Hàm số y = fx được gọi là có đạo hàm trên đoạn a;b nếu nó có đạo hàm trên khoảng a;b và có đạo hàm bên phải tại a , đạo hàm bên trái tại b Kí hieäu: y’ hay f’x 6.Quan hệgiữa sự tồn tại c[r]
(1)Tuaàn 1: Tieát 1-2 : Chöông I §1.ĐỊNH NGHĨA ĐẠO HAØM VAØ Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HAØM I.MUÏC TIEÂU BAØI DAÏY : Nắm định nghĩa đạo hàm và ý nghĩa đạo hàm II ĐỒ DÙNG DẠY HỌCÏ : Minh hoạ vận tốc và ý nghĩa đạo hàm III TIEÁN TRÌNH DAÏY HOÏC : Ổn định lớp : Kiểm tra sĩ số,đồng phục, vệ sinh Kieåm tra baøi cuõ : Bài mới: TG HOẠT ĐỘNG THẦY TRÒ NOÄI DUNG 1.Bài toán vận tốc tức thời chất điểm chuyển động thẳng: (SGK) GV: Nhaéc laïi soá gia cuûa bieán soá vaø 2.Ñònh nghóa: soá gia cuûa haøm soá: Cho hàm số y= f(x) xác định trên khoảng (a;b) và + x = x – x0 (x x0) x0(a;b) + y = f(x0+ x) –f (x0) Đạo hàm hàm số y= f(x) xo kí hiệu là y’(x0) hay f ’(x0) Được định nghĩa sau: f ( x x ) f ( x ) f ' ( x o ) lim x x y hay y ' ( x o ) lim x x GV:Cho ví dụ để HS nhận xét 3.Cách tính đạo hàm định nghĩa: caùch giaûi 1.Cho x0 soá gia x vaø tính : HS:trả lời,GV củng cố và nêu: y = f(x0+ x) – f (x0) y 2.Laäp tæ soá : x y 3.Tìm giới hạn : lim x x Ví dụ:Tính đạo hàm hàm số sau: HS:giải ví dụ, GV: sửa và Nhắc lại y x taïi ñieåm x0 = – cách tìm giới hạn (lớp 11) GV:Tương tự ta có đạo hàm 4.Đạo hàm bên: Đạo hàm bên trái hàm số y= f(x) x0 , Kí hiệu là: f beân ’( x0 ) định nghĩa là y f ’( x 0 ) = lim x x GV:Tồn đạo hàm nào? Suy Đạo hàm bên phải hàm số y = f(x) x0 , Kí hiệu ñieàu gì ? HS:giới hạn trái và phải là: f ’( x ) định nghĩa là: y Suy đạo hàm hàm số f ’( x 0 ) = lim x x điểm x0 tồn và đạo hàm bên trái và bên phải x0 Định lí: Hàm số y=f(x) có đạo hàm điểm x0 và baèng f ’( x 0 ) vaø f ’( x 0 ) toàn taïi vaø baèng GV: Keát luaän vaø ñöa ñònh lí Khi đó ta có: f ’(x ) = f ’( x ) = f ’( x ) Lop12.net 0 (2) 5.Đạo hàm trên khoảng Định nghĩa: Hàm số y = f(x) gọi là có đạo hàm trên khoảng (a;b) nó có đạo hàm điểm trên khoảng đó Hàm số y = f(x) gọi là có đạo hàm trên đoạn (a;b) nó có đạo hàm trên khoảng (a;b) và có đạo hàm bên phải a , đạo hàm bên trái b Kí hieäu: y’ hay f’(x) 6.Quan hệgiữa tồn đạo hàm và tính liên tục cuûa haøm soá GV:Nhắc lại tính chất Hàm số liên Định lí Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm điểm x0 , thì tuïc taïi xo lim f ( x ) = f(x0) nó liên tục điểm đó xx0 Chứng minh: HS: Nhận xét để có tính chất : y Ta coù: lim y = lim x = y’(x0).0 = lim y f(x) lt taïi x0 = x x x x Vaäy haøm soá lieân tuïc taïi x0 Chú ý: Đảo lại không đúng GV: Đảo lại có đúng không ? HS: Trả lời, giáo viên cố và Ví dụ: Xét hàm số y= x điểm x0 = Toùm laïi: ñöa chuù yù f(x) có đạo hàm x0 f(x) lieân tuïc taïi x0 GV:Chuyeån sang yù nghóa hình hoïc đạo hàm, giáo viên treo hình vẽ Ý nghĩa đạo hàm YÙ nghóa hình hoïc a.Tiếp