Chuyên đề: Khảo sát hàm số và các bài toán liên quan + Nếu trên bảng biến thiên có một cực trị duy nhất là cực đại cực tiểu thì giá trị cực đại cực tiểu là GTLN GTNN của hàm số trên a,b [r]
(1)Chuyên đề: Khảo sát hàm số và các bài toán liên quan KHẢO SÁT, VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN A LÝ THUYẾT I KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ Tính đơn điệu hàm số: Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng (a, b) Nếu f’(x) > với x (a; b) thì hàm số đồng biến trên (a; b) Nếu f’(x)< với x (a; b) thì hàm số nghịch biến trên (a; b) Cực trị: Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng (x0 - h; x0 + h) và có đạo hàm trên khoảng đó (có thể trừ điểm x0) Hàm số đạt cực trị x0 và f’(x) đổi dấu x qua x0 x x0 - h x0 x0 + h x x -h x x +h f’(x) + f(x) CĐ - f’(x) - 0 + f(x) CT Tiệm cận: Giả sử hàm số y = f(x) có đồ thị là (C), ta có: *):TCN: Đường thẳng y = y0 là tiệm cận ngang (C) ít các điều kiện lim f ( x) y0 , sau thỏa mãn: lim y0 x x *) TCĐ: Đường thẳng x = x0 là tiệm cận đứng (C) ít các điều kiện sau thỏa mãn: lim y hay lim y x x0 x x0 *) TCX: Đường thẳng y = ax +b là tiệm cận xiên (C) điều kiện sau thỏa mãn lim f x ax b x Các bước khảo sát và vẽ đồ thị hàm số 1) Tìm TXĐ hàm số và xét các tính chất: tính chãn lẻ, tính tuần hoàn (nếu có) 2) Xét biến thiên hàm số: Tính đạo hàm, tìm các điểm đó đạo hàm không xác định Xét dấu đạo hàm và suy chiều biến thiên, tìm cực trị hàm số Tìm các giới hạn vô cực và tiệm cận (nếu có) Lập bảng biến thiên 3) Vẽ đồ thị Xác định số điểm đặc biệt thuộc đồ thị Vẽ đồ thị GTLN, GTNN hàm số liên tục 1) Định nghĩa : Cho hàm số y=f(x) xác định trên D Số M gọi là GTLN hàm số y=f(x) trên D nếu: x D : f ( x) M (ký hiệu M=maxf(x) ) x0 D : f ( x0 ) M Số m gọi là GTNN hàm số y=f(x) trên D nếu: x D : f ( x) m (ký hiệu m=minf(x) ) x0 D : f ( x0 ) m 2) Cách tìm GTLN-GTNN trên (a,b) + Lập bảng biến thiên hàm số trên (a,b) Người soạn: Phan Thanh Dần, GV THPT Tân Trào Lop12.net (2) Chuyên đề: Khảo sát hàm số và các bài toán liên quan + Nếu trên bảng biến thiên có cực trị là cực đại( cực tiểu) thì giá trị cực đại (cực tiểu) là GTLN (GTNN) hàm số trên (a,b) 3) Cách tìm GTLN-GTNN trên [a,b] + Tìm các điểm x1,x2, , xn [a,b] mà đó đạo hàm không không xác định + Tính f(a), f(x1), f(x2), , f(xn), f(b) + Tìm số lớn M và số nhỏ m các số trên M max f ( x) ; m f ( x) [ a ,b ] [ a ,b ] Chú ý: Có thể sử dụng tính chất bất đẳng thức để tìm GTLN, GTNN hàm số trên đoạn, khoảng Hàm số liên tục trên đoạn luôn có GTLN, GTNN trên đoạn đó Hàm số liên tục trên khoảng có thể không có GTLN, GTNN II SỰ TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ HÀM SỐ, TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ Giả sử hàm số y = f(x) có đồ thị là (C1) và hàm số y = g(x) có đồ thị là (C2) Số giao điểm (C1) và (C2) là số nghiệm