Đang tải... (xem toàn văn)
Ta có kết quả sau đây trong hình học phẳng: “Trong tam giác, 9 điểm gồm trung điểm của ba cạnh, chân ba đường cao và ba trung điểm của các đoạn nối trực tâm với đỉnh nằm trên một đường t[r]
(1)Nguyễn Phú Khánh Dạng Đường tròn Nhận dạng phương trình đường tròn Tìm tâm và bán kính đường tròn Cách 1: ( C ) : x2 + y2 − 2ax − 2by + c = (1) P - Đưa phương trình dạng: - Xét dấu biểu thức P = a + b − c Nếu P > thì ( 1) là phương trình đường tròn ( C ) có tâm I ( a; b ) và bán kính R = a + b2 − c Nếu P ≤ thì ( 1) không phải là phương trình đường tròn Cách 2: Đưa phương trình dạng: ( x − a ) + ( y − b ) = P ( 2) Nếu P > thì ( ) là phương trình đường tròn có tâm I ( a; b ) và bán kính R = Nếu P ≤ thì ( ) không phải là phương trình đường tròn 2 P Vị trí tương đối điểm; đường thẳng; đường tròn với đường tròn • Vị trí tương đối điểm M và đường tròn ( C ) Xác định tâm I và bán kính R đường tròn ( C ) và tính IM + Nếu IM < R suy M nằm đường tròn + Nếu IM = R suy M thuộc đường tròn + Nếu IM > R suy M nằm ngoài đường tròn • Vị trí tương đối đường thẳng ∆ và đường tròn ( C ) Xác định tâm I và bán kính R đường tròn ( C ) và tính d ( I; ∆ ) + Nếu d ( I; ∆ ) < R suy ∆ cắt đường tròn hai điểm phân biệt + Nếu d ( I; ∆ ) = R suy ∆ tiếp xúc với đường tròn + Nếu d ( I; ∆ ) > R suy ∆ không cắt đường tròn Chú ý: Số nghiệm hệ phương trình tạo phương trình đường thẳng ∆ và đường tròn ( C ) số giao điểm chúng Tọa độ giao điểm là nghiệm hệ • Vị trí tương đối đường tròn ( C ) và đường tròn ( C' ) Xác định tâm I , bán kính R đường tròn ( C ) và tâm I' , bán kính R ' đường tròn ( C' ) và tính II' , R + R ', R − R ' + Nếu II ' > R + R ' suy hai đường tròn không cắt và ngoài + Nếu II ' = R + R ' suy hai đường tròn tiếp xúc ngoài với + Nếu II ' < R − R ' suy hai đường tròn không cắt và lồng vào + Nếu II ' = R − R ' suy hai đường tròn tiếp xúc với 588 Lop12.net (2) Nguyễn Phú Khánh + Nếu R − R ' < II ' < R + R ' suy hai đường tròn cắt hai điểm phân biệt Chú ý: Số nghiệm hệ phương trình tạo phương trình đường thẳng ( C ) và đường tròn ( C' ) số giao điểm chúng Tọa độ giao điểm là nghiệm hệ Ví dụ Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, viết đường tròn Đi qua ba điểm: M ( −2; ) , N ( 5; ) , P ( 6; −2 ) Đi qua A ( 3; ) và các hình chiếu A lên các trục tọa độ Đi qua ba điểm H,M, N Gọi H là chân đường cao kẻ từ B và M, N là trung điểm AB, AC Biết rằng: A ( 0; ) , B ( −2; −2 ) , C ( 4; −2 ) Tiếp xúc với trục hoành A ( 2; ) khoảng cách từ tâm ( C ) đến điểm B ( 6; ) Lời giải Cách 1: Gọi phương trình đường tròn ( C ) có dạng là: x + y − 2ax − 2by + c = Do đường