C là điểm bất kỳ trên đồ thị hàm số 1 .tiếp tuyến với đố thị hàm số 1 tại C cắt tiệm cận đứng và ngang tại A và B .Chứng minh rằng C là trung điểm của AB và tam giác tạo bởi tiếp tuyến đ[r]
(1)Cï §øc Hoµ Trường THPT Vĩnh Chân - Tổ : Toán - Lý CHUYÊN ĐỀ KHẢO SÁT HAØM SỐ C©u Cho haøm soá y x 1 (1) ,có đồ thị là (C) x 1 Khaûo saùt haøm soá (1) Vieát phöông trình tieáp tuyeán cuûa (C),bieát tieáp tuyeán ñi qua ñieåm P(3;1) M ( x0 , y0 ) la ømoät ñieåm baát kyø thuoäc (C) Tieáp tuyeán cuûa (C) taïi M caét tieäm cận đứng và đường tiệm cận ngang của(C) theo thứ tự A và B Gọi I là giao điểm hai đường tiệm cận (C) Chứng minh diện tích tam giác IAB không phụ thuộc vaøo vò trí cuûa ñieåm M C©u 2: (2 ñieåm) Cho haøm soá: y x2 x 1 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Cho điểm A(0;a) Xác định a để từ A kẻ tiếp tuyến đến (C) cho hai tiếp điểm tương ứng nằm hai phía trục Ox C©u 3: (2 ñieåm) x2 x 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C ) hàm số y x 1 2) Gọi M (C ) có hoành độ xM m Chứng tỏ tích các khoảng cách từ M đến hai đường tiệm cận (C ) không phụ thuộc vào m C©u 4: (2 ñieåm) x mx Cho haøm soá: y với m là tham số x 1 1) Xác định m để tam giác tạo trục toạ độ và đường tiệm cận xiên hàm số treân coù dieän tích baèng 2) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trên m= -3 C©u 5: (2 ñieåm) Cho haøm soá: y x (m2 10) x 1.Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số ứng với m=0 2.Chứng minh với m ,đồ thị hàm số luôn cắt trục hoành điểm phân biệt Chứng minh số các giao điểm đó có hai điểm nằm khoảng (-3,3) và có hai điểm nằm ngoài khoảng (-3,3) C©u 6: (2 ñieåm) Cho haøm soá y f ( x) x3 (m 3) x 3x (m laø tham soá) 1.Tìm m để đồ thị hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu.Khi đó viết phương trình đường thẳng qua điểm cực trị này 2.Tìm m để f ( x ) 3x với x C©u i 7: (2 ñieåm) Cho haøm soá y x x x a) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số b) Tìm tất các điểm M trên trục tung cho từ M kẻ tiếp tuyến với đồ thị,song song với đường thẳng y x http://book.key.to Lop12.net (2) Cï §øc Hoµ Trường THPT Vĩnh Chân - Tổ : Toán - Lý C©u 8: (2 ñieåm) Cho haøm soá y x3 3(2m 1) x 6m(m 1) x (1) a) Khaûo saùt haøm soá (1) m=1 b) Chứng minh rằng, m hàm số(1) luôn đạt cực trị x1 , x2 với x1 x2 không phụ thuộc m C©u 9: (2 ñieåm) a) Khaûo saùt haøm soá: y x2 5x b) Cho parabol: y x 5x vaø y x 5x 11 Vieát phöông trình tieáp tuyeán chung cuûa parabol treân Bµi 10: (2 ñieåm) a Khảo sát,vẽ đồ thị (C) hàm số y x3 3x2 b Tìm tất các điểm trên trục hoành mà từ đó vẽ đúng ba tiếp tuyến đồ thị (C) ,trong đó có hai tiếp tuyến vuông góc C©u 11: (2 điểm) Cho hàm số y 3x4 4(1 m) x3 6mx m có đồ thị (Cm ) Khaûo saùt haøm soá treân m= -1 Tìm giá trị âm tham số m để đồ thị và đường thẳng () : y có ba giao ñieåm phaân bieät C©u 12: (2 ñieåm) Cho haøm soá: y x3 3x (m 2) x 2m (Cm ) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị(C1) hàm số m=1 Cho haøm soá y x3 mx2 x (1) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (1) với m= Tìm m để hàm số (1) có cực đại và cực tiểu Lập phương trình đường thẳng qua điểm cực đại và cực tiểu đó C©u 14: (2 ñieåm) Cho haøm