-Giáo viên lưu ý học sinh: Người ta gọi hai số a, b là hai cận tích phân, số a là cận dưới, số b la cận trên, f là hàm số dưới dấu tích phân, fxdx là biểu thức dưới dấu tích phân và x là[r]
(1)TRƯỜNG:THPT LẤP VÒ TỔ TOÁN TÍCH PHÂN BÀI Tiết 63-64 I Mục tiêu: a) Về kiến thức : khái niệm tích phân, diện tích hình thang cong, tính chất tích phân, -Học sinh hiểu bài toán tính diện tích hình thang cong và bài toán quãng đường vật - Phát biểu định nghĩa tích phân, định lí diện tích hình thang cong - Viết các biểu thức biểu diễncác tính chất tích phân b) Về kỹ năng:Học sinh rèn luyện kĩ tính số tích phân đơn giản Vận dụng vào thực tiễn để tính diện tích hình thang cong , giải các bài toán tìm quãng đường vật II Phương pháp : - Thuyết trình, kết hợp thảo luận nhóm và hỏi đáp - Phương tiện dạy học: SGK III Chuẩn bị: + Chuẩn bị giáo viên : - Phiếu học tập, bảng phụ + Chuẩn bị học sinh : - Hoàn thành các nhiệm vụ nhà - Đọc qua nội dung bài nhà IV Tiến trình tiết dạy : 1.Ổn định lớp : 2.Kiểm tra bài cũ : 5’ - Viết công thức tính nguyên hàm số hàm số hàm số thường gặp - Tính : ( x 1)dx - GV nhắc công thức : f ' x0 lim x x0 f x f x0 x x0 3.Vào bài Tiết1: Hoạt động 1: Tìm hiểu khái niệm tích phân qua bài toán diện tích hình thang cong GIÁO ÁN GIẢI TÍCH 12 NÂNG CAO Trang Lop12.net GIÁO VIÊN: TRẦN MINH TRÍ (2) TRƯỜNG:THPT LẤP VÒ Tg Hoạt động giáo viên I/Khái niệm hình thang cong y B H f(t)=t+1 Hoạt động Hs Nội dung ghi bảng A -1 O 10 ’ TỔ TOÁN D G C t x ( Hình 1) -Dựng hình thang ABCD biết các đường thẳng: AB: f(x)=x+1,AD: x=2, CB: x=6 và y = (trục hoành) -Tính diện tích S hình thang ABCD 73 20 -Lấy t 2;6 Khi đó diện tích hình t 1 t2 ( t ) t 4 S(t) = thang AHGDbằng bao nhiêu? 2 t 2;6 -S’(t) = ?.Khi đó S(t) và f(t) có liên hệ S’(t) = t+1= f(t) S(t) là nguyên nào ? hàm f(t) = t+1 -Tính S(6) , S(2) ? và S ABCD ? S(6) = 20,S(2) = Từ lập luận trên dẫn đến k/n hình thang và S ABCD = S(6)-S(2) cong và công thức tính d/t nó S= y B y= f (x) A x O a b -Giáo viên đưa bài toán: Tính diện tích hình thang cong aABb Giới hạn đồ thị hàm số liên tục y = f(x) , f(x) 0, trục Ox và các 2o đương thẳng x = a , x = b (a<b) ’ -Cho học sinh đọc bài toán sgk -Kí hiệu S(x) là diện tích hình thang cong giới hạn đồ thị (C) hàm số y = f(x), trục Ox và các đường thẳng qua a, x và song song Oy Hãy chứng minh S(x) là nguyên hàm f(x) trên [a; b] 1/ Hai bài toán dẫn đến khái tích phân: a) Diện tích hình thang cong -Bài toán 1: (sgk) -Bài toán tích diện tích hình phẳng y giới hạn đường cong có thể y= đưa bài toán tính diện tích số hình thang cong S(x) x o a x b Hình KH: S(x) (a x b ) GIÁO ÁN GIẢI TÍCH 12 NÂNG CAO Trang Lop12.net GIÁO VIÊN: TRẦN MINH TRÍ (3) TRƯỜNG:THPT LẤP VÒ TỔ TOÁN y y=f(x) F E f(x) f(x ) -Giả sử x0 là điểm tùy ý cố định thuộc (a ; b) *Xét điểm x (a ; b ] -Diện tích hình thang cong MNEQ? -Dựa vào hình so sánh diện tích SMNPQ , SMNEQ và SMNEF *f(x) liên tục trên [ a; b ] lim f x ? x x0 S ( x) S ( x0 ) ? - Suy lim x x0 x x0 *Xét điểm x [a ; b ) S ( x) S ( x0 ) ? Tương tự lim x x0 x x0 Từ (2) và (3) suy gì? SMNPQ < SMNEQ < SMNEF lim f x f(x0) x x0 lim x x0 S ( x) S ( x0 ) f(x0) (2) x x0 3’ x a x x0 S ( x) S ( x0 ) lim f(x0) (3) x x0 x x0 S ( x) S ( x0 ) lim f(x0) x x0 x x0 S(x) là nguyên hàm f(x) trên S(x) = F(x) +C (C: là số) [ a; b ] ta biểu diễn S(x)? * SMNEQ = S(x) – S(x0) S =? P x M N b Hình *Xét điểm x (a ; b ] SMNEQ là S(x) – S(x0) Ta có:SMNPQ < SMNEQ < SMNEF f(x0)(x-x0)<S(x)-S(x0)<f(x)(xx0) S(x) - S(x ) <f(x) (1) f(x0)< x - x0 Vì lim f x f(x0) SMNEQ = S(x) – S(x0) Q xo S = S(b) – S(a) -Giáo viên củng cố kiến thức BT1 + Giả sử y = f(x) la hàm số liên tục và f(x) trên [ a; b ] Khi đó diện tích hình thang cong giới hạn đồ thị (C) hàm sốy = f(x), trục Ox và đường thẳng x = a, x = b là S = F(b) – F(a) đó F(x) là nguyên hàm bất kì hàm số f(x) trên [ a; b ] (1) lim x x0 S ( x) S ( x0 ) f(x0)(2) x x0 *Xét điểm x [a ; b ) S ( x) S ( x0 ) Tương tự: lim x x0 x x0 f(x0)(3) Từ (2) và (3)ta có: S ( x) S ( x0 ) lim f(x0) x x0 x x0 Hay S’ (x) = f(x0) Suy S’ (x) = f(x) (vì x (a ; b ) nên suy S’ (a) = f(a),S’(b) = f(b) Vậy S(x) là nguyên hàm f(x) trên [ a; b ] S(x)= F(x) +C (C: là số) S = S(b) – S(a) = (F(b) +C) – (F(a) + C) = F(b) – F(a) GIÁO ÁN GIẢI TÍCH 12 NÂNG CAO Trang Lop12.net GIÁO VIÊN: TRẦN MINH TRÍ (4) TRƯỜNG:THPT LẤP VÒ 7’ -Giáo viên định hướng học sinh giải nhiệm vụ phiếu học tập số -Tìm họ nguyên hàm f(x)? -Chọn nguyên hàm F(x) f(x) họ các nguyên hàm đã tìm ? -Tính F(1) và F(2) Diện tích cần tìm ? TỔ TOÁN -Học sinh tiến hành giải định hướng giáo viên: x5 C ( C là I = x dx = số) x5 Chọn F(x) = GIẢI: 32 , F(2) = 5 31 (dvdt ) S = F(2) –F(1) = F(1) = F(1) = x5 C x5 Chọn F(x) = ( C là số) I= x dx = 32 , F(2) = 5 31 (đvdt ) S = F(2) –F(1) = Tiết2: Hoạt động 2: Tìm hiểu khái niệm tích phân qua bài toán diện tích hình thang cong Tg 8’ 5’ Hoạt động giáo viên -Giáo viên định hướng học sinh giải bài toán (sgk) +Gọi s(t) là quãng đường vật thời điểm t Quãng đường khoảng thời gian từ thời điểm t = a đến thời điểm t = b là bao nhiêu? + v(t) và s(t) có liên hệ nào? +Suy f(t) và s(t) có liên hệ nào? +Suy s(t) và F(t) có liên hệ nào? +Từ (1) và (2) hãy tính L theo F(a) và F(b)? -Giáo viên định hướng học sinh giải nhiệm vụ phiếu học tập +Tìm họ nguyên hàm f(t)? +Lấy nguyên hàm F(t) f(t) họ các nguyên hàm đã tìm +Tính F(20) và F(50)? +Quãng đường L vật khoảng thời gian từ t1 =20 đến t2=50 liên hệ nào với F(20) và F(50) Hoạt động Hs -Học sinh tiến