sáng kiến kinh nghiệm năm học 2015 2016 thcs phan đình giót

Trong mỗi buổi ôn tập phải làm sao cho các em học sinh có cơ hội làm việc thật nhiều, tự tìm ra những dạng bài và tìm cách giải các dạng bài đó, nên giảm bớt vị trí công việc của người g[r]

MỤC LỤC

Tên đề mục Trang

MỤC LỤC

PHỤ LỤC: CÁC TỪ VIẾT TẮT TRONG ĐỀ TÀI 2

PHẦN THỨ NHẤT: ĐẶT VẤN ĐỀ 4

PHẦN THỨ HAI: GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 4

1 Những nội dung lí luận liên quan 4

2 Thực trạng vấn đề 4

3 Các biện pháp tiến hành 5

3.1 Nghiên cứu, phân loại dạng tập cho phù hợp với từng đối tượng học sinh phần kiến thức cụ thể.

5

3.1a Quy tắc nhân, quy tắc cộng, chỉnh hợp lặp 5

3.1b Chỉnh hợp 6

3.1c Hoán vị 7

3.1d Tổ hợp 9

3.1e Một số dạng tập 10

3.2.Thực giảng dạy theo phương pháp hướng người học làm trung tâm.

32

3.3 Thường xuyên động viên, khuyến khích học sinh trình giảng dạy lớp để em thêm tự tin, hứng thú học tập

32

4 Kết thực 33

Phần thứ ba: Kết luận, kiến nghị 34

PHỤ LỤC: CÁC TỪ VIẾT TẮT TRONG ĐỀ TÀI 1) THCS: trung học sở

PHẦN THỨ NHẤT ĐẶT VẤN ĐỀ

Căn vào thực tế dạy học hệ thống tập đại số tổ hợp (chỉnh hợp, hoán vị, tổ hợp, thấy hệ thống tập SGK, SBT Bộ giáo dục – Đào tạo ấn hành đơn điệu, chưa sâu, chưa đáp ứng đủ yêu cầu dạng toán Bởi thực tế tập đại số tổ hợp đa dạng, phong phú (chỉnh hợp, hoán vị, tổ hợp) loại toán khó Đại số THCS Khi dạy phần này, học sinh khá, giỏi đòi hỏi giáo viên phải tự biên soạn, sưu tầm, lựa chọn dạng tập, ví dụ Vì mà nội dung giảng dạy chưa có hệ thống, chưa chuyên sâu Là giáo viên mong muốn cung cấp cho học sinh “chiếc chìa khóa” để giải dạng tập

Chính nhìn thấy tầm quan trọng việc khải thác có hệ thống đơn vị kiến thức theo dạng tập liên quan hướng dẫn, giúp đỡ tận tình tập thể giáo viên dạy mơn Tốn nhà trường, mạnh dạn sâu suy nghĩ khai thác đúc kết thành sáng kiến kinh nghiệm “Một số dạng tập

áp dụng đại số tổ hợp công tác bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 6” dạy

học

PHẦN THỨ HAI GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

1 Những nội dung lý luận liên quan

1.1.Cơ sở lý luận:

kiến thức đặt trước mắt theo cách nào, theo hướng nào, để học sinh hiểu vận dụng hiệu cao

1.2 Cơ sở thực tiễn:

Trong chương trình tốn THCS THPT đại số tổ hợp ln đề tài hay khó học sinh Các tốn đại số tổ hợp thường xun có mặt kì thi Đặc biệt kỳ thi học sinh giỏi khối lớp THCS Đây dạng tập tương đối khó áp dụng vào đối tượng học sinh khá, giỏi Vì vậy, qua trình bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi tơi tích luỹ số kinh nghiệm với mong muốn giúp em học sinh khá, giỏi, đặc biệt học sinh lớp làm quen với dạng tốn này, bước đầu hình thành cho số vấn đề số dạng tập áp dụng đại số tổ hợp

2 Thực trạng vấn đề

Trong chương trình mơn tốn cấp THCS nhiều tập, đặc biệt thi học sinh giỏi có liên quan nhiều đến đại số tổ hợp, thời lượng chương trình dành cho học sinh vận dụng khơng nhiều Các dạng toán áp dụng đại số tổ hợp tương đối trừu tượng, khó nên học sinh ngại học, ngại nghiên cứu dạng tốn Ngồi tài liệu chuyên sâu việc áp dụng đại số tổ hợp giải tốn chưa nhiều, cịn thiếu chưa có hệ thống Vì muốn học sinh đọc hiểu có khả vận dụng kiến thức vào giải tập liên quan nên mạnh dạn thực sưu tầm, lựa chọn số dạng tập áp dụng đại số tổ hợp tiến hành nghiên cứu đề tài: “Một số dạng tập áp dụng đại số tổ hợp

trong cơng tác bồi dưỡng học sinh giỏi Tốn 6” giúp cho việc dạy học, bồi

dưỡng học sinh khá, giỏi đạt kết cao 3 Các biện pháp tiến hành

3.1 Nghiên cứu, phân loại dạng tập cho phù hợp với đối tượng học sinh phần kiến thức cụ thể.

3.1.a Quy tắc nhân, quy tắc cộng, chỉnh hợp lặp:

3.1.a1 Quy tắc nhân:

chọn (với m1;m2; .;mk∈ N❑

¿ Khi có tất cả: m1m2 mk cách chọn để thực hành động H

Ví dụ: Khi từ A đến B phải qua C, biết từ A đến C có đường từ C

đến B có đường Như có 3.2 = đường từ A đến B

3.1.a2 Quy tắc cộng:

Một hành động H tiến hành gồm k hành động H1, H2, ,Hk độc lập

nhau hành động Hi có mi cách chọn Khi hành động H có m1 + m2 +

m3 + +mk cách chọn

Ví dụ: Khi từ A đến B phải qua C D Biết từ A đến C có đường đi, từ C

đến B có đường đi, từ A đến D có hai đường từ D đến B có đường Hỏi có đường từ A đến B, biết C D khơng có đường

Bài giải: Từ A đến B qua C có: 3.2 = đường Từ A đến B qua D có : 2.4 = đường Vậy từ A đến B có tất cả: + = 14 đường

3.1.a3 Chỉnh hợp lặp:

a) Định nghĩa: cho tập hợp X gồm n phần từ Một dãy có độ dài m phần tử X, phần tử lặp lại nhiều lần, xếp theo thứ tự định gọi chỉnh hợp lặp chập m n phần tử

Ví dụ: dãy: (a, a, d); (b, d, d); (d, a, b); ; chỉnh hợp lặp chập 4

phần tử tập hợp {a, b, c, d} b) Định lí: Fnm=nm

3.1.b Chỉnh hợp:

3.1.b1 Định nghĩa: Cho tập hợp gồm n phần tử (n ≥ 1) lấy k phần tử (1 ≤ k ≤ n) xếp k phần tử theo thứ tự định gọi chỉnh hợp chập k n phần tử

3.1.b2 Cơng thức: Tính số chỉnh hợp chập k n phần tử:

Ta có n cách chọn phần tử đứng đầu, có n – cách chọn phần tử thứ hai, có n – cách chọn phần tử thứ ba, , có n – (k – 1) cách chọn phần tử thứ k Do chỉnh hợp chập k n phần tử là:

Ank= n !