soá y x x2 1a Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số 1b Dựa vào đồ thị (C) ,hãy biện luận theo tham số m số nghiệm phương trình : C©u 13: (2 ñieåm) x x2 m C©u 15: (2 ñieåm) x2 x x2 x2 x b Từ đồ thị hàm số (C) suy đồ thị hàm số : y x2 a Khaûo saùt haøm soá (C) coù phöông trình: y c xét đồ thị họ (Cm) cho phương trình y x2 x m2 Xaùc ñònh taäp x2 hợp điểm mà không có đồ thị nào họ (Cm) qua C©u 16: khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị(C) hàm số: y = -(x + 1)2(x+4) Dùng đồ thị (C) để biện luận theo số nghiệm phương trình : (x + 1)2(x+4) = (m+1)2(m+4) http://book.key.to Lop12.net (3) Cï §øc Hoµ Trường THPT Vĩnh Chân - Tổ : Toán - Lý C©u 17: ( điểm) Cho hàmsố y ( x 1)( x mx m) (1), với m là tham số thực 1.Khảo sát hàm số (1) ứng với m= -2 2.Tìm các giá trị m để đồ thị hàm số (1) tiếp xúc với trục hoành Xác định tọa độ tiếp điểm tương ứng trường hợp m C©u 18: ( ñieåm) Cho haøm soá y x 1 (1) ,có đồ thị là (C) x 1 Khaûo saùt haøm soá (1) Vieát phöông trình tieáp tuyeán cuûa (C),bieát tieáp tuyeán ñi qua ñieåm P(3;1) M ( x0 , y0 ) la ømột điểm thuộc (C) Tiếp tuyến (C) M cắt tiệm cận đứng và đường tiệm cận ngang của(C) theo thứ tự A và B Gọi I là giao điểm hai đường tiệm cận (C) Chứng minh diện tích tam giác IAB không phụ thuộc vào vị trí cuûa ñieåm M C©u 19: ( ñieåm) Cho haøn soá y= f(x) = m x 2( m 1) x ( m laø tham soá ) a Khaûo saùt haøm soá m= b Tìm tất giá trị m cho hàm số có cực đại ,cực tiểu và tung độ điểm cực đại yCD , 2 tung độ điểm cực tiểu yCT thỏa: ( yCD yCT ) (4m 4) C©u 20: ( ñieåm) Khaûo saùt haøm soá y x Gọi (C) là đồ thị hàm số x 1 Viết phương trình các tiếp tuyến với (C) kẻ từ điểm A=(0;3) CAÂU 21: ( ñieåm) Cho haøm soá y f ( x) x3 x2 x a Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị(C) hàm số trên b Biện luận theo k số giao điểm đồ thị (C) và đường thẳng (D1) : y=kx+2 c Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị (C) ,trục hoành và đường thẳng(D2) : y = - x +1 CAÂU 22:( ñieåm) Cho haøm soá y x 3x x Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị(C) hàm số Tìm trên đường thẳng x=1 điểm M cho từ M kẻ hai tiếp tuyến đến (C) và hai tiếp tuyến đó vuông góc với CAÂU 23:( ñieåm) Cho haøm soá y x 3x x 1.Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị( C) hàm số 2.Tìm trên đường thẳng x=1 điểm M cho từ M kẻ hai tiếp tuyến đến (C) và hai tiếp tuyến đó vuông góc với CA U 24:(3 ñieåm) Cho hàm số y x x m (có đồ thị là (Cm ) ), m là tham số Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số m= Tìm các giá trị m cho đồ thị (Cm ) có hai điểm chung với trục Ox http://book.key.to Lop12.net (4) Cï §øc Hoµ Trường THPT Vĩnh Chân - Tổ : Toán - Lý Chứng minh với giá trị m tam giác có đỉnh là ba điểm cực trị đồ thị (Cm ) là tam giác vuông cân CA U 25 Khaûo saùt haøm soá : y x 5x Hãy tìm tất các giá trị a cho đồ thị hàm số y x 5x tiếp xúc với đồ thị hàm số y x a Khi đó hãy tìm tọa độ tất các tiếp điểm CAÂU 26: Cho haøm soá y x3 (2m 1) x (m2 3m 2) x 1.Khaûo saùt haøm soá m=1 Trong trường hợp tổng quát ,hãy xác định tất các tham số m để đồ thị hàm số đã cho có điểm cực đại và cực tiểu hai phía trục tung CAÂU 27: Khaûo saùt haøm soá: y x 3x (1) x 1 Từ đồ thị hàm số (1) , hãy nêu cách vẽ và vẽ đồ thị hàm số: y x2 3x 3.Từ x 1 góc toạ độ có thể vẽ bao nhiêu tiếp tuyến hàm số (1) ? Tìm toạ độ các tiếp ñieåm (neáu coù) CAÂU 28: Cho haøm soá : y x3 x m (1) , m laø tham soá Khaûo saùt haøm soá (1) m Tìm các giá trị tham số m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành ba điểm phân bieät CAÂU 29: Cho haøm soá : y x2 x (C) x2 Khaûo saùt haøm soá (C) Đường thẳng ( ) qua điểm B(0,b) và song song với tiếp tuyến (C) điểm O(0,0) Xác định b để đường thẳng ( ) cắt (C) hai điểm phân biệt M,N Chứng minh trung điểm I MN nằm trên đường thẳng cố định b thay đổi CAÂU 30: Cho haøm soá : y x 2mx , (m laø tham soá ) x 1 Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với m=1 Tìm giá trị m để đường thẳng hàm số có điểm cực đại ,điểm cực tiểu và khoảng cách từ hai điểm đó đến đường thẳng x+y+2=0 Caâu 31: Cho haøm soá : y x3 x2 x 1.Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số 2.a) Từ đồ thị hàm số đã cho hãy suy đồ thị hàm số : y x 6x2 x b) Bieän luaän theo m soá nghieäm cuûa phöông trình: x 6x2 x m http://book.key.to Lop12.net (5) Cï §øc Hoµ Caâu 32 :( 2,5 ñieåm) Trường THPT Vĩnh Chân - Tổ : Toán - Lý Cho haøm soá y x2 x 1 x 1 a Khảo sát hàm số đã cho b Xác định điểm A( x1 ; y1 ) ( với x1 ) thuộc đồ thị hàm số trên cho khoảng cách từ A đến giao điểm tiệm cận đồ thị là nhỏ Tìm taäp giaù trò cuûa haøm soá y x3 x2 và các tiệm cận đồ thị hàm số đó Caâu 33: Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y x2 2x x 1 Tìm điểm M trên đồ thị hàm số cho khoảng cách từ M đến giao điểm hai đường tiệm cận là nhỏ Caâu 34: Cho haøm soá : y x mx x 1 Tìm các giá trị m để tiệm cận xiên đồ thị hàm số đã cho cắt trục toạ độ hai điểm A và B cho diện tích tam giác OAB 18 Caâu 35 : Cho haøm soá y x3 3(m 1) x 3(2m 1) x ( m laø tham soá ) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với m=1 Tìm giá trị m để đồ thị hàm số có điểm cực đại ,điểm cực tiểu và hai điểm đó đối xứng qua điểm I(0,4) Caâu 36: Cho haøm soá y x (6 m) x mx Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu Khaûo saùt haøm soá m=1 (C) Chứng minh điểm đồ thị (C) tiếp tuyến luôn luôn cắt hai tiệm cận tam giác có diện tích không đổi Caâu 37: Cho hàm số y x3 3(a 1) x 3a(a 2) x đó a là tham số a Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số a= b Với các giá trị nào a thì hàm số đồng biến trên tập hợp các giá trị x cho: x 2 Tìm tất các giá trị tham số m để đồ thị hàm số y x x m coù ba ñieåm x cực trị Khi đó chứng minh điểm cực trị này nằm trên đường cong: y 3( x 1)2 Caâu 38: Hãy vẽ đồ thị hàm số : y x x ( x 1)2 x 2.Tìm toạ độ các giao điểm các đường tiếp tuyến đồ thị hàm số y x 1 với x 3 trục hoành ,biết các tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng y=x+2001 http://book.key.to Lop12.net (6) Cï §øc Hoµ Caâu 39: Trường THPT Vĩnh Chân - Tổ : Toán - Lý Cho haøm soá : y (m 1) x 2mx (m3 m2 2) (Cm ) đó m là tham số xm Khảo sát hàm số đã cho với m= Xaùc ñònh taát caû caùc giaù trò cuûa m cho haøm soá (Cm ) luoân luoân nghòch bieán treân các khoảng xác định nó Caâu 40: Khaûo saùt haøm soá : y x2 x (C) x2 Chứng minh tích các khoảng cách từ điểm M trên đồ thị (C) đến caùc tieäm caän laø moät haèng soá khoâng phuï thuoäc vò trí ñieåm M Tìm trên nhánh đồ thị (C) điểm cho khoảng cách chúng nhỏ nhaát Caâu 41: Cho haøm soá y x3 3x m2 x m Khảo sát ( xét biến thiên vẽ đồ thị ) hàm số ứng với m= Tìm tất giá trị tham số m để hàm số có cực đại , cực tiểu và các điểm cực đại , cực tiểu đồ thị hàm số đối xứng với qua đường thẳng y x CAÂU 42 : Cho haøm soá : y x3 3x (1) Khaûo saùt haøm soá (1) Chứng minh m thay đổi ,đường thẳng cho phương trình y=m(x+1)+2 luôn cắt đồ thị (1) điểm A cố định Hãy xác định các gía trị m để đường thẳng cắt đồ thị hàm số (1) điểm A,B,C khác cho tiếp tuyến với đồ thị B vàC vuông góc với Caâu 43: Cho haøm soá : y x x m2 x2 Tìm giá trị m cho y với x 2 Khảo sát hàm số với m=1 Caâu 44 : x 8x Cho haøm soá : y (1) ,trong đó m là tham số 8( x m) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) với m=1 Tìm tất các giá trị tham số m cho hàm số (1) đồng biến trên [1, ) Caâu 45: Khaûo saùt haøm soá : y ( x 1) ( x 2) Cho ñöông thaúng ñi qua ñieåm M(2,0) vaø coù heä soá goùc laø k Haõy xaùc ñònh taát caû caùc giá trị k để đường thẳng cắt đồ thị hàm số sau bốn điểm phân biệt : y x 3 x 2 Caâu 46: http://book.key.to Lop12.net (7) Cï §øc Hoµ Trường THPT Vĩnh Chân - Tổ : Toán - Lý Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số : y 3x x 3 (1) Tìm hàm số mà đồ thị nó đối xứng với đồ thị hàm số (1) qua đường thẳng x+y–3=0 C là điểm trên đồ thị hàm số (1) tiếp tuyến với đố thị hàm số (1) C cắt tiệm cận đứng và ngang A và B Chứng minh C là trung điểm AB và tam giác tạo tiếp tuyến đó với hai tiệm cận có diện tích không đổi Cho haøm soá : y x x2 m (C) CAÂU 47 : Khảo sát hàm số với m = Giả sử đồ thị cắt trục hoành điểm phân biệt Hãy xác định m cho hình phẳng giới hạn đồ thị (c) và trục hoành có diện tích phần phía trên và phần phía trục hoành Caâu 48: Cho haøm soá : y x mx x m 1 Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số ứng với m= Trong tất các tiếp tuyến với đồ thị hàm số đã khảo sát , hãy tìm tiếp tuyến coù heä soá goùc nhoû nhaát Chứng minh với m , hàm số đã cho luôn luôn có cực đại và cực tiểu Hãy xác định m cho khoảng cách các điểm cực đại và cực tiểu là nhỏ Caâu 49: Cho haøm soá : y x3 x2 x Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số a Từ đồ thị hàm số đã cho hãy suy đồ thị hàm số y x x x b Bieän luaän theo m soá nghieäm cuûa phöông trình : x x x m Caâu 50 : Cho haøm soá : y (m 2) x3 3x mx (m laø tham soá ) Với giá trị nào m thì hàm số có cực đại và cực tiểu Khảo sát hàm số (C) ứng với m= Chứng minh từ điểm A(1;-4) có tiếp tuyến với đồ thị (C) Caâu 51: Cho hàm số : y x3 3(a 1) x 3a(a 2) x đó a là tham số a.Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số a= b.Với các giá trị nào a thì hàm số đồng biến trên tập hợp các giá trị x cho :1 x 2 Tìm tất các giá trị tham số m để đồ thị hàm số : y x x m coù ba x điểm cực trị Khi đó chứng minh ba điểm cực trị này nằm trên đường cong: y 3( x 1)2 Caâu 52 : Cho haøm soá : y x2 x 1 x 1 Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số Gọi đồ thị đó là (C) Chứng minh tích các khoảng cách từ điểm trên (C) tới hai tiệm cận nó là số không đổi