Ôn tập Hình học 12

Phương pháp tọa độ trong không gian GV: Phan Đăng Phi CHƯƠNG II : PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN TỌA ĐỘ CỦA VECTƠ VÀ CỦA ĐIỂM A. Lí thuyết cần nhớ : 1.Tọa độ của vectơ Đònh nghóa: Trong kg(Oxyz ) cho vectơ → u tùy ý ,do → i , → j , → k không đồng phẳng nên tồn tại bộ ba số thực (x ; y ; z) sao → u = x → i + y → j + z → k Bộ ba số (x ; y ; z) gọi là tọa độ của vectơ → u , kí hiệu: → u = ( x ; y ; z ) Vậy → u = ( x ; y ; z ) ⇔ → u = x → i + y → j + z → k Các tính chất : → u = ( x ; y ; z ) , → v = ( x’ ; y’ ; z’ ) • → u + → v = ( x + x’ ; y + y’; z + z’ ) • → u - → v = ( x – x’ ; y – y’; z – z’ ) • k → u = ( kx ; ky ; kz ) •      = = = ⇔= →→ ' ' ' zz yy xx vu 2. Tọa độ của điểm : Đònh nghóa : Trong kg(Oxyz ) cho điểm M tùy ý. Tọa độ của vectơ OM được gọi là tọa của điểm M . Vậy nếu →− OM = (x ; y ; z) thì bộ ba số (x ; y ; z) là tọa độ của điểm M , Ta viết : M ( x ; y ; z ) M ( x ; y ; z ) ⇔ →− OM = x → i + y → j + z → k Các tính chất : A ( x A ; y A ; z A ) , B ( x B ; y B ; z B ) ta có ; • AB = ( x B – x A ; y B – y A ; z B – z A ) • AB = 222 )()()( ABABAB zzyyxx −+−+− •          − − = − − = − − = ⇔≠= →−→− k kzz z k kyy y k kxx x kMBkMA BA M BA M BA M 1 1 1 )1(, - 1 - Phương pháp tọa độ trong không gian GV: Phan Đăng Phi • M là trung điểm của đoạn AB ⇔          + = + = + = 2 2 2 BA M BA M BA M zz z yy y xx x • G(x G ;y G ; z G ) là trọng tâm tứ diện ABCD ⇔          +++= +++= +++= )( 4 1 )( 4 1 )( 4 1 DCBAG DCBAG DCBAG zzzzz yyyyy xxxxx 3 .Biểu thức tọa độ của tích vô hướng của hai vectơ : Cho hai vectơ → a = ( x 1 ; y 1 ; z 1 ) , → b = ( x 2 ; y 2 ; z 2 ) ta có : • → a . → b = x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 • → a ⊥ → b ⇔ x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 = 0 • | → a | = 2 1 2 1 2 1 zyx ++ • cos ϕ = 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 212121 . zyxzyx zzyyxx ++++ ++ • → a và → b cùng phương với nhau ⇔ x 1 : y 1 : z 1 = x 2 : y 2 : z 2 4 . Tích có hướng của hai vectơ: a. Đònh nghóa : Cho hai vectơ → a = ( x 1 ; y 1 ; z 1 ) , → b = ( x 2 ; y 2 ; z 2 ). Tích có hướng của hai vectơ → a và → b là một vectơ kí hiệu là [ → a , → b ] và - 2 - Phương pháp tọa độ trong không gian GV: Phan Đăng Phi [ → a , → b ] =         22 11 22 11 22 11 ;; yx yx xz xz zy zy b. Các tính chất : • → a cùng phương với → b ⇔ [ → a , → b ] = → 0 • [ → a , → b ] ⊥ → a , [ → a , → b ] ⊥ → b • |[ → a , → b ]| = | → a |.