Sáng kiến kinh nghiệm của tôi đưa ra một kĩ thuật đơn giản đó là dùng tiếp tuyến kết hợp với tính lồi, lõm của đồ thị hàm số để chứng minh bất đẳng thức nhưng có hiệu quả khi giải quyết [r]
(1)Phần LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Đối với học sinh THPT, việc hiểu khái niệm là điều cần thiết Song để học sinh hiểu sâu và có hứng thú cần cho học sinh thấy ý nghĩa và tác dụng khái niệm, đặc biệt cần vận dụng khái niệm đó vào giải số bài toán cụ thể Trong chương trình toán học lớp 12, khái niệm tiếp tuyến; tính lồi, lõm đồ thị hàm số khá trừu tượng Các bài tập liên quan đến chúng nhiều (thường là viết phương trình tiếp tuyến, xét tính lồi lõm đồ thị hàm số) ít có bài tập ứng dụng hai khái niệm này Chứng minh bất đẳng thức là bài toán hay và khó và thường gặp các kì thi vào đại học, cao đẳng và các kì thi học sinh giỏi Đứng trước bất đẳng thức, học sinh thường lúng túng lựa chọn phương pháp Sáng kiến kinh nghiệm tôi đưa kĩ thuật đơn giản (đó là dùng tiếp tuyến kết hợp với tính lồi, lõm đồ thị hàm số để chứng minh bất đẳng thức) có hiệu giải lớp bài toán chứng minh bất đẳng thức (BĐT) hay tìm giá trị lớn và nhỏ biểu thức Điều quan trọng là học sinh có thể định hướng cách giải từ đầu Ý tưởng phương pháp này là: “Bằng cách xét vị trí tương đối tiếp tuyến và đồ thị hàm số ta suy BĐT” Để làm điều này ta có thể dựa vào tính lồi, lõm đồ thị hàm số tính toán trực tiếp Theo phương pháp này ta có thể chứng cách đơn giản BĐT Jenxen Hơn thế, nó còn giải bài toán mà BĐT Jenxen không xử lí (như bài 5, bài 6, bài 7) Như phương pháp này mạnh hẳn BĐT Jenxen Xuất phát từ lí nêu trên, tôi định viết đề tài sáng kiến kinh nghiệm này với hy vọng cung cấp cho học sinh phương pháp có hiệu lực để chứng minh BĐT Đề tài có thể làm tài liệu tham khảo cho giáo viên dạy ôn thi đại học hay bồi dưỡng học sinh giỏi Tuy nhiên, vì điều kiện thời gian có hạn và cách trình bày có thể chưa thật tốt nên chắn không thể tránh khỏi thiếu sót, mong các bạn độc giả đọc và góp ý cho tôi Lop12.net (2) Phần NỘI DUNG CỦA ĐỀ TÀI I Cơ sở lí thuyết Khái niệm tính lồi, lõm đồ thị hàm số Cho hàm số y f ( x) có đạo hàm trên khoảng (a ; b) a) Đồ thị hàm số gọi là lồi trên khoảng (a ; b) điểm M(c ; f (c)), c (a ; b) tiếp tuyến đồ thị hàm số nằm phía trên đồ thị hàm số b) Đồ thị hàm số gọi là lõm trên khoảng (a ; b) điểm M(c ; f (c)), c (a ; b) tiếp tuyến đồ thị hàm số nằm phía đồ thị hàm số Dấu hiệu lồi, lõm đồ thị hàm số Cho hàm số y f ( x) có đạo hàm đến cấp hai trên khoảng (a ; b) a) Nếu f ''( x) với x (a ; b) thì đồ thị hàm số lồi trên khoảng (a ; b) b) Nếu f ''( x) với x (a ; b) thì đồ thị hàm số lõm trên khoảng (a ; b) Nhận xét a) Cho các hàm số y f ( x) và y g ( x) xác