(n −k )!=n(n− 1)(n− 2) (n − k +1) 3.1.b3 Tính chất:

Nếu k = An1= n! (n −1)!=n Nếu k = n Ann= n !

(n −n)!=n !

Ví dụ 1: Có số tự nhiên có ba chữ số, chữ khác nhau, lập ba chữ

số năm chữ số 1, 2, 3, 4, 5?

Bài giải: Các số phải đếm có dạng: abc

Có cách chọn chữ số a (là 1, 2, 3, 4, 5)

Với cách chọn a, có cách chọn b (là 1, 2, 3, 4, khác a)

Với cách chọn ab , có cách chọn c (là 1, 2, 3, 4, khác a và b)

Vậy có tất cả: 5.4.3 = 60 (số phải đếm)

Ví dụ 2: Có cách xếp thứ tự nhất, nhì, ba sáu đội bóng thi đấu?

Với cách trên, có cách xếp đội đứng thứ nhì

Với cách xếp nhất, nhì, có cách xếp đội đứng thứ ba Vậy số cách xếp phải tìm là: 6.5.4 = 120 cách xếp

3.1.c Hoán vị:

3.1.c1 Định nghĩa: Mỗi cách đặt phần tử tập hợp A gồm n phần tử

(n ≥ 1) theo thứ tự định gọi hốn vị n phần tử Kí hiệu: số hoán vị n phần tử là: Pn

3.1.c2 Cơng thức: Tính số hốn vị n phần tử:

Số hoán vị n phần tử số chỉnh hợp chập n n phần tử Do số hốn vị n phần tử tích n thừa số

Pn = n! = 1.2.3 (n – 2).(n – 1) n

Ví dụ 1: Có cách gọi tên tam giác có ba đỉnh A, B, C?

Bài giải:

Có cách chọn đỉnh (là A, B, C)

Với cách chọn trên, có cách chọn đỉnh thứ hai Với cách chọn đỉnh trên, có cách chọn đỉnh thứ ba Vậy có tất cả: 3.2.1 = cách gọi tên

Ví dụ 2: Có cách giao hốn thừa số tích abcd?

Bài giải: Có cách chọn số đứng đầu (a)

Với cách chọn a, có cách chọn thừa số thứ hai b

Với cách chọn số trên, có cách chọn thừa số thứ ba c Với cách chọn thừa số trên, có cách chọn thừa số thứ tư d Vậy có tất cả: 4.3.2.1 = 24 (cách giao hoán)

a) Trên ghế dài b) Chung quanh bàn tròn Bài giải:

a) người ngồi ghế dài hốn vị Nên có tất cả: 5! = 5.4.3.2.1 = 120 cách xếp

b) Khác với ngồi ghế dài, người ngồi quanh bàn trịn ngồi vị trí Cịn lại người , có 4! = 4.3.2.1 = 24 cách xếp chỗ

Vậy tất có 24 cách xếp chỗ 3.1.d Tổ hợp:

3.1.d1 Định nghĩa: Cho tập hợp A gồm n phần tử Mỗi tập hợp A gồm k phần tử (0 ≤ k ≤ n) gọi tổ hợp chập k n phần tử

Kí hiệu: tổ hợp chập k n phần tử là: Cnk

3.1.d2 Cơng thức: Tính số tổ hợp chập k n phần tử

Trước hết ta đếm số nhóm có k phần tử n phần tử cho, phần tử xếp theo thứ tự, chỉnh hợp chập k n phần tử

n(n – 1)(n – 2) (n – k + 1)

Do yêu cầu k phần tử xếp theo thứ tự nên nhóm tính k! lần Vậy số tỏ hợp chập k n phần tử là:

Cnk

= n ! k ! (n − k)!=

n(n− 1)(n− 2) (n − k +1) k !

Đặc biệt, số tổ hợp chập n phần tử là: n(n – 1) : Số tổ hợp chập n phần tử là: n(n – 1)(n – 2) : 3.1.d3 Tính chất:

¿

a C¿n0=Cnn=1 b¿Cnk=Cnn − k¿c¿Cnk=Cn −1k +Cn − 1k − 1 d¿Cnk=n− k +1 k Cn

k −1

(1 ≤ k ≤ n)¿

Ví dụ 1: Có đoạn thẳng mà hai đầu hai điểm năm điểm cho?

Qua điểm ta nối đoạn thẳng với đoạn thẳng cịn lại Có tất điểm nên kẻ được: 4.5 = 20 (đoạn thẳng)

Do đoạn thẳng tính hai lần nên số đoạn thẳng 20 : = 10

Ví dụ 2: Cho điểm mặt phẳng, khơng có ba điểm thẳng hàng.

Có tam giác mà đỉnh ba chín điểm ấy? Bài giải:

Có cách chọn đỉnh thứ

Với đỉnh trên, có cách chọn đỉnh thứ hai

Với cách chọn hai đỉnh trên, có cách chọn đỉnh thứ ba Do tam giác tính 3! lần nên số tam giác có là:

9 3! =84

Ví dụ 3: Có m đường thẳng đứng n đường thẳng nằm ngang đôi cắt nhau.

Chúng tạo thành hình chữ nhật? (Hình vng hình chữ nhật) Bài giải:

Số cặp đường thẳng đứng số tổ hợp chập m phần tử bằng: m(m−1)2

Số cặp đường thẳng nằm ngang số tổ hợp chập n phần tử bằng: n(n −1)2

Mỗi cặp đường thẳng đứng cặp đường thẳng nằm ngang cắt tạo thành hình chữ nhật

Vậy có tất cả: mn(m−1)(n −1)4 hình chữ nhật

Ví dụ 4: Trong số học sinh giỏi Văn học sinh giỏi Toán, lập nhóm

gồm học sinh, có học sinh giỏi Văn Hỏi có cách lập nhóm?