| → b |sin ϕ c.Diện tích tam giác : Diện tích tam giác ABC được tính bởi công thức: S ABC ∆ = 2 1 |[AB, AC ]| d.Thể tích : • Thể tích V của hình hộp ABCD. A’B’C’D’ được tính bởi công thức: V = |[AB, AD ].AA’| • Thể tích V của tứ diện ABCD được tính bởi công thức : V = 6 1 |[AB , AC ]AD | e. Điều kiện đồng phẳng của ba vectơ : • Ba vectơ → a , → b , → c đồng phẳng ⇔ [ → a , → b ]. → c = 0 • Ba vectơ → a , → b , → c không đồng phẳng ⇔ [ → a , → b ]. → c ≠ 0 • Bốn điểm A,B,C,D đồng phẳng ⇔ , ,AB AC AD uuur uuur uuur đồng phẳng • Bốn điểm A,B,C,D không đồng phẳng ⇔ , ,AB AC AD uuur uuur uuur không đồng phẳng 1. Bài Tập 1/ Cho ba vectơ → a = ( 2;1 ; 0 ), → b = ( 1; -1; 2) , → c = (2 ; 2; -1 ). b.Tìm tọa độ của vectơ : → u = 4 → a - 2 → b + 3 → c . c.Chứng minh rằng 3 vectơ → a , → b , → c không đồng phẳng . d.Hãy biểu diển vectơ → w = (3 ; 7 ; -7 ) theo ba vectơ → a , → b , → c . - 3 - Phương pháp tọa độ trong không gian GV: Phan Đăng Phi 2/ Cho 3 vectơ → a = (1; m; 2), → b = (m+1; 2;1 ) , → c = (0 ; m-2 ; 2 ) .Đònh m để Vectơ đó đồng phẳng . 3/ Cho 3 điểm A ( 3;-4;7 ),B( -5; 3; -2 ) ,C(1; 2; -3 ). a. Xác đònh điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành . b. Tìm tọa độ giao điểm của hai đường chéo. c.Tính diện tích tam giác ABC, độ dài BC từ đó đường cao tam giác ABC vẽ từ A. d.Tìm tọa độ trọng tâm của tam giác ABC . 4/ Cho 4 điểm A( 2; 0; 0) , B( 0; 4; 0 ) , C( 0; 0; 6 ), D ( 2; 4 ;6 ). a.Chứng minh 4 điểm A, B , C , D không đồng phẳng.Tính thể tích tứ diện ABCD b.Tìm tọa độ trọng tâm của tứ diện ABCD . c.Tính diện tích tam giác ABC , từ đó suy ra chiều cao của tứ diện vẽ từ D. d.Tìm tọa độ chân đường cao của tứ diện vẽ từ D . 5/ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm A(3;4;-1) , B(2;0;3),C(-3;5;4) a.Tìm độ dài các cạnh của tm giác ABC. b. Tính cosin các góc A,B,C . c.Tính diện tích tam giác ABC II . PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA MẶT PHẲNG A. Lí thuyết cần nhớ : 1. Đònh nghóa : • Vectơ → n ≠ → 0 được gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (α ) nếu nó nằm trên đường thẳng vuông góc với ( α ). Kí hiệu : → n ⊥ ( α ) • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz nếu hai vectơ → a , → b ≠ → 0 ,không cùng phương và các đường thẳng chứa chúng song song hoặc nằm trong (α ) được gọi là cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng ( α ). Chú ý : Nếu ( α ) có cặp vectơ chỉ phương → a , → b thì (α ) có một vectơ pháp tuyến → n = [ → a , → b ] 2.Phương trình mặt phẳng: M ặt phẳng ( α ) qua M 0 ( x 0 ;y 0 ; z 0 ) có vtpt → n = ( A; B; C ) có phương trình là : A ( x – x 0 ) + B (y – y 0 ) + C ( z – z 0 ) = 0 3. Vò trí tương đối của hai mặt phẳng : Cho hai mặt phẳng : (α) Ax + By + Cz +D = 0 và (α’) A’x + B’y + C’z + D’= 0 Khi đó hai mặt phẳng (α) và (α’) lần lượt có VTPT : → n = (A;B; C), ' → n =(A’;B’;C’) • (α) và (α’) cắt nhau ⇔ → n và ' → n không cùng phương ⇔ A:B:C ≠ A’: B’: C’ (α) // (α’) ⇔ '''' D D C C B B A A ≠== - 4 - Phương pháp tọa độ trong không gian GV: Phan Đăng Phi • (α) ≡ (α’) ⇔ '''' D D C C B B A A === 4/ Chùm mặt phẳng: Cho hai mặt phẳng cắt nhau : (α) Ax + By + Cz +D = 0 (α’) A’x + B’y + C’z + D’= 0 a.