa yêu cầu bài toán là: Từ ( 1) , ( ) , ( ) ta a = x + y − 3x − y + = và x + y − 3x + 7y + = 619 Lop12.net (15) Nguyễn Phú Khánh e Gọi ( C ) : x + y − 2ax − 2by + c = là đường tròn cần tìm c = Vì ( C ) qua O, A ⇒ (1 ) a − b = ( ) Do ( C ) tiếp xúc với d : x − y + − = ⇒ d I, ( d ) = R ⇔ a − b +1− 2 = a + b2 − c (2) Từ (1) và ( ) giải hệ thu a = 0, b = 1,c = a = 1, b = 0,c = Vậy có hai đường tròn thỏa mãn là : x + y − 2y = và x + y − 2x = Bài tập 4.a Ta có AB ⊥ d nên AB có phương trình : 2x + y − = x − 2y + = 2 6 Tọa độ điểm B là nghiệm hệ : ⇒ B ; 5 2x + y − = Suy AB = AB ⇒ BC = = 5 Phương trình đường tròn tâm B, bán kính BC = là: 2 6 x − +, y − = 5 5 x − 2y + = x = 0, y = 2 Tọa độ điểm C là nghiệm hệ : ⇔ 2 6 x = , y = x − + y − = 5 5 5 2 6 2 6 4 7 Vậy, B ; , C ( 0;1) B ; , C ; thỏa yêu cầu bài toán 5 5 5 5 b Vì M ∈ d ⇒ M ( 3m + 4; m ) Do N đối xứng với M qua A nên N ( − 3m; − m ) Vì N ∈ ( C ) nên ( − 3m ) + ( − m ) − ( − m ) = ⇔ 10m − 12m = ⇔ m = 0, m = Vậy có hai cặp điểm thỏa yêu cầu 38 4 M ; , N− ; 5 5 11 − 5c c Ta có: C ∈ d nên ta có tọa độ C c; 620 Lop12.net bài toán: M ( 4; ) , N ( 2; ) và (16) Nguyễn Phú Khánh c + 11 − 5c ; Do G nằm trên đường tròn (C ) nên ta có Tọa độ tâm G phương trình: ( c − )2 + ( 5c + 13 )2 = 25 ⇔ 29c2 + 114c + 85 = ⇔ c = −1, 36 c=− 85 29 85 372 Vậy có hai điểm C thỏa yêu cầu bài toán là: C1 ( −1; ) , C − ; 29 29 d Cách 1: PA/ ( C ) = AM.AN = AI − R = 466 > , suy A nằm ngoài đường tròn Hơn PA/ ( C ) = 2AM = 2MN = 466 ⇒ MN = 233 Bài toán trở thành: “V iết phương trình đường thẳng qua A cắt đường tròn ( C ) theo dây cung MN = 233 ” Cách 2: Giả sử M ( x; y ) vì M thuộc đường tròn nên ta có: ( x − 1)2 + ( y + )2 = 169 Vì M là trung điểm AN nên ta có: N ( 2x + 1; 2y − 14 ) Điểm N thuộc đường tròn nên ta có: ( 2x ) + ( 2y − ) = 169 x − + y + = 169 ) ( ) ( Ta có hệ: 2 ( 2x ) + ( 2y − ) = 169 ( , ) e I 3; là tọa độ tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Viết phương trình BC qua điểm B ( b; c ) và vuông góc với AH , tọa độ B cần tìm thỏa B ∈ d : x − 3y = và d ( I; BC ) = r = Bài tập 5.a Đường tròn ( C ) có tâm I(1; 1), bán kính R = Vì ∆ ABM vuông và IM là đường phân nên AMI = 450 giác góc AMB Trong tam giác vuông IAM , ta có: I A IM = 2 , suy M thuộc đường tròn tâm I bán kính R ' = 2 Mặt khác M ∈ ∆ nên M là giao điểm B M 621 Lop12.net (17) Nguyễn Phú Khánh ∆ và ( I,R ' ) Suy tọa độ M