Bài giải:

Số cách chọn học sinh giỏi Văn số tổ hợp chập phần tử

Chọn xong học sinh trên, học sinh giỏi Văn học sinh giỏi Toán, cần chọn người số 11 học sinh, số tổ hợp chập 11 phần tử bằng: 11.10 75 ! =462

Vậy có tất cả: 462 = 2772 (cách lập nhóm) 3.1.e Một số dạng tập

3.1.e1 Áp dụng đại số tổ hợp số học:

Dạng 1: Các toán liên quan đến phép đếm, tính số phần tử tập hợp

Phương pháp giải: Xác định dạng tập nói chỉnh hợp, hốn vị hay

tổ hợp để áp dụng cơng thức tính tốn phù hợp

Bài tốn 1: Có số tự nhiên gồm chữ số khác chia hết cho 10

Bài giải:

Gọi số cần tìm là: abcde (Trong a, b, c, d, e số tự nhiên) Vì số chia hết cho 10 nên có cách chọn e e =

Vì a chữ số hàng chục nghìn nên a có cách chọn (a từ đến 9) Với cách chọn a, e ta có cách chọn b (b từ đến phải khác a, e)

Với cách chọn số trên, có cách chọn c (c từ đến phải khác a,b,e)

Với cách chọn số trên, có cách chọn d (d từ đến phải khác a, b, c, e)

Vậy tất có: 9.8.7.6.1 = 3024 số cần tìm (theo quy tắc nhân)

Bài tốn 2: Có số tự nhiên lẻ gồm chữ số khác nhau

Bài giải:

Gọi số cần tìm là: x=abcd (Với a, b, c, d số tự nhiên)

Vì x số lẻ nên d có cách chọn ( d∈{1,3,5,7,9} )

Với cách chọn số trên, có cách chọn b (b từ đến phải khác a,d)

Với cách chọn số trên, có cách chọn c (c từ đến phải khác a,b,d)

Vậy có tất cả: 5.8.8.7 = 2240 số cần tìm (theo quy tắc nhân)

Bài tốn 3: Có số tự nhiên lẻ gồm chữ số chia hết cho 9?

Bài giải:

Gọi số cần tìm x=abc deg (với a, b, c, d, e, g số tự nhiên)

Vì x số lẻ nên có cách chọn g ( g∈{1,3,5,7,9} )

Các số b, c, d, e chữ số có 10 cách chọn (từ đến 9)

Lấy tổng chữ số T = b + c + d + e + g chia cho Nếu T chia cho dư 0, 1, 2, ,8 a chọn tương ứng 9, 8, 7, , 1, ta có x chia hết cho

Vậy có tất cả: 5.104 = 50000 số lẻ gồm chữ số chia hết cho 9

Bài tốn 5: Có số tự nhiên gồm chữ số cho tổng chữ số của

mỗi số số lẻ?

Bài giải:

Xét số tự nhiên gồm chữ số: abcd (Với a, b, c, d Số tự nhiên)

Nếu a + b + c + d số chẵn lấy số e∈{1,3,5,7,9} để tổng a + b +

c + d + e số lẻ Khi có cách chọn e

Nếu a + b + c + d số lẻ lấy e∈{0,2,4,6,8} để tổng a + b + c + d + e số

lẻ Khi e có cách chọn

Do số abcd có 9.10.10.10 = 103 cách chọn

Vậy có tất cả: 5.9.103 = 45000 số thỏa mãn đề bài Bài tốn 6: Có số có chữ số mà:

a) Chữ số đầu chữ số cuối giống nhau? b) Chữ số đầu chữ số cuối khác nhau?

Bài giải:

a) Số cách chọn chữ số chỉnh hợp lặp chập 10 phần tử Nên ta có F104 = 104 cách chọn

Vậy có 9.104 = 90000 số có chữ số mà chữ số đầu cuối giống nhau.

b) Tương tự có F106 − F105 =9 105 số có chữ số

Vậy có 9.105 – 9.104 = 810.000 số có chữ số mà chữ số đầu chữ số cuối khác

nhau

c) Tương tự có: F102 − F101 =90 số có hai chữ số Do có 90 cách chọn hai chữ số đầu cuối giống

Vậy có F2

10 = 100 cách chọn hai chữ số

Vậy có tất cả: 90.100 = 9000 số thỏa mãn

*Tổng quát: Với n > 2m > (với n, m số tự nhiên) có: (F10m− F101 )F10n −2 m số có n chữ số mà số có m chữ số đầu số có m chữ số cuối giống

Bài tốn 7: Có số chẵn lớn 5000 gồm chữ số khác nhau?

Bài giải: Giả sử x=a1a2a3a4 số cần tìm

Nếu a1 số lẻ a1 có cách chọn ( a1 5,7,9), a4 có cách chọn (a4 có

thể 0, 2, 4, 6, 8), a2 có cách chọn a3 có cách chọn

Vậy có tất cả: 3.5.8.7 = 840 số chẵn có chữ số bắt đầu chữ số lẻ

Nếu a1 số chẵn a1 có hai cách chọn (a1 6,8), a4 có cách chọn, a2

có cách chọn a3 có cách chọn

Vậy có: 2.4.8.7 = 448 số chẵn có chữ số bắt đầu chữ số chẵn Vậy tổng cộng có: 840 + 448 = 1288 số thoả mãn đề

Bài tốn 8: Có số có chữ số khác lập từ số: 0, 1, 2, 3, 4,

Có P6 = 6! số có chữ số lấy từ chữ số cho kể số có chữ số

đứng đầu Với chữ số đứng đầu ta có: P5 = 5! số

Vậy có tất cả: 6! – 5! = 600 số có chữ số khác lấy từ chữ số 0, 1, 2, 3, 4,

Số chia hết cho số có chữ số tận Với số tận ta có 5! số Với số có tận ta có: 5! – 4! số

Vậy tất có: 5! + (5! – 4!) = 216 số thỏa mãn đề

Bài toán 9:

a) Có số tự nhiên gồm chữ số mà chữ số lớn đơi khác nhau?

b) Hãy tính tổng tất số tự nhiên nói trên? Bài giải:

a) Số có chữ số khác lập từ chữ số 5, 6, 7, 8, hoán vị phần tử Vậy có tất cả: P5 = 5! = 120 số

b) Ta thấy: + = + = + = 14, nên ứng với số n hốn vị ta ghép số n’ cho:

n + n’ = 14(1 + 10 + 102 + 103 + 104) = 155554

(Chẳng hạn: 65897 + 89657 = 155554)

Vậy tổng cần tìm là: S = (120 : 2).155554 = 9333240

Bài toán 10: Xét số gồm chữ số có năm chữ số bốn chữ số

còn lại 2, 3, 4, Hỏi có số thế, nếu: a) Năm chữ số xếp kề

b) Các chữ số xếp tùy ý Bài giải:

a) Năm chữ số xếp kề ta xem phần tử Mỗi số có chữ số hốn vị phần tử

b) Xem năm số khác ta có 9! Số, có 5! Số trùng (là hốn vị chữ số 1)

Vậy có tất cả: 9! : 5! = 3024 số thỏa mãn đề

Bài toán 11: Từ chữ số 0, 1, 3, 5, lập số, số gồm 4

chữ số khác không chia hết cho 5? Bài giải:

Số có chữ số khác có dạng: a1a2a3a4 Có cách chọn a4 ( a4 1, 3, 7)