tuyến đường cong phẳng Cho đường cong phẳng (C) và điểm cố định C M0 treân (C) Kí hieäu M laø moät ñieåm di chuyeån treân (C) ; đường thẳng M0M là cát tuyến (C) M Định nghĩa Nếu cát tuyến M0M có vị trí giới hạn M0T điểm M di chuyển trên (C) và dần tới điểm M0 thì T đường thẳng M0T gọi là tiếp tuyến đường cong (C) Điểm M0 gọi là tiếp điểm Mo b Ý nghĩa hình học đạo hàm Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a;b) và có đạo hàm điểm x0 (a;b) ; gọi (C) là đồ thị hàm số đó Định lý Đạo hàm hàm số f(x) điểm x0 là hệ số goùc cuûa tieáp tuyeán M0T cuûa (C) taïi ñieåm M0(x0;f(x0)) Tức là: f ’(x0)= hệ số góc tiếp tuyến M0T c Phöông trình cuûa tieáp tuyeán Định lí Phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) haøm soá y =f(x) taïi ñieåm M0(x0;f(x0)) laø: y y f ' ( x )( x x ) Ví dụ: Viết pt tiếp tuyến đồ thị (C) hàm số: y = x2 +2 điểm M (C) có hoành độ x = -1 y 3x điểm M(C) có hoành độ x = -1 2.YÙ nghóa vaät lyù a.Vận tốc tức thời Xét chuyển động thẳng xác đinh phương trình: s = f(t); ( f(t) là hàm số có đạo hàm) Lop12.net (3) GV: Cho ví dụ cho học sinh lên Vận tốc tức thời chất điểm thời điểm t0 là đạo bảng , lớp giải nháp và so sánh hàm hàm số s = f(t) t0 : keát quaû treân baûng Vaäy: v(t0) = s’(t0) = f ’(t0) b Cường độ tức thời Điện lượng Q truyền dây dẫn là hàm số thời gian t , Q = f(t) (f(t) có đạo haøm ) Cường độ tức thời dòng điện thời điểm t là đạo hàm điện lượng Q t: It = Q’(t) 4.Cuûng coá: ; x taïi ñieåm x0 x 5.Dặn dò:Các em giải bài tập (SGK) và xem trước bài:” Các qui tắc tính đạo hàm” Dùng định nghĩa đạo để tính đạo hàm số: x ; x2 ; *******o0o******* Lop12.net (4) Tuaàn 2: Tieát 5-6 : Chöông I §2.CÁC QUY TẮC TÍNH ĐẠO HAØM I.MUÏC ÑÍCH YEÂU CAÀU : Nắm các quy tắc tính đạo hàm II PHÖÔNG PHAÙP: -Phương pháp gợi mở vấn đáp , đặt vấn đề III cÁC BƯỚC LÊN LỚP : Ổn định lớp : Kiểm tra sĩ số,đồng phục, vệ sinh Kiểm tra bài cũ :Dùng định nghĩa tính đạo hàm hàm số y=x2+3x+2 x0=1/2 Bài mới: TG PHÖÔNG PHAÙP GV cho HS tính đạo hàm các hàm soá : x , , x , x3 baèng ñònh nghóa x từ đó đưa định lý NOÄI DUNG I.Đạo hàm số hàm số thường gặp Ñònh lí: (C)’ = (C laø haèng soá ) (x)’ = xR ' 1 x x x 1x ' xR\{0} xR+ (xn)’ = n.xn – xR , nN Chứng minh (SGK) GV cho nhóm HS giải ví dụ và Ví dụ:Tính đạo hàm các hàm số: chỉnh sửa a y = x3 , b y = x4 , c y = x10 , d y = x100 II.Đạo hàm tổng (và hiệu) hàm số a.Đạo hàm tổng (hiệu) GV chứng minh định lý Định lí Nếu các hàm số u = u(x) và v = v(x) có đạo hàm taïi x , ta coù: (u v)' u' v' (u v)' u' v' b.Toång quaùt (u v w )' u' v' w ' GV cho nhóm HS giải ví dụ và Ví dụ: Tính đạo hàm các hàm số sau: chỉnh sửa y = x3 + x + y = x4 – x2 + x III.Đạo hàm tích hàm số 1.