là nghiệm hệ : x − 3y − = x = 3y + ⇔ 2 2 ( x − 1) + ( y − 1) = ( 3y + ) + ( y − 1) = y = −1, x = x = 3y + ⇔ ⇔ y = − ,x = 5y + 14y + = 5 3 9 Vậy, có hai điểm M1 ( 3; −1) ,M ; − thỏa yêu cầu bài toán 5 5 b Đường tròn có tâm I ( −1; ) và bán kính: R = nên IMA = 300 Tam giác AMB là tam giác và MI là phân giác góc AMB IA = ⇒ IM = 20 Do đó: MI = sin 30 Do M ∈ d nên suy M ( x0 ; x0 + 1) Khi đó ta có: MI = ( x0 + 1) + ( x0 − 1) = 20 ⇔ x02 = ⇔ x0 = 3, x0 = −3 2 Vậy có điểm M thỏa mãn điều kiện bài toán: M ( 3; ) ,M ( −3; −2 ) c Ta có OA + OB2 = AB2 = ⇒ ∆OAB vuông O Mặt khác OI là đường trung trực đoạn thẳng AB nên A,B thuộc các trục toạ độ Vậy: • A ( 1; ) , B ( 0;1) , phương trình đường, thẳng AB : x + y − = • A ( −1; ) , B ( 0; −1) , phương trình đường thẳng AB : x + y + = e Tọa độ tâm đường tròn là I ( 4;1) ;bán kính R = 17 Gọi ∆ là đường thẳng qua A và cắt đường tròn M, N phương trình ∆ có dạng là: y = k ( x − ) + MN Gọi H là trung điểm MN ,ta có: IH = R − = 17 − 12 = = d ( I; ∆ ) ⇔ 4k − − 9k + k2 + k = ⇒ y = 2x − 12 = 5⇔ k = − ⇒ y = − x + 21 2 Bài tập a Đường tròn ( C ) có tâm I ( 1;1) , bán kính R = 10 Độ dài II' = Gọi H là giao điểm II' và AB , suy H là trung điểm AB nên AH = Do II ' ⊥ AB nên ta có: IH = IA − AH2 = 622 Lop12.net (18) Nguyễn Phú Khánh TH 1: H thuộc đoạn II' ⇒ I'H = ⇒ IH = II' IH = ( xH − 1; yH − 1) , II' = ( −3; −6 ) A x − = −1 x = Ta có: H ⇔ H yH − = −2 yH = −1 ⇒ H ( 0; −1) Vì AB qua H và nhận n = − II' = ( 1; ) làm VTPT I' I H B Phương trình AB là: x + 2y + = TH 2: H không nằm đoạn II' , suy I'H = ⇒ IH = II ' x −1= − x = H ⇔ H ⇒ H ; − Hay 4 2 y − = − y = − H H Phương trình AB : x + 2y + = b Gọi R là bán kính đường tròn cần , tìm và F,G là hình chiếu vuông góc I trên d1 và d Dễ thấy IF = , IG = 5 36 Lại có: FB = R − IF = R − , GD = R − IG = R − 5 Theo bài toán: AB + CD = 16 16 ⇔ ( FB + GD ) = ⇒R 5 d Kẻ IH ⊥ AB ⇒ AH = I ∈ d1 nên I ( x; + 2x ) Lại có: R = IM = IA và tam giác IAH vuông H nên có: IM = IH + AH2 Trong đó IH = d ( I;d1 ) = + 3x Bài tập a Đường tròn (C) có tâm và bán kính là: I ( 1; −2 ) ; R = = 300 ⇒ IP = 2IA = 2R = Do tam giác PAB nên API Suy P thuộc vào đường tròn (C’) có tâm I và bán kính R’ = d A 623 300 I B Lop12.net P (19) Nguyễn Phú Khánh Mà P ∈ d nên P chính là giao điểm đường thẳng d và đường tròn ( C' ) Suy trên d có điểm P thỏa mãm yêu cầu bài toàn và đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn ( C' ) P, hay là d ( I,d ) = ⇔ m = 19, m = −41 b Ta có phương trình AB : x + y + = Gọi M là trung điểm AB, tọa độ M ( −4; −3 ) Phương trình đường trung trực AB là: x − y + = Gọi C ( c; d ) và c > là tọa độ cần tìm Theo bài toán, ta có: AB.d ( C; AB ) = 16 ⇔ c + d + = ( 1) Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp, suy ra: I ( x; x + 1) và IA = R = ⇔ x + 8x + = ⇔ x = −7 x = −1 TH1: x = −7 ⇒ I ( −7; −6 ) Phương trình đường tròn ( C ) ngoại tiếp ∆ABC : ( x + ) + ( y + ) = 20 2 C ∈ ( C ) nên có : ( c + ) + ( d + ) = 20,, trường hợp này không thỏa vì c > 2 TH2: x = −1 ⇒ I ( −1; ) Phương trình đường tròn ( C ) ngoại tiếp ∆ABC : ( x + 1) + y = 20 C ∈ ( C ) nên có : ( c + ) + d = 20 ( 2) Tọa độ điểm C là nghiệm hệ phương trình ( 1) và ( ) c+d+7 =8 c = c + d = ∨ c + d = −15 ⇔ ⇔ 2 2 d = −2 ( c + ) + d = 20 ( c + ) + d = 20 Vậy, tọa độ C cần tìm là C ( 3; −2 ) c Gọi điểm B ( −1; y ) , từ đó viết phương trình đường thẳng BC là: ( y0 − 1)( x − ) + ( y − 1) = BC tiếp xúc với ( C ) ⇔ d ( I;BC ) = R ⇔ −5 ( y0 − 1) − ( y − 1) =2 + 36 ⇔ 17y02 + 26y0 − 295 = , kết hợp BC = , ta tìm y0 = −5 624 Lop12.net (20) Nguyễn Phú Khánh Vậy, B ( −1; −5 ) ⇒ C ( −8; −12 ) , A ( 23; −12 ) d Đường tròn ( C′ ) cắt ( C ) hai điểm phân biệt A, B nên AB là dây cung đường tròn ( C′ ) , đó đường kính nhỏ đường tròn ( C′) chính là AB 1 AB2 e ( C ) có tâm I ; Hơn nữa: MA + MB2 = + 2MN 2 MA + MB2 nhỏ MN nhỏ nhất, điều này xảy M là giao điểm đường thẳng IN và ( C ) ⇒ M ( 2; ) 3 5 Bài tập Gọi N' là điểm đối xứng N qua phân giác góc A ⇒ N' ; 2 Phương trình AB qua N' nhận vectơ phương MN có phương trình: x = x − y + = Tọa độ A thỏa hệ y = + t ⇒ A ( 1; ) Từ đây, tìm x − y + = 2 3 7 B ( 3; ) ,C ( 0; ) Đường tròn: x − +, y − = 2 2 b Vì C,D thuộc đường tròn độ điểm có (K ) mà lại đối xứng với qua trục tung nên tọa dạng là: C ( a;b) , D( −a;b ) ( a,b ≠ 0) Ta có: a2 + b2 = (1 ) Phương trình đường thẳng: AC : ( b − 2) x − a ( y − 2) = 0, BD : ( b + 2) x + a ( y + 2) = 2a ( b − 2) x − a ( y − 2) = x = − b Tọa độ điểm E là nghiệm hệ: ⇔ ( b + 2) x + a ( y + 2) = y = b a 16 a Vì E ∈ ( K1 ) nên có: + − − = ⇔ 4a2 − 4b2 − 6ab + 16 = ( 2) b b b Từ (1 ) và ( 2) suy 8a2 − 6ab = ⇔ 4a = 3b c Cách 1: Toạ độ đỉnh A ( 5; ) Gọi E là giao điểm đường tròn ngoại tiếp tam giác AMC với BA thì ta có BA.BE = BM.BC = 75 ( vì M nằm trên tia BC ), 625 Lop12.net (21)