Có A43 cách chọn a1a2a3 kể a1 =

Với a1 = 0, có A32 cách chọn a2a3

Vậy tất có: 3.( A43 - A32 ) = 54 số thỏa mãn đề

Bài toán 12: Với chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, lập số, số

gồm chữ số đơi khác thiết phải có mặt chữ số 5? Bài giải:

Số có chữ số khác lập từ số cho A75 số, kể chữ số nằm vị trí Với chữ số nằm vị trí có A64 số Vậy có:

A75 - A64 số có chữ số khác lập từ số cho

Tương tự, số có chữ số khác lấy từ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, (trừ số ra) là: A65 - A54

Vậy tất có: A75 - A64 -( A65 - A54 ) = 1560

Bài toán 13: Cho chữ số 0, 1, 2, 3, 4, Từ chữ số cho, hỏi:

a) Có số chẵn có chữ số khác đơi một?

b) Có số có ba chữ số khác đôi chia hết cho 5? c) Có số có ba chữ số khác đôi chia hết cho 9?

Bài giải:

Với a4 = (hoặc a4 = 4) có A53 - A42 cách chọn a1a2a3 Vậy có: A53 + 2( A53 - A42 ) = 156 số thỏa mãn

b) Số cần tìm có dạng: a1a2a3 (với a3∈{0,5} ) Với a3 = có A52 cách chọn a1a2

Với a3 = có A52 - A41 cách chọn a1a2

Vậy có: A52 + ( A52 - A41 ) = 36 số thỏa mãn đề

c) abc⋮9⇔ a+b+c ⋮9;{a , b , c} {0, 4, 5}; {1; 3; 5} {2, 3, 4}

Khi {a, b, c} {0, 4, 5} số cần tìm là: 405; 504; 450; 540 (có số) Khi {a, b, c} {1; 3; 5} {2; 3; 4} có 3! = số

Vậy tổng cộng có + + = 16 số thỏa mãn đề

Bài toán 14: Cho chữ số: 0, 1, 2, , Hỏi lập số gồm 6

chữ số khác từ số trên, thiết phải có mặt chữ số Bài giải:

Số có chữ số lấy từ chữ số cho chỉnh hợp chập phần tử (kể số có chữ số đứng vị trí đầu tiên): A86

Với chữ số đứng đầu ta có: A75 số

Vậy có: A86 - A75 số có chữ số khác lấy từ chữ số cho

Tương tự, có A76− A65 số có chữ số khác lấy từ chữ số cho khơng có chữ số

Vậy tổng cộng có:

A86− A75− A76+A65=8 ! 2 !−

7 ! 2!−

7 ! 1 !+

6 !

1!=13320 số

Bài toán 15: Có số tự nhiên nhỏ 10n mà tổng chữ số 3?

Bài giải:

Các số tự nhiên có nhiều n chữ số Có Cn1 số tự nhiên chứa chữ số

Có An2 số tự nhiên chứa chữ số

Vậy số số tự nhiên cần tìm là:

Cn1 + An2 + Cn3 =

n(n+1)(n+2)

6

Bài tốn 16: Có số có n chữ số, chữ số 1, 2, cho

mỗi chữ số có mặt lần số Bài giải:

Ta dùng phương pháp gián tiếp: Xác định xem có số có n chữ số, chữ số 1, 2, cho chữ số ba chữ số cho

Số số có n chữ số, có mặt ba chữ số 1, 2, (đó số: 11 1⏟

n

;22 2⏟

n

;33 3⏟

n )

Trong ba số 1, 2, có C32 tập hợp gồm chữ số Với hai số 1, chẳng hạn, có 2n – số có n chữ số chữ số 1, chữ số có mặt

ít lần số chỉnh hợp lặp Fn2=2n trừ số 11 1⏟ n

;22 2⏟

n

Vậy số số gồm n chữ số có mặt hai ba chữ số 1, 2, C32(2n− 2) Do có: 3n−C32(2n− 2)−3=3n−3(2n−2)−3=3n− 2n+3 số thỏa mãn đề

Bài toán 17:

a) Có số tự nhiên có chữ số đôi khác (chữ số phải khác 0) có mặt chữ số khơng có mặt chữ số 1?

b) Có số tự nhiên gồm chữ số, biết chữ số có mặt hai lần, chữ số có mặt ba lần chữ số cịn lại có mặt lần?

Bài giải:

a) Đưa chữ số vào vị trí cuối có cách chọn

Đưa chữ số chữ số (trừ chữ số 1) có: A85 cách Vậy tổng cộng có: A85 = 33600 cách

b) Đưa hai chữ số vào bảy vị trí có: C72 cách Đưa ba chữ số vào năm vị trí cịn lại có: C53 cách

Ta phải loại trừ số có chữ số đứng đầu, trường hợp có: C62 C34 số

Vậy số số thỏa mãn đề là: C72 C53 A82 - C62 C34 = 11340 số

Bài toán 18: Cho chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, Có thể lập số gồm

10 chữ số lấy từ chữ số trên, chữ số có mặt lần, chữ số khác có mặt lần

Bài giải:

Cách 1: (dùng hoán vị lặp)

Số số thỏa mãn u cầu tốn, kể số có chữ số đứng đầu là: 3 !8! Với chữ số đứng đầu ta được: 7 !3 ! số

Vậy tổng cộng có: 3 !8! - 7 !3 ! = 544320 số thỏa mãn đề

Cách 2: (dùng tổ hợp)

Số tự nhiên gồm 10 chữ số có dạng: a1a2 a10 Số cách chọn vị trí 10 vị trí là: C103

Đặt số vào vị trí vừa chọn, sau đặt chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, vào vị trí cịn lại ta có: C103 7! số, kể số có chữ số đứng đầu Với chữ số đứng đầu, ta có C103 6! số

Vậy tổng cộng có: C103 7! - C103 6! = 544320 số

Bài toán 19: Có số tự nhiên có ba chữ số có chữ số 5?

Bài giải: Ta xét ba trường hợp:

a) Số phải đếm có dạng: ab

Chữ số a có cách chọn (từ số đến số khác 5), chữ số b có cách chọn (từ số đến khác 5) Vậy tất có: 9.9 = 81 số

Chữ số a có cách chọn (từ đến khác 5), chữ số b có cách chọn (từ đến khác 5) Vậy tất có: 8.9 = 72 số

c) Số phải đếm có dạng: ab Tương tự trường hợp b, trường hợp có: 72 số

Vậy tổng cộng có: 81 + 72 + 72 = 225 số thỏa mãn đề

Bài toán 20: Có số chứa chữ số số tự nhiên:

a) Có ba chữ số b) Từ đến 999 Bài giải:

a) Ta đếm số tự nhiên có ba chữ số bớt số có ba chữ số khơng chứa chữ số

Số có ba chữ số là: 100, 101, , 999, có 900 số Trong số trên, số không chứa chữ số có dạng: abc a có cách chọn (từ đến 9), b có cách chọn (từ đến khác 1), c có cách chọn (từ đến khác 1) Vậy có: 8.9.9 = 648 số

Do tất có: 900 – 648 = 252 số thỏa mãn đề

b) Ta thêm chữ số vào dãy 1, 2, , 999 thành dãy mới: 000, 001, , 999 để đếm dễ dàng

Trước hết ta đếm số không chứa chữ số dãy này: số có dạng abc .

