SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ TÓM TẮT LÝ THUYẾT Định nghĩa Giả sử K là một khoảng.. Nếu hàm số đồng biến trên K thì đồ thị của hàm số đi lên từ trái sang phải.[r]
(1)SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ TÓM TẮT LÝ THUYẾT Định nghĩa Giả sử K là khoảng Hàm số f xác định trên K gọi là : Đồng biến trên K x , x K , x < x f(x ) < f(x ) 2 Nếu hàm số đồng biến trên K thì đồ thị hàm số lên từ trái sang phải Nghịch biến trên K x , x K , x < x f(x ) > f(x ) 2 Nếu hàm số nghịch biến trên K thì đồ thị hàm số xuống từ trái sang phải Đồ thị: Định lí : GIả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng K a)Nếu f’(x) > với x K thì hàm số f đồng biến trên khoàng K b)Nếu f’(x) < với x K thì hàm số f nghịch biến trên khoàng K c)Nếu f’(x) = với x K thì hàm số f không đổi trên khoàng K Nhận xét : Khoảng K định lí trên có thể thay đoạn nửa khoảng Khi đó phải bổ sung thêm giả thiết : Hàm số liên tục trên đoạn nửa khoảng đó Giả sử hàm số f liên tục trên đoạn [a; b] và có đạo hàm f’(x) trên khoảng (a; b) a)Nếu f’(x) ≥ với x (a; b) thì hàm số f đồng biến trên đoạn [a; b] b)Nếu f’(x) ≤ với x (a; b) thì hàm số f nghịch biến trên đoạn [a; b] Trên đoạn [a; b] , ta có : Vấn đề 1: Xét tính đơn điệu : giả sử f(x) có đạo hàm trên khoảng (a; b) D Bước 1: Tìm miền xác định D, tính & xét dấu y’ = f’(x) Bước 2: Áp dụng định lý Ghi chú việc xét dấu : f’(x) là đa thức hay phân thức : xét dấu nhị thức, tam thức Lop12.net (2) f’(x) vô tỉ, lượng giác: giải các bất phương trình f’(x) 0; f’(x) f’(x) là biểu thức phức tạp có thể áp dụng các bước sau : – tìm xo cho f’(xo) = hay f’(x) không xác định – các số xo chia miền xác định f(x) thành nhiều khoảng – trên khoảng f’(x) có dấu định Ta xác dịnh dấu trên khoảng cách xét giá trị đặc biệt Đôi ta cần tính thêm f”(x) để xét dấu f’(x) Ví du : Xét chiều biến thiên hàm số : y x D = \ {0} y' x2 x Chiều biến thiên x2 x2 Ta có y’ = x = Vậy hàm số đồng biến / (; 2) và (2;+), nghịch biến / ( 2 ; ) và ( ; ) Ví du : Xét chiều biến thiên hàm số : y = D= x - 2x + x - y’ = 4x2 − 4x + Ta có: y’ = với x = và y’ > x Bảng biến thiên : 1 1 Vì hàm số đồng biến / ; và ; hàm số đồng biến trên 2 Qua ví dụ ta thấy có thể mở rộng định lí sau : Mở rộng định lí GIả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng K a)Nếu f’(x) ≥ 0, x K thì hàm số f đồng biến trên K b)Nếu f’(x) 0, x K thì hàm số f nghịch biến trên K ( f’(x) = số hữu hạn điểm ) H1 Xét chiều biến thiên a) y = 3 10 x - x + 2x - ; b) y = 2x + 5x + x 3 Ví dụ : Xét chiều biến thiên hàm số f(x) = - x D = (– ;3] Hàm số f liên tục trên (–;3] 1 f '( x ) x ;3 Vậy f nghịch biến trên (–;3] 3x Ví dụ 4: Chứng minh hàm số y = x3 3x2 + 3x + là đồng biến trên D= y’= x2 – 6x + = 3(x–1)2 y’= x = Lập BBT ta có :hàm số đồng biến trên (–; 1] và [ 1;+) f đồng biến trên Ví dụ 5*: Chứng minh: sinx + tanx > 2x với x 0; 2 Lop12.net (3) Giải: Xét f(x) = sinx + tanx – 2x liên tục trên 0; ta có f '( x ) cos x 2 cos2 x 2 Với x (0; ) ta có < cosx < cosx > cos2x nên 0; Suy ra: f(x) > f(0) với x 0; hay sinx + tanx > 2x x 0; 2 Ví dụ 6*: Cm y f ( x ) cos x x nghịch biến trên f’(x) >cos2x + (cos2 x 1)2 − = >0 Vậy f đồng biến trên cos2 x cos2 x Ta có f liên tục trên và f '( x ) 2 sin x 2(sin x 1) x k Vậy f nghịch biến trên đọan k ; (k 1) 4 f nghịch biến trên f’(x) = x Bài tập SGK (Cơ bản) Bài 1: Xét đồng biến và nghịch biến hàm số 3 3 a) y = + 3x – x2 KQ: đồng biến / ; , nghịch biến / ; ; 2 2 b) y = 1/3x +3x – 7x – KQ: đồng biến / ( ; 7) và (1 ; +), nghịch biến / (7 ; 1) ; c) y = x4 −2x2 + KQ: đồng biến /(1;0) và (1;+), nghịch biến / (;1) và(0;1) ; 2 2 d) y= − x3 +x2 − KQ: đồng biến / ; , nghịch biến / ( ; 0) và ; 3 Bài 2: Tìm các khoảng đơn điệu các hàm số: 3x a/ y = KQ : đồng biến trên các khoảng ( ; 1) và (1 ; +) 1 x x2 2x b/ y = KQ : nghịch biến trên các khoảng ( ; 1) và (1 ; +) 1 x c/ y = x x 20 2x d/ y= x 9 Bài 3: CMR y = KQ : nghịch biến trên ( ; 4) và đồng biến trên (5 ; +) ; KQ : nghịch biến trên ( ; 3) và (−3; 3) và (3 ; +) ; x đồng biến / (-1;1); nghịch biến / ( ;-1) và (1; ) x2 Bài 4: CMR y = x x đồng biến trên khoảng (0;1) và nghịch biến trên khoảng (1; 2) TXĐ:D = [0;2] BBT Vậy 1 x y’= hàm số đồng biến / (0;1) và 2x x2 nghịch biến / (1;2) Lop12.net (4) Bài 5: Chứng minh các bất đẳng thức sau: a/ tanx > x (0<x< ); b/ tanx > x + x3 (0<x< ) Xét hàm số g(x) = tanx - x liên tục / 0; và có: g’(x) = tan2x ,x 0; 2 g'(x) = x = nên g đồng biến trên 0; Do đó g(x) > g(0) = x 0; 2 2 b) g’(x) = tan2x − x2 = (tanx − x)(tanx + x) 0… Bài tập tự luyện Xét chiều biến thiên các hàm số sau : a/ y = 3x2 – 2x + b/ y = + 4x x2 d/ y = x 4x + e/ y = x4 + 4x2 + Xác định khoảng đơn điệu hàm số sau: a) y = x3– 3x2 + c/ y = ⅓ x3 + 6x2+11x + f/ y = ¼ x4 x2 b) y = −x3 + x2 – 5x + c) y = x4 – 8x2 + i/* y x2 2x x2 x x2 x x 1 1 f)* y = g/* y h/* y x x x 1 x 1 x KQ: a) Hs đồng biến / ( ;0) và (2; ); nghịch biến trên khoảng (0; 2) b) Hs nghịch biến trên R vì y’ = - x3 + 2x – < 0, x R c) Hs đồng biến /(-2; 0) và (2; ); nghịch biến / ( ;-2) và (0; 2) d) Hs đồng biến trên khoảng ( ;0); nghịch biến trên khoảng (0; ) e) Hs đồng biến / ( ;0) và (2; ); nghịch biến / (0; 1) và (1; 2) Chứng minh các hàm số sau đây đồng biến trên khoảng xác định a)* y = x3 + x − cosx −4 b) y = x3 − 6x2 + 17x + x 1 x2 x c) y = x3 3x2 + 3x + d) y e) y 2x x 1 e) y = Chứng minh rằng: y= a/ y = x + 3-x giảm / khoảng xác định c/ y 2x + d/ y x đồng biến / [2 ; +) nghịch biến /[-1; 0) và (0; 1] b/ x x x nghịch biến / [2 ; 4] e/ y x x nghịch biến / 5.* Chứng minh hàm số f(x) = x + cos2x đồng biến trên Vấn đề 2: Tìm m để hàm số tăng (giảm) Hàm số bậc ( hàm số hữu tỷ ) Tập xác định Đạo hàm y/ ( y’ = ax2 + bx + c = 0) Hàm số tăng (giảm) trên ( khoảng xác định): a a y/ x (hay ) Giải tìm m Chú ý: Nếu hệ số a y/ có chứa tham số thì phải xét a = Lop12.net (5) Hàm số biến : y ax b cx d Tập xác định Đạo hàm y/ Hàm số tăng (giảm) khoảng xác định : y/ > ( y/ < ) ad − bc (tử) > ( < ) Giải tìm m Chú ý : Nếu hệ số c có chứa tham số ta xét thêm c = 1) Với giá trị nào m thì y = 2x3-3(m+2)x2 + 6(m+1)x -3m +5 luôn đồng biến/ TXĐ: D = y’ = 6x2 – 6(m+2)x + 6(m+1) Hs luôn luôn đồng biến y’ 0, x x2 – (m+2)x + (m+1) a 0 … m2 m = 0 2) Tìm m để hàm số: y = mx m nghịch biến trên khoảng xác định xm m2 m ( x m) Hs nghịch biến trên khoảng xác định y’ 0, x D m2 +m -2 < -2< m<1 TXĐ: D = \ {- m} y’ = Bài tập tự luyện 1) Với các giá trị nào a thì hàm số y = ax – x3 nghịch biến trên (a ≤ 0) 2) Định m để y = f(x) = x3 - 3(m+1)x2 + 3(m +1)x+1 luôn đồng biến (1 m 0) 3) Tìm m để f(x) = mx xm đồng biến / khoảng xác định nó (m = 0) 4) Tìm m để hàm số y x 2mx m luôn đồng biến trên khoảng xác định nó xm (ĐS : m ≤ - V m ) 5) Tìm m để x (1 m )x m y xm luôn đồng biến (suy biến) (ĐS : m = - 1) 7)* Tìm m để hàm số y = x2.(m - x) - m đồng biến trên (1;2) (ĐS : m 3) 8) Tìm các giá trị tham số m để hàm số đồng biến / khoảng xác định a) f ( x ) 31 x mx x ; b) y = x + + Lop12.net m x 1 (6)