Giúp HS tiếp cận, luyện thi học sinh giỏi giải toán trên máy tính bỏ túi Casio Hàng tháng 1 người gửi vào ngân hàng a đồng, lãi suất m% trên một tháng tiền lãi mỗi tháng + gốc cho tháng [r]
(1)Giúp HS tiếp cận, luyện thi học sinh giỏi giải toán trên máy tính bỏ túi Casio II.2 chương II: NỘI DUNG VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU II.2.1 Sơ lược cách sử dụng máy II.2.1.1 Các phím chức trên máy II.2.1.1.1 Phím chức chung Phím On Mở máy Shift off Tắt máy Di chuyển trỏ đến vị trí liệu < Chức > 0; 1; 2…; +;-;x;÷;= AC DEL (-) CLR II.2.1.1.2 Khối phím nhớ Phím STO Nhập các số từ 0;…;9 Nhập dấu ngăn cách phần nguyên, phần phân số TP Nhập các phép toán Xóa hết liệu trên máy tính (không xóa trên nhớ) Xóa kí tự nhập Nhập dấu trừ số nguyên âm Xóa màn hình Chức Gán, ghi váo ô nhớ Gọi số ghi ô nhớ RCL Các ô nhớ A, B, C , D, E, F, X ,Y, M M Cộng thêm vào ô nhớ M M Trừ bớt từ ô nhớ II.2.1.1.3 Khối phím đặc biệt Phím Chức Di chuyển sang kênh chữ vàng Shift Alpha Di chuyển sang kênh chữ đỏ Mode Ấn định kiểu,trạng thái,loại hình tính,loại đơn vị đo ( ) EXP Mở, đóng ngoặc Nhân với lũy thừa 10 với số mũ nguyên Nhập số pi o Nhập đọc độ, phút, giây, chuyển sang chế độ thập phân '" DRG Chuyển đổi độ, Radian, grad nCr Tính tổ hợp chập r n nCr n Pr n! n !(n r )! Tính chỉnh hợp chập r n Đào Thị Mai Phương – THCS Thị Trấn Đông Triều-Đông Triều-QN Lop8.net (2) Giúp HS tiếp cận, luyện thi học sinh giỏi giải toán trên máy tính bỏ túi Casio n Pr n! (n r )! II.2.1.1.4 Khối phím hàm Phím Chức Tính tỉ số lượng giác góc 1 -1 -1 sin , cos , tan Tính góc biết tỉ số lượng giác Hàm mũ số 10, số e x x 10 , e Bình phương, lập phương x x , x3 , , x Căn bậc hai, bậc 3, bậc x x -1 Nghịch đảo x Mũ x! Tính giai thừa x % Tính phần trăm Nhập đọc phân số, hỗn số, đổi phân số, hỗn số số thập phân ngược lại Đổi hỗn số phân số và ngược lại ab / c d /c Chuyển kết dạng a.10n với n giảm dần ENG suuuu ENG Chuyển kết dạng a.10n với n tăng Nhập số ngẫu nhiên RAN II.2.1.1.5 Khối phím thống kê Phím Nhập liệu xem kết DT Chức x tổng bình phương các biến lượng x tổng các biến lượng n tổng tần số S Sum Tính S VAR Tính: x giá trị trung bình cộng các biến lượng n độ lệch tiêu chuẩn theo n n 1 độ lệch tiêu chuẩn theo n-1 CALC Tính giá trị biểu thức các giá trị biến II.2.1 2Các thao tác sử dụng máy II.2.1.2.1 Thao tác chọn kiểu Phím Mode Chức Kiểu Comp: Tính toán thông thường Mode Kiểu SD: Giải bài toán thống kê Mode Mode Kiểu ENQ: Tìm ẩn số 1) Unknows? (số ẩn hệ phương trình) + Ấn vào chương trình giải hệ PT bậc ẩn + Ấn vào chương trình giải hệ PT bậc ẩn Đào Thị Mai Phương – THCS Thị Trấn Đông Triều-Đông Triều-QN Lop8.net (3) Giúp HS tiếp cận, luyện thi học sinh giỏi giải toán trên máy tính bỏ túi Casio Mode Mode Mode 2) Degree (số bậc PT) + Ấn vào chương trình giải PT bậc t + Ấn vào chương trình giải PT bậc Kiểu Deg: Trạng thái đơn vị đo góc là độ Mode Mode Mode Kiểu Rad: Trạng thái đơn vị đo góc là radian Mode Mode Mode Kiểu Grad: Trạng thái đơn vị đo góc là grad Mode Mode Mode Mode Kiểu Fix: Chọn chữ số thập phân từ đến Mode Mode Mode Mode Kiểu Sci: Chọn chữ số có nghĩa ghi dạng a.10n (0; 1; …;9) Kiểu Norm: Ấn thay đổi dạng kết thông thường hay khoa học Kiểu ab/c; d/c: Hiện kết dạng phân số hay hỗn số Kiểu Dot, Comma: chọn dấu ngăn cách phần nguyên, phần thập phân; ngăn cách phân định nhóm chữ số Mode Mode Mode Mode Mode Mode Mode Mode Mode Mode Mode Mode Mode Mode > II.2.1.2.2 Thao tác nhập xóa biểu thức - Màn hình tối đa 79 kí tự, không quá 36 cặp dấu ngoặc - Viết biểu thức trên giấy bấm phím trên màn hình - Thứ tự thực phép tính: { [ ( ) ] } lũy thừa Phép toán căn nhân nhân chia cộng trừ II.2.1.2.3 Nhập các biểu thức - Biểu thức dấu thì nhập hàm trước, biểu thức dấu sau - Lũy thừa: Cơ số nhập trước đến kí hiệu lũy thừa o ' " ; nhập