định trên khoảng (a ; b) và có đồ thị là (C) và (G) Khi đó (C) nằm trên (G) f ( x) g ( x), x (a ; b) b) Nếu đồ thị hàm số y f ( x) lồi trên khoảng (a ; b) và y f '(c)( x c) f (c) là tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm M(c ; f (c)), c (a ; b) thì f ( x) f '(c)( x c) f (c), x (a ; b) (1) c) Đối với đồ thị hàm số lõm ta có bất đẳng thức ngược lại Bất đẳng thức (1) cho phép ta đánh giá biểu thức f ( x) thông qua biểu thức bậc Hơn nữa, ta có thể chọn c cho dấu đẳng thức xảy theo đúng yêu cầu bài toán Lop12.net (3) II Bài tập áp dụng Bài (BĐT Cô - si) Cho a1, a2, …, an là các số không âm Chứng minh a1 a2 an n a1a2 an n Chứng minh Nếu có số = (i = 1, 2, …, n) thì bđt là hiển nhiên Bây ta xét trường hợp > 0, i {1, 2, …, n} Chia hai vế cho a1 a2 an ta a1 a1 a1 n n a1 a2 an a1 a2 an a1 a2 an Đặt xi trở thành , i {1, 2, , n} thì xi > thoả mãn x1 x2 xn và bđt a1 a2 an n x1 x2 xn 1 hay ln x1 ln x2 ln xn n ln n n 1 Xét hàm số y f ( x) ln x, x Ta có f '( x) , f ''( x) 0, x suy đồ x x thị hàm số lồi trên khoảng (0;+) 1 1 Tiếp tuyến đths điểm ;ln có phương trình là y nx ln suy n n n ln x nx ln , x (0; ) (1) n Áp dụng bđt (1) cho x1, x2, …, xn và cộng vế lại ta ln x1 ln x2 ln xn n( x1 x2 xn ) n n ln n Kết hợp với x1 x2 xn ta có điều phải chứng minh Đẳng thức xảy x1 x2 xn hay a1 a2 an n Bài (BĐT Jenxen) Cho hàm số y f ( x) có đạo hàm cấp trên khoảng (a ; b) a) Nếu f ''( x) 0, x (a ; b) thì x1 , x2 , , xn (a ; b) và 1 , , , n [0;1] thoả mãn 1 n ta có f (1 x1 x2 n xn ) 1 f ( x1 ) f ( x2 ) n f ( xn ) (1) Lop12.net (4) b) Nếu f ''( x) 0, x (a ; b) thì ta có bất đẳng thức ngược lại Chứng minh a) Đặt x 1 x1 x2 n xn thì x (a ; b) Tiếp tuyến đths y f ( x) điểm ( x ; f ( x)) có phương trình là y f '( x)( x x) f ( x) Do f ''( x) 0, x (a ; b) nên đồ thị hàm số lõm trên khoảng (a ; b) Bởi điểm ( x ; f ( x)) tiếp tuyến nằm đồ thị Từ đó suy f ( x) f '( x)( x x) f ( x), x (a ; b) Thay x xi ta f ( xi ) f '( x)( xi x) f ( x) Nhân hai vế với i ta i f ( xi ) i f '( x).xi i f '( x).x i f ( x), i 1,2, , n Cộng vế n BĐT ta n n n n i f ( xi ) f '( x) i xi f '( x).x i f ( x) i i 1 n Bởi x i xi và i 1 i 1 n i 1 i nên ta i 1 n i 1 i 1 n i f ( xi ) f ( i xi ) đó là đpcm i 1 Đẳng thức xảy và x1 x2 xn b) Chứng minh tương tự Trường hợp đặc biệt: Nếu 1 n thì BĐT (1) trở thành n f ( x1 ) f ( x2 ) f ( xn ) x x2 xn f n n Nhận xét Đây là cách chứng minh ngắn gọn và dễ hiểu so với các cách chứng minh đã biết các tài liệu Ngoài ra, dùng tiếp tuyến ta còn có thể giải các bài toán mà BĐT Jenxen không giải Bài (BĐT Bécnuli) Cho x 1 và số thực Chứng minh a) (1 x) x, (;0) (1; ) b) (1 x) x, (0;1) Chứng minh Xét hàm số y f ( x) (1 x) Ta có f '( x) (1 x) 1 , f ''( x) ( 1)(1 