Định lí Nếu các hàm số u = u(x) và v = v(x) có đạo GV chứng minh định lý haøm taïi x , ta coù: (u.v)' u '.v u.v' 2.Heä quaû Neáu k laø haèng soá thì: (k.u )' k.u ' 3.chú ý: Ta dể dàng CM dược công thức suy rộng: (uvw )' u ' vw uv' w uvw' Ví dụ: Tính đạo hàm các hàm số sau: Lop12.net (5) 1.y = (2 – x2)(3 +4x3) y = x2(1– x)(x +2) y = x(x +1)(x +2) y = x(1– 3x2)(x +2) Chuù yù Coù theå giaûi baèng caùch sau: Giaûi.Ta coù: Ta coù : y = (2 – x )(3 +4x ) 1.y’ = (2 – x2)’(3 + 4x3) + (3 + 4x3)’(2 – x2) = – 4x5 + 8x3 – 3x2 + = – 2x(3 + 4x3) + 12x2(2 – x2) y’ =(–4x5 + 8x3 – 3x2 + 6)’ = – 6x – 8x4 + 24x2 – 12x4 = – 20x + 24x – 6x = – 20x4 + 24x2 – 6x GV cho nhóm HS giải ví dụ và IX.Đạo hàm thương hàm số chỉnh sửa 1.Định lí Nếu các hàm số u = u(x) và v = v(x) có đạo GV chứng minh định lý haøm taïi x vaø v(x) , ta coù: ' u u ' v v' u v2 v 2.Heä quaû ' v' 1 v v n (x )' nx n 1 a (v = v(x) 0) b ( nZ ) Ví dụ: Tính đạo hàm các hàm số sau: x 4x 9x y = y = 2x x 1 3x y = y = 2x x x2 ax b Chú ý.Đối hàm số y ta coù Giaûi.Ta coù: ' cx d x (1 x )' ( x 1) ( x 1)' (1 x ) ' y’ ad bc ax b x ( x 1)2 cx d (cx d ) 9( x 1) (1 x ) GV cho nhoùm HS giaûi ví duï vaø ( x 1) ( x 1)2 chỉnh sửa V.Đạo hàm hàm số hợp 1.Hàm số hợp Xét hai hàm số g : (a;b) R vaø f : (c;d) R x u = g(x) u y = f(u) Khi đó , hàm số : h : (a;b) R x y = f(u) gọi là hàm số hợp x qua hàm trung gian u = GV hướng dẫn HS tìm hàm số trung g(x) , kí hiệu là : y = f(g(x)) Ví duï: Xeùt haøm soá y = (x2 – 3x +1)2 gian hàm số hợp y = f(g(x)): Ñaët: u = x2 – 3x +1 , ta coù : y = u2 y = x Như hàm số y = (x2 – 3x +1)2 là hàm số hợp x y = sin(2x –1)3 qua haøm trung gian u = x2 – 3x +1 2.Đạo hàm hàm số hợp a.Định lí Nếu hàm số u = g(x) có đạo hàm theo x kí hiệu là u' x và hàm số y = f(u) có đạo hàm theo u kí hiệu là y' u thì hàm số hợp y = f(g(x)) có đạo hàm theo x kí hiệu laø y' x vaø ta coù: y'x y'u u 'x b.Heä quaû i Lop12.net (u)' n.u n1 u' (6) ii ( u ) ' u' u Ví dụ:Tính đạo hàm các hàm số sau: y = (2x + 11)4 y = y = (x2 + 1) x x y = x 2x 2x 3 x Giaûi Ta coù y’ = 4(2x + 11)3(2x + 11)’= 8(2x + 11)3 ' ( x x 2)' 2 y' x x x 2x GV cho nhoùm HS giaûi ví duï vaø 2x x 1 chỉnh sửa x 2x x 2x 4.Cuûng coá: +Vận dụng các qui tắc tính đạo hàm để tính đạo hàm các hàm số phức tạp 5.Daën doø: +Các em giải bài tập (SGK) và soạn bài:” Đạo hàm các hàm số sơ cấp bản” +Phân công nhóm học sinh giải bài toán sau đây: Nhóm1:Dùng định nghĩa đạo hàm , tính đạo hàm hàm số: y = sinx Nhóm2:Dùng định nghĩa đạo hàm , tính đạo hàm hàm số: y = cosx Nhóm3:Dùng qui tắc đạo hàm thương các hàm số , tính đạo hàm hàm số: y = tgx bieát (sinx)’ = cosx , (cosx)’ = – sinx Nhóm4:Dùng qui tắc đạo hàm thương các hàm số , tính đạo hàm hàm số: y = cotgx bieát (sinx)’ = cosx , (cosx)’ = – sinx ********o0o******** Lop12.net (7) Tuaàn : 3-4 Chöông I Tieát :9-11 §3.