giá trị đối số trước phím hàm - Đối với các hàm: x2; x3; x-1; - Đối với các hàm ; ; cx; 10x; sin; cos; tg; sin-1; cos-1; tg-1 nhập hàm trước nhập các giá trị đối số Các số: π; e, Ran, ≠ và các biến nhớ sử dụng trực tiếp - Với hàm VD: - x nhập số x trước hàm biểu thức 20 4 Có thể nhập: VD: Tính Hoặc 4 x x 20 an a n x 42 Ấn: 4 42 = = =>Ấn: x2 = ( : ) = II.2.1.2.4 Thao tác xóa, sửa biểu thức - Dùng phím < hay > để di chuyển trỏ đến chỗ cần chỉnh - Ấn Del để xóa kí tự dạng nhấp nháy (có trỏ) - Ấn Shift Ins trỏ trở thành (trạng thái chèn) và chèn thêm trước kí tự nhấp nháy Khi ấn Del , kí tự trước trỏ bị xóa - Ấn Shift Ins lần = ta trạng thái bình thường (thoát trạng thái chèn) - Hiện lại biểu thức tính: + Sau lần tính toán máy lưu biểu thức và kết vào nhớ Ấn V Đào Thị Mai Phương – THCS Thị Trấn Đông Triều-Đông Triều-QN Lop8.net (4) Giúp HS tiếp cận, luyện thi học sinh giỏi giải toán trên máy tính bỏ túi Casio màn hình cũ lại, ấn V , màn hình cũ trước lại + Khi màn hình cũ lại ta dùng > < để chỉnh sửa và tính lại + Ấn > , trỏ dòng biểu thức + Ấn AC màn hình không bị xóa nhớ + Bộ nhớ màn hình bị xóa khi: Ấn On Lập lại Mode và cài đặt ban đầu ( Shift Clr = ) Đổi Mode Tắt máy - Nối kết nhiều biểu thức Dùng dấu “:” ( Anpha : ) để nối hai biểu thức tính VD: Tính + và lấy kết nhân Ấn: + Ans x = = II.2.1.2.5.Thao tác với phím nhớ II.2.1.2.5.1 Gán giá trị vào biểu thức - Nhập giá trị - Ấn: Shift STO biến cần gán VD: Shift STO A - Cách gọi giá trị từ biến nhớ + Cách 1: RCL + Biến nhớ + Cách 2: RCL + Biến nhớ - Có thể sử dụng biến nhớ để tính toán VD: Tính giá trị biểu thức x5 + 3x4 + 2x2 +3 với x =35 Thực hành: Gán 35 vào biến X Ấn 35 Shift STO X Anpha X + x Anpha X + x Anpha X + II.2.1.2.5.2 Xóa biến nhớ Shift STO biến nhớ II.2.1.2.5.3 Mỗi ấn = thì giá trị vừa nhập hay kết biểu thức tự động gán vào phím Ans Đào Thị Mai Phương – THCS Thị Trấn Đông Triều-Đông Triều-QN Lop8.net (5) Giúp HS tiếp cận, luyện thi học sinh giỏi giải toán trên máy tính bỏ túi Casio - Kết sau “=” có thể sử dụng phép tính - Dùng các hàm x2, x3, x-1,x!, +,-, … II.2 Lí thuyết và các dạng bài tập II.2.2.1 Các phép toán tập hợp số tự nhiên II.2.2.1.1 Lí thuyết *Phép cộng và phép nhân - Ghi y hệt các biểu thức tính vào màn hình và ấn kết - Máy đọc số có 10 chữ số, ghi dài nữa, máy không hiểu - Dấu nhân liền trước dấu ngoặc có thể bỏ qua - Dấu ngoặc cuối cùng có thể khỏi ấn *Phép trừ và phép chia - Ghi y hệt các biểu thức tính vào màn hình và ấn kết - Phép nhân tắt ưu tiên phép nhân thường, đó phép nhân tắt ưu tiên phép chia II.2.2.1.2 Các dạng bài tập và cách giải II.2.2.1.2.1 Tìm kết phép nhân có kết quá 10 chữ số Bài 1: Tính kết đúng các tích sau: a) M = 2222255555 2222266666 b) N = 20032003 20042004 Giải: a) Đặt A = 22222, B = 55555, C = 666666 Ta có M = (A.105 + B)(A.105 + C) = A2.1010 + AB.105 + AC.105 + BC Tính trên máy: A2 = 493817284 ; AB = 1234543210 ; AC = 1481451852 ; BC = 3703629630 Tính trên giấy: A 1010 8 0 0 0 0 0 AB.105 0 0 0 AC.105 8 0 0 BC M 4 4 9 b) Đặt X = 2003, Y = 2004 Ta có: N = (X.104 + X) (Y.104 + Y) = XY.108 + 2XY.104 + XY Tính XY, 2XY trên máy, tính N trên giấy câu a) Kết quả: M = 4938444443209829630 N = 401481484254012 Bài 2: Tính chính xác tổng S = 1.1! + 2.2! + 3.3! + 4.4! + + 16.16! Giải: Vì n n! = (n + – 1).n! = (n + 1)! – n! nên: S = 1.1! + 2.2! + 3.3! + 4.4! + + 16.16! = (2! – 1!) + (3! – 2!) + + (17! – 16!) S = 17! – 1! Không thể tính 17 máy tính vì 17! Là số có nhiều 10 chữ số (tràn màn hình) Nên ta tính theo cách sau: Ta biểu diễn S dạng : a.10n + b với a, b phù hợp để thực phép tính, máy không bị tràn, cho kết chính xác Ta có : 17! = 13! 