- Phương pháp 3: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm nhiều hạng tử Sử dụng các tính chất giao hoán, kết hợp để nhóm các hạng tử một cách thức hợp nhằm làm xuất hiện dạn[r]
(1)Chương I: PHÉP NHÂN VÀ PHÉP CHIA ĐA THỨC Bài 1: PHÉP NHÂN ĐA THỨC A Tóm tắt lý thuyết I Nhân đơn thức với đa thức - Muốn nhân đơn thức với đa thức, ta nhân đơn thức với hạng tử đa thức cộng các tích với II Nhân đa thức với đa thức - Muốn nhân đa thức với đa thức, ta nhân hạng tử đa thức này với hạng tử đa thức kia, cộng các tích với B Bài tập I Nhân đơn thức với đa thức Câu 1: Làm tính nhân 1 a) x x x 3 b) x xy xy x y c) x x x 5 x Câu 2: Thực phép nhân, rút gọn biểu thức tính giá trị x = x x y x ( y x ) y x 3x và y = -2005 Câu 3: Tìm x, biết a) x(7 x 5) x(4 x 2) 12 b) 2(5 x 8) 3(4 x 5) 4(3 x 4) 11 Câu 4: Chứng minh giá trị các biểu thức sau không phụ thuộc vào biến x a) 10 x x x x x 5 x 8 27 x b) x3 x 5 x2 x 3 38 x II Nhân đa thức với đa thức Bài Thực phép tính 1 a) x x x 5 b) x xy y x y c) x 1 x x x x x Bài Tìm x, biết a) x x x 1 x x 15 Lop8.net (2) 3 b) x 3x x 4 x 4 x 2x 3 x 2x 5 c) Bài Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị biến xx 5 3 x 18x 1 Bài Cho a + b + c = So sánh M , N và P biết M a (a b)(a c) N b(b a )(b c) P c(c a )(c b) Bài 5: a) Cho ba số tự nhiên liên tiếp Tích hai số đầu nhỏ tích hai số sau là 50 Tìm ba số đó b) Tìm ba số tự nhiên liên tiếp, biết tổng các tích cặp hai ba số 107 III Một số bài tập nâng cao Bài Tìm giá trị biểu thức A x = 2010 A x 2011x 2011x 2011x 2011x 2011 ( Gợi ý: Xét quan hệ x và 2011) Bài Tính giá trị biểu thức B B 1 3588 7 3 3589 297 3589 297 3589 3589.297 ( Gợi ý: Thay số chữ số hợp lý ) Bài Cho biểu thức C ( x a )( x b) ( x b)( x c) ( x c)( x a ) x Tính C theo a,b,c biết x 1 a b c 2 Bài 2: CÁC HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ A Tóm tắt lý thuyết Thực phép nhân đa thức, ta các đẳng thức sau: Bình phương tổng: A B A AB B = A B AB 2 Bình phương hiệu: A B B A A AB B = A B AB 2 Hiệu hai bình phương: A B A B A B Lập phương tổng: A B A A B AB B A B ABA B Lập phương hiệu: A B A A B AB B A B ABA B A B A Tổng hai lập phương: A B A B A AB B Hiệu hai lập phương: A B AB B B Bài tập Bài Rút gọn các biểu thức sau a) 3 x 5 3 x 5 3 x 3 x 2 b) x x x x Lop8.net (3) c) x 1 x x x x x d) 2 x 1 x x x x e) x2 x 1 xx 3x 3 xx 1 2 f) 3 x 1 23 x 13 x 5 3 x 5 2 Bài Nối cột A với B cho chúng tạo thành đẳng thức đúng A B Bài Tính giá trị biểu thức a) 63 47 215 105 b) 437 363 537 463 2 x y a 25 x y 2 5 x y 5 x y b x x y xy y 1 x x x 4 c x 5 x y d x xy y b x y xy 10 x 25 e 27 x y c x y 2 3 x y x xy y 2 d) 12 2 2010 20112 Bài Viết biểu thức sau thành tổng hai bình phương x y c) 12 2 99 100 a x x y y Bài Tính nhanh f 25 x 20 xy y 3 x y a 978 22 978.44 g 27 x 27 x y xy y 3 b 9876543.9876545 9876544 Bài Tìm x, biết a x x 3 2x 1x 1 2 b x 3 x x x x c x x x d x 3 x x xx 2 x e x 1 x 1 6x 1 10 3 Bài Chứng minh a a b 3aba b a b 3 b a b a b 4ab 2 c a b c a b c 2ab 2bc 2ac d a b c a b c 3a b b c a c e a b c 3abc a b c a b c ab bc ac f x y x y x xy y 99 là hợp số g 999.991, 1.000.027, 8999 2010 h 11 22 2 là số chính phương 2n n Lop8.net (4) Bài a) Chứng minh các biểu thức sau luôn có giá trị dương với giá trị x A x x 19 B 3x x