Đònh lí : Mỗi mặt phẳng qua giao tuyến của (α) và (α’) đều có phương trình dạng: λ( Ax + By + Cz +D) +µ ( A’x + B’y + C’z + D’) = 0 , λ 2 +µ 2 ≠ 0 (1). Ngược lại mỗi phương trình có dạng (1) đều là phương trình của một mặt phẳng qua giao tuyến của (α) và (α’) b.Đònh nghóa: Tập hợp tất cả các mặt phẳng qua giao tuyến của hai mặt (α) và (α’) gọi là chùm mặt phẳng. Phương trình (1) gọi là phương trình chùm mặt phẳng. B.Phương pháp chung lập phương trình của mặt phẳng : • Để lập phương trình của một mặt phẳng ta cần tìm một điểm thuộc mặt phẳng và vtpt của nó hay tìm cặp vtcp của nó • Sử dụng phương trình chùm mặt phẳng. 1/ Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng ( α ) trong các trườnghợp sau: (α) đi qua M (3; 2; -5 ) và vuông góc với trục Oz . (α) là mặt trung trực của đoản AB với A( 3; -5; 4 ), B( 1 ; 3; -2 ). (α) qua N( 3; 2;-1 ) và song song với mặt phẳng Oxz . 2/Viết phương trình mặt phẳng (α) trong các trường hợp sau: a. (α) đi qua hai điểm M( 1; -1; 2 ) , N( 3; 1; 4 ) và song song với trục Oz . b. (α) đi qua ba điểm A(1; 6; 2 ), B( 5; 0; 4), C( 4; 0; 6 ) . (α) đi qua hai điểm D( 1; 0; 0 ) ,E( 0; 1; -1 ) và vuông góc với mặt phẳng : (P): x + y – z = 0 . (α) qua điểm I( 3; -1; -5 ) và vông góc với hai mặt phẳng : ( α 1 ): 3x –2y + 2z +5 = 0 , (α 2 ): 5x – 4y + 3z +1 = 0 . 3/ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba mặt phẳng : (α 1 ): 2x + 3y – 4 = 0 , (α 2 ) : 2y – 3z – 5 = 0 , (α 3 ) : 2x + y – 3z –2 = 0. a. Viết phương trình mặt phẳng ( α ) quiểm M( 1;3; -4 ) giao tuyến của(α 1 ) ,(α 2 ) b. Viết phương trình mặt phẳng ( β ) qua giao tuyến của (α 1 ) ,(α 2 ) đồng thời vuông góc với (α 3 ) . 4/Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng : d 1: :    =−−= =−+− 012 0542 zyx zyx , (d 2 ) :      = += −= tz ty tx 2 32 1 . Viết phương trình mặt phẳng (α) qua (d 1 ) và song song với (d 2 ). Viết phương trình mặt phẳng (α 1 ) qua M (1 ;–3; 5 ) và song song với hai đường thẳng (d 1 ), (d 2 ) . 5/ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz.Cho điểm M( 2;-1 ; 1) và đường thẳng d:    =+−+ =−+− 0322 0832 zyx zyx . Viết phương trình mặt phẳng đi qua M và vuông góc với đường thẳng d. - 5 - Phương pháp tọa độ trong không gian GV: Phan Đăng Phi 6/ Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d: 2 2 2 1 1 − − = + = zyx và vuông gócvới mặt phẳng (Q): 2x – 3y + z + 3 = 0 II. ĐƯỜNG THẲNG A. Lí thuyết cần nhớ Vectơ → u ≠ → 0 nằm trên đường thẳng song song hoặc trùng với đưỡng thẳng (d) gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng (d). Đường thẳng (d) đi qua điểm M 0 ( x 0 ; y 0 ; z 0 ) có vectơ chỉ phương → u = ( a; b; c) có phương trình tham số là :      += += += ctzz btyy atxx 0 0 0 t ∈ R Phương trình chính tắc : c zz b yy a xx 000 − = − = − . • Phương trình tổng quát của đường thẳng :    =+++ =+++ 0'''' 0 DzCyBxA DCzByAx (1) trong đó A 2 +B 2 +C 2 ≠ 0, A’ 2 +B’ 2 +C’ 2 ≠ 0 , A:B:C ≠ A’:B’:C’. Chú ý: Nếu đường thẳng có phương trình dạng (1) thì nó có một vectơ chỉ phương → u = ( '' ; '' ; '' BA BA AC AC CB CB ) B.Phương pháp chung để lập phương trình của đường thẳng: Để lập phương trình của một đường thẳng ta sử dụng một trong hai cách sau: • Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng và một điểm thuộc đường thẳng. • Viết phương trình hai mặt phẳng phân biệt và chứa đường thẳng đó. - 6 - Phương pháp tọa độ trong không gian GV: Phan Đăng Phi Chú ý : • Hai đường thẳng song song có cùng vectơ chỉ phương. • Nếu đường thẳng vuông góc với mặt phẳng thì nó nhận vtpt của mặt phẳng làm vtcp. C.Một số cách viết phương trình đường thẳng thường gặp: 1/ Bài toán 1:Viết phương trình hình chiếu vông góc của đường thẳng (d) trên mặt phẳng (α ). Cách giải : • Viết phương trình mặt phẳng (β ) qua đường thẳng (d ) và vuông góc với (α ). ( Mặt phẳng (β ) nhận vtcp của(d) và vtpt của (α ) làm cặp vtcp ) • Hình chiếu vuông góc (d’) của (d) trên (α ) là giao tuyến của (α ) và (β ). 2/ Bài toán 2: Viết phương trính đường thẳng (d) đi qua điểm M và cắt cả hai đường thẳng (d 1 ) , (d 2 ) cho trước .( M ∉ (d 1 ),(d 2 )) . Cách giải : • Viết phương trình mặt phẳng ( M,(d 1 )) • Viết phương trình mặt phẳng (M,(d 2 )) • (d) = (M,(d 1 )) ∩ (M,(d 2 )). 3/ Bài toán 3: Viết phương trình đường thẳng (d ) qua M cắt đường thẳng (d 1 ) và vuông góc với (d 2 ). Cách giải : • Viết phương trình mặt phẳng (α ) qua M và (d 1 ). • Viết phương trình mặt phẳng (β ) qua M và (β )⊥ (d 2 ). • (d) = (α) ∩ (β). 4/ Bài toán 4: Viết phương trình đường thẳng (d ) đi qua điểm M cắt đường thẳng ( ∆ ) và vuông góc với ( ∆ ). Cách giải: • Viết phương trình mặt phẳng (α) qua M và vuông góc với ( ∆ ). • Viết phương trình mặt phẳng (β) qua M và ( ∆ ). • (d) = (α) ∩ (β) . Ghi chú :Ta có thể giải bài toán như sau. • Viết phương trình mặt phẳng (α) qua M và vuông góc với ( ∆ ). • Tìm giao điểm N của ( ∆ ) và(α ). • Viết phương trình đường thẳng MN đó là đường thẳng (d) cần tìm. 5/ Bài toán 5: Cho đường thẳng ( ∆ ) và mặt phẳng (α ) cắt nhau tại điểm M .Viết phương tình đường thẳng (d) đi qua M nằm trong (α ) và (d)⊥ ( ∆ ). Cách giải : • Viết phương trình mặt phẳng (β) qua M và (β)Vuông góc với (d) . • (d) = (α)∩ (β). 