14 15 16 17 = 6227020800 57120 Lại có: 13! = 6227020800 = 6227 106 + 208 102 nên S = (6227 106 + 208 102) 5712 10 – = 35568624 107 + 1188096 103 – = 355687428096000 – = 355687428095999 Đào Thị Mai Phương – THCS Thị Trấn Đông Triều-Đông Triều-QN Lop8.net (6) Giúp HS tiếp cận, luyện thi học sinh giỏi giải toán trên máy tính bỏ túi Casio Bài tập tương tự: Tính chính xác các phép tính sau: a) A = 20!; 19! b) B = 5567866 6667766 c) C = 20092009 20102010 d) 14584713 e) 212220032 II.2.2.1.2.2 Tìm số dư phép chia *) Khi đề cho số bé 10 chữ số: Số bị chia = số chia thương + số dư (a = bq + r) (0 < r < b) Suy r = a – b q Ví dụ : Tìm số dư các phép chia sau: 1) 9124565217 cho 123456 2) 987896854 cho 698521 *) Khi đề cho số lớn 10 chữ số: Phương pháp: Tìm số dư A chia cho B ( A là số có nhiều 10 chữ số) - Cắt thành nhóm , nhóm đầu có chín chữ số (kể từ bên trái) Tìm số dư phần đầu chia cho B - Viết liên tiếp sau số dư phần còn lại (tối đa đủ chữ số) tìm số dư lần hai Nếu còn tính liên tiếp Ví dụ: Tìm số dư phép chia 2345678901234 cho 4567 Ta tìm số dư phép chia 234567890 cho 4567: Được kết số dư là : 2203 Tìm tiếp số dư phép chia 22031234 cho 4567 Kết số dư cuối cùng là 26 Bài tập: Tìm số dư các phép chia: a) 97639875 cho 8604325 b) 903566893265 cho 38769 c) 1234567890987654321 : 123456 *) Dùng kiến thức đồng dư để tìm số dư Phép đồng dư: + Định nghĩa: Nếu hai số nguyên a và b chia cho c (c khác 0) có cùng số dư ta nói a đồng dư với b theo modun c ký hiệu a b(mod c) + Một số tính chất: Với a, b, c thuộc Z+ a a (mod m) a b(mod m) b a (mod m) a b(mod m); b c(mod m) a c(mod m) a b(mod m); c d (mod m) a c b d (mod m) a b(mod m); c d (mod m) ac bd (mod m) a b(mod m) a n b n (mod m) Ví dụ 1: Tìm số dư phép chia 126 cho 19 Giải: 122 144 11(mod19) 11 126 122 3 1(mod19) Vậy số dư phép chia 126 cho 19 là Ví dụ 2: Tìm số dư phép chia 2004376 cho 1975 Giải: Biết 376 = 62 + Ta có: Đào Thị Mai Phương – THCS Thị Trấn Đông Triều-Đông Triều-QN Lop8.net (7) Giúp HS tiếp cận, luyện thi học sinh giỏi giải toán trên máy tính bỏ túi Casio 20042 841(mod1975) 20044 8412 231(mod1975) 200412 2313 416(mod1975) 200448 4164 536(mod1975) Vậy 200460 416.536 1776(mod1975) 200462 1776.841 516(mod1975) 200462.3 5133 1171(mod1975) 200462.6 11712 591(mod1975) 200462.6 591.231 246(mod1975) Kết quả: Số dư phép chia 2004376 cho 1975 là 246 Bài tập tương tự: Tìm số dư phép chia : a) 158 cho 29 b) 2514 cho 63 c) 201038 cho 2001 d) 20099 cho 2007 e) 715 cho 2005 II.2.2.1.2.3 Tìm chữ số hang đơn vị, hàng chục, hàng trăm lũy thừa Bài 1: Tìm chữ số hàng đơn vị số 172002 17 9(mod10) 17 1000 17 2000 91000 (mod10) Giải: 92 1(mod10) 91000 1(mod10) 17 2000 1(mod10) Vậy 17 2000.17 1.9(mod10) Chữ số tận cùng 172002 là Bài 2: Tìm chữ số hàng chục, hàng trăm số 232005 Giải + Tìm chữ số hàng chục số 232005 231 23(mod100) 232 29(mod100) 233 67(mod100) 234 41(mod100) Do đó: 41 2320 234 5 01(mod100) 232000 01100 01(mod100) 232005 231.234.232000 23.41.01 43(mod100) Vậy chữ số hàng chục số 232005 là (hai chữ số tận cùng số 232005 là 43) + Tìm chữ số hàng trăm số 232005 Đào Thị Mai Phương – THCS Thị Trấn Đông Triều-Đông Triều-QN Lop8.net (8) Giúp HS tiếp cận, luyện thi học sinh giỏi giải toán trên máy tính bỏ túi Casio 231 023(mod1000) 234 841(mod1000) 235 343(mod1000) 2320 3434 201(mod1000) 232000 201100 (mod1000) 2015 001(mod1000) 201100 001(mod1000) 232000 001(mod1000) 232005 231.234.232000 023.841.001 343(mod1000) Vậy chữ số hàng trăm số 232005 là số (ba chữ số tận cùng số 232005 là số 343) Bài tập vận dụng: 1.Tìm chữ số cuối của: 72010; 354; 2713; 4931 2.Tìm chữ số hang chục của: 252009; 372002; 192001 3.Tìm hai chữ số cuối của: 22001 + 22002 + 22003 + 22005 II.2.2.1.2.4 Tìm BCNN, UCLN II.2.2.1.2.4.1 Cách làm Máy tính cài sẵn chương trình rút gọn phân số thành phân số tối giản A a B b Ta áp dụng chương trình này để tìm UCLN, BCNN sau: + UCLN (A; B) = A : a + BCNN (A; B) = A b II.2.2.1.2.4.2 Ví dụ Ví dụ 1: Tìm UCLN và BCNN 