C x y x y 27 D 9x 6x E x2 x 1 F 2x 2x b) Chứng minh các biểu thức sau luôn có giá trị âm với giá trị x G x 2x H 5 x 20 x 49 c) Tìm giá trị nhỏ các biểu thức sau Chú ý: I x 4x * Để tìm giá trị nhỏ biểu thức A, ta cần K x 8x Chứng minh A m với m là số L x x 15 Chỉ dấu “=” có thể xảy 2 M x 3x N 2 x 1 x 2 Kết luận: Giá trị nhỏ A là m Ký hiệu GTNN A là minA Amin d) Tìm giá trị lớn biểu thứ sau * Để tìm giá trị lớn biểu thức A, ta cần O x x 15 Chứng minh A n với n là số P 2 x x 15 Chỉ dấu “=” có thể xảy Q 3 x x Kết luận : Gía trị lớn A là n 2 R x 2x S 4x x Ký hiệu GTLN A là maxA Amax Bài a) Cho a và b, thỏa mãn a b 23 và a.b 132 Tính giá trị biểu thức A a b b) Cho x và y, thỏa mãn x y Tính giá trị biểu thức B x xy y c) Cho m, n, p thỏa mãn m n p 15 và m n p 77 Tính giá trị biểu thức C mn np mp d) Cho a b c Chứng minh a b c 3abc e) Cho a b c d Chứng minh a b c d 3c d ab cd a b c ab bc ac f) Chứng minh a b c thì a b c a b c a b c 2 3ab bc ac 2 a b b c a c g) Chứng minh a b c thì biểu thức a b c 2ab bc ac a2 b2 c2 h) Cho x y a và x y b Tính x n y n theo a và b với n ; ; ; Lop8.net (5) Bài 3: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ A Tóm tắt lý thuyết * Phân tích đa thức thành nhân tử là biến đổi đa thức đó thành tích đa thức * Để phân tích đa thức thành nhân tử, ta thường dùng các phương pháp sau: - Phương pháp 1: Phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp đặt nhân tử chung Nếu các hạng tử đa thức có chung nhân tử, ta có thể đặc nhân tử chung đó ngoài dấu ngoặc A.B A.C A.F A.B C F - Phương pháp 2: Phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp dùng đẳng thức Sử dụng các đằng thức viết dạng sau đây giúp biến đổi đa thức dạng tích các đa thức lũy thừa đa thức A AB B A B A AB B A B A B A B A B A A B AB B A B A A B AB B A B A B A A B A B A AB B A3 B AB B - Phương pháp 3: Phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp nhóm nhiều hạng tử Sử dụng các tính chất giao hoán, kết hợp để nhóm các hạng tử cách thức hợp nhằm làm xuất dạng đẳng thức xuất nhân tử chung Từ đó giúp phân tích đa thức đã cho thành nhân tử - Phương pháp 4: Phân tích đa thức thành nhân tử cách phối hợp nhiều phương pháp Để phân tích đa thức thành nhân tử, chúng ta thường vận dụng linh hoạt các phương pháp đã biết và thường tiến hành theo trình tự sau: + Đặt nhân tử chung + Dùng đẳng thức + Nhóm các hạng tử cách thích hợp - Một số phương pháp khác + Phương pháp tách hạng tử thành nhiều hạng tử + Phương pháp thêm và bớt cùng hạng tử Làm xuất hiệu hai bình phương Làm xuất nhân tử chung + Phương pháp đổi biến + Phương pháp hệ số bất định + Phương pháp xét giá trị riêng B Bài tập I Phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp đặt nhân tử chung Bài Phân tích đa thức sau thành nhân tử a 15 x 30 y 20 z Lop8.net (6) b x c x 9x y 31 xx 2004 y y 2004 Bài Tính giá trị biểu thức sau a) A x x y x y z x z x với x = 1999, y = 1963, z = -897 b) B x y 2 x y z x y x z y x với x =1234,8 ; y = -0,357 và z = 2004 Bài Tìm x, biết a x x b xx 3 7x 3 c xx 2004 x 2004 d x x Bài Cho A x x Tìm x để A = 0; A > ; A < ; Bài Chứng minh 5100 98 chia hết cho 13 Bài Tìm m và n N, cho m n 1984 II Phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp dùng đẳng thức Bài Phân