http://book.key.to Lop12.net (8) Cï §øc Hoµ Trường THPT Vĩnh Chân - Tổ : Toán - Lý Caâu 53: Cho haøm soá : y x3 3x 12 x (1) Khaûo saùt haøm soá (1) Tìm điểm M thuộc đồ thị (C) hàm số (1 ) cho tiếp tuyến (C) hai điểm qua gốc toạ độ Caâu 54: Cho haøm soá : y x (m 2) x m x 1 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số m = Tìm m để trên đồ thị có hai điểm phân biệt A,B cho : 5xA y A 0, ; 5xB yB Tìm m để hai điểm A,B đó đối xứng với qua đường thẳng (d) có phương trình: x + 5y + = Caâu 55: Cho haøm soá : y x3 x2 x Khảo sát hàm số đã cho Tìm diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị vừa vẽ và đường thẳng y= 4x Caâu 56: 2 x x m Cho haøm soá: y 2x 1 Với giá trị nào tham số m thì hàm số nghịch biến khoảng ; ? Khaûo saùt haøm soá m = Caâu 57 : Cho hàm số : y mx3 3mx2 2(m 1) x ,trong đó m là tham số thực Tìm điểm cố định mà đường cong họ trên qua Chứng tỏ điểm cố định đó thẳng hàng và từ đó suy họ đường cong có chung tâm đối xứng Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số ứng với giá trị m=1 Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị điểm uốn và chứng tỏ các tiếp tuyến đồ thị thì tiếp tuyến này có hệ số góc nhỏ Tìm diện tích phẳng giới hạn đồ thị hàm số ( ứng với m = 1) ; tiếp tuyến taïi ñieåm uoán vaø truïc Oy Cho haøm soá : y x3 3mx 3(m2 1) x Caâu 58: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số đã cho m= Tìm giá trị tham số m để đồ thị hàm số đã cho các điểm cực đại ,cực tiểu ,đồng thời các điểm cực đại và cực tiểu nằm hai phía trục tung CAÂU 59: Cho haøm soá y x2 (1) x 1 Khaûo saùt haøm soá (1) 2 Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M 2, cho d cắt đồ thị hàm 5 số (1) hai điểm phân biệt A ,B và M là trung điểm đoạn thẳng AB Cho haøm soá : y x3 3x m2 x m CAÂU 60: Khảo sát (xét biến thiên, vẽ đồ thị ) hàm số ứng với m= http://book.key.to Lop12.net (9) Cï §øc Hoµ Trường THPT Vĩnh Chân - Tổ : Toán - Lý Tìm tất các giá trị tham số m đề hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm cực đại ,cực tiểu đồ thị hàm số đối xứng qua đường thẳng y x CAÂU 61: x2 x 1 Khảo sát (xét biến thiên ,vẽ đồ thị) hàm số : y x 1 Gọi đồ thị là (C) Chứng minh với gía trị m ,đường thẳng y=m cắt (C) hai điểm phân biệt A ,B Xác định giá trị m để độ dài đoạn AB ngắn CAÂU 62: 1.Khảo sát (xét biến thiên ,vẽ đồ thị) hàm số : y x2 Gọi đồ thị là (C) x 1 2.Tìm trên đường thẳng y=4 tất các điểm mà từ điểm đó có thể kẻ tới đồ thị (C) hai tiếp tuyến lập với góc 45 CAÂU 63: Cho haøm soá y x3 3(m - 3) x 11- 3m ( Cm ) 1) Cho m=2 Tìm phương trình các đường thẳng qua A( 19 , 4) vaø tieáp xuùc 12 với đồ thị ( C2 ) hàm số 2) Tìm m để hàm số có hai cực trị Gọi M và M là các điểm cực trị ,tìm m để các điểm M , M và B(0,-1) thẳng hàng Caâu 64: Cho haøm soá : y x x (1) a Khảo sát biến thiên và cẽ đồ thị (C) hàm số (1) b Tìm trên đồ thị (C) điểm mà đó tiếp tuyến đồ thị (C) vuông góc với đường thaúng : y x c Tính tích phaân : (1 x x )2 dx http://book.key.to Lop12.net 10 (10) Cï §øc Hoµ Trường THPT Vĩnh Chân - Tổ : Toán - Lý Chuyên đề khảo sát hàm số: Hớng dẫn và đáp án Baøi 1: x 1 x 1 1) Khaûo saùt haøm soá: y y' 2 0 ( x 1)2 (C) TXÑ: D = R \ (1) Hàm số giảm