2419580247 và 3802197531 HD: Ghi vào màn hình : 2419580247 và ấn =, màn hình 3802197531 11 UCLN: 2419580247 : = 345654321 BCNN: 2419580247 11 = 2.661538272 1010 (tràn màn hình) Cách tính đúng: Đưa trỏ lên dòng biểu thức xoá số để còn 419580247 11 Kết : BCNN: 4615382717 + 2.109 11 = 26615382717 Ví dụ 2: Tìm UCLN 40096920 ; 9474372 và 51135438 Giải: Ấn 9474372 40096920 = ta : 6987 29570 UCLN 9474372 và 40096920 là 9474372 : 6987 = 1356 Ta đã biết UCLN(a; b; c) = UCLN(UCLN(a ; b); c) Do đó cần tìm UCLN(1356 ; 51135438) Thực trên ta tìm được: UCLN 40096920 ; 9474372 và 51135438 là : 678 Bài tập áp dụng: Cho số 1939938; 68102034; 510510 a) Hãy tìm UCLN 1939938; 68102034 b) Hãy tìm BCNN 68102034; 510510 c) Gọi B là BCNN 1939938 và 68102034 Tính giá trị đúng B2 II.2.2.1.2.5 Tìm số tự nhiên thỏa mãn điều kiện bài toán VD1 : Tìm số tự nhiên a biết 17089a chia hết cho 109 Thực hành: a {0; 1; 2;…;9} 1708902 SIHFT STO A alpha A ÷ 109 alpha : alpha A alpha = alpha + 10 = Đào Thị Mai Phương – THCS Thị Trấn Đông Triều-Đông Triều-QN Lop8.net (9) Giúp HS tiếp cận, luyện thi học sinh giỏi giải toán trên máy tính bỏ túi Casio Ấn = liên tiếp để kiểm tra VD2: Tìm số tự nhiên lớn có dạng 1x2y3z4 chia hết cho 13 Thực hành: Số lớn x, y, z = 1929394 SIHFT STO A alpha A ÷ 13 alpha : alpha A alpha = alpha 10 = Ấn = liên tiếp để kiểm tra KQ: 1929304 VD3: Tìm số tự nhiên n nhỏ cho lập phương số đó ta số tự nhiên có chữ số cuối là chữ số và chữ số đầu là chữ số 7: n3 777 777 Nêu sơ lược cách giải Giải: Hàng đơn vị có 33 27 có chữ số cuối là Với cac số a3 có 533 14877 có chữ số cuối là có 753 Với các chữ số a53 Ta có: 3 có chữ số cuối là 777000 91.xxxx ; 777 106 919, xxx ; 777 107 1980, xxx ; 3 7770000 198.xxxx , 777 105 426, xxx ; 777 108 4267, xxx ; Như vậy, để các số lập phương nó có số đuôi là chữ số phải bắt đầu các số: 91; 198; 426; 91x; 198x; 426x; (x = 0, 1, 2, , 9) Thử các số: 917533 77243 ; 1987533 785129 ; 4267533 77719455 Vậy số cần tìm là: n = 426753 và 4267533 77719455348459777 Bài tập áp dụng: 1.Tìm các số lớn và nhỏ các số tự nhiên có dạng 1x2y3z4 chia hết cho 2.Biết số có dạng N 1235679 chia hết cho 24 Tìm tất các số N Số chính phương có dạng P 17712ab81 Tìm các chữ số a, b biết a +b = 13 II.2.2.1.2.6 Số nguyên tố II.2.2.1.2.6.1 Lí thuyết Để kết luận số a là số nguyên tố (a > 1), cần chứng tỏ nó không chia hết cho số nguyên tố mà bình phương không vượt quá a II.2.2.1.2.6.2 Ví dụ VD1: Số 647 có là số nguyên tố không Thực hành: 647 SIHFT STO A ÷2= alpha ÷ = ÷ 29 = 647 là số nguyên tố Hoặc 647 ÷ = Quay lại dòng biểu thức sửa thành = Tiếp tục số 29 Đào Thị Mai Phương – THCS Thị Trấn Đông Triều-Đông Triều-QN Lop8.net (10) Giúp HS tiếp cận, luyện thi học sinh giỏi giải toán trên máy tính bỏ túi Casio VD2: Tìm các ước nguyên tố A = 17513 + 19573 + 23693 Giải: Ghi vào màn hình 1751 ab/c 1957 = Chỉnh lại màn hình: 1751 17 = Kết quả: ƯCLN(1751;1957) = 103 (là số nguyên tố) Thử lại: 2369 M103 A = 1033 (173 193 233 ) Tính tiếp: 173 193 233 23939 Chia 23939 cho các số nguyên tố được: 23939= 37 x 647 Kết A có các ước nguyên tố là 37; 103; 647 Bài tập áp dụng: Tìm các ước nguyên tố M = 18975 + 29815 + 35235 Số 211 – là số nguyên tố hay hợp số II.2.2.2 Liên phân số, phân số-số thập phân II.2.2.2.1 Liên phân số II.2.2.2.1 1.Lí thuyết Liên phân số (phân số liên tục) là công cụ toán học hữu hiệu các nhà toán học sử dụng để giải nhiều bài toán khó II.2.2.2.1.2 Cách làm Cho a, b (a>b)là hai số tự nhiên Dùng thuật toán Ơclit chia a cho b, phân số b a a0 a0 b b b b0 a có thể viết dạng: b b b a1 a1 b0 b0 b0 b1 b a Cứ tiếp tục quá trình này kết thúc sau n bước và ta được: a0 a0 Cách biểu diễn này b b a1 an 2 an Vì b0 là phần dư a chia cho b nên b > b0 Lại tiếp tục biểu diễn phân số gọi là cách biểu diễn số hữu tỉ dạng liên phân số