x) 2 Tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm (0 ; 1) có pt là y x Nếu (;0) (1; ) thì f ''( x) 0, x 1 , đó đths lõm trên khoảng (1; ) Suy (1 x) x 1, x 1 Lop12.net (5) Nếu thì f ''( x) 0, x 1 , đó đths lồi trên khoảng (1; ) Suy (1 x) x 1, x 1 Đẳng thức xảy x Bài (ĐH 2003) Cho các số dương x, y và z thoả mãn x + y + z Chứng minh 1 x y z 82 x y z Giải Xét hàm số f ( x) x , x (0;1) Vì đẳng thức xảy x2 nên chúng ta xét đồ thị hàm số f ( x) và tiếp tuyến nó điểm x4 1 80 Phương trình tiếp tuyến đồ thị x Ta có f '( x) f '( ) 3 82 x3 x x 82 80 162 hàm số điểm ; x là y 82 82 3 x2 x6 f ''( x) 0, x suy đồ thị hàm số lõm trên khoảng (0; ) x x x x 82 Do đó điểm ; tiếp tuyến nằm phía đồ thị, ta có 3 80 162 x2 x , x Tương tự y, z và cộng lại ta x 82 82 1 80 162 x2 y z ( x y z) 82 (do x y z ) x y z 82 82 Đẳng thức xảy và x y z Nhận xét Cái hay kĩ thuật này chỗ: - Thứ nhất, ta có thể đánh giá biểu thức thông qua biểu thức bậc - Thứ hai, ta có thể chọn vị trí tiếp tuyến cho bất đẳng thức xảy dấu x yz Lop12.net (6) Bài (India, 1995) Cho x1 , x2 , , xn là n số dương có tổng Chứng minh xn x1 x2 n , n , n n 1 x1 x2 xn x Giải Xét hàm số f ( x) , x (0;1) Vì đẳng thức xảy 1 x x1 x2 xn nên chúng ta xét đồ thị hàm số f ( x) và tiếp tuyến nó n 1 2x (2n 1) n 1 điểm ; Ta có f '( x) f ' n n(n 1) n 2(1 x ) x 2( n 1) n 1 Tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm ; có phương trình là n n(n 1) (2n 1) n y x 2(n 1) n 2(n 1) n(n 1) 4x f ''( x) 0, x (0;1) suy đồ thị hàm số lõm trên khoảng (0;1) 4(1 x) x 1 và đó tiếp tuyến nó điểm ; nằm phía đồ thị Bởi n n(n 1) x (2n 1) n x , x (0;1) Áp dụng bất đẳng ta có x 2(n 1) n 2(n 1) n(n 1) thức này cho x1 , x2 , , xn và cộng vế lại ta (2n 1) n n n ( x1 xn ) n 1 x1 xn 2(n 1) n 2(n 1) n(n 1) Đẳng thức xảy và x1 x2 xn n x1 xn Bài Chứng minh rằng, tam giác ABC, ta có 3 sin A sin B sin C Chứng minh Xét hàm số f ( x) sin x, x (0; ) Bất đẳng thức xảy dấu A B C nên ta xét tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm ; Ta 3 có Lop12.net (7) f '( x) cos x f ' nên tiếp tuyến có phương trình là y x 2 3 f "( x) sin x 0, x (0; ) nên đồ thị hàm số lồi trên khoảng (0; ) Do điểm ; tiếp tuyến nằm phía trên đồ thị, từ đó ta có sin x x , x (0; ) Áp dụng bất đẳng thức này cho A, B, C và cộng 2 vế lại ta 3 3 sin A sin B sin C ( A B C ) sin A sin B sin C 2 2 Nhận xét - Bằng cách này ta có thể chứng minh các bất đẳng thức cho các hàm số sin x, cos x, tan x, cot x - Các bất đẳng thức trên có thể chứng minh dựa vào BĐT Jenxen Tuy nhiên BĐT Jenxen không đề cập đến chương trình toán học phổ thông (có thể vì chứng minh BĐT này khá phức tạp) Bây giờ, dùng tiếp tuyến ta chứng minh BĐT Jenxen cách đơn giản Bài Cho các số dương