hành giải định hướng giáo viên Quãng đường khoảng thời gian từ thời điểm t = a đến thời điểm t = b là : L = s(b) – s(a) (1) Nội dung ghi bảng b, Quãng đường đượccủa1 vật Bài toán 2: (sgk) CM: Quãng đường khoảng thời gian từ thời điểm t = a đến thời điểm t = b là : L = s(b) – s(a) (1) v(t) = s’(t) v(t) = s’(t) s’(t) = f(t) s’(t) = f(t) s(t) là nguyên hàm f(t) suy tồn C: s(t) = F(t) +C (2) Từ (1) và (2) L= F(b)–F(a) s(t) là nguyên hàm f(t) suy tồn C: s(t) = F(t) +C (2) Từ (1) và (2) L= F(b)–F(a) -Học sinh tiến hành giải định hướng giáo viên GIẢI: I = (3t 2)dt t 2t C F(t) = t2 2t F(20) = 640 ; F(50) = 3850 Suy L = F(50)–F(20)=3210(m) I = (3t 2)dt t 2t C F(t) = t2 2t F(20) = 640 ; F(50) = 3850 Suy L = F(50)–F(20)=3210(m) GIÁO ÁN GIẢI TÍCH 12 NÂNG CAO Trang Lop12.net GIÁO VIÊN: TRẦN MINH TRÍ (5) TRƯỜNG:THPT LẤP VÒ TỔ TOÁN Hoạt động 3: Tìm hiểu khái niệm tích phân Tg 7’ -Giáo viên nêu định nghĩa tích phân (sgk) -Giáo viên nhấn mạnh Trong Học sinh tiếp thu và ghi nhớ 2/Khái niệm tích phân Định nghĩa: (sgk) b trường hợp a < b, ta gọi f ( x)dx là a tích phân f trên đoạn [a ; b ] Giáo viên yêu cầu học sinh trả lời câu hỏi (H2) Gợi ý: -Gọi F(x) = g(x) +C là họ các nguyên hàm f(x) Học sinh tiến hành giải định hướng giáo viên b Giả sử: F(x) = f ( x)dx = g(x)+C a 5’ -Chọn nguyên hàm F1(x) = g(x)+C1 bất kì họ các nguyên hàm đó -Tính F1(a), F1(b)? Chọn F1(x) = g(x)+C1 bất kì F1(a) = g(a)+C1 F1(b) = g(b)+C1 b -Tính f ( x)dx ? a b f ( x)dx = [g(b)+C1]-[g(a)+C1] a -Nhận xét kết thu -Giáo viên lưu ý học sinh: Người ta còn dùng kí hiệu F(x)| ba để hiệu số F(b) -F(a) -Hãy dùng kí hiệu này để viết b f ( x)dx a = g(b) – g(a) Không phụ thuộc vào cách chọn C1 đpcm Học sinh tiếp thu , ghi nhớ Người ta còn dùng kí hiệu F(x)| ba để hiệu số F(b) -F(a).Như F là nguyên hàm f tr b Giả sử F(x) là nguyên hàm a b f(x) thì: k thì : f ( x)dx = F(x)| ba f ( x)dx = F(x)| ba a -Giáo viên lưu ý học sinh: Người ta gọi hai số a, b là hai cận tích phân, số a là cận dưới, số b la cận trên, f là hàm số dấu tích phân, f(x)dx là biểu thức dấu tích phân và x là biến số lấy tích phân -Giáo viên định hướng học sinh Học sinh giải định 15’ giải nhiệm vụ phiếu học hướng giáo viên: tập số GIÁO ÁN GIẢI TÍCH 12 NÂNG CAO Trang Lop12.net GIÁO VIÊN: TRẦN MINH TRÍ (6) TRƯỜNG:THPT LẤP VÒ TỔ TOÁN Giải: a) 2xdx -Tìm nguyên hàm 2x? -Thay các cận vào nguyên hàm trên a) 2xdx = x2| 15 = 25 – = 24 a) 2xdx = x2| 15 = 25 – = 24 1 /2 sin xdx b) -Tìm nguyên hàm sinx? -Thay các cận vào nguyên hàm trên /3 dx c) / cos x -Tìm nguyên hàm ? cos x -Thay các cận vào nguyên hàm trên /2 sin xdx = - cosx | b) /2 /2 =- (0 -1) sin xdx = - cosx | b) 0 =- (0 -1 =1 =1 /3 c) /2 dx = tanx| // 34 = / cos x /3 1 c) dx = tanx| // 34 = / cos x 