Mỗi số hữu tỉ có biểu diễn dạng liên phân số, nó viết gọn a0 ,a1 , ,an Số vô tỉ có thể biểu diễn dạng liên phân số vô hạn cách xấp xỉ nó dạng gần đúng các số thập phân hữu hạn và biểu diễn các số thập phân hữu hạn này qua liên phân số Vấn đề đặt ra: hãy biểu diễn liên phân số a0 a1 .an 1 dạng an a Dạng toán này gọi là tính giá b trị liên phân số Với trợ giúp máy tính ta có thể tính cách nhanh chóng dạng biểu diễn liên phân số đó Qui trình ấn máy Ấn an 1 a b / c an an 2 a b / c Ans a0 a b / c Ans II.2.2.2.1.3 Ví dụ VD1: Đào Thị Mai Phương – THCS Thị Trấn Đông Triều-Đông Triều-QN Lop8.net 10 (11) Giúp HS tiếp cận, luyện thi học sinh giỏi giải toán trên máy tính bỏ túi Casio 12 Cho A 30 10 Viết lại A ao 2003 a1 an 1 Viết kết theo thứ tự a0 , a1 , , an 1 , an , , , an Giải: Ta có A 30 31 12 3 10 2003 12.2003 24036 4001 30 30 31 20035 20035 20035 20035 4001 30 5 4001 Tiếp tục tính trên, cuối cùng ta được: A 31 5 133 2 1 2 1 Viết kết theo ký hiệu liên phân số a0 , a1 , , an 1 , an 31,5,133, 2,1, 2,1, 2 Bài tập vận dụng 1.Tính giá trị các biểu thức sau và biểu diễn kết dạng phân số: A 2 31 3 10 ; B 7 6 4 ;C 3 2003 5 5 4 7 Đáp số: A) 2108/157 ; B) 1300/931 ; C) 783173/1315 Riêng câu C ta làm sau: Khi tính đến 2003: 1315 Nếu tiếp tục nhấn x 2003 = thì số thập phân vì vượt quá 391 10 chữ số Vì ta làm sau: 391 x 2003 = (kết 783173) C = 783173/1315 a) Tính A 1 1 3 1 3 1 3 1 b) B 3 11 3 Đào Thị Mai Phương – THCS Thị Trấn Đông Triều-Đông Triều-QN Lop8.net 11 (12) Giúp HS tiếp cận, luyện thi học sinh giỏi giải toán trên máy tính bỏ túi Casio c) C 2 8 3 d) D 4 7 5 6 1 6 5 7 8 4 3 2 a) Viết quy trình tính: 12 A 17 1 1 17 23 3 12 2002 7 2003 b) Giá trị tìm A là bao nhiêu ? Biết 2003 7 273 2 Tìm các số a, b, c, d 1 a b c d Tìm giá trị x, y Viết dạng phân số từ các phương trình sau: x a) 1 2 x 3 4 1 2 Hướng dẫn: Đặt A = 2 y 2 3 4 , B= 1 1 3 y ; b) 4 3 1 2 4 Ta có + Ax = Bx Suy x B A 844 12556 24 Kết x 8 (Tương tự y = ) 1459 1459 29 3 Tìm x biết: Đào Thị Mai Phương – THCS Thị Trấn Đông Triều-Đông Triều-QN Lop8.net 12 (13) Giúp HS tiếp cận, luyện thi học sinh giỏi giải toán trên máy tính bỏ túi Casio 8 8 381978 382007 8 8 8 8 8 8 8 1 x Lập quy trình ấn liên tục trên fx – 570MS, 570MS 381978 : 382007 = 0.999924085 Ấn tiếp phím x-1 x – và ấn lần dấu = Ta được: Tiếp tục ấn Ans x-1 – = 1 x 17457609083367 Kết : x = -1,11963298 15592260478921 Ans Thời gian trái đất quay vòng quanh trái đất viết dạng liên phân số là: 365 Dựa vào liên phân số này, người ta có thể tìm số năm nhuận Ví dụ dùng phân số 4 7 3 5 20 thì năm lại có năm nhuận 365 Còn dùng liên phân số 365 thì 29 năm (không phải là 28 năm) có năm nhuận 29 4 365 1) Hãy tính giá trị (dưới dạng phân số) các liên phân số sau: a) 365 4 7 ; b) 365 4 7 ; c) 365 3 4 7 3 5 20 2) Kết luận số năm nhuận dựa theo các phân số vừa nhận II.2.2.2.2 Phân số- số thập phân II.2.2.2.2.1 Tìm chữ số lẻ thập phân VD1: Tìm chữ số lẻ thập phân thứ 105 phép chia 17 : 13 Giải: Bước 1: + Thực phép chia 17 : 13 = 1.307692308 (thực chất máy đã thực phép tính làm tròn và hiển thị kết trên màn hình) Ta lấy chữ số đầu tiên hàng thập phân là: 3076923 Đào Thị Mai Phương – THCS Thị Trấn Đông Triều-Đông Triều-QN Lop8.net 13 (14) Giúp HS tiếp cận, luyện thi học sinh giỏi giải toán trên máy tính bỏ túi Casio + Lấy 1,3076923 13 = 16,9999999 17 - 16,9999999 = 0,0000001 Vậy 17 = 1,3076923 13 + 0.0000001 (tại không ghi số 08)??? Không lấy chữ số thập cuối cùng vì máy có thể đã làm tròn Không lấy số không vì 17 = 1,30769230 13 + 0,0000001= 1,30769230 13 + 0,0000001 Bước 2: + lấy : 13 = 0,07692307692 11 chữ số hàng thập phân là: 07692307692 Vậy ta đã tìm 18 chữ số đầu tiên hàng thập phân sau dấu phẩy là: 307692307692307692 Vậy 17 : 13 = 1,(307692) Chu kỳ gồm chữ số Ta có 105 = 6.17 + ( 105 3(mod 6) ) Vậy chự số