Trong chữ số a, b, c có cách chọn (từ đến khác 1), tất có: 9.9.9 = 729 số Vậy số lượng số từ đến 999 không chứa chữ số có: 729 – = 728 số

Vậy số lượng số từ đến 999 có chứa chữ số là: 999 – 728 = 271 số Bài tập tự luyện:

Bài 1: Có số tự nhiên chia hết cho 5, có bốn chữ số, có chữ số

5? (Đáp Số: 873 số)

Bài 2: Có số tự nhiên có ba chữ số có hai chữ số giống

Bài 3: Cho năm chữ số 1, 2, 3, 4, Dùng chữ số trên:

a) Lập số tự nhiên có bốn chữ số, chữ số khác nhau? Tính tổng chữ số lập

b) lập số chẵn có chữ số khác nhau?

c) Lập số tự nhiên có năm chữ số, hai chữ số kề phải khác

d) Lập số tự nhiên có bốn chữ số, chữ số khác nhau, có hai chữ số lẻ, hai chữ số chẵn?

(Đáp số: a) 399960 b) 48 c) 1280 d) 72)

Bài 4: Cho năm chữ số: 0, 1, 2, 3, Từ chữ số lập số tự nhiên:

a) Có năm chữ số, gồm chữ số b) Có bốn chữ số, chữ số khác nhau? c) Có ba chữ số, chữ số khác nhau?

d) Có ba chữ số, chữ số giống nhau?

(Đáp số: a)96 số b)96 số c)48 số d)100 số)

Bài 5: Cho chữ số 0,1, 3, 5, Từ chữ số trên, lập số tự nhiên

gồm năm chữ số khác thỏa mãn điều kiện sau: a) Không chia hết cho

b) Chia hết cho c) Chia hết cho

(Đáp số: a) 54 số b) 42 số )

Bài 6: a) Dùng chữ số 1, 2, 7, viết số tự nhiên có năm chữ số

sao cho chữ số có mặt lần, cịn chữ số có mặt ba lần?

Bài 7: Có số tự nhiên có bốn chữ số lập chữ số 1, 2, biết rằng

số chia hết cho 9? (Đáp số: 16 số)

Bài 8: Có số tự nhiên có 11 chữ số, gồm năm chữ số sáu chữ số 2

sao cho đọc xuôi đọc ngược giống nhau? (Đáp số: 10 số cần tìm)

Bài 9: Cho chữ số: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, Từ chữ số lập bao

nhiêu số, số gồm chữ số đôi khác không chia hết cho 10 (Đáp số: 1260 số)

Bài 10: Có miếng bìa, miếng bìa ghi chữ số 0, 1, 2, 3, Lấy

3 miếng miếng bìa đặt cách từ trái sang phải để số gồm chữ số Hỏi lập số có nghĩa gồm ba chữ số có số chẵn

(Đáp số: 48 số 30 số chẵn)

Bài 11: Có số có chữ số:

a) Bắt đầu số 3?

b) Không bắt đầu số 5? c) Bắt đầu số 54?

(Đáp số: a) 104 b) 105 – 2.104 c) 103).

Bài 12:Với chữ số: 1, 2, 3, 4, lập số gồm chữ số, trong

đó chữ số có mặt lần, chữ số có mặt lần chữ số cịn lại có mặt lần? (Đáp số: 3360 số)

Bài 13: Từ chữ số: 0, 1, 2, 3, 4, lập số gồm chữ số,

trong chữ số có mặt lần, cịn chữ số khác có mặt lần ? (Đáp số: 7.7.6.5.4 = 5880)

Bài 14: Từ ba chữ số 2, 3, tạo số tự nhiên gồm chữ số,

trong có mặt đủ ba chữ số trên? (Đáp số: 150 số)

Bài 15: Dùng chữ số 0, 1, 2, , để viết số tự nhiên x gồm chữ số khác

nhau đôi một, chữ số khác

(Đáp số: a¿A105 − A9944 b¿5( A94− A83) )

Bài 16: Từ chữ số 1, 2, 3, 4, 5, lập số gồm chữ số đôi

một khác nhau, đó:

a) Phải có mặt chữ số 2? b) Phải có mặt hai chữ số 6? (Đáp số: a¿A65−5 ! b¿A65− 2! )

Bài 17: Tìm chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, lập số chẵn có chữ số

khác nhau? (Đáp số: 3000 số)

Bài 18: Có số gồm chữ số khác đơi có có 3

chữ số lẻ chữ số chẵn? (Đáp số: 64800 số)

Bài 19: Có số tự nhiên có chữ số cho số chữ số đứng

sau lớn chữ số đứng liền trước (Đáp số: C5 )

Bài 20: Cho chữ số a, b, c số (a, b, c khác khác 0) Với 4

chữ số này, lập số có chữ số (Đáp số: 18 số)

Dạng 2: Một số toán suy luận logic:

Các toán suy luận thường khơng địi hỏi nhiều kĩ tính tốn, để giải chúng khơng cần trang bị nhiều kiến thức tốn học Điều cần thiết phải có phương pháp suy luận đắn, chặt chẽ, hợp lí, cần thông minh sáng tạo

Ngồi tốn sử dụng phương pháp tính ngược từ cuối, sơ đồ ven (Nâng cao phát triển toán 6), phương pháp phản chứng nguyên lí Dirichlet Người ta cịn dùng nhiều phương pháp khác để giải tốn suy luận Dưới tơi đề cập đến số dạng tập có nội dung thực tế để sử dụng cho đội tuyển học sinh giỏi Toán

Bài toán 1: Trong bảng đấu loại bóng đá, có bốn đội thi đấu vòng tròn một

lượt: đội thắng điểm, đội hòa điểm, đội thua điểm Tổng số điểm bốn đội kết thúc vịng đấu bảng 16 điểm Tính số trận hịa

Bài giải:

Số trận đấu vòng đấu bảng là: 4.3:2 = trận

Tổng số điểm hai đội trận có thắng – thua + = điểm Giả sử khơng có trận hịa tổng số điểm đội là: 3.6 = 18 điểm Dôi ra: 18 – 16 = 12 điểm

Tổng số điểm trận hịa tổng số điểm trận có thắng – thua là: – = điểm

Số trận hòa là: : = trận

Lưu ý: toán thuộc loại giả thiết tạm.