ĐẠO HAØM CỦA CÁC HAØM SỐ SƠ CẤP CƠ BẢN I.MUÏC ÑÍCH YEÂU CAÀU : Nắm các quy tắc tính đạo hàm các hàm số sơ cấp II PHÖÔNG PHAÙP: -Phương pháp gợi mở vấn đáp , đặt vấn đề III CÁC BƯỚC LÊN LỚP : Ổn định lớp : Kiểm tra sĩ số,đồng phục, vệ sinh x2 x x3 x Kiểm tra bài cũ :Tính đạo hàm các hàm số sau: y= ; y= x4 2x2 Bài mới: TG PHÖÔNG PHAÙP NOÄI DUNG I.Đạo hàm hàm số lượng giác 1.Ñònh lí: sin x lim x R x 0 x GV nhắn lại các phép toán giới Chứng minh (SGK) haïn cuûa haøm soá Ví duï : sin 2x sin 2x sin 2x lim 2 2 1) lim lim x 0 x 0 x 0 x 2x 2x x x sin sin 1 cos x lim 2 2 lim 2) lim 2 x 0 x x x x x 2.Đạo hàm hàm số y = sinx GV:Tính đạo hàm định nghĩa Định lí Hàm số y = sinx có đạo hàm xR và : gồm bước? (sin x )' cos x HS: Gồm ba bước Chứng minh Cho số gia x x , ta có GV nhắn lại các công thức lượng x x giaùc y = sin(x + x) – sinx = cos x sin ab ab cos + cosa + cosb =2 cos x 2 sin x y ab a b 2 = cos x sin + cosa – cosb =–2 sin x x 2 ab ab x cos + sina + sinb = sin sin y x 2 y’ = lim = lim cos x x x x ab ab x sin + sina – sinb = cos 2 x sin x x = cosx = lim cos x sin lim x x x 2 1 Chuù yù : lim x x 2 Chú ý : Đối với hàm số hợp sinu , ta có GV nhắc lại các công thức lượng (sin u )' (cos u ).u ' giaùc * sin2a = 2sina.cosa Ví dụ :Tìm đạo hàm hàm số y = sin23x * cos2a = cos2a – sin2a Giaûi ta coù = 2cos2a – Lop12.net (8) = – sin2a GV cho HS chứng minh định lí GV hướng dẫn học sinh Hàm số y = cos2(x2 + 1) = u2 với u= cos(x2 + 1) Áp dụng công thức : (un)’= nun-1.u’ y’ = (sin23x)’ = 2sin3x.(sin3x)’ = 2sin3x.cos3x.(3x)’= 6sin3x.cos3x = 3sin6x 3.Đạo hàm hàm số y = cosx Định lí Hàm số y = cosx có đạo hàm xR và (cos x )' sin x Chú ý : Đối với hàm số hợp cosu , ta có (cos u )' ( sin u ).u ' Ví dụ :Tìm đạo hàm hàm số : y = cos2(x2 + 1) Học sinh áp dụng công thức Giải ta có ' u u ' v v' u y’ = (cos2(x2 + 1))’= 2cos(x2 + 1).(cos(x2 + 1))’ để n g minh: = 2cos(x2 + 1).–sin(x2 + 1).(x2 + 1)’ v2 v ' 2 = – 4xcos(x2 + 1).sin(x2 + 1) = –2xsin2(x2 + 1) sin x cos x sin x (tgx)’ 4.Đạo hàm hàm số y = tgx cos x cos x Định lí Hàm số y = tgx có đạo hàm xR\ + k tg x cos x , kZ vaø : ( tgx )' tg x GV hướng dẫn học sinh cos x Hàm số y = tg2(x2 +3x) = u2 với Chuù yù : Đố i vớ i haø m số hợp tgu , ta có u= tg(x2 + 3x) u' Áp dụng công thức : (un)’= nun-1.u’ ( tgu )' (1 tg u ).u ' cos u Ví dụ :Tìm đạo hàm hàm số : y = tg2(x2 +3x) Giaûi ta coù y’= (tg2(x2 +3x))’ = 2tg(x2 +3x).(tg(x2 +3x))’ ( x 3x )' = 2tg(x2 +3x) cos ( x 3x ) Hoïc sinh coù theå aùp duïng coâng sin( x 3x ) thức = 2(2x +3) ' cos3 ( x 3x ) u u ' v v' u để chứng minh 5.Đạo hàm hàm số y = cotgx v2 v Định lí Hàm số y = cotgx có đạo hàm xR\k , u' áp dụng (tgu)’ kZ vaø : cos u (cot gx )' (1 cot g x ) sin x GV hướng dẫn học sinh 4 Hàm số y = cotg (x +x) = u với Chú ý : Đối với hàm số hợp cotgu , ta có u' u= tg(x2 + x) (cot gu )' (1 cot g u ).u' n n-1 Áp dụng công thức : (u )’= nu u’ sin u Ví dụ :Tìm đạo hàm hàm số : y = cotg4(x2 +x) Giaûi ta coù y’= (cotg4(x2 +x))’= 4(cotg3(x2 +x)).