thập phân thứ 105 sau dấu phẩy là chữ số thứ ba chu kỳ Đó chính là số Ví dụ 2: Tìm chữ số thập phân thứ 132007 sau dấu phẩy phép chia 250000 cho 19 Giải: Ta có 250000 17 13157 Vậy cần tìm chữ số thập phân thứ 132007 sau dấu phẩy phép chia 17 : 19 19 19 Bước 1: Ấn 17 : 19 = 0,8947368421 Ta chữ số đầu tiên sau dấu phẩy là 894736842 + Lấy 17 – 0, 894736842 * 19 = 10-9 Bước 2: Lấy : 19 = 0,1052631579 Chín số hàng thập phân là: 105263157 + Lấy – 0,105263157 * 19 = 1,7 10-8 = 17 10-9 Bước 3: Lấy 17 : 19 = 0,8947368421 Chín số hàng thập phân là + Lấy 17 – 0,0894736842 * 19 = 10-9 Bước 4: Lấy : 19 = 0,1052631579 Chín số hàng thập phân là: 105263157 Vậy 17 : 19 = 0, 894736842105263157894736842105263157 = 0,(894736842105263157) Chu kỳ gồm 18 chữ số Ta có 133 1(mod18) 132007 133 669 1669 (mod18) Kết số dư là 1, suy số cần tìm là sồ đứng vị trí đầu tiên chu kỳ gồm 18 chữ số thập phân Kết : số II.2.2.2.2.1.2 Tìm phân số sinh số thập phân tuần hoàn II.2.2.2.2.1.2.1 Cách làm - Mẫu số là các số và các số tiếp theo: + Số chữ số số chữ số cụm tuần hoàn + Số chữ số số chữ số không tuần hoàn đứng sau dấu phẩy - Tử số số đã cho với cụm tuần hoàn đầu tiên không ghi dấu phẩy trừ cho phần không tuần hoàn không ghi dấu phẩy II.2.2.2.2.1.2.2 Ví dụ VD1: Phân số nào sinh số thập phân tuần hoàn sau a) 0,123123123… b) 4,(35) c) 2,45736736… Giải: Đào Thị Mai Phương – THCS Thị Trấn Đông Triều-Đông Triều-QN Lop8.net 14 (15) Giúp HS tiếp cận, luyện thi học sinh giỏi giải toán trên máy tính bỏ túi Casio 123 999 a) 0,123123123 0.(123) b) 4,(35) c) 2,45736736 2,45(736) 435 431 99 99 245736 245 245491 99900 99900 II.2.2.3 Đa thức II.2.2.3 Lí thuyết Một số kiến thức cần nhớ: II.2.2.3 1 Định lý Bezout Số dư phép chia f(x) cho nhị thức x – a chính là f(a) Hệ quả: Nếu a là nghiệm f(x) thì f(x) chia hết cho x – a II.2.2.3 Sơ đồ Hor nơ Ta có thể dùng sơ đồ Hor nơ để thìm kết phép chia đa thức f(x) cho nhị thức x – a Ví dụ: Thực phép chia (x3 – 5x2 + 8x – 4) cho x – cách dùng sơ đồ Hor nơ Bước 1: Đặt các hệ số đa thức bị chia theo thứ tự vào các cột dòng trên -5 -4 a=2 - Bước 2: Trong cột để trống dòng dưới, ba cột đầu cho ta các hệ số đa thức thương, cột cuối cùng cho ta số dư Số thứ dòng = số tương ứng dòng trên Kể từ cột thứ hai, số dòng xác định cách lấy a nhân với số cùng dòng liền trước cộng với số cùng cột dòng trên -5 -4 a=2 -3 Vậy (x3 – 5x2 + 8x – 4) = (x – 2)(x2 – 3x + 2) + * Nếu đa thức bị chia là a0x3 + a1x2 + a2x + a3 , đa thức chia là x – a, ta thương là b0x2 + b1x + b2 dư là r Theo sơ đồ Hor nơ ta có: a b0 a0 a0 a1 b1 ab0 + a1 VD 1: Tìm số dư các phép chia sau: a) x3 – 9x2 – 35x + cho x – 12 b) x3 – 3,256 x + 7,321 cho x – 1,1617 c) Tính a để x4 + 7x3 + 2x2 + 13x + a chia hết cho x + d) a2 b2 a3 r ab1 + a2 ab2 + a3 x 6, 723 x 1,857 x 6, 458 x 4,319 x 2,318 e) Cho P(x) = 3x3 + 17x – 625 + Tính P(2 ) + Tính a để P(x) + a2 chia hết cho x + VD2 : Cho P(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + f Biết P(1) = , P(2) = , P(3) = , P(4) = 16 , P(5) = 15 Tính P(6) , P(7) , P(8) , P(9) Giải: Ta có P(1) = = 12; P(2) = = 22 ; P(3) = = 32 ; P(4) = 16 = 42 ; P(5) = 25 = 52 Xét đa thức Q(x) = P(x) – x2 Đào Thị Mai Phương – THCS Thị Trấn Đông Triều-Đông Triều-QN Lop8.net 15 (16) Giúp HS tiếp cận, luyện thi học sinh giỏi giải toán trên máy tính bỏ túi Casio Dễ thấy Q(1) = Q(2) = Q(3) = Q(4) = Q(5) = Suy 1; 2; 3; 4; là nghiệm đa thức Q(x) Vì hệ số x5 nên Q(x) có dạng: Q(x) = (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – 4)(x – 5) Vậy ta có Q(6) = (6 – 1)(6 – 2)(6 – 3)(6 – 4)(6 – 5) = P(6) - 62 Hay P(6) = 5! + 62 = 156 Q(7) = (7 – 1)(7 – 2)(7 – 3)(7 – 4)(7 – 5) = P(7) – 72 Hay P(7) = 6! + 72 = 769 Bài 3: Cho Q(x) = x4 + mx3 + nx2 + px + q Biết Q(1) = , Q(2) = , Q(3) = , Q(4) = 11 Tính các giá trị Q(10) , Q(11) , Q(12) , Q(13) Hướng