Bài 12: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông có cạnh a Mặt bên SAB là tam giác đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáyABCD, 1 Chứng minh rằng chân đường cao khối chóp trùng v[r]
(1)Đàm Nông Dũng – THPT Thị xã Chủ đề Các kiến thức cần nhớ Khối lăng trụ, khối chóp, khối chóp cụt, khối đa diện Phân chia và lắp ghép các khối đa diện Phép đối xứng qua mặt phẳng và hai khối đa diện Các dạng toán cần ôn tập KHỐI ĐA DIỆN – THỂ TÍCH Bài tập minh hoạ (Xây dựng bài tập từ nhận biết ® thông hiểu ® vận dụng) Tính thể tích Bài 1: Đáy lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ là tam giác ABC vuông cân A có cạnh BC = a và biết khối lăng trụ, khối A'B = 3a Tính thể tích khối lăng trụ chóp Lời giải: C' A' Một số chú ý: Ta có - Chú trọng ABC vuông cân A nên AB = AC = a B' rèn cho học sinh kỹ ABC A'B'C' là lăng trụ đứng AA' AB vẽ hình không 3a AA'B AA'2 A'B2 AB2 8a2 AA' 2a gian - Hệ thống Vậy V = B.h = SABC AA' = a3 C A lại cho học sinh các công thức tính diện tích tứ giác và tam a B giác đặc biệt - Phân loại khối chóp, khối lăng Bài 2: Cho lăng trụ tứ giác ABCD.A’B’C’D' có cạnh bên 4a và trụ thường gặp để đường chéo 5a Tính thể tích khối lăng trụ này xác định đường cao, Lời giải: từ đó tính thể tích ABCD A'B'C'D' là lăng trụ đứng nên chúng BD2 = BD'2 - DD'2 = 9a2 BD 3a - Nhắc lại 3a ABCD là hình vuông AB các khái niệm góc không gian, 9a khoảng cách Suy B = SABCD = các đối tượng KG Vậy V = B.h = SABCD.AA' = 9a3 Khối đa diện đều, loại khối đa diện (tứ diện đều, lập phương, bát diện đều, thập nhị diện và nhị thập diện đều) Tính đối xứng qua mặt phẳng khối tứ Loại 1: Các khối đa diện đều, bát diện thường gặp diện và hình lập Bài 3: Lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác cạnh Lop12.net (2) Đàm Nông Dũng – THPT Thị xã phương Phép vị tự không gian Loại 2: Khối chóp, khối lăng trụ có chiều cao cho trước, tìm hình dạng và diện tích đáy từ đó Thể tính thể tích tích khối đa diện Thể tích Loại 3: Khối chóp khối hộp chữ có mặt bên nhật Công vuông góc với mặt thức thể tích đáy khối lăng trụ, khối chóp và Loại 4: Khối chóp khối chóp cụt có hai mặt bên cùng vuông góc với mặt đáy Loại 5: Khối chóp có cạnh cùng xuất phát từ đỉnh, vuông góc với đôi Loại 6: Hình chóp có các cạnh bên hợp với mặt đáy các góc a = và biết diện tích tam giác A’BC Tính thể tích khối lăng trụ Lời giải: Gọi I là trung điểm BC Ta có ABC nên AB AI & AI BC A 'I BC(dl3 ) 2S SA'BC BC.A 'I A 'I A'BC BC AA ' (ABC) AA ' AI A 'AI AA ' A 'I2 AI2 Vậy : VABC.A’B’C’ = SABC AA'= Bài 4: Cho lăng trụ đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và đường chéo BD' lăng trụ hợp với đáy ABCD góc 300 Tính thể tích và tổng diên tích các mặt bên lăng trụ Giải: Ta có ABCD A'B'C'D' là lăng trụ đứng nên ta có: DD' (ABCD) DD' BD và BD là hình chiếu BD' trên ABCD Vậy góc [BD';(ABCD)] = DBD' 300 BDD' DD' BD.tan 300 a a3 4a Vậy V = SABCD.DD' = S = 4SADD'A' = 3 Bài 5: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân B với BA = BC = a ,biết (A'BC) hợp với đáy (ABC) góc 600 Tính thể tích lăng trụ Lop12.net (3) Đàm Nông Dũng – THPT Thị xã Lời giải: Ta có A 'A (ABC)& BC AB BC A 'B Vậy góc[(A 'BC),(ABC)] ABA ' 60o CHÚ Ý Để giải tốt ABA ' AA ' AB.tan 600 a bài toán khối a2 chóp, việc đầu SABC = BA.BC 2 tiên phải vẽ hình a3 trực quan, muốn Vậy V = SABC.AA' = cần cho học sinh khắc sâu cách xác định Bài 6: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có tất các cạnh a đường cao a) Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ số trường b) Tính diện tích mặt trụ tròn xoay ngoại tiếp hình trụ hợp thường gặp đó là: Giải - Khối chóp có cạnh bên vuông góc với đáy: Đường cao khối chóp chính là cạnh bên vuông góc - Khối chóp có mặt bên a) Ta có V B.h , đó B là diện tích đáy lăng trụ, h là chiều cao lăng trụ vuông góc với a2 B Vì tam giác ABC đều, có cạnh a nên h = AA’ = a đáy: Đường cao hình chóp chính a3 V (đvtt) là đường cao mặt bên vuông b) Diện tích xung quanh mặt trụ tính theo công thức S xq 2 r.l góc kẻ từ đỉnh Lop12.net (4) Đàm Nông Dũng – THPT Thị xã hình chóp - Khối chóp đều: Chân đường cao trùng vào tâm đáy - Khối chóp có các cạnh bên tạo với đáy góc ( các cạnh bên nghiêng trên đáy): Chân đường cao trùng vào tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy - Khối chóp có các mặt bên tạo với đáy góc ( các mặt bên nghiêng trên đáy): Chân đường cao trùng vào tâm đường tròn nội tiếp đa giác đáy - Khối chóp có hai mặt bên vuông góc với đáy: Đường cao hình chóp là đoạn a a r là bán kính đường tròn ngoại tiếp ABC r , l =AA’ =a nên diện tích cần tìm là 3 a a2 S xq 2 a 2 (đvdt) 3 Bài 7: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân B với AC = a biết SA vuông góc với đáy ABC và SB hợp với đáy góc 60o 1) Chứng minh các mặt bên là tam giác vuông 2)Tính thể tích hình chóp Lời giải: 1) SA (ABC) SA AB &SA AC mà BC AB BC SB ( đl ) Vậy các mặt bên chóp là tam giác vuông 2) Ta có SA (ABC) AB là hình chiếu SB trên (ABC).Vậy 60o góc[SB,(ABC)] = SBA ABC vuông cân nên BA = BC = SABC = a2 BA.BC a a 2 1 a a a3 Vậy V SABC SA 34 24 SAB SA AB.t an60o Bài 8: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác cạnh a biết SA vuông góc với đáy ABC và (SBC) hợp với đáy (ABC) góc 60o Tính thể tích hình chóp Lop12.net (5) Đàm Nông Dũng – THPT Thị xã Mlà trung điểm BC,vì tam giác ABC nên AM BC SA BC (đl3 ) góc[(SBC);(ABC)] = SMA 60o thẳng nằm trên giao tuyến hai mặt bên vuông góc Lời giải: Ta có V = 1 B.h SABC SA 3 3a 1 a Vậy V = B.h SABC SA 3 SAM SA AM tan 60o Bài 9: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông có cạnh a và SA vuông góc đáy ABCD và mặt bên (SCD) hợp với đáy góc 60o 1) Tính thể tích hình chóp SABCD 2) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD) Lời giải: 1)Ta có SA (ABC) và CD AD CD SD ( đl ).(1) = 60o Vậy góc[(SCD),(ABCD)] = SDA SAD vuông nên SA = AD.tan60o = a 1 a3 Vậy V SABCD SA a2 a 3 2) Ta dựng AH SD ,vì CD (SAD) (do (1) ) nên CD AH AH (SCD) Vậy AH là khoảng cách từ A đến (SCD) SAD 1 1 a AH = 2 2 AH SA AD 3a a 3a Bài 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = a và SA vuông góc với đáy a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD b) Chứng minh trung điểm I cạnh BC là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Lop12.net (6) Đàm Nông Dũng – THPT Thị xã Bài giải 1 a) Áp dụng công thức V Bh đó B = a2, h = SA = a V a ( đvtt) 3 b) Trong tam giác vuông SAC, có AI là trung tuyến ứng với cạnh huyền SC nên AI = IS = IC.