Bài 8.43 : Tìm tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn mỗi số phức z thỏa mãn các trường hợp dưới đây : 1... Chứng minh rằng.[r]
(1)Chương Số phức Download tài li u h c t p t i : http://aotrangtb.com Bài 8.1 : om Mối quan hệ z = z đúng và z là số thực ; Với bất kì số phức z quan hệ z = z là đúng ; z1 z2 = z1 z2 (liên hợp tích tích các liên hợp) ; z1 z2 = z1 , z2 , (liên hợp thương thương các liên hợp) ; z2 z+2 z−z và ℑ(z) = 2i + 5i 20 Tính z = + ; − 4i + 3i tra ng Với bất kì số phức z , 0, có z−1 = (z)−1 ; ao ℜ(z) = Bài 8.2 : tb z1 + z2 = z1 + z2 (liên hợp tổng tổng các liên hợp) ; .c Với bất kì số phức z, số phức z.z ∈ R là số thực không âm ; Giả sử z1 , z2 ∈ C Chứng minh số E = z1 z2 + z1 z2 là số thực :// Bài 8.3 : Chứng minh các khẳng định sau : ht −|z| ≤ ℜ(z) ≤ |z| và −|z| ≤ ℑ(z) ≤ |z| ; |z| = | − z| = |z| ; z.z = |z|2 ; |z1 z2 | = |z1 |.|z2 | (môđun tích tích các môđun) ; |z1 | − |z2 | ≤ |z1 + z2 | ≤ |z1 | + |z2 | ; |z−1 | = |z|−1 , z , ; z1 |z1 | = , z2 , (môđun thương thương các môđun) ; z2 |z2 | |z1 | − |z2 | ≤ |z1 − z2 | ≤ |z1 | + |z2 | Bài 8.4 : Chứng minh |z1 + z2 |2 + |z1 − z2 |2 = 2(|z1 |2 + |z2 |2 ) với số phức z1 , z2 Bài 8.5 : Chứng minh |z1 | = |z2 | = và z1 z2 , −1, thì Bài 8.6 : Giải sử a là số thực dương và z1 + z2 là số thực + z1 z2 § ª Ma = z ∈ C : z + =a z ∗ Tìm giá trị nhỏ và giá trị lớn |z| z ∈ Ma Lop12.net 167 (2) CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC Download tài li u h c t p t i : http://aotrangtb.com Bài 8.7 : Chứng minh với bất kì số phức z, có |z + 1| ≥ √ |z2 + 1| ≥ Bài 8.8 : Chứng minh : r r ≤ |1 + z| + |1 − z + z2 | ≤ với số phức mà |z| = Bài 8.9 : Xét tập H = {z ∈ C : z = x − + xi, x ∈ R} Chứng minh có số z ∈ H cho |z| ≤ |w| với w ∈ H Bài 8.10 : Giả sử x, y, z là các số phức phân biệt cho om y = tx + (1 − t)z, t ∈ (0; 1) Bài 8.11 : Giải phương trình trên tập số phức |z| − |y| |z| − |x| |y| − |x| ≥ ≥ |z − y| |z − x| |y − x| tb z2 − 8(1 − i)z + 63 − 16i = c Chứng minh tra Bài 8.13 : Giả sử a, b, c là các số phức khác không với |a| = |b| = |c| ng Bài 8.12 : Giả sử p, q là các số phức với q , Chứng minh các nghiệm phương trình bậc hai x2 + px + q2 = có cùng p môđun, thì là số thực q Chứng minh các nghiệm phương trình az2 + bz + c = có môđun 1, thì b2 = ac ao Nếu phương trình az2 + bz + c = và bz2 + cz + a = :// có nghiệm có môđun 1, thì |a − b| = |b − c| = |c − a| ht Bài 8.14 : Giải các phương trình sau C : z2 + z + = ; z3 + = Bài 8.15 : Tìm các số thực x, y thỏa mãn trường hợp sau : (1 − 2i)x + (1 + 2i)y = + i ; x−3 y−3 + =i; 3+i 3−i (4 − 3i)x2 + (3 + 2i)xy = 4y2 − x + (3xy − 2y2 )i Bài 8.16 : Tính : (2 − i)(−3 + 2i)(5 − 4i) ; (2 − 4i)(5 + 2i) + (3 + 4i)(−6 − i) ; 1+i 1−i 16 + 1−i 1+i 8 ; √ 6 √ 6 −1 + i 1−i + ; 2 + 7i − 8i + + 3i − 3i Bài 8.17 : Tính : i2000 + i1999 + i201 + i82 + i47 ; i1 i2 i3 i2000 ; En = + i + i2 + · · · + in , với n ≥ ; i−5 + (−i)7 + (−i)13 + i−100 + (−i)94 TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Lop12.net Trang 168 (3) CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC Bài 8.18 : Giải phương trình C : z2 = i ; √ z = − i 2 z2 = −i ; Bài 8.19 : Tìm tất các số phức z , cho z + ∈ R z Bài 8.20 : Chứng minh : √ √ E1 = (2 + i 5)7 + (2 − i 5)7 ∈ R ; E2 = 19 + 7i 9−i n + 20 + 5i + 6i n ∈ R Bài 8.21 : Chứng minh các đẳng thức sau : |z1 + z2 |2 + |z2 + z3 |2 + |z3 + z1 |2 = |z1 |2 + |z2 |2 + |z3 |2 + |z1 + z2 + z3 |2 ; |1 + z1 z2 |2 + |z1 − z2 |2 = (1 + |z1 |2 )(1 + |z2 |)2 ; om |1 − z1 z2 |2 − |z1 − z2 |2 = (1 − |z1 |2 )(1 − |z2 |)2 ; Bài 8.22 : Giả sử z ∈ C∗ cho z3 + 1 ≤ Chứng minh z + ≤ z3 z 4z2 + 8|z|2 = ; Bài 8.24 : Xét số phức z ∈ C với ℜ(z) > Chứng minh z3 = z ng |z| = và |z2 + z2 | = ; tb Bài 8.23 : Tìm tất các số phức z cho : .c |z1 + z2 + z3 |2 + | − z1 + z2 + z3 |2 + |z1 − z2 + z3 |2 + |z1 + z2 − z3 |2 = 4(|z1 |2 + |z2 |2 + |z3 |2 ) tra 1 − < z 2 ao √ Bài 8.25 : Giả sử a, b, c là các số thực và ω = − + i Tính 2 ht Bài 8.26 : Giải các phương trình : :// (a + bω + cω2 )(a + bω2 + cω) |z| − 2z = − 4i ; iz2 + (1 + 2i)z + = ; |z| + z = + 4i ; z4 + 6(1 + i)z2 + + 6i = ; z3 = + 11i, đây z = x + yi và x, y ∈ Z ; (1 + i)z2 + + 11i = Bài 8.27 : Tìm tất các số thực m cho phương trình z3 + (3 + i)z2 − 3z − (m + i) = có ít nghiệm thực Bài 8.28 : Tìm tất các số phức z cho z′ = (z − 1)(z + i) là số thực Bài 8.29 : Tìm tất các số phức z cho |z| = z Bài 8.30 : Giả sử z1 , z2 ∈ C là các số phức cho |z1 + z2 | = Bài 8.31 : Tìm tất các số nguyên dương n cho √ và |z1 | = |z2 | = Tính |z1 − z2 | √ n √ n −1 + i −1 − i + = 2 Lop12.net Download tài li u h c t p t i : http://aotrangtb.com Trang 169 (4) CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC Bài 8.32 : Giả sử n > là số nguyên Tìm các nghiệm phương trình zn−1 = iz Bài 8.33 : Giả sử z1 , z2 , z3 là các số phức với |z1 | = |z2 | = |z3 | = R > Chứng minh |z1 − z2 |.|z2 − z3 | + |z3 − z1 |.|z1 − z2 | + |z2 − z3 |.|z3 − z1 | ≤ 9R2 v(u − z) Bài 8.34 : Giả sử u, v, w, z là các số phức cho |u| < 1, |v| = và w = Chứng minh |w| ≤ và |z| ≤ u.z − Bài 8.35 : Giả sử z1 , z2 , z3 là các số phức cho z1 + z2 + z3 = và |z1 | = |z2 | = |z3 | = om Chứng minh z21 + z22 + z23 = |z1 | = |z2 | = · · · = |zn | = r > Chứng minh số .c Bài 8.36 : Xét các số phức z1 , z2 , , zn với là số thực ng tb (z1 + z2 )(z2 + z3 ) · · · (zn−1 + zn )(zn + z1 ) z1 z2 · · · zn E= tra Bài 8.37 : Giả sử z1 , z2 , z3 là các số phức khác cho |z1 | = |z2 | = |z3 > 0.| ao Nếu z1 + z2 z3 , z2 + z1 z3 và z3 + z1 z2 là các số thực, chứng minh z1 z2 z3 = Bài 8.38 : Giả sử x1 và x2 là các nghiệm phương trình x2 − x + = Tính x1999 + x1999 ; xn1 + xn2 , với n ∈ N :// x2000 + x2000 ; x4 + 16 ; ht Bài 8.39 : Phân tích thành tích các nhị thức bậc các đa thưc sau : x3 − 27 ; x3 + ; x4 + x2 + Bài 8.40 : Tìm tất các phương trình bậc hai với hệ số thực có nghiệm là : (2 + i)(3 − i) ; 5+i ; 2−i i51 + 2i80 + 3i45 + 4i38 Bài 8.41 (Bất đẳng thức Hlawka) : Chứng minh bất đẳng thức sau |z1 + z2 | + |z2 + z3 | + |z3 + z1 | ≤ |z1 | + |z2 | + |z3 | + |z1 + z2 + z3 | đúng với số phức z1 , z2 , z3 Bài 8.42 : Biểu diễn hình học các số phức sau : z1 = + i ; z2 = −4 + 2i ; z3 = −5 − 4i ; z4 = − i ; z5 = ; z6 = −3i ; z7 = 2i ; z8 = −4 Bài 8.43 : Tìm tập hợp các điểm mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thỏa mãn các trường hợp đây : |z − 2| = ; |z − + 2i| > ; |z + i| < ; |z − 2| − |z + 2| < ; TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Lop12.net Trang 170 (5) CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC 1+z ∈R; z √ √ √ | x2 + + i y − 4| = 10, với z = x + yi ; < ℜ(iz) < ; −1 < ℑ(z) < ; ℜ z−2 z−1 10 z + =0; = z Bài 8.44 : Biểu diễn lượng giác các số phức sau và xác định argument chúng : z1 = −1 − i ; √ z3 = −1 + i ; z2 = + 2i ; √ z4 = − i Bài 8.45 : Biểu diễn lượng giác các số phức sau và xác định argument chúng : z1 = 2i ; z2 = −1 ; z3 = ; z4 = −3i z = + cos a + i sin a, a ∈ (0; 2π) z z + = z z .c Bài 8.47 : Tìm tất các số phức z cho |z| = và om Bài 8.46 : Tìm biểu diễn lượng giác số phức tb Bài 8.48 : Tính (1 + i)1000 ng Bài 8.49 : Chứng minh ao tra sin 5t = 16 sin5 t − 20 sin3 t + sin t; cos 5t = 16 cos5 t − 20 cos3 t + cos t √ (1 − i)10 ( + i)5 √ Bài 8.50 : Tính z = (−1 − i 3)10 Bài 8.51 : Tính : :// (1 − cos a + i sin a)n với a ∈ [0; 2π) và n ∈ N ; zn + 1 √ , z + = n z z ht Bài 8.52 : Giả sử z1 , z2 , z3 là các số phức cho |z1 | = |z2 | = |z3 | = r > và z1 + z2 + z3 , Chứng minh z1 z2 + z2 z3 + z3 z1 = r z1 + z2 + z3 Bài 8.53 : Giả sử z1 , z2 là các số phức cho |z1 | = |z2 | = r > Chứng minh Bài 8.54 : Giả sử z1 , z2 , z3 là các số phức cho z1 + z2 r2 + z1 z2 2 + z1 − z2 r2 − z1 z2 2 ≥ r2 |z1 | = |z2 | = |z3 | = và z21 z2 z2 + + + = z2 z3 z3 z1 z1 z2 Chứng minh |z1 + z2 + z3 |{1; 2} Bài 8.55 : Giả sử z1 , z2 là các số phức cho |z1 | = |z2 | = Chứng minh |z1 + 1| + |z2 + 1| + |z1 z2 + 1| ≥ Lop12.net Download tài li u h c t p t i : http://aotrangtb.com Trang 171 (6) CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC Bài 8.56 : Giả sử n > là số nguyên và z là số phức cho |z| = Chứng minh n|1 + z| + |1 + z2 | + |1 + z3 | + · · · + |1 + z2n | + |1 + z2n+1 | ≥ 2n Bài 8.57 : Dùng công thức khai triển Newton (1 + i)19 và công thức Moa-vrơ để tính 16 18 C19 − C19 + C19 − · · · + C19 − C19 Bài 8.58 (CĐ10) : Cho số phức z thỏa mãn điều kiện (2 − 3i)z + (4 + i)z = −(1 + 3i)2 Tìm phần thực và phần ảo z Bài 8.59 (CĐ10) : Giải phương trình z2 − (1 + i)z + + 3i = trên tập hợp các số phức om Bài 8.60 (A09) : Gọi z1 , z2 là hai nghiệm phức phương trình z2 + 2z + 10 = Tính giá trị biểu thức A = |z1 |2 + |z2 |2 √ √ Bài 8.61 (A10) : Tìm phần ảo số phức z, biết z = ( + i)2 (1 − 2i) √ (1 − 3i)3 Bài 8.62 (A10) : Cho số phức z thỏa mãn z = Tìm môđun số phức z + iz 1−i √ Bài 8.63 (B09) : Tìm số phức z thỏa mãn |z − (2 + i)| = 10 và z.z = 25 Bài 8.64 (B10) : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn : .c |z − i| = |(1 + i)z| ht :// ao tra ng tb Bài 8.65 (D09) : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện |z − (3 − 4i)| = √ Bài 8.66 (D10) : Tìm số phức z thỏa mãn : |z| = và z2 là số ảo Download tài li u h c t p t i : http://aotrangtb.com TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Lop12.net Trang 172 (7)