dẫn Q(1) = = 2.1 + 3; Q(2) = = 2.2 + 3; Q(3) = = 2.3 + ; Q(4) = 11 = 2.4 + Xét đa thức Q1(x) = Q(x) – (2x + 3) Bài tập vận dụng Cho P(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + e Biết P(1) = , P(2) = , P(3) = 19 , P(4) = 33 , P(5) = 51 Tính P(6) , P(7) , P(8) , P(9) , P(10) , P(11) 2.Cho P(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d Có P(1) = 0,5 ; P(2) = ; P(3) = 4,5 ; P(4) = Tính P(2002), P(2003) Cho P(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d Biết P(1) = 5; P(2) = 14; P(3) = 29; P(4) = 50 Hãy tính P(5) , P(6) , P(7) , P(8) 4.Cho P(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d Biết P(1) = 0; P(2) = ; P(3) = 18 ; P(4) = 48 Tính P(2007) 5.Cho P(x) = x5 + 2x4 – 3x3 + 4x2 – 5x + m a) Tìm số dư phép chia P(x) cho x – 2,5 m = 2003 b) Tìm giá trị m để P(x) chia hết cho x – 2,5 c) P(x) có nghiệm x = Tìm m Cho P(x) = x x3 x a) Tìm biểu thức thương Q(x) chia P(x) cho x – b) Tìm số dư phép chia P(x) cho x – chính xác đến chữ số thập phân Tìm số dư phép chia đa thức x5 – 7,834x3 + 7,581x2 – 4,568x + 3,194 cho x – 2,652 Tìm hệ số x2 đ thức thương phép chia trên 8.Khi chia đa thức 2x4 + 8x3 – 7x2 + 8x – 12 cho x – ta thương là đa thức Q(x) có bậc là Hãy tìm hệ số x2 Q(x) 9.Cho đa thức P(x) = 6x3 – 7x2 – 16x + m a) Tìm m để P(x) chia hết cho 2x + b) Với m tìm câu a ) , hãy tìm số dư r chia P(x) cho 3x – và phân tích P(x) thành tích các thừa số bậc c) Tìm m và n để Q(x) = 2x3 – 5x2 – 13x + n và P(x) cùng chia hết cho x – Với n tìm trên , hãy phân tích Q(x) tích các thừa số bậc II.2.2.4 Dãy số VD1: Cho dãy số với số hạng tổng quát cho công thức Đào Thị Mai Phương – THCS Thị Trấn Đông Triều-Đông Triều-QN Lop8.net 16 (17) Giúp HS tiếp cận, luyện thi học sinh giỏi giải toán trên máy tính bỏ túi Casio Un (13 ) n (13 ) n với n = , , , k , a) Tính U , U , U , U , U , U , U , U b) Lập công thức truy hồi tính U n 1 theo U n và U n 1 c) Lập quy trình ấn phím liên tục tính U n 1 theo U n và U n 1 Giải: a) Quy trình bấm phím (Máy fx-570MS) SIHFT STO A ((13 ) alpha A - (13 ) alpha A ) ÷ 3) alpha : alpha A alpha = alpha A + = Ấn = liên tiếp ta kết U1 = 1; U2 = 26 ; U3 =510; U4 =8944; U5 = 147884 U6 = 2360280; U7 = 36818536; U 8= 565475456 b) Giả sử Un+1 = a Un + b Un-1 + c Theo phần a ta có hệ 510 a.26 b.1 c a 26 b 166 8944 a.510 b.26 c 147884 a.8944 b.510 c c Un+1 = 26 Un -166 Un-1 c) SIHFT STO A 26 SIHFT STO B alpha A alpha = alpha B - 1 alpha A alpha : alpha B alpha = alpha A - 1 alpha B Bài tập áp dụng 1.Cho dãy số a1 = 3; an + = an3 an an3 a) Lập quy trình bấm phím tính an + b) Tính an với n = 2, 3, 4, , 10 xn3 1 2.Cho dãy số x1 = ; xn 1 a) Hãy lập quy trình bấm phím tính xn + b) Tính x30 ; x31 ; x32 3.Cho dãy số xn 1 xn (n 1) xn a) Lập quy trình bấm phím tính xn + với x1 = và tính x100 b) Lập quy trình bấm phím tính xn + với x1 = -2 và tính x100 4.Cho dãy số xn 1 xn2 (n 1) xn2 a) Cho x1 = 0,25 Viết quy trình ấn phím liên tục để tính các giá trị xn + b) Tính x100 Đào Thị Mai Phương – THCS Thị Trấn Đông Triều-Đông Triều-QN Lop8.net 17 (18) Giúp HS tiếp cận, luyện thi học sinh giỏi giải toán trên máy tính bỏ túi Casio 5 5 n 5.Cho dãy số U n n với n = 0; 1; 2; 3; a) Tính số hạng đầu tiên U0, U1, U2, U3, U4 b) Chứng minh Un + = 10Un + – 18Un c) Lập quy trình bấm phím liên tục tính Un + theo Un + và Un n n 3 3 Cho dãy số U n với n = 1; 2; 3; a) Tính số hạng đầu tiên U1, U2, U3, U4 , U5 b) Lập công thức truy hồi tính Un + theo Un và Un – c) Lập quy trình bấm phím liên tục tính Un + trên máy Casio 7.Cho dãy số U n được tạo thành theo quy tắc sau: Mỗi số sau tích hai số trước cộng với 1, U0 = U1 = a) Lập quy trình tính un b) Tính các giá trị Un với n = 1; 2; 3; ; c) Có hay không số hạng dãy chia hết cho 4? Nếu có cho ví dụ Nếu không hãy chứng minh 8.Cho dãy số U1 = 