(1) BC AB và BC SA BC SB SBC vuông B, IB là trung tuyến ứng với cạnh huyền SC nên IB = IS = IC (2) Tương tự ta có ID = IS = IC(3) Từ (1), (2), (3) ta có I cách tất các đỉnh hình chóp nên I là tâm mặt cầu ngoại tiếp Bài 11: Cho hình chóp S.ABC có SA = 2a và SA (ABC) Tam giác ABC vuông cân B, AB a a) Tính thể tích khối chóp S.ABC b) Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp c) Gọi I và H là trung điểm SC và SB Tính thể tích khối chóp S.AIH Giải Lop12.net (7) Đàm Nông Dũng – THPT Thị xã a) V B.h 2a B SA a 2.a a , h SA 2a V b) Gọi I là trung điểm SC SA AC nên A thuộc mặt cầu đường kính SC BC SA và BC Ab nên BC SB B thuộc mặt cầu đường kính SC Như tâm mặt cầu là trung điểm I SC SC còn bán kính mặt cầu là R Ta có AC 2a 2a 2a SC SA2 AC 4a 4a 2a R a VS AIH SI SH 1 a3 c) Áp dụng công thức VS AIH VS ACB VS ACB SC SB 4 Bài 12: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông có cạnh a Mặt bên SAB là tam giác nằm mặt phẳng vuông góc với đáyABCD, 1) Chứng minh chân đường cao khối chóp trùng với trung điểm cạnh AB 2) Tính thể tích khối chóp SABCD Lop12.net (8) Đàm Nông Dũng – THPT Thị xã Lời giải: 1) Gọi H là trung điểm AB SAB SH AB mà (SAB) (ABCD) SH (ABCD) Vậy H là chân đường cao khối chóp 2) Ta có tam giác SAB nên SA = suy V a3 SABCD SH a Bài 13: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân B, có BC = a Mặt bên (SAC) vuông góc với đáy, các mặt bên còn lại tạo với mặt đáy góc 450 a) Chứng minh chân đường cao khối chóp trùng với trung điểm cạnh AC b) Tính thể tích khối chóp SABC Lời giải: a) Kẻ SH BC vì mp(SAC) mp(ABC) nên SH mp(ABC) Gọi I, J là hình chiếu H trên AB và BC SI AB, SJ 45o BC, theo giả thiết SIH SJH Ta có: SHI SHJ HI HJ nên BH là đường phân giác ABC đó suy H là trung điểm AC a a3 b) HI = HJ = SH = VSABC= S ABC SH 12 Bài 14: Cho khối chóp tứ giác SABCD có tất các cạnh có độ dài a 1) Chứng minh SABCD là chóp tứ giác Lop12.net (9) Đàm Nông Dũng – THPT Thị xã 2) Tính thể tích khối chóp SABCD Lời giải: Dựng SO (ABCD) Ta có SA = SB = SC = SD nênOA = OB = OC = OD ABCD là hình thoi có đường tròn ngoại tiếp nên ABCD là hình vuông Ta có SA2 + SB2 = AB2 +BC2 = AC2 nên ASC vuông S OS a 2 Vậy V V 1 a a3 S ABCD SO a 3 a3 Bài 15: Cho khối tứ diện ABCD cạnh a, M là trung điểm DC a) Tính thể tích khối tứ diện ABCD b)Tính khoảng cách từ M đến mp(ABC).Suy thể tích hình chóp MABC Lời giải: a) Gọi O là tâm ABC DO ( ABC ) V S ABC DO a2 a a S ABC , OC CI DO DC OC 3 3 1a a a V 12 a b) Kẻ MH// DO, kc từ M đến mp(ABC) là MH DO 1a a a a3 VMABC S ABC MH Vậy V 3 24 24 Lop12.net (10) Đàm Nông Dũng – THPT Thị xã Bài 16: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA vuông góc đáy Góc SC và đáy 60 và M là trung điểm SB 1) Tính thể tích khối chóp S.ABCD 2) Tính thể tích khối chóp MBCD Lời giải: a)Ta có V S ABCD SA 2 + S ABCD (2a ) 4a + SAC có : SA AC tan C 2a 8a V 4a 2a 3 b) Kẻ MH / / SA MH ( DBC ) Ta có: MH S BCD S ABCD SA , 2a VMBCD V Bài 17: Cho hình chóp tam giác S.ABC có AB = 5a, BC = 6a, CA = 7a Các mặt bên (SAB), (SBC), (SCA) tạo với đáy góc 60o Tính thể tích