6/ Bài toán 6 : Viết phương trình đường thẳng ( ∆ ) có vtcp → u và cắt hai đường thẳng (d 1 ) và (d 2 ) cho trước. Cách giải : Viết phương trình mặt phẳng (α) qua (d 1 ) và nhận → u làm một vtcp. Viết phương trình mặt phẳng (α) qua (d 2 ) và nhận → u làm một vtcp. (c) = (α)∩ (β). Chú ý : • Nếu ( ∆ ) là đường vuông góc chung của (d 1 ) ,(d 2 ) thì ( ∆ ) có vtcp là tích có hướng của hai vtcp của (d 1 ), (d 2 ) . - 7 - Phương pháp tọa độ trong không gian GV: Phan Đăng Phi • Nếu (∆) ⊥ mp(α) thì (∆) nhận VTPT của (α) làm VTCP D.Bài tập : 1/ Viết phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng ( ∆ ): a.Qua hai điểm M( 2; -3; 5), N( 1; -2; 3). b. Qua A(1; -1; 3) và song song với BC trong đó B(1; 2; 0 ),C(-1; 1; 2) c.Qua D(3; 1; -2) và vuông góc với mặt phẳng 3x + 4y – zz +5 = 0 2/ Cho đường thẳng (d) có phương trình tổng quát    =+−+ =−+− 0242 01023 zyx zyx . Hãy viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của (d). 3/ Cho đường thẳng (d) :    =−+− =− 0323 02 zyx zx và mặt phẳng (α): x –2y + z +5 = 0. Viết phương trình hình chiếu vuông góc của (d) trên (α). 4/ Cho hai đường thẳng: (d 1 ) zy x =+= − 2 3 1 , (d 2 ):    =+ =+−+ 01 02 x zyx . a.Viết phương trình đường thẳng (d) qua A( 0; 1; 1) vuông góc với (d 1 ) và cắt (d 2 ). b. Viết phương trình đường thẳng (∆ )Qua điểm M(1; 0; -2 )và vuông góc với hai đường thẳng (d 1 ), (d 2 ). 5/ Viết phương trình đường thẳng qua A( 3; -2; - 4),song song với mặtt phẳng : 3x – 2y – 3z – 7 = 0 đồng thời cắt đường thẳng (d): 2 1 2 4 3 2 − = − + = − zyx 6/ Lập phương trình đường thẳng vuông góc với mặt phẳng Oxy và cắt cả hai đường thẳng : (d 1 ):      −= +−= = tz ty tx 3 4 , (d 2 ):      −= +−= −= tz ty tx 54 3 21 . 7/ Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng : (d 1 ): z yx = − + = − 1 1 2 1 , (d 2 ):    =++− =−+− 0122 042 zyx zyx IV. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA CÁC ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG. A. LÍ THUYẾT : 1/ Vò trí tương đối của hai đường thẳng: - 8 - Phương pháp tọa độ trong không gian GV: Phan Đăng Phi Cho hai đường thẳng : (d) : c zz b yy a xx 000 − = − = − ,( d ’ ): ' ' 0 ' ' 0 ' ' 0 c zz b yy a xx − = − = − (d) qua M 0 (x 0 ;y 0 ;z 0 ) ,có VTCP → u = ( a; b; c) (d’) qua M’ 0 (x’ 0 ;y’ 0 ;z’ 0 ) ,có VTCP ' → u = ( a’; b’; c’) a. (d) và (d ’ ) đồng phẳng ⇔ 0].,[ ' 00 ' = →−−−→ → MMuu b. (d) và (d’) cắt nhau ⇔ 0].,[ ' 00 ' = →−−→ → MMuu và a:b:c ≠ a’:b’:c’ c. (d)//(d’) ⇔ a:b:c = a’:b’:c’≠ (x’ 0 – x 0 ):(y’ 0 – y 0 ) :(z’ 0 – z 0 ) d. (d) ≡ (d’) ⇔ a:b:c = a’:b’:c’ = (x’ 0 – x 0 ):(y’ 0 – y 0 ) :(z’ 0 – z 0 ) e. (d) và (d’) chéo nhau ⇔ 0].,[ ' 00 ' ≠ →−−−→ → MMuu 2/ Vò trí tương đối của đường thẳng và của mặt phẳng : Cho đường thẳng (d) có pt: c zz b yy a xx 000 − = − = − và Mặt phẳng (α ) có phương trình : Ax + By +Cz + D = 0 Đường thẳng (d) qua M 0 (x 0 ;y 0 ;z 0 ) , có VTCP → u = ( a; b; c) .Mặt phẳng (α ) có VTPT );;( CBAn = → (d) cắt (α ) ⇔ → n . → u ≠ 0 ⇔ Aa +Bb +Cc ≠ 0 .      ∉ ⊥ ⇔ →→ )( )//()( 0 α α M un d ⇔    ≠++ =++ 0 0 000 CzByAx CcBbAa (d) ⊂ (α ) ⇔      ∈ ⊥ →→ )( 0 α M un ⇔    =++ =++ 0 0 000 CzByAx CcBbAa Chú ý : Khi (d) cắt (α ) để tìm tọa độ giao điểm của (d) và (α ) ta giải hệ gồm các phương trình của (d) và (α ) B. BÀI TẬP : - 9 - Phương pháp tọa độ trong không gian GV: Phan Đăng Phi Bài 1: Xét vò trí tương đối của các cặp đường thẳng sau ,nếu chúng cắt nhau hãy tìm tọa độ giao điểm : a/ d: zy x =+= − 2 3 1 và d’    =+ =+−+ 01 02 x zyx b/ d:    =++ =−+− 012 01 yx zyx và d’:    =+−+ =+− 033 012 zyx yx c/ d:    =−++ =+−+ 012 0132 zyx zyx và d’: 1 3 57 2 − + = − = − zyx d/ d: 3 3 6 2 9 1 − = − = − zyx và d’: 2 5 4 6 6 7 − = − = − zyx Bài 2 : Xét vò trí tương đố cảu đường thẳng và mặt phẳng sau , nếu chúng cắt nhau hãy tìm tọa độ giao điểm của chúng: a/ d:      += += += tz ty tx 1 39 412 và (α) : 3x + 5y – z – 2 = 0 b/ d:    =−+− =+++ 062 016753 zyx zyx và (α): 5x – z – 4 = 0 c/ d: 4 3 1 2 2 1 − + = − = − zyx và (α) : 4x + 2y – 8z +2 = 0 d/ d: 1 3 1 2 2 1 − + = + = − zyx và (α) : 2x + y – z –3 = 0 C. Hình chiếu vuông góc của một điểm trên mặt phẳng , trên đường thẳng: 1/ Tìm hình chiếu vuông góc của điểm M trên mặt phẳng (α) • Viết phương trình đường thẳng (∆) đi qua điểm M và (∆)⊥ (α) Tìm giao điểm của (∆) với (α) đó là điểm cần tìm. - 10 - [...]... thẳng (d) Tìm hình chiếu vuông góc H của M trên (d) M’ đối xứng với M qua (d) ⇔ H là trung điểm đoạn MM’ Bài tập :  x = 1+ t  1/ Cho điểm M(2; 1; 4) và đường thẳng (d) :  y = 2 + t  z = 1 + 2t  Tìm hình chiếu vuông góc H của M trên (d) Tìm điểm M’ đối xưng với M qua (d) 2/ Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho N( 2; -3; 1 ) và mặt phẳng (α) : x + 2y – z + 4 = 0 a Tìm hình chiếu vuông góc của...Phương pháp tọa độ trong không gian 2/ Tìm điểm M’ đối xưng với điểm M qua mặt phẳng (α) GV: Phan Đăng Phi Tìm hình chiếu vuông góc H của M trên (α) M’ đối xứng với M qua (α) ⇔ H là trung điểm đoạn MM’ 3/ Tìm hình chiếu vuông góc H của M trên đường đương thẳng (d) Viết phương trình mặt phẳng (α) qua M và (α) ⊥ (d) Tìm giao... của (d) với (α) c.Viết phương trình đường thẳng (∆) qua A vuông góc với (d) đồng thời nằm trong mặt phăng (α) 4/ Cho (d) : x −1 y +2 z +3 = = , (α) : x +3y – 2z – 5 = 0 Đònh m để: m 2m −1 2 a) (d) cắt (α) b) (d) // (α) c) (d) ⊥ (α) - 11 - Phương pháp tọa độ trong không gian GV: Phan Đăng Phi V KHOẢNG CÁCH , GÓC : LÍ THUYẾT : Cần học thuộc các công thức : khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng và đến đường... của mặt cầu có tâm I(a;b;c) , bán kính R = a 2 + b 2 + c 2 − d 2/ Vò trí tương đối của mặt cầu với mặt phẳng : - 12 - Phương pháp tọa độ trong không gian GV: Phan Đăng Phi Cho mp(α) :Ax + By + Cz + D = 0 và mặt cầu (S) có phương trình: (x – a)2+ (y – b)2 + (z – c)2 = R2 Gọi H là hình chiếu vuông góc của tâm I(a;b;c) của (S) trên (α) Vậy IH = d ( I , α ) = Aa + Bb + Cc + D A2 + B 2 + C 2 a Nếu IH < R thì... D là 4 đỉnh của tứ diện b) Chứng minh rằng AC vuông góc với BD c) Tính góc tạo bới hai đường thẳng AB và CD d) Tính thể tích của tứ dòen và độ dài đường cao của tứ diện hạ từ A Bài 12 : Cho ba điểm A(2 ; 0 ; 0) , B(0 ; 2 ;0) , C( 0 ; 0 ; 2) ,D(a ; a ; a) với a là hằng số a ≠ 0 Chứng minh rằng OD vuông góc với mặt phẳng (ABC) với mọi a Bài 13: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có A(0 ; 0 ; 0) ,B(1 ; 0 ;... 