1, U2 = 2, Un + = 3Un + Un – (n 2) a) Hãy lập quy trình tính Un + máy tính Casio b) Tính các giá trị Un với n = 18, 19, 20 9.Cho dãy số U1 = 1, U2 = 1, Un + = Un + Un – (n 2) c) Hãy lập quy trình tính Un + máy tính Casio d) Tính các giá trị Un với n = 12, 48, 49, 50 10 Cho dãy số thứ tự với U1 = 2, U2 = 20 và từ U3 trở tính theo công thức Un + = 2Un + Un + (n 2) a) Tính giá trị U3 , U4 , U5 , U6 , U7 , U8 b) Viết quy trình bấm phím liên tục tính Un c) Sử dụng quy trình trên tính giá trị Un với n = 22; 23, 24, 25 II.2.2.5 Các bài toán kinh tế *Lãi suất đơn: Tiền lãi không gộp vào vốn để tính *Lãi suất kép: Tiền lãi gộp vào vốn để tính II.2.2.5.1 Bài toán 1: Lãi suất đơn Một công nhân gởi vào ngân hàng a đồng, lãi suất m% trên tháng theo hợp đồng tiền gốc và tiền lãi hàng tháng toán lần ( tiền lãi hàng tháng không cộng vào gốc cho tháng sau) Tính số tiền lãi sau n tháng Giải: Tiền lãi tháng: a.m% Tiền lãi sau n tháng: n.a.m% II.2.2.5.2 Bài toán 2: Lãi suất kép * Bài toán 2.1: Lãi suất kép Gửi số tiền a đồng, lãi suất m% trên tháng (lãi tháng cộng vào gốc tháng sau) tính số tiền có sau n tháng Giải: Đầu tháng số tiền là: a Cuối tháng số tiền là: a + a.m% = a(1+m%) Đầu tháng số tiền là: a(1+m%)1 Cuối tháng số tiền là: a(1+m%)1 + a(1+m%).m% = a(1+m%) (1+m%) = a(1+m%)2 … Đầu tháng n số tiền là: a(1+m%)n Cuối tháng n số tiền là: a(1+m%)n * Bài toán 2.2: Lãi suất kép Đào Thị Mai Phương – THCS Thị Trấn Đông Triều-Đông Triều-QN Lop8.net 18 (19) Giúp HS tiếp cận, luyện thi học sinh giỏi giải toán trên máy tính bỏ túi Casio Hàng tháng người gửi vào ngân hàng a đồng, lãi suất m% trên tháng (tiền lãi tháng + gốc cho tháng sau) Tính số tiền gốc cộng lãi sau n tháng Giải: Đầu tháng số tiền là: a Cuối tháng số tiền là: a + a.m%= a(1+m%) Đầu tháng số tiền là: a(1+m%) +a = a[(1+m%)+1] Cuối tháng số tiền là: a[(1+m%)+1]+ a[(1+m%)+1]m% = a[(1+m%)+1](1+m%) a (1 m%) 1 (1 m%) 1 (1 m%) m% (1 m%)2 1 (1 m%) m% a (1 m)3 (1 m%) m% a (1 m%) (1 m)2 1 m% … Cuối tháng n số tiền là: a (1 m%)n1 (1 m%) m% a (1 m%) (1 m%)n 1 m% II.2.2.5.3 Ví dụ VD1: a) Dân số nước ta tính đến năm 2001 là 76,3 triệu người Hỏi đến năm 2010 dân số nước ta là bao nhiêu tỉ lệ tăng dân số trung bình năm là 1,2 ? b)Đến năm 2020, muốn cho dân số nước ta có khoảng 100 triệu người thì tỉ lệ tăng dân số trung bình năm là ? Giải : a) 76300000(1+1,2%)9=76300000(1+0,012)9= 84947216,06 Dân số nước ta năm 2010 là : 84947216 người c) 100000000=76300000(1+r)19 (1+r)19 =100000000 ÷ 76300000 1+r = 19 r = 19 100000000 76300000 100000000 -1 76300000 = 0,014338521… Để thỏa mãn yêu cầu bài toán thì tỉ lệ tăng dân số trung bình năm là : 1,433852166% VD2: Một người gửi ngân hàng theo lãi suất kép Muốn có triệu sau 15 tháng thì phải gửi ngân hàng tháng số tiền là bao nhiêu lãi suất là 0,6% Giải : Số tiền sau n tháng tính : Đào Thị Mai Phương – THCS Thị Trấn Đông Triều-Đông Triều-QN Lop8.net 19 (20) Giúp HS tiếp cận, luyện thi học sinh giỏi giải toán trên máy tính bỏ túi Casio A a (1 m%) (1 m%)n 1 m% 1000000 a (1 0, 6%) (1 0.6%)15 1 0, 6% a 1000000 0, 6% (1 0, 6%) (1 0.6%)15 1 a 63530 II.2.2.6 Căn thức Cách giải: - Tìm quy luật biểu thức - Chọn giá trị ban đầu để gán vào biến cho hợp lí - Dựa vào quy luật viết quy trình bấm phím VD1: Tính gần đúng đến chữ số thập phân A7 Giải: Quy trình bấm phím trên máy fx570-MS SIHFT STO B SIHFT STO A SIHFT STO C alpha A alpha = ( -1 ( alpha B - ) alpha B alpha C alpha : alpha B alpha = alpha B - alpha : alpha C alpha = alpha C + KQ: 4,547219 VD2: Tìm 5 89 Giải: SIHFT STO A SIHFT STO B alpha B alpha = alpha A x ( alpha A alpha B ) alpha : alpha A alpha = alpha A - Ấn = lặp A = 2; KQ: 1,829 Bài tập vận dụng Tìm gần đúng đến chữ số thập phân 9 2 Tính giá trị biểu thức Đào Thị Mai Phương – THCS Thị Trấn Đông Triều-Đông Triều-QN Lop8.net 20 (21)