trên khoảng xác định TCÑ: x = vì lim y x 1 TCN: y = vì lim y x BBT: Đồ thị: y 2) Vieát phöông trình tieáp tuyeán cuûa (C) ñi qua ñieåm P(3, 1): Đường thẳng (d) qua P có hệ số góc k:y = k( x-3) + x+1 x-1 = k(x-3) + (d) tieáp xuùc (C) -2 = k (x-1)2 A M (1) B coù nghieäm O x (2) Thay (2) vaøo (1) : x -2(x-3) x 2( x 3) ( x 1)2 x x x (x-1)2 Thay vaøo (2) k 2 Vaäy phöông trình tieáp tuyeán ñi qua P laø: y= -2x + 3) M0 ( x0 , y0 ) (C ) Tiếp tuyến (C) M cắt đường tiệm cận tạo thành tam giác coù dieän tích khoâng phuï thuoäc M Phöông trình tieáp tuyeán cuûa (C) taïi M: y f '( x0 )( x x0 ) y0 x0 x0 x 3 -3 y ( x ) x x (x0 -1)2 ( x0 1)2 x ( x0 1)2 Giao điểm với tiệm cận đứng x =1 x 1 y Giao điểm với tiệm cận ngang y = y x x 4 x0 A 1, x0 x0 x0 5x B ,1 Giao điểm hai đường tiệm cận: I(1, 1) Ta coù : SIAB IA.IB 1 x0 5x y A yI x B x I 1 1 2 x0 5x 25 1 haèng soá x0 http://book.key.to Vaäy: SIAB khoâng phuï thuoäc vaøo vò trí ñieåm M Lop12.net 11 (11) Cï §øc Hoµ Trường THPT Vĩnh Chân - Tổ : Toán - Lý C©u 2: (2 ñieåm) 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: y y, 3 x 12 x2 x 1 TXÑ: D=R\{1} Hàm số giảm trên khoảng xác định TCD: x=1 vì lim y x TCN: y=1 vì lim y x BBT: Đồ thị: 2) Xác định a để từ A(0,a) kẻ tiếp tuyến đến (C) cho tiếp điểm đến nằm phía 0x x 2 Goïi M ( x ; y ) (C ) y 0 0 x 1 Phöông trình tieáp tuyeán cuûa (C) taïi M: y f ' ( x )( x x ) y 0 x 2 x 4x 3 0 x y (x x ) y 2 x ( x 1) ( x 1) ( x 1)2 0 0 x 4x Tieáp tuyeán qua A(0,a) a (a 1) x 2(a 2) x a (1) 0 ( x 1) (vì x =1 khoâng laø nghieäm) a a Điều kiện để có tiếp tuyến kẻ từ A là: , Khi đó (1) có nghiệm là a 2 3 x , x x 2 vaø y Tung độ tiếp điểm y 0 x 1 x 2 Ñieàu kieän tieáp ñieåm naèm veà phía x 1 Ox http://book.key.to Lop12.net 12 (12) Cï §øc Hoµ Trường THPT Vĩnh Chân - Tổ : Toán - Lý x 2 x 2 x x 2( x x ) y y 0 0 0 1 x 1 x 1 x x x x 1 1 a 4(a 2) 4 9a 2 a 1 a 1 0 3a a a 2(a 2) 3 1 a 1 a 1 a 2, a 2 2 a Toùm laïi: 2 vaø a ÑS: a , a 3 a C©u 3: (2 ñieåm) 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: x2 x y x 1 TXÑ: D = R\{-1} y' x2 x ( x 1)2 x y' x 2 Tiệm cận đứng: x= -1 vì lim y x 1 2 Tieäm caän xieân: y = 2x - vì lim Ta coù: y x 0 x 1 x x 1 BBT Đồ thị: Cho x = suy y = 2) Gọi M (C) có XM = m Chứng tỏ tích các khoảng cách từ M đến đường tiệm cận (C) không phụ thuộc m Ta coù: XM = m y M 2m m 1 Tiệm cận đứng : x + = Suy d1(M, D1) m 1 (D1) m 1 2m 2m Tieäm caän xieân: 2x – y – = (D2) Suy d1.d2 = m http://book.key.to d2(M,D2) = 1 m 1 m 1 2 (khoâng phuï thuoäc m) m 1 Lop12.net 13 (13) Cï §øc Hoµ Trường THPT Vĩnh Chân - Tổ : Toán - Lý C©u 4: (2 ñieåm) Cho haøm soá: y x mx x 1 1) Tìm m để diện tích tam giác tạo TCX và trục tọa độ Ta coù: y x m m x 1 m 0 x x 1 Với m thì TCX: y = 2x + m + vì lim m2 m2 A ,0 2 x y m B (0, m 2) Giao ñieåm TXC vaø oy: m 1 m2 SOAB OA.OB m2 ( thoûa ñieàu kieän (m 2)2 16 2 m 6 m0) x 3x 2) Khảo sát và vẽ đồ thị m = -3: y (C) x 1 Giao ñieåm TCX vaø Ox: y=0 x TXÑ: D = R\ {1} y' x2 4x ( x 1) x 0 Suy hàm số tăng trên khoảng xác định TCÑ: x = vì lim y x 1 TCX: y = 2x - (theo caâu 1) BBT: Đồ thị: x y 2, x y C©u 5: (2 ñieåm) Cho: y = x4 – (m2 + 10)x2 + (Cm) 1) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với