1 d) dx x ? x -Thay các cận vào nguyên hàm trên -Tìm nguyên hàm +Với định nghĩa tích phân trên, kết thu bài toán phát biểu lại nào? -Giáo viên thể chế hóa tri thức, đưa nội dung định lý 1:Cho hàm số y = f(x) liên tục và không âm trên K; a và b là hai số thuộc K ( a<b) Khi đó diện tích S hình thang cong giới hạn đồ thị hàm số y = f(x) trục hoành và đường 4 dx = ln|x|| 42 = ln4 – ln2 =ln 2 x = ln2 Học sinh thảo luận theo nhóm trả lời d) 4 dx = ln|x|| 42 = ln4 – ln2 =ln 2 x = ln2 d) ĐỊNH LÍ1: Cho hàm số y = f(x) liên tục và không âm trên K; a và b là hai số thuộc K ( a<b) Khi đó diện tích S hìn thang cong giới hạn đồ thị hà số y = f(x) trục hoành và đường thẳng x = a, x =b là: b b 5’ thẳng x = a, x =b là: S = S= f ( x)dx a -Giáo viên hướng dẫn học sinh trả lời H3 -Theo kết bài toán quãng đường vật từ điểm a đến thời điểm b tính nào? -Dựa vào định nghĩa tích phân hãy viết lại kết thu được? f ( x)dx a Học sinh giải định hướng giáo viên: Theo kết bài toán Quãng đường vật từ điểm a đến thời điểm b là: L = F(b) –F(a) F(x) là nguyên hàm f(x) Theo định nghĩa tích phân b f ( x)dx = F(b) –F(a) a b f ( x)dx = F(b) –F(a) a b b L= Theo kết bài toán Quãn đường vật từ điểm a đến thời điểm b là: L = F(b) –F(a) F(x) là nguyên hàm f(x) Theo định nghĩa tích phân f ( x)dx a (đpcm) L= f ( x)dx (đpcm) a GIÁO ÁN GIẢI TÍCH 12 NÂNG CAO Trang Lop12.net GIÁO VIÊN: TRẦN MINH TRÍ (7) TRƯỜNG:THPT LẤP VÒ TỔ TOÁN Tiết3: Hoạt động 4: Tìm hiểu các tính chất tích phân; Tg Hoạt động giáo viên -Giáo viên phát biểu định lí 2(sgk) -Giáo viên định hướng học sinh chứng minh các tính chất trên: Giả sử F là nguyên hàm f, G là nguyên hàm g 15’ Hoạt động Hs Học sinh tiếp thu và ghi nhớ Học sinh thực định hướng giáo viên Nội dung ghi bảng Tính chất tích phân ĐỊNH LÍ2: (sgk) CM:(Giáo viên HD chứng minh tín chất 3,4,5) a 1) f ( x)dx = a a -Nguyên hàm f(x) ? -Thay các cận vào nguyên hàmtrên? b a a a b f ( x)dx = F(x)| b 1) f ( x)dx = F(x)| aa =F(a) – F(a)= a b f ( x)dx = - f ( x)dx 2) a f ( x)dx = F(x)| aa = F(a) – F(a) = b a 2) f ( x)dx = F(x)| ba = F(b) – F(a) = F(b) – F(a) a a b f ( x)dx = ? a a a b f ( x)dx = F(x)| = F(a) – F(b) b f ( x)dx = ? b b b f ( x)dx b b c c f ( x)dx + f ( x)dx =F(x)| a b c b a f ( x)dx f ( x)dx b b b a +F(x)| b 3) f ( x)dx + a =F(b) – F(a) + F(c) – F(b)= F(c) – F(a) c = F(a) – F(b) a f ( x)dx = - a b f ( x)dx + f ( x)dx = a b b a f ( x)dx = - a 3) a f ( x)dx = F(x)| a c f ( x)dx =F(x)| b a b c b +F(x)| =F(b) – F(a) + F(c) – F(b)= F(c) – F(a) a b f ( x)dx = ? c a c f ( x)dx = F(x)| f ( x)dx = F(x)| ca = F(c) – F(a) a c f ( x)dx = ? c f ( x)dx = ? a b c c a b a f ( x)dx + f ( x)dx = f ( x)dx f ( x) g ( x)dx F ( x) G( x) a b a 4) F(x) là nguyên hàm f(x), G(x) là nguyên hàm