phân biệt phương trình f(x) = g(x) và ngược lại Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b), có đồ thị (C) và x0 (a; b) Nếu tồn đạo hàm hàm số f(x) điểm x0 thì tiếp tuyến với (C) M0(x0; f(x0)) có phương trình là y - f(x0) = f’(x0)(x - x0) B RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN I Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số Thực theo các bước khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số Hàm số bậc ba y = ax3 + bx2 + cx +d (a ≠ 0) Các dạng đồ thị hàm số bậc a>0 a<0 y y Phương trình y’ = có hai nghiệm phân biệt x y y Phương trình y’ = có nghiệm kép x y Phương trình y’ = vô nghiệm x x y x x Người soạn: Phan Thanh Dần, GV THPT Tân Trào Lop12.net (3) Chuyên đề: Khảo sát hàm số và các bài toán liên quan Ví dụ : Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = - x3 + 3x2 -2 ; Hướng dẫn: *)TXĐ: D = R *) Sự biến thiên: +) Chiều biến thiên: y’ = -3x2 + 6x x y’ = -3x2 + 6x x y’ > x (0; 2) nên hàm số đồng biến trên (0; 2) y’ < x (;0) (2; ) nên hàm số nghịch biến trên các khoảng: ;0 va 2; +) Cực trị, điểm uốn: - Hàm số đạt cực tiểu x = yct = y(0) = -2 - Hàm số đạt cực đại x = ycđ = y(2) = - Ta có y’’ = -6x + 6, y’’ = x = và y’’ đổi dấu x qua x = đó đồ thi hàm số có điểm uốn I(1;0) lim ( x3 x 2) +) Giới hạn: lim ( x3 3x 2) ; x x Bảng biến thiên x y’ - - + + y + - -2 - *)Đồ thị Một số điểm đặc biệt x = -1 y = A(-1; 2) x = y = B(1; 0) x = y = -2 C(3; -2) y Bài tập tự làm Khảo sát và vẽ đồ thị các hàm số sau: a) y = x3 – 6x2 + 9x; b) y = - x3 + 3x2 ; c) y = 2x3 + 3x2 – 1; d) y = -x3 + 3x2 - 9x +1 Hàm số bậc bốn trùng phương y = ax4 + bx2 + c (a ≠ 0) Các dạng đồ thị hàm số bậc trùng phương a>0 x fx = -x +3x -2 a<0 Người soạn: Phan Thanh Dần, GV THPT Tân Trào Lop12.net (4) Chuyên đề: Khảo sát hàm số và các bài toán liên quan y y Phương trình y’ = có ba nghiệm phân biệt y y Phương trình y’ = có nghiệm x x x x Ví dụ: Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = x4 – 2x2 + Hướng dẫn: *) TXĐ: D = R *) Sự biến thiên: +) Chiều biến thiên: Ta có y’ = 4x3 – 4x y’ = x = 0; x = -1; x = y’ > x (1;0) (1; ) đó hàm số đồng biến trên các khoảng 1;0 và ( 1; ) y’ < x (; 1) (0;1) đó hàm số nghịch biến trên các khoảng ( ;1 ) và (0;1) +) Cực trị, điểm uốn: Hàm số đat gtct tai x = => yct = y(-1) = y(1) = Hàm số đạt gtcđ x = => ycđ = y(0) =1 Ta có y’’ = 12x – 4, y’’ = x +) Giới hạn: lim x x 1 , x +) Bảng biến thiên x - y’ y + -1 + 1 đồ thi có điểm uốn I1( ; ), I1 ; 3 9 lim x x x 0 - + + + Đồ thị y Bài tập tự làm Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau: a) y = x4 – 2x2 + b) y = -x4 + 3x2 + 4; c) y = x4 - 3x2 + 4; d/ y = x4 – 2x2 – x fx = x -2x +1 Người soạn: Phan Thanh Dần, GV THPT Tân Trào Lop12.net (5) Chuyên đề: Khảo sát hàm số và các bài toán liên quan Hàm số bậc trên bậc y ax b (ad - bc ≠ 0, c ≠ ) cx d Các dạng đồ thị D = ad - bc > D = ad - bc < y y x L x Ví dụ: Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau: a/ y = 2x x 1 b/ y = 1 2x x2 Hướng dẫn: Đồ thị các hàm số sau a) y = 2x x 1 b) y = y y 4 I fx = x-1 x I 2x-4 O 1 2x x2 fx = 2x-4 x-1 x O 2 Người soạn: Phan Thanh Dần, GV THPT Tân Trào Lop12.net (6) Chuyên đề: Khảo sát hàm số và các bài toán liên quan Bài tập tự làm Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau: a) y x2 x 1 b) y 2 x 2x 1 Viết phương trình tiếp tuyến điểm thuộc đồ thị Bài toán 1: Viết PTTT hàm số y = f(x) (C) điểm M0(x0; y0) Bước 1: PTTT cần tìm có dạng: y – y0 = f (x0)(x – x0) ; Bước 2: Tính f (x); Suy f (x0); Bước 3: Thay x0, y0 và f (x0) vào bước Ví dụ 1: Cho hàm số y = x3 - 3x2 + a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số b) Viết phương trình tiếp tuyến (C) điểm M(3; 5) c) Viết phương trình tiếp tuyến (C) các điểm có hoành độ là x = -1; x = 1; HD: a) TXĐ: D = R y’ = 3x2 - 6x x y ' 3x x x Bảng biến thiên: x - y’ + 0 - + + + y - Đồ thị: y b) Tại M(3; 5) phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số có dạng y – y0 = f (x0)(x – x0); Với x0 = 3; y0 = 5; f’(3) = Vậy phương trình tiếp tuyến là y = 9x - 22 c) * x = -1 y = 1; f’(-1 O 1) = phương trình tiếp tuyến là y = 9x + 10 * x = y = 3; f’(1) = -3 phương trình tiếp tuyến là y = -3x + Bài tập tự làm Bài 1: Cho hàm số (C): y = x + 3x + a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số b) Viết phương trình tiếp tuyến (C) M(-2; 5) c) Viết phương trình tiếp tuyến điểm có hoành độ -1 Bài 2: Cho hàm số (C): y = -x3 + 3x + a) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C) Người soạn: Phan Thanh Dần, GV THPT Tân Trào Lop12.net x (7) Chuyên đề: Khảo sát hàm số và các bài toán liên quan b) Viết phương trình tiếp tuyến điểm I(0; 2) ĐS: y = 3x + c) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) các điểm có hoành độ là x = 0, -2, Bài 3: Cho hàm số (C): y = - x4 + 2x2 + a) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C) b) Viết phương trình tiếp tuyến điểm có tung độ Viết phương trình tiếp tuyến biết phương tiếp tuyến Bài toán 2: Viết pttt (C): y = f(x) biết hệ số góc k tiếp tuyến (hay: biết phương tiếp tuyến song song, vuông góc với đường thẳng (d) ) C1: Bước 1: Lập phương trình f’(x) = k x = x0 ( hoành độ tiếp điểm) Bước 2: Tìm y0 và thay vào dạng y = k(x – x0) + y0 ta có kết C2: Bước 1: Viết pt đường thẳng (d): y = kx + m (**) (trong đó m là tham số chưa biết) f ( x) kx m m = ? thay vào (**) Ta có kết f '( x) k Bước 2: Lập và giải hệ pt: Ví dụ 1: Cho hàm số (C): y = x3 – 3x2 + a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C) b) Viết phương trình tiếp tuyến (C) song song với đường thẳng y = x y Hướng dẫn : a) Đồ thị : b) Tiếp tuyến song song với đường thẳng y = x nên hệ số góc tiếp tuyến là fx = x -3x +4 5 f’(x0) = 3x2 – 6x = 9x2 – O 3 18x + = x = và x = 3 HS tự làm tiếp x 1 Ví dụ 2: Cho hàm số (C): y = x 3 a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C) b) Viết phương trình tiếp tuyến (C) vuông góc với đường phân giác phần tư thứ y Hướng dẫn: a) Đồ thị: x b) HD: Đường phân giác phần tư thứ là: y = x Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = x, suy hệ số góc tiếp tuyến là k = -1 Do đó f’(x) = -1 x 3 x 1 x 3 x x O x=5 y=3 x = y = -1 ĐS: y = -x và y = -x + Bài tập tự làm Cho hàm số (C): y = x4 – 2x2 – -1 fx = x+1 x-3 Người soạn: Phan Thanh Dần, GV THPT Tân Trào Lop12.net (8) Chuyên đề: Khảo sát hàm số và các bài toán liên quan a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C) b) Viết phương trình tiếp tuyến (C), biết hệ số góc tiếp tuyến là 24 c) Viết pttt (C), biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 2x + d) Viết pttt (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = x - Dựa vào đồ thị hàm số y = f(x), biện luận theo m số nghiệm phương trình dạng f(x) = m Ví dụ 1: Cho hàm số y = x3 + 3x2 - a) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số b) Dựa vào đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm các phương trình sau: 1) x3 + 3x2 – = m; 2) x3 + 3x2 – m = HD: a) BBT: x - -2 + y’ + - + - y + Đồ thị: -4 y b1) Số nghiệm phương trình x3 + 3x2 – = m chính số giao điểm đồ thị hai hàm số y = x3 + 3x2 – (C) và đường thẳng y = m (song song với trục Ox) Dựa vào đồ thị ta thấy: fx = x -3x + x Với m > m < thì pt có O nghiệm, Với m = m = thì pt có hai nghiệm Với < m < thì pt có ba nghiệm phân biệt b2) Phương trình x3 + 3x2 – m = x3 + 3x2 – = m – Số nghiệm phương trình x3 + 3x2 – m = chính số giao điểm đồ thị hai hàm số y = x3 + 3x2 – (C) và đường thẳng y = m - (song song với trục Ox) (tương tự câu a) HS tự làm tiếp) Bài tập tự làm Bài 1: Cho hàm số y x3 3x 1 có đồ thị (C) a Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) b Dùng đồ thị (C), xác định k để phương trình sau có đúng nghiệm phân biệt x3 3x k Bài 2: Cho hàm số y x x có đồ thị (C) a.Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) b.Dùng đồ thị (C ) , hãy biện luận theo m số nghiệm thực phương trình x x m Bài 3:Cho hàm số y x3 x2 có đồ thị (C) a.Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) b.Tìm tất các giá trị tham số m để đường thẳng (d) : y = mx + cắt đồ thị hàm số đã cho hai điểm phân biệt Bài 4: Cho hàm số y x3 3x có đồ thị (C) a Khảo sát và vẽ đồ thị (C) Người soạn: Phan Thanh Dần, GV THPT Tân Trào Lop12.net (9) Chuyên đề: Khảo sát hàm số và các bài toán liên quan b Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) A(3;1) c Dùng đồ thị (C) định k để phương trình sau có đúng nghiệm phân biệt x3 3x k Bài 5: Cho haøm soá y = x mx 2 có đồ thị (C) 1) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số m = 2) Dựa vào đồ thị (C), hãy tìm k để phương trình Bài 6: C ho hàm sè