3) a) Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình hộp b) Goi M,N,P,Q lần lượt là trung điểm của A’B’, BC , CD, DD’ Chứng minh rằng M,N,P,Q đồng phẳng c) Tính khoảng cách từ C’ đến mặt phẳng (MNPQ) Bài 14 : Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a Gọi M,N lần lượt là trunh điểm của A’D’ và B’B a) Chứng minh rằng MN vuông góc với AC’ b) Chứng minh rằng AC’ vuông góc với mặt phẳng (A’BD) c) Tính... – z +13 = 0 3 1 4 Bài 42: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm M(-1 ;2 ;-3) và mặt phẳng (P):4x–y + 4z -15 = 0 a) Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của M trên (P) b) Tìm tọa độ điểm M’ đối xứng với M qua (P) Bài 43 :Tìm tâm và bán kính của các mặt cầu sau : a) x2 + y2 + z2 – 6x +2y – 4z – 2 = 0 b) x2 + y2 + z2 – 4x +8y +2z – 4 = 0 Bài 44 : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường... 0 BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài 1: Viết tọa độ của các vectơ sau : → → → → → → → a = − i +3 j − 4 k , 2 b =2 j− i , → → → → → , c =3k → → d = −k − 2 i → Bài2 : Cho ba vectơ a = ( 2;-5 ; 3 ), b = ( 0; -2; 1) , c = (-1 ; 6; 2 ) → 1→ → → → → → a) Tìm tọa độ của vectơ : u = 2 a - b v = a + 3 b + c 2 → → → b) Chứng minh rằng 3 vectơ a , b , c không đồng phẳng Bài 3 : Cho điểm M( - 1; 2 ; 3) Tìm tọa độ hình chiếu... quát của mặt phẳng ( α ) trong các trườnghợp sau: a) (α) đi qua A (1; 0; 2 ) và vuông góc với mặt phẳng Oxy b) (α) đi qua M(2 ; -1 ; -3) và vuông góc với trụcc Ox c) (α) là mặt trung trực của đoạn AB với A(1; 3; 2 ), B(-1 ; 1; 0 ) d) (α) qua I(-1; 2;4 ) và song song với mặt phẳng 2x – 3y + 5z – 1 = 0 Bài 16 : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A(1; -1;-3) ,B(2 ;1 ; -2) , C(-5 ; 2 ;... độ tại ba điểm cách đều gốc tọa độ Bài 20 :Viết phương trình mặt phẳng : a) Đi qua hai điểm A(1 ;1 ;0) ,B(-1 ; 2 ; 7) và vuông góc với mặt phẳng (α) :2x–3y+z–7 = 0 b) Đi qua M(0 ;2; -1) , song song với trục Ox và vuông góc với mặt phẳng (β) x – y +z = 0 c) Đi qua N(-3;0;1) và vuông góc với hai mặt phẳng (P):2x–3y+z –2 = 0 ;(Q):x + 5y–2z = 0 Bài 21: Cho tứ diện ABCD có A(5 ; 1 ; 3) ,B(1 ; 6 ; 2) , C(5 . zyx và (α) : 2x + y – z –3 = 0 C. Hình chiếu vuông góc của một điểm trên mặt phẳng , trên đường thẳng: 1/ Tìm hình chiếu vuông góc của điểm M trên mặt phẳng. trên đường thẳng vuông góc với ( α ). Kí hiệu : → n ⊥ ( α ) • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz nếu hai vectơ → a , → b ≠ → 0 ,không cùng phương và các