tròn qua ba điểm M, N,P nên ta có hệ phương trình: 4 + 16 + 4a − 8b + c = a = 0 25 + 25 − 10a − 10b + c = ⇔ b = 36 + − 12a + 4b + c = c = −20 Vậy, phương trình đường tròn cần tìm là: x + y − 4x − 2y − 20 = Cách 2: Gọi I ( x; y ) và R là tâm và bán kính đường tròn cần tìm IM = IN Vì IM = IN = IP ⇔ nên ta có hệ 2 IM = IP x+2 + y−4 = x−5 + y−5 ) ( ) ( ) ( ) x = ( ⇔ 2 2 y = ( x + ) + ( y − ) = ( x − ) + ( y + ) Gọi A1 , A là hình chiếu A lên hai trục Ox, Oy , suy A1 ( 3; ) , A ( 0; ) Giả sử ( C ) : x + y − 2ax − 2by + c = 589 Lop12.net (3) Nguyễn Phú Khánh a = −6a − 8b + c = −25 Do A,A1 , A ∈ ( C ) nên ta có hệ: −6a + c = −9 ⇔ b = −8b + c = −16 c = Vậy, phương trình ( C ) : x + y − 3x − 4y = Ta có M ( −1; ) , N ( 1; −2 ) , AC = ( 4; −4 ) x = BH ⊥ AC ( x + ) − ( y + ) = Gọi H ( x; y ) , ta có: ⇔ ⇔ ⇒ H ( 1;1) y = H ∈ AC 4x + ( y − ) = Giả sử phương trình đường tròn có dạng: x + y + ax + by + c = Ba điểm M, N,H thuộc đường tròn nên ta có hệ phương trình : a − c = a = −1 a − 2b + c = −5 ⇔ b = a + b + c = −2 c = −2 Phương trình đường tròn: x + y − x + y − = Gọi I ( a; b ) và R là tâm và bán kính ( C ) Vì ( C ) tiếp xúc với Ox A nên a = và R = b Mặt khác: IB = ⇔ + ( b − ) = 52 ⇔ ,b = 1, b = Với b = thì phương trình đường tròn ( C ) : ( x − ) + ( y − 1) = 2 Với b = thì phương trình đường tròn ( C ) : ( x − ) + ( y − ) = 49 2 Ví dụ Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, viết đường tròn Có tâm nằm trên đường thẳng d : x − 6y − 10 = và tiếp xúc với hai đường thẳng có phương trình d1 : 3x + 4y + = và d : 4x − 3y − = có tâm nằm trên đường tròn ( C1 ) : ( x − ) + y = và tiếp xúc với hai đường thẳng ∆1 : x − y = và ∆ : x − 7y = Đi qua M ( 6; ) và tiếp xúc với hai đường thẳng ∆1 : 4x − 3y − 24 = và ∆ : 4x + 3y + = Có tâm M nằm trên d : x − y + = , bán kính lần bán kính đường tròn ( C ) và ( C ) tiếp xúc ngoài với đường tròn ( C') : x + y − 2x − 2y + = 590 Lop12.net (4) Nguyễn Phú Khánh Lời giải Vì đường tròn cần tìm có tâm K nằm trên đường thẳng d nên gọi K ( 6a + 10; a ) Mặt khác đường tròn tiếp xúc với d1 , d nên khoảng cách từ tâm K đến hai đường thẳng này và bán kính R suy ( 6a + 10 ) + 4a + 5 −70 a = 43 ( 6a + 10 ) − 3a − = 22a + 35 = 21a + 35 ⇔ a = - Với a = thì K ( 10; ) và R = suy ( C ) : ( x − 10 ) + y = 49 - Với a = −70 10 −70 thì K ; suy và R = 43 43 43 43 10 2 70 +y + = 43 43 ( C ) : x − 43 Vậy, có hai đường tròn thỏa mãn có phương trình là: 2 70 ( C ) : ( x − 10 )2 + y2 = 49 và ( C ) : x − 10 +y + = 43 43 43 2 Gọi I ( a; b ) là tâm đường tròn ( C ) , vì I ∈ ( C1 ) nên: ( a − ) + b2 = , Do ( C ) tiếp xúc với hai đường thẳng ∆1 , ∆ nên d ( I, ∆1 ) = d ( I, ∆ ) ⇔ a−b = a − 7b ( ∗) ⇔ b = −2a a = 2b • b = −2a thay vào ( ∗) ta có được: ( a − ) + 4a = 16 ⇔ 5a − 4a + = phương 5 trình này vô nghiệm • a = 2b thay vào ( ∗) ta có: ( 2b − ) + b = Suy R = d ( I, ∆1 ) = 4 ⇔ b = ,a = 5 2 8 4 Vậy, phương trình ( C ) : x − + y − = 5 5 25 Gọi I ( a; b ) là tâm và R là bán kính đường tròn ( C ) Vì ( C ) tiếp xúc với hai đường thẳng ∆1 và ∆ nên ta có d ( I, ∆1 ) = d ( I, ∆ ) 591 Lop12.net (5) Nguyễn Phú Khánh Hay 4a − 3b − 24 = 4a + 3b + 16 4a − 3b − 24 = 4a + 3b + b=− ⇔ ⇔ 4a − 3b − 24 = −4a − 3b − a = • a = , phương trình ( C ) : ( x − ) + ( y − b ) Do M ∈ ( C ) nên ( − ) + ( − b ) = 2 3b + 16 ) ( = ( 3b + 16 ) 25 ⇔ b = b = 25 87 Suy phương trình ( C ) : ( x − ) + ( y − ) = 25 2 87 4225 ( C ) : ( x − )2 + y − = 16 ( 4a − ) 16 16 , phương trình ( C ) : ( x − a ) + y + = 3 25 • b=− ( 4a − ) 16 Do M ∈ ( C ) nên ( − a ) + + = 25 2 phương trình vô nghiệm Đường tròn ( C') có tâm I ( 1;1) bán kính R = Ta có M ∈ d ⇒ M ( x; x + ) Vì ( C ) và ( C’ ) tiếp xúc ngoài nên ta có MI , = 3R ⇔ ( x − 1) + ( x + ) = 2 ⇔ x + x − = ⇔ x = −2 x = Vậy có hai đường tròn thỏa yêu cầu bài toán là: ( x − 1)2 + ( y − )2 = và ( x + )2 + ( y − 1)2 = Ví dụ Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, viết đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có trọng tâm G ( 2; ) Gọi H là trực tâm tam giác ABC Biết đường tròn qua ba trung điểm ba đoạn thẳng HA,HB, HC có phương trình : ( x − 1) + ( y − 1) = 10 2 Lời giải Gọi ( C ) là đường tròn ( x − 1) + ( y − 1) = 10 , suy ( C ) có tâm I ( 1;1) , bán kính 2 R = 10 592 Lop12.net (6) Nguyễn Phú Khánh Ta có kết sau đây hình học phẳng: “Trong tam giác, điểm gồm trung điểm ba cạnh, chân ba đường cao và ba trung điểm các đoạn nối trực tâm với đỉnh nằm trên đường tròn có tâm I , G, H thẳng hàng và A A' E G C' I IH = 3IG ” Gọi E là tâm đường tròn ngoại tiếp tam C H B' M B giác ABC và M là trung điểm BC Phép vị tự V( G,−2 ) : I → E, M → A và M ∈ ( C ) nên ta có: E ( 4; ) và EA = 2IM = 10 Vậy, phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là: ( x − 1)2 + ( y − 10 )2 = 40 Ví dụ Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, cho đường tròn ( C ) : ( x − 1)2 + ( y − 1)2 = 25 và đường thẳng d : 2x − y − = Lập phương trình , đường tròn ( C' ) có tâm nằm trên d và hoành độ lớn 2, đồng thời ( C' ) cắt ( C ) hai điểm A, B cho dây cung AB có độ dài và tiếp xúc với đường thẳng ∆ : 3x − y + 15 = Lời giải Cách 1: Đường tròn ( C ) có tâm I ( 1;1) , bán kính R = Gọi I’ là tâm đường tròn ( C’) , I ' ∈ d nên suy I ' ( m; 2m − 1) ,m > và R ' là bán kính Ta có: R ' = d ( I', ∆ ) = m + 16 10 Gọi H