y x 3x k = 2 coù nghieäm phaân bieät 2x x 1 a Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số b Tìm m để đường thẳng d : y = - x + m cắt (C) hai điểm phân biệt Bài 7: Cho hàm số y = (2 – x2)2 có đồ thị (C) 1) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm phương trình x4 – 4x2 – 2m + = Tìm GTLN và GTNN hàm số liên tục trên đoạn Phương pháp: Sử dụng quy tắc tìm GTLN, GTNN Ví dụ 1: Tìm GTLN và GTNN các hàm số: a) Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y x 1 x2 trên 3; 5 b) Tìm giá trị lớn và nhỏ hàm số y = cos2x – cosx + Hướng dẫn: x2 4x a) y’ = = ( x 2) x 2 y’ = x2 4x x 2 x x2 4x x Trên [3;5] ta có y’ = x = y(3) = 8; y(4) = 7; y(5) = 22 Vậy GTLN hàm số trên [3;5] là đạt x = GTNN hàm số trên [3;5] là đạt x = b) Đặt t = cosx với t [-1; 1] Khi đó bài toán đưa tìm GTLN và GTNN hàm số y = f(t) = t2 – t +2 trên [-1; 1] f'(t) = 2t -1 f’(t) = t = ½ f(-1) = 4; f(1/2) = 7/4; f(1) = Vậy GTLN hàm số là 7/4 đạt t = ½ tức cosx = ½ x = K 2 , K Z GTNN hàm số là đạt t = -1 tức cosx = -1 x = K 2 , K Z Bài tập tự làm Bài 1: Tìm giá trị lớn và giá trị nhỏ các hàm số: a) y x3 3x trên [-2;-1/2] ; [1,3) b) y x x d) y 2cos2x+4sinx c) y 2s inx- sin x e) y x 3x trên đoạn [0,π] (TN-THPT 03-04/1đ) x[0,π/2] trên đoạn [-10,10] (TN-THPT 01-02/1đ) Người soạn: Phan Thanh Dần, GV THPT Tân Trào Lop12.net (10) Chuyên đề: Khảo sát hàm số và các bài toán liên quan Bài 2: Tìm giá trị lớn và giá trị nhỏ hàm số y= x 3x 6x trên đoạn [-1,3] Bài 3: Chứng minh x2 với giá trị x x x2 Một số bài toán khác Ví dụ 1: Cho hàm số y = x3 + 3x2 + (2m-1)x – a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số m = 1; b) Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu Hướng dẫn: a) m = => y = x3 + 3x2 + x – có đồ thị sau: y b) Hướng dẫn y’ = 3x2 + 6x + 2m -1 Hàm số có cực đại và cực tiểu và phương trình y’ = có hai nghiệm phân biệt và dấu y’ thay đổi qua các giá trị đó Do đó ’ = -3(2m-1) > m<2 Vậy với m < thì hàm số luôn có cực đại và cực tiểu fx = x +3x +x -2 x O -1 Bài tập tự làm Bài 1: Cho hàm số (Cm): y = + 3(m – 1)x2 + 6(m – 2)x – a) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C) m = b) Với giá trị nào m, đồ thị hàm số (Cm) qua điểm A(1; 4) ĐS: m = c) Viết phương trình tiếp tuyến hàm số (C) qua điểm B(0; -1) Bài 2: Cho hàm số y = x3 – 2x2 – (m - 1)x + m = a) Xác định m để hàm số có cực trị b) Khảo sát hàm số trên Gọi đồ thị là (C) c) Tiếp tuyến (C) O cắt lại (C) điểm A Tính diện tích hình phẳng giới hạn (C) và đoạn OA Bài 3: Cho hàm số y = (x +1)2(x –1)2 a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số b) Dùng đồ thị (C) biện luận theo n số nghiệm phương trình : (x2 – 1)2 – 2n + = 2x3 Bài 4: Cho hàm số y (m 1) x m (m khác 0) và có đồ thị là (Cm) xm a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C2) Người soạn: Phan Thanh Dần, GV THPT Tân Trào Lop12.net 10 (11)