g(x) nguyên hàm f(x) + g(x) =? b f ( x) g ( x)dx ? b 4) = F(c) – F(a) a b c a a b a c a b a f ( x)dx + f ( x)dx = f ( x)d b 4) f ( x) g ( x)dx F ( x) G( x) a b b b f ( x)dx + g ( x)dx = F(x)| c = F (b) G (b) F (a) G (a) = F(b) – F(a) + G(b) – G(a) = F (b) G (b) F (a) G (a) = F(b) – F(a) + G(b) – G(a) b b +G(x)| ba a a f ( x)dx + g ( x)dx = F(x)| b a a a = F(b) – F(a) + G(b) –G(a) (đpcm) f ( x)dx + g ( x)dx = ? GIÁO ÁN GIẢI TÍCH 12 NÂNG CAO Trang Lop12.net +G(x) = F(b) – F(a) + G(b) –G(a) (đpcm) a b b a GIÁO VIÊN: TRẦN MINH TRÍ (8) TRƯỜNG:THPT LẤP VÒ 5) F(x) là nguyên hàm f(x) nguyên hàm kf(x)? b kf ( x)dx =? a b k f ( x)dx =? a 25’ Giáo viên định hướng học sinh giải nhiệm vụ phiếu học tập số Biểu thức tính chất 4? Áp dụng tính chất này tính tích phân trên? TỔ TOÁN b 5) kf ( x)dx = kF ( x) a =kF(b)- kF(a) = k[F(b) – F(a)] b =kF(b)- kF(a) = k[F(b) – F(a)] b k f ( x)dx = kF(x) =k[F(b) – F(a)] k f ( x)dx = kF(x) ba =k[F(b) – F b a a a b b a a kf ( x)dx = k f ( x)dx /2 (sin x cos x)dx I= a /2 (sin x cos x)dx = sin xdx cos xdx = - cos2x | 0 / - sinx | 0 / 2 = - (cos - cos0 ) - sin -sin0 2 =0 x dx /2 0 sin xdx cos xdx cos2x | 0 / - sinx | 0 / 2 = - (cos - cos0 ) - sin -sin 2 =0 =- J= x dx 2 3 = ( x 2)dx + ( x 2)dx = ( x 2)dx + ( x 2)dx = [- a = b I= /2 b kf ( x)dx = k f ( x)dx Học sinh thực định hướng giáo viên J= Áp dụng tính chất tính tích phân trên? 5) kf ( x)dx = kF ( x) ba a Xét dấu x – trên [1: 3]? b b a 2 x2 x2 x ] 12 +[ x ] 32 = 2 x x2 = [- x ] +[ x ] 32 2 =1 IV CỦNG CỐ:5’ - Phát biểu lại kết cuă bài toán tính diện tích hình thang cong và bài toán quãng đường vật - Phát biểu định nghĩa tích phân, định lý diện tích hình thang cong - Viết các biểu thức biểu diễn các tính chất tích phân - Trả lời câu hỏi H5 V.NHIỆM VỤ VỀ NHÀ: -Xem lại bài toán tính diện tích hình thang cong và bài toán quãng đường vật -Học thuộc các tính chất tích phân - Giải bài tập sách giáo khoa - Bài tập làm thêm: 1) Tính diện tích hình thang cong giới hạn đồ thị hàm số y = -2x2 +3x +6 ,trục hoành , trục tung và đường thẳn x =2 2) Tính : I = x x dx 2 GIÁO ÁN GIẢI TÍCH 12 NÂNG CAO Trang Lop12.net GIÁO VIÊN: TRẦN MINH TRÍ (9) TRƯỜNG:THPT LẤP VÒ TỔ TOÁN VI PHỤ LỤC Phiếu học tập số Tính diện tích hình thang cong giới hạn đồ thị hàm số y = x4 trục hoành và hai đường thẳng x =1 , x =2 Phiếu học tập số Vật chuyển động thẳng có vận tốc thay đổi theo thời gian v = f(x) = 3t + m/s Tìm quãng đường L vật đư khoange thời gian từ t1 = 20 s đến t2 = 50 s? Phiếu học tập số Tính giá trị các tích phân sau: /2 a) 2xdx b) /3 sin xdx c) dx / cos x d) dx x Phiếu học tập số Tính các tích phân sau: /2 I= (sin x cos x)dx , J= GIÁO ÁN GIẢI TÍCH 12 NÂNG CAO x dx Trang Lop12.net GIÁO VIÊN: TRẦN MINH TRÍ (10)