là giao điểm II’ và AB, suy H là trung điểm AB nên AH = Vì IH + I'H = II' nên R − AH2 + R '2 − AH = II' R − AH − R '2 − AH2 = II ' TH1: R − AH2 + R '2 − AH = II' 593 Lop12.net (7) Nguyễn Phú Khánh ⇔ 5+ (m + 16)2 − 20 = (m − 1)2 + (2m − 2)2 10 ⇔ + m + 32m + 56 = m − ( ⇔ m + 32m + 56 = 50 m − 2m + − m − ) 49m − 232m + 144 = ⇔ 49m − 132m + 44 = 100 m − ⇔ ⇔ m = (do m > ) 49m − 32m − 56 = TH2: R − AH − R '2 − AH2 = II ' ⇔ − m + 32m + 56 = m − ⇔ 50 − 10 2(m + 32m + 56) + m + 32m + 56 = 50m − 100m + 50 ⇔ 49m − 132m − 56 + 10 2(m + 32m + 56) = ( ∗) Do m > nên 49m − 132m − 56 + 10 2(m + 32m + 56) > 32 nên ( ∗) vô nghiệm Vậy, phương trình ( C' ) : ( x − ) + ( y − ) = 40 2 Cách 2: ( C ) và ( C' ) cắt A, B nên AB ⊥ d và AB : x + 2y + t = Gọi H là trung điểm AB nên AH = ∆IAH vuông H nên IH = = d ( I, AB ) , từ đạy tìm được: t = −8 t = ∗ Với t = ⇒ AB : x + 2y + = Tọa độ , A, B thỏa mãn hệ phương trình: ( x; y ) = ( −4;1) x + 2y + = ⇔ 2 ( x; y ) = ( 4; −3 ) ( x − 1) + ( y − 1) = 25 thẳng ∆ : 3x − y + 15 = nên có: I' A = d ( I', ∆ ) ( C' ) tiếp xúc với đường Tức là phải có: ( m + ) + ( 2m − ) 2 = 3m − 2m + + 15 10 ⇔ 49m − 32m − 56 = không thỏa với m > ∗ t = −8 , tìm A ( −2; ) , B ( 6;1) ngược lại ( C' ) tiếp xúc với đường thẳng ∆ : 3x − y + 15 = nên có: I' A = d ( I', ∆ ) Tức là phải có: 49m − 232m + 144 = ⇒ m = ⇒ I' ( 4;7 ) Vậy, phương trình ( C' ) : ( x − ) + ( y − ) = 40 2 Ví dụ Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy Cho đường tròn ( C ) : x + y − 4x + 6y − 12 = Lập phương trình đường thẳng 594 Lop12.net (8) Nguyễn Phú Khánh qua M ( 1;1) và cắt đường tròn ( C ) điểm A, B cho MA = 2MB Cho hai đường tròn: ( C ) : x + y − 2x − 2y + = 0, ( C' ) : x2 + y2 + 4x – = cùng qua M (1; ) Viết phương trình đường thẳng qua M cắt hai đường tròn A, B cho MA = 2MB Lời giải Gọi d là đường thẳng cần tìm có dạng ax + by + c = , d qua M ( 1;1) Suy d : ax + by − a − b = Phương tích điểm M đường tròn : MA.MB = −8 ⇔ −MA.MB = −8 ⇔ MB = ⇒ AB = Gọi H là trung điểm AB , ta có: IH = R − AH2 ⇔ a − 4b a + b2 =4 ⇔ 15a = −8ab ⇔ a = 15a = −8b ∗ a = thì d : y − = vì b ≠ ∗ 15a = −8b thì d : 8x − 15y + = Vậy, có đường thẳng cần tìm: y − = và 8x − 15y + = ( C ) có tâm I ( 1;1) , bán kính R = và ( C' ) có tâm I ' ( −2; ) , bán kính R ' = , Đường thẳng ( d ) qua M có phương trình: ( a ( x − 1) + b ( y − ) = ⇔ ax + by − a = 0, a + b2 > ) ( ∗) Gọi H,H' là trung điểm AM, BM Khi đó: MA = 2MB ⇔ IA − IH = I' A − I'H'2 { ⇔ − d ( I,d ) = − d ( I',d ) 2 } ,IA > IH ⇔ d ( I',d ) − d ( I,d ) = 35 ⇔ ⇔ 36a − b 2 2 9a a + b2 − b2 a + b2 = 35 = 35 ⇔ a = 36b ⇒ a = ±6b a +b ∗ Với a = −6b ⇒ d : −6x + y + = ∗ Với a = 6b ⇒ d : 6x + y − = Vậy, có đường thẳng cần tìm: −6x + y + = 0, 6x + y − = Ví dụ Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, cho đường tròn 595 Lop12.net (9) Nguyễn Phú Khánh ( C ) : ( x − 1)2 + ( y − )2 = Tìm tọa độ các đỉnh B,C, D hình chữ nhật ABCD nội tiếp ( C ) , có A ( −1; ) Lời giải Đường tròn ( C ) có tâm I ( 1; ) , bán kính R = Điểm C đối xứng A qua I ⇒ C ( 3;1) Đường thẳng BD qua I và vuông góc với AC nên nhận AC = ( 4; −2 ) làm vectơ pháp tuyến, suy ( BD ) : 2x − y = x = 0, y = 2x − y = Tọa độ điểm B, D là nghiệm hệ: ⇒ 2 ( x − 1) + ( y − ) = x = 2, y = Vậy, B ( 0; ) , C ( 3;1) , D ( 2; ) B ( 2; ) , C ( 3;1) , D ( 0; ) thỏa bài toán Ví dụ Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, cho A ( 7;1) , B và C là điểm thuộc đường thẳng ( d ) : 2x + y + = và ( d' ) : 4x + 3y − 27 = 7 5 Lập phương trình đường tròn ngoại tiếp, ∆ABC , biết ∆ABC có trọng tâm G ; 3 Lời giải 27 − 4xC B ∈ ( d ) ⇒ B ( x B ; −7 − 2x B ) , C ∈ ( d' ) ⇒ C xC ; 7 5 Vì G ; là trọng tâm ∆ABC nên có: 3 x A + x B + xC = x B = −3, y B = −1 ⇒ B ( −3; −1) 3 ⇔ x B + xC = ⇔ 3x B + 2xC = −3 y A + y B + yC = xC = 3, yC = ⇒ C ( 3; ) 3 Bài toán trở thành: “Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp ∆ABC , biết A ( 7;1) , B ( −3; −1) , C ( 3; ) ” Gọi I ( a; b ) là tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC 596 Lop12.net (10) Nguyễn Phú Khánh IA = IB a + b = Ta có: ⇔ ⇒ I ( 2; ) ⇒ R = IA = 26 IA = IC 5a + b = 10 Vậy, phương trình đường tròn cần tìm có tâm I ( 2; ) , bán kính R = 26 ( x − )2 + y2 = 26 Ví dụ Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, cho tam giác ABC nội tiếp 2 = 900 , A 2; và diện tích tam giác đường tròn ( C ) : ( x −1) + ( y + ) = 5, ABC ( ) ABC Tìm toạ độ đỉnh B, C Lời giải Đường tròn ( C ) có tâm I ( 1; −2 ) và bán kính R = = 900 ⇒ C đối xứng A qua tâm I 1; −2 , nên C 0; −4 Vì ABC có ABC ( ) ( ) Phương trình đường thẳng ( AC ) : 2x − y − = Diện tích tam giác ABC , nên khoảng cách từ B đến cạnh AC là : d= 2S = AC , ) nên phương trình ( d ) : Do đó B nằm trên đường thẳng ( d ) ( AC 2x − y + m = ( d ) cách AC khoảng ⇔ 4+m = ⇒m=0 m = −8 ∗ Với m = ⇒ ( d1 ) : 2x − y = , toạ độ điểm B là nghiệm hệ phương trình x = − x = 2x − y = ⇔ 2 y = ( x − 1) + ( y + ) = y = − 12 ∗ Với m = −8 ⇒ ( d ) : 2x − y − = , toạ độ điểm B là nghiệm hệ phương 16 2x − y − = x = x = trình: ⇔ 2 y = −4 ( x − 1) + ( y + ) = y = − 597 Lop12.net (11) Nguyễn Phú Khánh 12 Vậy, toạ độ C ( 0; −4 ) , toạ độ B (0; 0) − ; − ( 2; −4 ) 16 ;− 5 Ví dụ Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, cho đường tròn ( C ) : x + y + 2x − 2y + = Viết phương trình