m = y = x – 10x + TXD: D = R y ' x3 20 x x( x 5) y '' 12 x 20 y '' x x y' x 5 44 y 44 44 ñieåm uoán ; ; BBT: http://book.key.to Lop12.net 14 (14) Cï §øc Hoµ Trường THPT Vĩnh Chân - Tổ : Toán - Lý Đồ thị: x2 x 1 x 3 x Cho y 2) Chứng minh với m , (Cm) luôn luôn cắt Ox điểm phân biệt đó có hai điểm nằm (-3,3) và điểm nằm ngoài (-3,3) Phương trình hoành độ giao điểm (Cm) và Ox x (m 10) x (1) Ñaët t x (t 0) Phương trình trở thành: t (m 10)t (2) (m 10) 36 0, m Ta coù: P S m 10 0, m < t1 < t2 (1) coù nghieäm phaân bieät Ñaët f(t) = t (m2 10)t x x x x 1 Ta coù: af(9)= 81 9m 90 9m 0, m 0t 9t x x1 (3;3) x 3 x x x 1 x ( 3;3) x Vậy (Cm) cắt Ox điểm phân biệt đó điểm (3,3) và điểm (3,3) C©u 6: (2 ñieåm) Cho haøm soá y f ( x) x3 (m 3) x 3x (m laø tham soá) 1) Tìm m để đồ thị hàm số có điểm cực đại và cực tiểu Khi đó viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị này y ' x 2( m 3) x 3; y ' x 2( m 3) x (1) Ta coù: Haøm soá coù CÑ, CT (1) coù nghieäm phaân bieät ' (m 3)2 m 6m m 6 m 1 1 Chia f(x) cho f’(x) ta : y f '( x) x (m 3) (m 6m) x m 3 Vậy phương trình đường thẳng qua điểm cực trị là: y (m 6m) x m 2) Tìm m để f ( x ) 3x với x Ta có: f ( x ) x, x x3 (m 3) x , x m x , x x2 http://book.key.to Lop12.net 15 (15) Cï §øc Hoµ Trường THPT Vĩnh Chân - Tổ : Toán - Lý m g ( x) với g ( x ) x x 1 x2 x3 , x ; g '( x) x Ta coù: g '( x) 3 x x +) BBT: g ( x ) Vaäy: m x 1 C©u 7: (2 ñieåm) a) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị y x2 x x (C ) TXÑ: D = R\ {2} x2 4x y' ( x 2) x y' 0 x TCÑ: x = vì lim ; Ta coù: y x x2 TCX: y = - x + vì lim x x 0 x BBT: Đồ thị: Cho x = y b) Tìm M Oy cho tiếp tuyến kẻ từ M đến (C) song song với đường thẳng y= x có dạng Goïi M(0, b) Oy , tieáp tieáp qua M song song 4 đường thẳng y x có dạng: (D): y x b (D) tieáp xuùc (C) x2 x xb x x 4x ( x 2) (2) x x x x (1) co ù nghieäm (2) Thay vaøo (1): x b ; x b 5 Vaäy : M (0; ), M (0; ) C©u 8: (2 ñieåm) a) Khaûo saùt (1) y x3 3(2m 1) x 6m(m 1) x m 1: y x3 x 12 x http://book.key.to (1) m= 1: TXÑ: D= R Lop12.net 16 (16) Cï §øc Hoµ Trường THPT Vĩnh Chân - Tổ : Toán - Lý y6 x y ' x 18 x 12 ; y ' y5 x 11 y y '' 12 x 18 ; y '' x 2 11 ñieåm uoán I , 2 BBT: Đồ thị: b) Chứng minh m hàm số (1) luôn đạt cực trị x1, x2 với x1 - x2 không phụ thuộc m Ta coù: y x3 3(2m 1) x 6m(m 1) x y ' x 6(2m 1) x 6m(m 1); y ' (2m 1)2 4m(m 1) (*) luoân coù nghieäm phaân bieät x1 , x2 x (2m 1) x m(m 1) (*) Hàm số luôn đạt cực trị x1 , x2 Ta coù: x 2m 2m ; x 2m 2m x x 2m 2m 2 Vaäy: x x khoâng phuï thuoäc m (haèng soá) Bµi 9: (2 ñieåm) a) Khaûo saùt haøm soá: y x2 5x Taäp xaùc ñònh: D = R y’= 2x – BBT: Đồ thị: b) Vieát phöông trình tieáp tuyeán chung cuûa hai parapol: ( P ) : y x x vaø ( P ) : y x x 11 http://book.key.to Lop12.net 17 (17) Cï §øc Hoµ Trường THPT Vĩnh Chân - Tổ : Toán - Lý - Goïi : y= ax + b laø tieáp tuyeán chung cuûa (P1) vaø (P2) - tiếp xúc với (P1) và (P2) x x ax b coùnghieäm keù p x x 11 ax b coù nghieäm keùp x (5 a) x b coù nghieäm keùp x (5 a ) x 11 b coùnghieäm keùp a 10a 4b a 0 b 10 a 10a 4b 19 Vaäy phöông trình tieáp tuyeán chung laø: a 3 b y = 3x – 10 hay y = - 3x + C©u 10: (2 ñieåm) a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số: y x3 x TXÑ: D = R y ' x x 3x ( x 2) x x 2 x 1 y y' y '' y '' x (C ) Ñieåm uoán I(-1, 2) +) BBT: Đồ thị: Cho x = -3, y = x = 1, y = b) Tìm điểm M trên Ox cho từ M kẻ tiếp tuyến đến (C) đó có tiếp tuyến vuông góc Gọi M(a, 0) Ox , đường thẳng (d) qua M và có hệ số góc K là: y = k( x - a) x3 3x k ( x a) 3 x x k (d) tieáp xuùc (C) (1) coùnghieäm (2) Thay (2) vaøo (1): x3 x x x( x a) x3 3(a 1) x2 6ax x x x2 3(a 1) x 6a x 3(a 1) x 6a (3) Với x = k = tiếp tuyến là y = http://book.key.to Lop12.net 18 (18) Cï §øc Hoµ Trường THPT Vĩnh Chân - Tổ : Toán - Lý +) Từ M kẻ tiếp tuyến đến (C) đó có tiếp tuyến vuông góc với (3) coù nghieäm phaân bieät x , x vaø k k 1 a 2 (3 x1 x1 )(3 x2 x2 ) 1 a a vaø a 81a 81a ( a 1) 108 a Vaäy chæ coù ñieåm M ( C©u 11: (2 ñieåm) a 9( a 1) 48 a 9( x1 x ) 18 x1 x ( x1 x ) 36 x1 x vì x1x = - 3a 3(a-1) x1 + x = a a vaø a -27a + = , 0) Ox thoả điều kiện bài toán 27 Cho haøm soá: y x 1 m x3 6mx2 m a 27 (C ) m y 3x x TXÑ: D = R x y ' 12 x3 12 x 12 x x y' x 1 1 1 1 y '' 36 x 12 y '' x y ñieåm uoán , , 3 3 3 1) Khaûo saùt haøm soá m= -1: BBT: x + y’ y - -1 - + + - CÑ + + -1 -1 Đồ thị: x Cho y=2 3x x x 2) Tìm giá trị m < để (Cm) và () : y có ba giao điểm phân biệt Ta coù: y x m x3 6mx m ; y ' 12x3 12 1 m x3 12mx 12x x2 1 m x m y ' http://book.key.to Lop12.net x y 1 m x 1 ym y m4 2m3 m x m 19 (19) Cï §øc Hoµ Trường THPT Vĩnh Chân - Tổ : Toán - Lý (C ) Và cắt điểm phân biệt đường thẳng :y=1 qua điểm cực trị m cuûa (C ) m m 1 m 1 m 2m m 1 m ( loại ) m 0(loại) m ( loại ) m 1(loại) m ( loại ) 2 m m 1 m m 1 m ÑS: m 1 ( nhaän v ì m < ) 1 C©u 12: (2 ñieåm) Cho y x3 3x m x 2m (C ) m 1) Khảo sát và vẽ đồ thị (C ) m = 1 y x3 3x 3x (C ) TXÑ: D = R y ' x x x 1 suy haøm soá luoân taêng treân R y' x 1 ; y '' x ; y '' x 1 y 1 ñieåm uoán I(-1, 1) BBT: Đồ thị: Cho x = 0, y = x = -2, y = y ' tieáp tuyeán taïi I song song Ox I 2) Tìm m để (Cm ) cắt trục hoành điểm phân biệt có hoành độ âm.Phương trình hoành độ giao điểm (Cm ) và Ox x3 3x m x 2m x 2 (1) x x m x 2 x2 x m (2) (Cm ) cắt Ox điểm có hoành độ âm (2) có nghiệm âm phân biệt khác -2 m 2 m 2 m 2 1 4m 1 ÑS: m m 0m 4 P m S 1 m C©u 13: (2 ®iÓm) Cho y x3 mx2 x (1) 1) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số m = y x3 x2 x TXÑ : y’= 3x2 +10x + http://book.key.to Lop12.net 20 (20) Cï §øc Hoµ Trường THPT Vĩnh Chân - Tổ : Toán - Lý x 1 y y' ; x y 32 27 16 , 27 16 y '' x 10 y '' x y 27 ñieåm uoán BBT : Đồ thị: Tìm m để hàm số (1) có cực đại và cực tiểu Lập phương trình đường thẳng qua điểm cực đại và cực tiểu Ta coù : y x3 mx x 3; y ' 3x2 2mx y ' 3x 2mx 0(*) Hàm số có cực đại và cực tiểu (*) có hai nghiệm phân biệt m 21 v m 21 ' m 21 Chia y cho y’ ta : m 2(21 m2 ) 27 7m 1 y f '( x ) x 9 9 3 Vậy phương trình đường thẳng qua điểm cực đại và điểm cực tiểu là: y 2(21 m ) 27 m 9 C©u 14: (2 ñieåm) 1a) Khaûo saùt vaø veõ: TXÑ: y x4 2x2 y ' x3 x y ' x x 1 ; y '' 12 x 4; y " x y 5 5 ; , I2 ; 9 9 => Ñieåm uoán I1 BBT: Đồ thị: +) 1b Bieän luaän soá nghieäm: Ta coù : x x m x x m Dựa vào đồ thị (C) ta kết luận : m< -1: voâ nghieäm ; m= -1: nghieäm -1< m < 0: nghieäm ; m= 0: nghieäm ; m> 0: nghieäm http://book.key.to Lop12.net 21 (21)