Bài toán 2: Một số học sinh dự thi học sinh giỏi toán

Nếu xếp 25 học sinh phịng thi thừa học sinh chưa có chỗ Nếu xếp 28 học sinh phịng thừa phịng Tính số học sinh dự thi?

Bài giải:

Nếu xếp 28 học sinh phịng thừa phịng, tức thiếu 28 học sinh Số học sinh chênh lệch hai trường hợp xếp phòng là:

5 + 28 = 33 học sinh

Số học sinh chênh lệch phòng hai trường hợp là: 28 – 25 = học sinh

Số phòng thi là: 33 : = 11 phòng

Số học sinh là: 25.11 + = 280 học sinh

Lưu ý: tốn thuộc loại tìm số biết hai hiệu số

Bài toán 3: Một câu lạc lúc đầu có thành viên, sau tháng thành viên

đó phải tìm thêm thành viên Cứ thành viên (cả cũ lẫn mới) sau tháng phải tìm thêm hai thành viên Nếu kế hoạch phát triển hội viên thực số thành viên câu lạc bao nhiêu?

a) Sau tháng b) Sau 12 tháng

Bài giải:

b) Sau 12 tháng, số thành viên câu lạc là: 312 = 36.36 = 729.729 = 531441 (người).

Bài toán 4: Trong thi có 20 câu hỏi Mỗi câu trả lời 10 điểm ,

cịn sai bị trừ 15 điểm Một học sinh tất 50 điểm Hỏi bạn trả lời câu?

Bài giải:

Giả sử bạn học sinh trả lời 20 câu Như vậy, tổng số điểm bạn đạt 10.20 = 200 điểm

Nhưng thực tế 50 điểm nghĩa thiếu: 200 – 50 = 150 điểm

Sở dĩ hụt 150 điểm số 20 câu có số câu bạn trả lời sai Giữa câu trả lời câu trả lời sai chênh lệch là:

10 + 15 = 25 điểm

Do đó, số câu trả lời sai là: 150 : 25 = câu Số câu trả lời là: 20 – = 14 câu Bài tập tự luyện:

Bài 1: Một cửa hàng có sáu hịm hàng có khối lượng 316kg, 327 kg, 336kg, 338kg,

349kg, 351 kg Trong ngày, cửa hàng bán năm hịm, khối lượng hàng bán buổi sáng gấp bốn lần khối lượng hàng bán buổi chiều Hỏi hòm lại hòm nào?

Bài 2: Trong hội thảo, người tham dự biết ba

ngoại ngữ Anh, Pháp, Nga Có 21 người biết tiếng Anh, 19 người biết tiếng Pháp, 17 người biết tiếng Nga, 13 người biết tiếng Anh tiếng Pháp, 12 người biết tiếng Anh tiếng nga, 11 người biết tiếng Nga tiếng Pháp, 10 người biết ba thứ tiếng Tính số người tham dự hội thảo

Bài 3: Một lớp học có 90% thích bóng đá, 60% thích bóng chuyền Hỏi có nhất

bao nhiêu phần trăm học sinh lớp thích hai mơn?

Bài 4: Có bi đỏ, bi xanh để hộp Khơng nhìn vào hộp, lấy bao

Gợi ý + đáp án:

Bài 1: Chú ý tổng số lượng hòm số chia cho dư 2, số hàng bán số

chia hết cho 5, nên hịm cịn lại có khối lượng số chia hết cho dư 2, hòm 327 kg

Bài 2: 31 người

Bài 3: Gọi số phần trăm học sinh thích hai mơn x Số phần trăm học sinh thích

ít hai mơn là: 90 + 60 – x hay 150 – x Ta có: 150 – x ≤ 100

Do x ≥ 50 Vậy có 50% số học sinh thích hai mơn (chú ý có học sinh khơng thích mơn nào)

Bài 4: Lập luận thử trường hợp lấy đến viên bị khơng thỏa mãn

u cầu, cịn lấy 10 viên bi chắn đạt yêu cầu

3.1.e2 Áp dụng đại số tổ hợp hình học: Tìm số phần tử tập hợp (Số điểm, số cạnh, số đường thẳng, số đoạn thẳng )

Để đếm số điểm, số đường thẳng, số đoạn thẳng, nhiều trường hợp ta đếm trực tiếp mà phải dùng lập luận

Bài toán 1: a) Cho 100 điểm khơng có ba điểm thẳng hàng Cứ qua

hai điểm ta vẽ đường thẳng Có tất đường thẳng?

b) Cũng hỏi câu a 100 điểm có ba điểm thẳng hàng Bài giải:

a) Chọn điểm Qua điểm điểm 99 điểm lại, ta vẽ 99 đường thẳng Làm với 100 điểm, ta 99.100 đường thẳng Nhưng đường thẳng tính hai lần, tất có 99.100:2 = 4950 đường thẳng

Chú ý: tổng quát, có n điểm khơng có ba điểm thẳng hàng số đường thẳng có là: n.(n – 1) :

thẳng hàng vẽ đường thẳng, ba điểm thẳng hàng vẽ đường thẳng) Vậy có tất cả: 4950 = = 4948 đường thẳng

Bài toán 2: Trên mặt phẳng có bốn đường thẳng Số giao điểm đường thẳng

có thể bao nhiêu?

Bài giải: Ta xét trường hợp sau:

Trường hợp 1: Bốn đường thẳng đồng quy: có giao điểm (H.1a) Trường hợp 2: Có ba đường thẳng đồng quy:

Có hai đường thẳng song song: giao điểm (H.1b)

Khơng có hai đường thẳng song song: giao điểm (H.1c) Trường hợp 3: Không có ba đường thẳng đồng quy:

Bốn đường thẳng song song: giao điểm ( H.2a)

Có ba đường thẳng song song: giao điểm (H.2b) Có hai cặp đường thẳng song song: giao điểm (H.2c)

Bài toán 3: Cho n điểm (n ≥ 2) Nối cặp hai điểm n điểm thành các

đoạn thẳng

a) Hỏi có đoạn thẳng n điểm khơng có ba điểm thẳng hàng?

b) Hỏi có đoạn thẳng n điểm có ba điểm thẳng hàng

c) Tính n biết có tất 1770 đoạn thẳng? Bài giải:

a) Chọn điểm Nối điểm với điểm n – điểm lại, ta vẽ n – đoạn thẳng Làm với n điểm, ta n(n – 1) đoạn thẳng Như đoạn thẳng tính hai lần, tất có n ( n – 1) : đoạn thẳng

b) Tuy hình vẽ có ba điểm thẳng hàng, số đoạn thẳng phải đếm khơng thay đổi, có n.(n – 1):2 đoạn thẳng

c) Ta có: n.(n – 1) : = 1770 Suy ra: n = 60 Bài tập tự luyện:

Bài 1: Cho 10 điểm mặt phẳng, khơng có ba điểm thẳng hàng Cứ qua hai

Bài 2: Có n điểm mặt phẳng Kẻ đoạn thẳng nối hai n điểm Có tất

cả 91 đoạn thẳng Tính số n

Bài 3: Vẽ n tia chung gốc Có góc hình vẽ? Bài 4: Cho n tia chung gốc tạo thành tất 153 góc Tính n Bài 5: Có cách gọi tên hình vng ABCD? Bài 6: Cho hình vng kích thước 4x4 Trên hình vẽ:

a) Có hình chữ nhật (kể hình vng) b) Có hình vng

Bài 7: Có 12 điểm mặt phẳng khơng có ba điểm thẳng hàng Hai

điểm nối với đoạn thẳng Có tam giác có đỉnh 12 điểm nói trên?