tích đa thức sau thành nhân tử a x xy y b x y x y c a b d x x y 27 xy 27 y e x x x f x 27 y g 64 x 27 y Bài Tìm x, biết a x x0 b x 10 x 25 c x x x d x x x 23 x Bài Tính nhẩm 2 a 973 27 b 2010 16 2 2 Bài Chứng minh biểu thức P x x x x x x x x không phụ thuộc vào giá trị biến Bài Cho a, b, c là độ dài ba cạnh tam giác 2 2 Chứng minh : 4b c b c a 0 Lop8.net (7) III Phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp nhóm nhiều hạng tử Bài Phân tích các đa thức sau thành nhân tử a x xy x y b x xy x y 2 c x x y 2 2 d x y z 9t xy zt e x x x 27 f x x x 3 g x x x y Bài Tìm x, biết a xx x 10 b x x x 20 2 Bài Cho a, b, c là độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh a b c 2bc IV Phân tích đa thức thành nhân tử cách phối hợp nhiều phương pháp Bài Phân tích các đa thức sau thành nhân tử a x 45 x b x y 14 x y xy c 16 x y xy 2 2 2 2 d a bc d ab cd a bcd ab c d e x x 10 f x x g x x h 10 x 29 x 10 i x 4 k x x Bài Tìm x, biết a x x b x 12 x 18 x c 3 x 1 4x 3 2 d x x x 20 2 Bài Chứng minh x x x x chia hết cho Bài Với x Chứng minh x x x 18 V Một số phương pháp khác: Chuyên đề : Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử Lop8.net (8) Bài 4: CHIA ĐA THỨC A Lý thuyết I Chia đơn thức cho đơn thức - Đơn thức A chia hết cho đơn thức B biến B là biến A với số mũ không lớn số mũ nó A - Quy tắc: Muốn chia đơn thức A cho đơn thức B, ta làm sau: + Chia hệ số đơn thức A cho hệ số đơn thức B + Chia lũy thức biến A cho lũy thừa biến B + Nhân các kết vừa tìm với II Chia đa thức cho đơn thức - Quy tắc: Muốn chia đa thức A cho đơn thức B, ta chia hạng tử A cho B cộng các kết với III Chia đa thức biến đã xếp - Phép chia hai đa thức đã xếp thực tương tự phép chia hai số tự nhiên - Người ta chứng minh rằng, với hai đa thức tùy ý A và B biến B , tồn cặp đa thức Q và R cho A B.Q R Trong đó : Bậc R thấp bậc B R = Phép chia A cho B là phép chia hết B Bài tập I Chia đơn thức cho đơn thức Bài Làm tính chia a x 280 : x 170 b x y z : x y z 10 3 c x y z : x y 5 Bài Tìm m, n, p N , biết 27 x m 5 y n 1 z p : xy z x 14 y Bài a CMR biểu thức sau không âm với giá trị biến A 15 x y : xy b CMR giá trị biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị biến B 2 x y : xy xy 1y 1 II Chia đa thức cho đơn thức Bài Không làm tính chia, hãy xét xem đa thức A có chia hết cho đơn thức B không ? a A x y x y 10 x y B xy Lop8.net (9) A x 20 x y x b B 5x Bài Làm tính chia a/ 15 x 20 x 10 x : x 1 b/ x x y xy : x 4 c/ 7y x 6y x 2x y y x : x y 2 Bài Thực phép tình tìm GTNN biểu thức A xy x y : xy x y x : x Bài Tìm số tự nhiên n để đa thức A chia hết cho đa thức B A x n 1 y x y B 5x y n III Chia đa thức cho đa thức Bài Thực phép tính b/ 3 x x x x 8: x c/ x x : x 3 a/ x 12 x x : x 3 2 2 Bài Cho A và B là hai đa thức Hãy chia A cho B viết dạng A = B.Q + R A 4x 2x3 7x B x2 Bài Tính nhanh b/ x a/ x 25 y : 3 x y : x 2x Bài Xác định số a cho a/ x x a chia hết cho x b/ x ax chia hết cho x x c/ ax x chia hết cho x d/ x ax chia cho x – dư Bài Xác định số a và b, cho a/ x ax b chia hết cho x b/ x ax bx chia hết cho x c/ x ax b chia hết cho x x d/ x chia hết cho x ax b e/ ax bx x 50 chia hết cho x x 10 Bài Tìm các số a và b cho x ax b chia cho x + thì dư 7, chia cho x – thì dư -5 Lop8.net (10)