tiếp tuyến đường tròn ( C ) xuất phát từ A ( 2; −3 ) Lời giải ( C ) có tâm I ( −1;1) , bán kính R = Ta thấy, IA > R nên A nằm ngoài đường tròn Do đó qua A kẻ tiếp tuyến đến ( C ) Đường thẳng ∆ qua A có phương trình: a ( x + ) + b ( y + ) = ∆ tiếp xúc ( C ) d ( I ; ∆ ) = R ⇔ a + 4b a +b = ⇔ 8ab + 15b2 = ⇔ b ( 8a + 15b ) = ⇔ b = b = − , a 15 ∗ Với b = ⇒ a ( x + ) + ( y + ) = ⇒ x + = vì a ≠ 8 a ⇒ a ( x + ) − a ( y + ) = hay 15x – 8y + = vì a ≠ 15 15 Vậy, có tiếp tuyến thỏa mãn đề bài: x + = 0, 15x – 8y + = ∗ Với b = − Ví dụ 10 Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, cho đường tròn ( C ) : ( x − )2 + y = và điểm E ( 4;1) Tìm tọa độ điểm M trên trục tung cho từ M kẻ hai tiếp tuyến MA,MB đến đường tròn ( C ) với A, B là hai tiếp điểm cho đường thẳng AB qua E Lời giải Đường tròn ( C ) có tâm I ( 4; ) , bán kính R = Gọi M ( 0; m ) , giả sử T ( x; y ) là tiếp điểm tiếp tuyến vẽ từ M tới ( C ) Suy MT = ( x; y − m ) , IT = ( x − 4; y ) 598 Lop12.net (12) Nguyễn Phú Khánh 2 T ∈ ( C ) x + y − 8x + 12 = ⇔ 2 MT.IT = x + y − 4x − my = ⇒ 4x − my − 12 = A E Do đó, phương trình đường thẳng AB : 4x − my − 12 = M I AB qua E ⇔ 16 − m − 12 = ⇔ m = Vậy M ( 0; ) là điểm cần tìm B Ví dụ 11 Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, cho phương trình là x + y − 4x + 6y − = và đường thẳng d có phương trình là 3x + 4y − = Gọi ( C′ ) là đường tròn có bán kính tiếp xúc với ngoài với ( C ) A và tiếp xúc với d B Tính đoạn AB Lời giải Đường tròn ( C ) có tâm I ( 2; −3 ) , bán kính R = Gọi I ' ( a; b ) , R ' là tâm và bán kính ( C′ ) , suy R ' = và II ' = R + R ' = Áp dụng định lí cô sin cho tam giác AI' B ta có: , AB2 = I' A + I' B2 − 2.I' A.I' B.cos AI' B = 50(1 − cos AI' B) n ∆ I 'I B Mà cos AI' B = cos n ∆ ,I'I = n ∆ I'I ) ( = 3(a − 2) + 4(b + 3) 5.9 = I' 3a + 4b + Mặt khác: d(I ', ∆ ) = ⇒ 45 3a + 4b − ⇔ 3a + 4b = 26 3a + 4b = −24 A =5 I 32 32 130 130 • 3a + 4b = 26 ⇒ cos AI' B= ⇒ AB2 = 50 − = ⇒ AB = 45 45 2 • 3a + 4b = −24 ⇒ cos AI' B = ⇒ AB2 = 50 − = 30 ⇒ AB = 30 5 Ví dụ 12 Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, cho hai đường tròn ( C1 ) : ( x − )2 + ( y − ) = và ( C2 ) : ( x − ) + ( y + 1) = Chứng minh ( C1 ) và ( C ) 2 599 Lop12.net (13) Nguyễn Phú Khánh tiếp xúc ngoài với A Viết phương trình tiếp tuyến chung ( C1 ) và ( C2 ) A Gọi d là tiếp tuyến chung ( C1 ) và ( C2 ) không qua A , đường thẳng d cắt đường thẳng nối hai tâm B Tìm tọa độ điểm B Lời giải Đường tròn ( C1 ) có tâm I ( 3; ) và bán kính R = Đường tròn ( C ) có tâm I' ( 7; −1) và bán kính R ' = Gọi A ( x; y ) Theo giả thiết ta AI' R ' R ' có: = ⇔ I' A = − IA AI R R x − = − ( x − ) ⇔ I y + = − ( y − ) A I' B 27 x = 27 ⇒A= ; ⇔ 5 y = Tiếp tuyến chung ( C1 ) và ( C ) A và vuông góc II' nên có véctơ pháp , tuyến n = II ' = ( 4; −3 ) , có phương trình: 4x − 3y − 21 = Gọi B ( x0 ; y ) , theo giả thiết ta có BI' R ' = BI R R ' x0 − = ( x0 − ) x = 15 Suy IB' = IB ⇔ ⇔ ⇒ B (15; −7 ) R y0 = −7 y + = ( y − ) Ví dụ 13 Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, cho đường thẳng ∆ : x + y − = và đường tròn ( T ) hai điểm phân biệt ( T ) : x2 + y2 − 2x + 2y − = Chứng minh ∆ cắt A , B và tìm toạ độ nguyên điểm C trên ( T ) cho tam giác ABC có diện tích 14 Lời giải 600 Lop12.net (14) Nguyễn Phú Khánh Đường tròn ( T ) có tâm I ( 1; −1) , bán kính A R=3 Ta có d ( I, ∆ ) = < R ⇒ ∆ và ( T ) cắt hai điểm phân biệt A, B I Và AB = R − d ( I, ∆ ) = B ∆ C Giả sử C ( x0 ; y0 ) ∈ ( T ) ⇒ ( x0 − 1) + ( y0 + 1) = 2 ( ∗) Diện tích tam giác ABC: S ∆ABC = d ( C, AB ) AB = 7.d ( C, ∆ ) 14 ⇒ d ( C, ∆ ) = 2 1 Mà d ( C, ∆ ) = x0 + y − = ⇔ x0 + y − = ⇔ x0 + y0 − = ±1 2 • x + y0 − = ⇒ x0 = − y0 thay vào ( ∗) , ta được: Do đó, S ∆ABC = Với Với ( − y0 )2 + ( y0 + 1)2 = ⇔ y02 − y0 − = ⇔ y0 = −1 y0 = −1 ⇒ x0 = ⇒ C ( 4; −1) , y = ⇒ x0 = ⇒ C ( 1; ) y0 = • x + y0 − = −1 ⇒ x = − y0 thay vào ( ∗) ta được: ( − y ) + ( y + 1) = ⇔ y = Vậy, C ( 4; −1) , C ( 1; ) là tọa độ cần tìm −1 ± 17 ( lẻ ) Ví dụ 14 Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, cho cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn ( C ) có phương trình : ( x − 1) + ( y − 1) = 10 Điểm M ( 0; ) là 2 trung điểm cạnh BC và diện tích tam giác ABC 12 Tìm tọa độ các đỉnh tam giác ABC Lời giải Đường tròn ( C ) có tâm I ( 1;1) , suy MI = ( 1; −1) Vì BC qua M và vuông góc với MI nên BC : x − y + = x − + y − = 10 y = x + ) ( ) Tọa độ B,C là nghiệm hệ: ( ⇔ x = x − y + = 601 Lop12.net (15) Nguyễn Phú Khánh x = 2, y = ⇔ x = −2, y = Suy B ( 2; ) ,C ( −2; ) B ( −2; ) ,C ( 2; ) Gọi A ( a; b ) , suy ( a − 1) + ( b − 1) = 10 Ta có: d ( A, BC ) = ( ∗) a−b+2 , BC = ⇒ S ∆ABC = a − b + 2 Nên ta có a − b + = ⇔ a = b + 4,a = b − • a = b + thay vào ( ∗) ta được: ( b + ) + ( b − 1) = 10 ⇔ b + 2b = 2 ⇔ b = 0, b = −2 • a = b − thay vào ( ∗) ta có: ( b − ) + ( b − 1) = 10 vô nghiệm 2 Vậy, A ( 0; ) A ( 2; −2 ) Ví dụ 15 Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, cho hai đường tròn ( C1 ) : x + y = 13 và ( C2 ) : ( x − ) + y = 25 Gọi A là giao điểm ( C1 ) và ( C ) với y A < Viết phương trình đường thẳng qua A và cắt ( C1 ) , ( C2 ) theo dây cung có độ dài , Lời giải x = x + y = 13 Xét hệ: ⇔ ⇒ A ( 2; −3 ) , B ( 2; ) 2 y = ±3 ( x − ) + y = 25 Gọi ∆ là đường thẳng cần lập • ∆ ≡ AB thỏa yêu cầu bài toán • ∆ ≠ AB giả sử ∆ cắt hai đường tròn ( C1 ) , ( C ) M, N 602 Lop12.net (16) Nguyễn Phú Khánh Phép đối xứng tâm A biến M thành N và ( C1 ) thành ( C ) B M ∈ ( C1 ) ⇒ N ∈ ( C3 ) ⇒ N ∈ ( C2 ) ∩ ( C ) I1 ⇒ ( C3 ) : ( x − ) + ( y + ) = 13 2 I2 x − + y + = 13 ) ( ) ( Suy N : ( x − ) + y = 25 A N 37 24 ⇒ N ; − I1' 27 Suy AN = ; − ⇒ ∆ có n = (1; 3) là VTPT 5 Phương trình ∆ : x + 3y + = Ví dụ 16 Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, cho cho ∆ABC với A ( 2; ) , B ( 2;1) , C ( 6; ) Gọi D là giao điểm đường phân giác góc BAC với BC Tìm tất các điểm M thuộc đường tròn cho : S MDC = 2S ADB ( C ) : ( x − ) + ( y − 1) 2 = 25 , Lời giải Ta có AB = ( 0; ) , AC = ( 4; ) , BC = ( 4; ) DB AB BD 10 Vì = = ⇒ = ⇒ BD = BC ⇒ D ; ⇒ CD = − ; − DC AC BC 3 3 3 Phương trình AB : x − = , nên 1 4 d ( D, AB ) = ⇒ S ∆ABD = AB.d ( D,AB ) = = 2 3 Phương trình DC : x − 2y = Gọi M ( a ; b ) ⇒ ( a − ) + ( b − 1) = 25 ( ∗) Mặt khác: S ∆MCD = 2S ∆ABD ⇒ a − 2b 8 CD.d(M,CD) = ⇔ = 3 ⇔ a − 2b = ⇔ a = 2b + a = 2b − • a = 2b − thay vào ( ∗) ta có được: ( 2b − ) + ( b − 1) = 25 ⇔ b − 6b + = 2 603 Lop12.net (17) Nguyễn Phú Khánh b = ⇒ a = −2 ⇒ M ( −2;1) ⇔ b = ⇒ a = ⇒ M ( 6; ) • a = 2b + thay vào ( ∗) ta có được: ( 2b + 1) + ( b − 1) = 25 2 ⇔ 5b + 2b − 23 = −1 + 29 18 + 29 −1 + 29 18 + 29 ⇒a= ⇒ M ; b = 5 5 ⇔ −1 − 29 18 − 29 −1 − 29 18 − 29 ; ⇒a= ⇒ M b = 5 5 Ví dụ 17 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) : x + y − 2x + 4y − 20 = và đường thẳng ( d ) : 3x + 4y − 20 = Chứng minh d tiếp 2 xúc với ( C ) Tam giác ABC có đỉnh A thuộc ( C ) , các đỉnh B và C thuộc d , trung điểm cạnh AB thuộc ( C ) Tìm tọa độ các đỉnh A, B,C biết trực tâm tam giác ABC trùng với tâm đường tròn ( C ) và điểm B có hoành độ dương Lời giải Đường tròn ( C ) có tâm I(1; −2) và bán kính , R=5 d ( I,d ) = − − 20 32 + = = R Suy d tiếp xúc với ( C ) Gọi H là tiếp điểm (C) và d Tọa độ H là nghiệm hệ phương trình 3x + 4y − 20 = x = ⇔ ⇒ H ( 4; ) 2 x + y − 2x + 4y − 20 = y = Do I là trực tâm ∆ABC và IH ⊥ BC ⇒ A ∈ IH Kết hợp A ∈ ( C ) ⇒ là điểm đối xứng x = 2xI − xH x = −2 H qua I ⇒ A ⇒ A ⇒ A ( −2; −6 ) y A = 2yI − yH y A = −6 Gọi M là trung điểm cạnh AB Do HA là đường kính nên HM ⊥ AM Tam giác HAB có HM vừa là trung tuyến vừa là đường cao nên ∆HAB cân 20 − 3b H ⇒ HB = HA = 2R = 10 , B ∈ d ⇒ B b; HB = 10 ⇔ 2 20 − 3b 20 − 3b ( b − ) + − = 10 ⇔ ( b − ) + − = 100 604 Lop12.net (18) Nguyễn Phú Khánh b = −4 12 − 3b ⇔ ( b − 4) + = 100 ⇔ b − 8b − 48 = ⇔ b = 12 Do x B > ⇒ B ( 12; −4 ) 20 − 3c 44 − 3c c ∈ d ⇒ C c; ⇒ AC = c + 2; , BI = ( −11; ) 44 − 3c = ⇔ c = ⇒ C ( 0; ) AC ⊥ BI ⇒ AC.BI = ⇔ −11 ( c + ) + , 605 Lop12.net (19)