a, b, c thoả mãn 4(a b c) Tìm giá trị lớn biểu thức S = a a2 Giải b b b2 c c c2 a Ta có lnS b ln a a c ln b b a ln c c Xét hàm số f ( x) ln( x x 1), x (1) Do đặc thù bài toán nên ta có thể dự đoán giá trị lớn đạt a b c Vì ta so sánh vị trí đồ thị với tiếp tuyến nó điểm ( ;ln 2) 4 Đạo hàm f '( x) f '( ) Tiếp tuyến đồ thị hàm số (1) điểm x2 ( ;ln 2) có phương trình y x ln 5 Lop12.net (8) Đạo hàm cấp hai f ''( x) x 0, x suy đồ thị hàm số (1) lồi ( x 1) x trên khoảng (0; ) Do đó điểm ( ;ln 2) tiếp tuyến đồ thị hàm số (1) nằm 4 phía trên đồ thị hàm số (1) Từ đó ta có ln( x x 1) x ln , x 5 Áp dụng bất đẳng thức này cho số dương ta a ln(a a 1) a ln Nhân hai vế với số b > ta suy 5 3 b ln(a a 1) ab ln b 5 3 c ln(b b 1) bc ln c Tương tự ta có 5 3 a ln(c c 1) ca ln a 5 Cộng vế ba bất đẳng thức này ta 3 lnS (ab bc ca ) ln (a b c) 5 Cuối cùng sử dụng bất đẳng thức (ab bc ca ) (a b c) và giả thiết 9 a b c , rút gọn ta thu lnS ln Từ đó S 4 4 Đẳng thức xảy và a b c Vậy giá trị lớn S là 4 Nhận xét Đôi giả thiết lồi, lõm không thoả mãn Lúc đó ta so sánh vị trí tiếp tuyến và đồ thị hàm số chứng minh trực tiếp Bài Chứng minh rằng, với số thực dương a, b, c thoả mãn a + b + c = ta có a 1 b 1 c 1 b 1 c 1 a 1 Giải 2 x 1 Xét hàm số f ( x) f '(1) Tiếp tuyến , x Ta có f '( x) 2 ( x 1) x 1 1 đồ thị hàm số điểm 1; có phương trình là y x 2 Lop12.net (9) 2(3 x 1) f ''( x) suy đồ thị hàm số không luôn luôn lõm trên khoảng (0; ) ( x 1)3 1 Tuy nhiên ta có bất đẳng thức x 1, x (1) x 1 2 (vì BĐT này tương đương với BĐT x( x 1) ) 1 Áp dụng BĐT (1) cho số b > ta b (2) Vì a nên b 1 a 1 a 1 1 b 1 (a 1) (2) ab b a b 1 b 1 2 Tương tự, cộng lại ta a 1 b 1 c 1 1 ( ab bc ca ) (b c a ) (a b c) b2 c2 a 2 Cuối cùng sử dụng BĐT (ab bc ca ) (a b c) và giả thiết a b c ta thu a 1 b 1 c 1 3 b2 c2 a Nhận xét Trong chứng minh các BĐT trên, giả thiết a b c k ( k hay k ) là quan trọng Do vậy, các BĐT chưa cho sẵn giả thiết này mà có tính đẳng cấp, ta có thể tự tạo các điều kiện biến (chuẩn hoá) sử dụng phương pháp trên Bài (2003 USA Math Olympiad) Cho a, b, c là số dương Chứng minh (2a b c) (2b c a ) (2c a b) 8 2a (b c) 2b (c a ) 2c (a b) a b c Giải Đặt x Khi đó x, y, z là số ; y ;z abc abc abc dương và thoả mãn x y z 1, và bất đẳng thức cần chứng minh trở thành (2 x y z ) (2 y z x) (2 z x y ) 8 x ( y z ) 2 y ( z x) 2 z ( x y ) Hay ( x 1) ( y 1) ( z 1) 8 x (1 x) 2 y (1 y ) 2 z (1 z ) Lop12.net (10) ( x 1) Xét hàm số f ( x) , x (0;1) Vì đẳng thức xảy x (1 x) 1 8 x y z nên ta xét tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm ; Ta có 3 3 2x x f '( x) 4 (3 x x 1) 1 8 Tiếp tuyến đồ thị hàm số f ( x) điểm ; có phương trình là y x 3 3 x3 3x x f ''( x) 12 đổi dấu hai lần trên khoảng (0;1) Do đó đồ thị hàm (3 x x 1)3 số không hoàn toàn lồi trên khoảng (0;1) Tuy nhiên ta có bất đẳng thức ( x 1) x , x (0;1) x (1 x) (Vì BĐT này tương đương với (3 x 1) (4 x 1) ) Tương tự ta có các BĐT y và z, cộng vế lại và sử dụng x y z ta thu đpcm Đẳng thức xảy và x y z , tức là a b c Bài tập tự luyện 1) Trong tam giác nhọn ABC, chứng minh a) cos A cos B cos C b) tan A tan B tan C 3 c) cot A cot B cot C d) (sin A sin B sin C ) (tan A tan B tan C ) 3 2) Cho các số dương a, b, c thoả mãn a b c Tìm giá trị lớn biểu thức S3a3b3c 3) Cho các số dương a, b thoả mãn a b Tìm giá trị nhỏ biểu 1 thức Pab a b 4) (1997 Japanese Math Olympiad) Cho a, b, c là số thực dương Chứng minh (b c a ) (c a b ) (a b c) a (b c) b (c a ) c (a b) 10 Lop12.net (11) 5) Chứng minh với tam giác ABC và số a ta có bất đẳng thức sau sin A sin B sin C 3 a cos A a cos B a cos C 2a 11 Lop12.net (12) Phần KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Sáng kiến kinh nghiệm tôi đã giải vấn đề sau: Giúp học sinh hiểu sâu các khái niệm: tiếp tuyến, tính lồi, lõm đồ thị hàm số Thấy tính ứng dụng khái niệm này chứng minh bất đẳng thức, qua đó gây hứng thú, tạo niềm tin và tinh thần học tập môn Cung cấp cho học sinh công cụ đơn giản có hiệu lực chứng minh số bất đẳng thức có dạng đã nêu Hơn nữa, quá trình chứng minh, học sinh thực hành viết phương trình tiếp tuyến điểm; xét tính lồi, lõm đồ thị hàm số Đó là bài toán chương trình toán học lớp 12 Thông qua việc chứng minh BĐT, tạo cho các em khả làm việc độc lập, sáng tạo, phát huy tối đa tính tích cực học sinh theo đúng tinh thần phương pháp Bộ giáo dục và đào tạo Điều quan trọng là tạo cho các em niềm tin, khắc phục tâm lí sợ bài toán chứng minh BĐT và còn có thể tạo BĐT cho riêng mình Qua thực tế giảng dạy chuyên đề này tôi thấy các em học sinh không nắm vững phương pháp, biết cách vận dụng vào bài toán cụ thể mà còn hứng thú học tập chuyên đề này Khi học trên lớp và qua các lần thi thử đại học, số học sinh làm bài BĐT cao hẳn các năm trước và các em không học chuyên đề này Một số đề xuất Mỗi bài toán thường là có nhiều cách giải, việc học sinh phát cách giải khác cần khuyến khích Song cách giải đó cần phân tích rõ ưu điểm và hạn chế từ đó chọn cách giải tối ưu Đặc biệt cần chú ý tới cách giải bài bản, có phương pháp và có thể áp dụng phương pháp đó cho nhiều bài toán khác Với tinh thần và theo hướng này các thầy cô giáo cùng các em học sinh có thể tìm nhiều kinh nghiệm hay với nhiều đề tài khác Chẳng hạn, các bài toán ứng dụng tính đơn điệu hàm số; dùng đạo hàm để chứng minh BĐT; ứng dụng cực trị vào tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số; ứng dụng tích phân hay tổ hợp và xác suất; … 12 Lop12.net (13)