Bài 8: Cho góc xAy (khác góc bẹt) Trên tia Ax lấy điểm khác A, tia Ay lấy

5 điểm khác A Trong 12 điểm nói kể điểm A hai điểm nối với thành đoạn thẳng Có tam giác mà đỉnh 12 điểm

Bài 9: Cho 100 điểm có bốn điểm thẳng hàng, ngồi khơng có ba

điểm thẳng hàng Cứ qua hai điểm ta vẽ đường thẳng Hỏi có tất đường thẳng

Bài 10: Cho n điểm khơng có ba điểm thẳng hàng Cứ qua hai điểm ta

vẽ đường thẳng Biết có tất 105 đường thẳng Tính n Gợi ý + đáp số:

Bài 1: có 10.9:2 = 45 (đường thẳng).

Bài 2: Ta có: n(n-1): = 91 nên n(n – 1) = 91.2= 182

Mà 182 = 2.7.13 = 13.14 Vậy n = 14

Bài 3: Có n ( n – 1): góc

Với cách trên, có hai cách gọi tên ba đỉnh cịn lại (chẳng hạn A đỉnh có hai cách gọi tên ba đỉnh lại BCD DCB

Vậy có tất cả: 4.2 = cách

Bài 6: a) Có 100 hình chữ nhất

b) Hình vng cạnh có 16 hình, cạnh có hình, cạnh có hình, cạnh có hình

Vậy tất có: 30 hình

Bài 7: Số tam giác là: 12.11.10 : 3! = 220.

Bài 8: Số cách chọn 12 điểm là: 12.11.10 : 3! = 220 Số điểm thẳng

hàng điểm thuộc tia Ax là: 7.6.5 : 3! = 35 Số điểm thẳng hàng điểm thuộc tia Ay là: 6.5.4 : 3! = 20

Vậy có tất cả: 220 – 35 – 20 = 165 tam giác

Bài 9: có 4945 đường thẳng.

Bài 10: Ta có: n.(n – 1) : = 105 suy n = 15.

3.1.e3 Áp dụng đại số tổ hợp giải tốn có nội dung thực tế:

Bài tốn 1: Có số mèo chui vào chuồng bồ câu Người ta đếm trong

chuồng bồ câu thấy tổng cộng có 34 đầu 80 chân Tính số mèo Bài giải:

Giả sử mèo vào chuồng dấu chân Khi có: 34 = 68 chân

Số chân mèo bị dấu 80 – 68 = 12 chân Số mèo có là: 12 : =

Bài tốn 2: Một tơ có chỗ kể chỗ người lái xe Có cách xếp

chỗ người xe, biết có hai người biết lái xe Bài giải:

Do có 2.5040 = 10080 cách xếp

Bài tốn 3: Có hai cặp bạn ngồi ghế băng có bốn chỗ để chụp ảnh Có bao

nhiêu cách xếp cho hai người cặp phải ngồi cạnh Bài giải:

Có cách xếp vị trí số

Ứng với cách, có cách xếp vị trí số Ứng với cách, có cách xếp vị trí số Ứng với cách, có cách xếp vị trí số Vậy có tất cả: 4.1.2.1 = cách xếp

Bài tốn 4: Có cách xếp năm bạn A, B, C, D, E ngồi ghế dài

sao cho A B phải ngồi cạnh nhau? Bài giải:

Cách 1: Bốn cặp vị trí mà hai bạn A B ngồi cạnh (1; 2); (2, 3); (3, 4); (4,5)

Ứng với cặp vị trí đó, có cách xếp A B, có 3! Cách xếp ba bạn cịn lại, nên có 2.3! = 12 cách xếp

Vậy có tất cả: 4.12 = 48 cách xếp năm người mà A B ngồi cạnh Cách 2: Khơng xét A B ba người cịn lại có 3! Cách xếp chỗ ghế dài

Khi A B ngồi vào ghế ngồi cạnh nhau, họ ngồi vào bốn chỗ trống (mỗi chỗ trống ghi mũi tên hình vẽ đây) chỗ trống có cách xếp A B

Bài tốn 5: Có cách xếp năm bạn A, B, C, D, E ngồi chung quanh

một bàn tròn cho A B phải ngồi cạnh nhau? Bài giải:

Khơng xét A B ba người cịn lại có 2! Cách xếp chỗ quanh bàn tròn Khi A B ngồi vào bàn cạnh nhau, họ ngồi vào ba chỗ trống Mỗi chỗ trống có cách xếp A B

Vậy có tất cả: 2.3.2 = 12 cách xếp

Bài tốn 6: Một nhóm bạn gồm ba nam hai nữ xếp thành hàng ngang để

chụp ảnh, cho hai bạn nữ không đứng cạnh Hỏi có cách xếp?

Bài giải:

Cách 1: Số cách xếp năm bạn thành hàng ngang 5! = 120 cách

Ta xét xem có cách xếp năm bạn mà hai bạn nữ đứng cạnh

Có bốn cập vị trí mà hai bạn nữ đứng cạnh

Ứng với vị trí đó, có cách xếp hai bạn, có 3! Cách xếp ba bạn cịn lại nên có:

2.3! = 12 cách xếp Vậy có 4.12 = 48 cách xếp

Do số cách xếp năm bạn mà hai bạn nữ không đứng cạnh là: 120 – 48 = 72 cách xếp

Cách 2: Có cặp vị trí mà hai bạn nữ khơng đứng cạnh (1,3); (1,4); (1, 5);

Trong cặp vị trí đó, có cách xếp hai bạn nữ, có 3! Cách xếp ba bạn nam nên có:

2.3! = 12 cách xếp

Vậy số cách xếp năm bạn mà hai bạn nữ không đứng cạnh là: 6.12 = 72 cách xếp

Bài toán 7: Bạn Thúy có ảnh khác Thúy muốn chọn ba ảnh đem

tặng bạn Thúy có cách chọn? Bài giải:

Số cách chọn số tổ hợp chập phần tử Vậy có tất cả: 6.5.4 : 3! = 20 cách chọn

Bài tốn 8: Một tổ có 10 người Có cách lập nhóm ba người để làm

nhiệm vụ trực nhật?