(cotg(x2 +x))’ 1 = 4(cotg3(x2 +x)) 2 (x2 +x)’ sin (x x ) sin (x x ) = – 4(2x + 1) cos5 (x x ) II.Đạo hàm các hàm số mũ , lôgarit và luỹ thừa 1.Giới hạn có liên quan với số e Ta đã biết : Lop12.net (9) n Hoïc sinh coù theå duøng pheùp chia ña thức : x 1 x 1 1 lim1 e , nN* n n với e 2,71828… Ta thừa nhận định lí sau: Ñònh lí x 1 lim 1 e x x x 1 x2 x 1 Ví duï : Tìm lim x x x 1 x ( x 1) 2 1 1 Giaûi Ta coù x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 GV nhắc các phép toán tính giới thì x = 2y + Ñaët : haïn x 1 y x 1 lim (f ( x ).g( x )) lim f ( x ) lim g( x ) Vaäy: lim xx o xx o xx o x x x2 1 lim 1 y y 2y 1 1 lim 1 1 y y y 2y3 y 1 1 lim 1 lim 1 e e y y y y Heä quaû a lim(1 x ) e x x 0 ln(1 x ) 1 x 0 x ex lim 1 c x 0 x GV nhắc các phép toán luỹ Chứng minh: (SGK) thừa 2.Đạo hàm hàm số mũ + an.am = an + m a.Định lí Hàm số y = ex có đạo hàm xR và n (e x )' e x a nm + m a Chứng minh lim b a + (a.b)n = an.bn + (an)m = an.m e x 1 Chuù yù: lim x o x Nhaéc laïi: a log a x x 1.Cho soá gia x taïi ñieåm baát kì x R , ta coù y = ex + x – ex = ex(ex – 1) e x y ex x x y e x lim e x y’ lim x o x x o x x e 1 x e x lim e e x x o x Chú ý : Đối với hàm số hợp eu , ta có (e u )' e u u ' b.Định lí Hàm số y = ax (0 < a 1 ) có đạo hàm xR vaø (a x )' a x ln a Chứng minh Vì a = elna nên y = ax = exlna Vậy Lop12.net (10) GV cho hoïc sinh giaûi vaø neâu keát (ax)’ = (exlna)’= exlna.(xlna)’= exlnalna = axlna Chú ý : Đối với hàm số hợp au , ta có quaû (a u )' a u ln a.u' x 1 HS1: y’ x.e HS2:y’ 3x ln (2x 1).8x ln x 1 x Ví du 1ï Tìm đạo hàm hàm số : y e 1 Ví du 2ï Tìm đạo hàm hàm số : y 3x x Nhaéc laïi: + loga(x1.x2) = logax1 + logax2 x + loga = logax1 – logax2 x2 x 1 3.Đạo hàm hàm số lôgarit a.Định lí Hàm số y = lnx có đạo hàm x R * và (ln x )' x Chứng minh (SGK) Chuù yù : 1.Đối với hàm số hợp lnu , ta có u' (ln u )' u (ln x )' ( x 0) x b.Định lí Hàm số y = logax (0 < a 1) có đạo hàm moïi x R * vaø GV cho hoïc sinh giaûi vaø neâu keát (loga x )' x ln a quaû Chú ý :Đối với hàm số hợp logau , ta có 2x HS: y’ = u' x 2x (log a u )' u ln a HS: y’= Ví dụ Tìm đạo hàm hàm số y = ln(x2 + 2x +5) (3x 5) ln Ví dụ Tìm đạo hàm hàm số y = log2(3x +5) 4.Đạo hàm hàm số luỹ thừa Định lí Hàm số luỹ thừa y = x (R) có đạo hàm * GV cho hoïc sinh giaûi vaø neâu keát moïi x R vaø quaû ( x )' .x 1 HS : y’ = x = (x > 0) 3 Chú ý :Đối với hàm số hợp u , ta có (u )' .u 1 u ' 3x HS : y’ = 2x 1 ( x x 1) Ví du ï1ï Tìm đạo hàm hàm số y = x Ví du ï2 Tìm đạo hàm hàm số y = x2 x 4.Cuûng coá: +Vận dụng các qui tắc tính đạo hàm để tính đạo hàm các hàm số phức tạp 5.Daën doø: + Các em giải bài tập (SGK) và soạn bài:” Đạo hàm cấp cao” Lop12.net (11)