khối chóp Lop12.net 10 (11) Đàm Nông Dũng – THPT Thị xã Lời giải: Hạ SH ( ABC ) , kẽ HE AB, HF BC, HJ AC suy SE AB, SF BC, SJ AC Ta có SJH 60O SAH SFH SJH nên HE SEH SFH =HF = HJ = r ( r là bán kính đường tròn ngọai tiếp ABC ) p ( p a )( p b)( p c) abc 9a Nên SABC = 9.4.3.2 a với p = S 6a Mặt khác SABC = p.r r p Ta có SABC = Tam giác vuông SHE: SH = r.tan 600 Vậy VSABC = 6a 32 a 6 a 2 a a Bài 18: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB a , AD = a, AA’ = a, O là giao điểm AC và BD a) Tính thể tích khối hộp chữ nhật, khối chóp OA’B’C’D’ b) Tính thể tích khối OBB’C’ c) Tính độ dài đường cao đỉnh C’ tứ diện OBB’C’ Lời giải: a) Gọi thể tích khối hộp chữ nhật là V Ta có : V AB AD.AA ' a 3.a a 3 ABD có : DB AB AD 2a * Khối OA’B’C’D’ có đáy và đường cao giống khối hộp nên: a3 VOA ' B 'C ' D ' V 3 Lop12.net 11 (12) Đàm Nông Dũng – THPT Thị xã b) M là trung điểm BC OM ( BB ' C ') 1 a a a3 VO BB 'C ' S BB 'C ' OM 3 2 12 c) Gọi C’H là đường cao đỉnh C’ tứ diện OBB’C’ Ta có : C 'H 3VOBB 'C ' SOBB ' ABD có : DB AB AD 2a SOBB ' a C ' H 2a Bài 19(THPT PB-2008-lần 1): Cho hình chóp tam giác S ABC có cạnh đáy a, cạnh bên 2a Gọi I là trung điểm cạnh BC a) Chứng minh SA vuông góc với BC b) Tính thể tích khối chóp S.ABI theo a Bài 20:Cho hình chóp tứ giác S.ABCD Tính thể tích khối chóp, biết: a) Cạnh đáy 2cm, cạnh bên 2cm b) Cạnh đáy 2cm, cạnh bên hợp với đáy góc 600 c) Cạnh đáy 2cm, mặt bên hợp với đáy góc 600 Bài 21 (THPT- PB-2006): Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy, cạnh bên SB a Lop12.net 12 (13) Đàm Nông Dũng – THPT Thị xã a) Tính thể tích khối chóp S ABCD b) Chứng minh trung điểm cạnh bên SC là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD Bài 22( THPT PB-2007-lần 1): Cho hình chóp tam giác S ABC có đáy ABC là tam giác vuông đỉnh B, cạnh bên SA vuông góc với đáy Biết SA = AB = BC = a Tính thể tích khối chóp S ABC Bài 23: (THPT PB-2007- lần 2): Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = AC Tính thể tích khối chóp S ABCD Bài 24: (THPT PB- 2008 - lần 2): Cho hình chóp tam giác S ABC có đáy là tam giác ABC vuông đỉnh B, đường thẳng SA vuông góc với với mặt phẳng (ABC) Biết AB = a; BC = a và SA = 3a a) Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a b) Gọi I là trung điểm cạnh SC, tính độ dài đoạn thẳng BI theo a Bài 25 (THPT 2009): Cho hình chóp S ABC có mặt bên SBC là tam giác cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với = 1200, tính thể tích khối chóp S ABC theo a mặt phẳng đáy Biết BAC Bài 26 Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C có cạnh bên cạnh đáy và a a) Tính thể tích khối lăng trụ theo a b) Tính thể tích khối chóp A' ABC theo a = 600, mặt Bài 27: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thang cân (AB // CD), AB = a, DC = 2a, ADC bên (SAD) vuông góc với đáy, SA = SD = AD Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a Bài 28: Cho hình chóp tứ giác S ABCD, đáy ABCD là hình thoi tâm O, đường chéo AC = 2a, đường chéo BD = 2b Hai mặt chéo (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt đáy Mặt bên (SBC) hợp với mặt đáy góc 450 Tính theo a, b thể tích khối chóp S ABCD Lop12.net 13 (14)