Bài giải:

Số cách lập nhóm số tổ hợp chập 10 phần tử Vậy có tất cả: 10.9.8 : 3! = 120 cách chọn

Bài toán 9: Một tổ học sinh có nam, nữ Có cách lập nhóm người

gồm nam, nữ?

Bài giải:

Số cách chọn bạn nam bạn nam là: 5.4.3 : 3! = 10 cách chọn Số cách chọn bạn nữ bạn nữ

Vậy có tất cả: 10.3 = 30 cách chọn

Bài toán 10: Tâm có tờ tiền mệnh giá 2000 đồng tờ tiền mệnh giá 5000

đồng Tâm có cách khác để trả tiền cách dùng hai loại tiền trên?

Bài giải:

Loại cách chọn tờ tiền 2000 đồng tờ tiền 5000 đồng nên có tất 30 -1 = 29 cách chọn

Bài tập tự luyện:

Bài 1: Có chín đội bóng tham dự giải bóng đá, đội phải đấu hai trận với

mỗi đội khác (ở sân nhà sân khách) Có tất trận đấu?

Bài 2: Có hai viên bi đỏ giống viên bi xanh giống Có bao nhiêu

cách xếp thành hàng gồm 10 viên bi ấy?

Bài 3: Ở bến cảng có 15 tàu, tàu có cột buồm cột buồm,

tổng cộng có 68 cột buồm Hỏi có tàu có cột buồm?

Bài 4: Đội tuyển trường tham dự thi đấu chia thành 6

nhóm, học sinh dự thi đạt điểm 10 điểm Tổng số điểm đội 160 điểm Tính số học sinh đạt điểm 10?

Bài 5: Có 64 bạn tham gia giải bóng bàn theo thể thức đấu loại trực tiếp Những

người chọn vòng chia thành nhóm hai người, hai người nhóm đấu với trận để chọn lấy người Tìm số trận đấu ở:

a) Vòng b) Vòng Gợi ý + đáp án:

Bài 1: có tất cả: 9.8 = 72 (trận đấu)

Bài 2: Chỉ cần xem có cách xếp bi đỏ 10 vị trí, tổ hợp chập 2

của 10 phần tử

(Đáp số: có 45 cách xếp)

Bài 3: có tàu có cột buồm

Bài 4: Giải phương pháp giả thiết tạm, tìm số học sinh đạt điểm 10 8

học sinh

Bài 5: a)Vịng có: 64 : = 32 trận b)Vịng có: 64 : 25 = trận

3.2.Thực giảng dạy theo phương pháp hướng người học làm trung tâm.

cực sáng tạo, độc lập chủ động q trình tìm tịi chiếm lĩnh tri thức Trong buổi ôn tập phải cho em học sinh có hội làm việc thật nhiều, tự tìm dạng tìm cách giải dạng đó, nên giảm bớt vị trí cơng việc người giáo viên lớp – giáo viên đóng vai trị người “trọng tài” chốt lại kiến thức mà em vừa khám phá ra, tránh tình trạng dạy học áp đặt “Thầy giảng trò biết lắng nghe làm theo” làm cho em thụ động trình tiếp thu bài, khơng khắc sâu kiến thức cho học sinh

3.3 Thường xuyên động viên, khuyến khích học sinh q trình giảng dạy lớp để em thêm tự tin, hứng thú học tập

Với giải em có cách giải hay, tìm dạng tập thường khen tặng điểm em tự tin tạo hứng thú buổi học Với học sinh cịn chưa hiểu chưa tích cực ý giảng kỹ với riêng em động viên để em cố gắng Với nhóm hồn thành tốt nhiệm vụ tơi ln có phần q nhỏ để khuyến khích em hoạt động

4 Kết thực hiện

Việc vận dụng sáng kiến kinh nghiệm mang lại nhiều hiệu việc giải tốn có liên quan tốn thuộc dạng Phần đơng em có hứng thú giải tập tập có phương pháp giải vận dụng phương pháp giải loại toán khác giải

Đối với học sinh đại trà việc học em dừng lại phạm vi sách giáo khoa, sách tập khóa Cịn dạng tốn em học sinh khá, giỏi khơng áp dụng vào cấp học mà em vận dụng vào toán THPT nhiều, phục vụ cho cấp học cao

Kết quả: Qua thời gian tham gia giảng dạy thử nghiệm sáng kiến kinh nghiệm tơi đạt số kết định

Số H/S Giỏi Khá Trung Bình Yếu

Lần 28 = 28,6% 10 = 35,7% = 28,6 % = 7,1%

Lần 28 = 28,6 % 12 = 42,6% = 25 % = 3,6%

Lần 28 10 = 35,7% 13 = 46,4% = 17,6%

PHẦN THỨ BA

KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ

1 Kết luận:

Là giáo viên trẻ, kinh nghiệm giảng dạy chưa nhiều, nhận thấy thân phải thường xun tìm hiểu, tích lũy kinh nghiệm qua thực tế giảng dạy toán hay, sáng tạo việc dạy học nhằm phát huy tính tích cực , chủ động, u thích học tốn học sinh Đặc biệt vận dụng linh hoạt học sinh đội tuyển học sinh giỏi khối, lớp Từ việc nghiên cứu lý luận qua thực tiễn giảng dạy làm việc với học sinh khá, giỏi học sinh đại trà nhận thấy việc hệ thống các dạng tập áp dụng đại số tổ hợp hữu ích người dạy người học Từ giúp giáo viên có hệ thống phương pháp giúp em học sinh dễ dàng nghiên cứu học tập dạng toán

2.Kiến nghị:

tơi hồn thiện đề tài, từ áp dụng rộng rãi công tác bồi dưỡng học sinh giỏi mơn Tốn

Tơi xin trân trọng cảm ơn!

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Vũ Hữu Bình: Nâng cao phát triển Tốn – NXB Giáo dục Việt Nam Vũ Hữu Bình – Tơn Thân – Đỗ Quang Thiều: Toán bồi dưỡng học sinh lớp

6 – NXB giáo dục Việt Nam

3 Vũ Hữu Bình – Nguyễn Tam Sơn: Tài liệu chuyên Toán THCS Toán – Số học – NXB Giáo dục Việt Nam

4 Vũ Hữu Bình – Đàm Hiếu Chiến: Tài liệu chuyên Toán THCS Toán – hình học – NXB giáo dục Việt Nam

5 Vũ Hữu Bình – Đàm Hiếu Chiến: Tài liệu chuyên Toán THCS Toán – đại số – NXB giáo dục Việt Nam

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

Một số dạng tập áp dụng đại số tổ hợp công tác bồi dưỡng học sinh

giỏi Toán 6

Lĩnh vực / Mơn: Tốn Cấp học : THCS