Giả sữ fx , gx và αx là hững hàm số trên một tập hợp con D của R .Khi đó bất phương trình logαxfx > logαxgx tương đương với 2 hệ bất phương trình :... BAØI TẬP CÓ HƯỚNG DẪN GIẢI..[r]
(1)VẤN ĐỀ BAÁT PHÖÔNG TRÌNH LOGARITMUÕ VAØ HEÄ BAÁT PHÖÔNG TRÌNH LOGARIT-MUÕ 121 Lop12.net (2) Vấn đề Baát phöông trình Logarit-Muõ vaø heä baát phöông trình Logarit-Muõ A TOÙM TAÉT LYÙ THUYEÁT I Giả sử f(x) và g(x) là hai hàm số xác định trên tập D R, đó : a) Neáu a > thì baát phöông trình logaf(x) > logag(x) ⎧g ( x ) > ⎪ (1) tương đương với hệ bất phương trình ⎨ f ( x ) > g ( x ) ⎪ ⎩( x ∈ D ) b) Nếu < a < thì bất phương trình (1) tương đương với hệ bất phöông trình : ⎧ f ( x) > ⎪ ⎨ f ( x) < g( x) ⎪ ⎩( x ∈ D ) II Giả sữ f(x) , g(x) và α(x) là hững hàm số trên tập hợp D R Khi đó bất phương trình logα(x)f(x) > logα(x)g(x) tương đương với hệ bất phương trình : ⎧α ( x ) > ⎧0 < α ( x ) < ⎪ ⎪ ⎪g ( x ) > ⎪ f ( x) > hay ⎨ ⎨ ⎪ f ( x) > g( x) ⎪ f ( x) < g( x) ⎪ x∈D ⎪ x∈D ) ) ⎩( ⎩( 122 Lop12.net (3) B BAØI TẬP CÓ HƯỚNG DẪN GIẢI Baøi Giaûi baát phöông trình sau : log x (3 x ) ≤ ( ) log 3x Giaûi Ñieàu kieän x > vaø x ≠ ⎡⎧log3x < (1) ⎢⎨ ⎢⎩log(3x ) ≥ Bpt ⇔ ⎢ log 3x ≥ ⎢⎧⎪ x (2) ⎨ ⎢⎪[log x (3x )]2 ≤ log x (3x ) ⎣⎩ ⎧log x x < log x ⎧(x − 1)(3 x − 1) < ⇔ ⎨ ⇔x> Giaûi (1) ⇔ ⎨ 3 ⎩(x − 1)(3 x − 1) < ⎩log(3x ) ≥ log x (a) ⎧x > ⎪ Giaûi (2) ⇔ ⎨(x − 1)(3 x − ) > ⎪ ⎩(log x + 1) ≤ log x + (*) (*) ⇔ log 2x + log x − ≤ ⇔ -2 ≤ logx ≤ 1 ⎧ ⎪0 < x < ∨ x > (2) ⇔ ⎨ ⎪⎩− ≤ log x ≤ ⎡⎧ < < x ⎢ ⎪⎪ ⎡⎧ ⎢⎨ ⎢⎪0 < x < ⎢⎪ ≥ ≥ x ⎢⎨ ⎪ − ≤ log ≤ ⇔ ⎢⎩ ⇔ ⇔ ⎢⎪⎩ x x ⎢ ⎢ ⎢⎧ x > ⎢⎧ x > ⎨ ⎢⎪⎨ ⎢⎣⎩− ≤ log x ≤ ⎢⎪ ≤ ≤ x ⎣⎩ x ⎡ ⎢0 < x ≤ ⎢ ⎢⎣ x ≥ (b ) (c ) Hợp (a) và (b) và (c) ta có x > Baøi 123 Lop12.net (4) log2(1 + log x – log9x) < Giaûi baát phöông trình sau : Giaûi Ñieàu kieän : x > ⇔ – log9x – log9x < (với x > 0) ⇔ – 2log9x < ⇔ log9x > − 1 ⇔ log 9x > − log33 ⇔ x > 2 Baøi Giaûi baát phöông trình sau : lg x + < lg x Giaûi Ñieàu kieän : x > (1) ⇔ 3lgx.9 < 32lgx.35 – (với x > 0) ñaët t = 3lgx +5 − (1) ⎡ ⎢t > 2 bpt ⇔ 9t < 243t – ⇔ 243t – 9t – > ⇔ ⎢ ⎢t < − 27 ⎣⎢ • Với t > : ⎛1⎞ > ⇔⎜ ⎟ ⎝3⎠ − lg x ⎛1⎞ > ⎜ ⎟ ⇔ -lgx < ⇔ lgx > -2 = -2lg10 ⎝ 3⎠ ⇔ x > 10-2 ⇔ x > 100 : • Với t < − 27 3lgx < − : baát phöông trình voâ nghieäm 27 KL : nghieäm cuaû baát phöông trình laø : x > 100 lgx 124 Lop12.net (5) Baøi Giaûi baát phöông trình : log7x > log3(2 + x ) (**) Giaûi Ñieàu kieän x > , ñaët log7x = t ⇔ x = 7t Baát phöông trình (**) t ⇔ t > log3(2 + t ⎛ ⎞ ⎛⎜ ⎞⎟ t ) ⇔ > + ⇔ > ⎜ ⎟ + ⎜ = f(t) ⎝ ⎠ ⎝ ⎟⎠ t t Do f(t) laø haøm nghòch bieán treân R , f(2) = neân baát phöông trình (**) ⇔ f(t) < f(2) ⇔ t > ⇔log7x > ⇔ x > 72 = 49 Baøi Giaûi baát phöông trình : 2-x Xeùt f(x) = 32− x + − 2x ≥ (*) 4x − (Đại học luật 1996) Giaûi - 2x + nghịch biến trên R , f(2) = , g(x) = 4x – đồng ⎛1⎞ ⎝2⎠ bieán treân R , g ⎜ ⎟ = Baát phöông trình (*) ⇔ f (x) ≥0 g( x ) ⎧⎧f ( x ) ≥ = f (2) ⎧⎧ x ≤ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎨g( x ) > = g⎛⎜ ⎞⎟ ⎪⎨ x> ⎪ ⎪⎪⎪⎩ ⎝ ⎠ ⎪⎩ ⇔ ⎨ ⇔⎨ ⇔ <x≤2 ⎪⎧f ( x ) ≤ = f (2) ⎪⎧⎪x ≥ ⎪ ⎪⎨ ⎛ ⎞ ⎪⎨ ⎪⎪g( x ) < = g⎜ ⎟ ⎪⎪x < ⎪⎩⎩ ⎝ ⎠ ⎩⎩ Vaäy baát phöông trình coù ngheäm laø <x≤2 125 Lop12.net (6) Baøi Với giá trị nào m thì : y = log [(m +1)x − mx − m ] có tập nghiệm xác ñònh laø R Giaûi Yêu cầu đầu bài cho ta (m + 1)x2 – 2mx – m > (*) , ∀x ∈ R • m = -1 : 0.x2 + 2x + > ⇔ x > ⎛ ⎞ ⎜ − ,+∞ ⎟ ⊂ R nên không thỏa yêu cầu (*) đúng ∀x ∈ R ⎝ ⎠ ⎧⎪m + m + < ⎧m ∈ ∅ ⎧∆ ' < • m ≠ -1 (*) ⇔ ⎨ ⇔ ⎨ ⇔ ⎨ ⎪⎩m > −1 ⎩m + > ⎩m > −1 ⇔m∈∅ Keát luaän : m ∈ ∅ Baøi Giaûi baát phöông trình : ( x − 8e x −1 > x x e x −1 − ) (Đại Học Xây Dựng 2001) ( ) Giaûi x − 8e x −1 > x x e x −1 − ⇔ x(x3 + 8) – ex-1(x3 + 8) > ⇔ (x3 + 8) (x – ex-1) > (*) Xeùt haøm soá : f(x) = x – ex-1 f’(x) = – ex-1 = ⇔ x = Baûng bieán thieân : +∞ x -∞ f’(x) + f(x) +∞ -∞ Baûng bieán thieân cho : f(x) ≤ ; ∀x ∈ R (f(x)=0⇔x=1) Deå thaáy x = khoâng thoûa (*) Vậy : f(x) < ∀x ≠ Khi đó : (*) ⇔ x3 + < ⇔ x < -2 126 Lop12.net (7) Baøi Tìm m cho bất phương trình sau đây nghiệm đúng với x logm (x2 – 2x + m + 1) > (Đại học Đà Nẳng ) Giaûi Ta coù : Logm (x2 – 2x + m + 1) > ⎡⎧0 < m < ⎢⎨ ⎢⎩x − x + m + < ⇔ ⎢ m >1 ⎢⎧⎨ ⎢⎣⎩x − x + m + < ⎡⎧0 < m < (1) ⎢⎨ ⎢⎩x − x + m < ⇔ ⎢ m >1 ⎢⎧⎨ ( 2) ⎢⎣⎩x − x + m > Xeùt (1) : ta thaáy x2 –2x +m < khoâng theå xaûy vôi moïi x Xét (2) :x2 – 2x + m > nghiệm đúng với x thuộc R ⇔ ∆ ' < ⇔ – m < ⇔ m >1 Vậy: m > thì bất phương trình đã cho nghiệm đúng với x Baøi 10 Tìm tất các giá trị x thoả x > nghiệm đúng bất phương trình sau : log 2( x2 + x ) ( x + m − 1) < với giá trị m : < m ≤ m (Đại học Giao thông vận tải ) Giaûi Vì x > ⇒ 2(x2 + x) > ; cùng với < m ≤ ⇒ 2( x + x ) > vaø x + m – > m Bất phương trình đã cho viết thành : 127 Lop12.net (8) x+ m –1 < 2( x + + x ) m ⇔ 2x2 + (2 – m) x – m2 + m > ⇔ (x – m + 1) (2x + m) > ⇔x>m–1 ( vì 2x + m > 0) Vì x > vaø < m ≤ ⇒ x > Baøi 10 Giaûi baát phöông trình : 2x + 23-x ≤ (Đại học Kỹ thuật công nghệ thành phố Hồ Chí Minh , khối A naêm1998 – 1999) Giaûi Đặt t = 2x với t > ta : t2 – 9t + = Tam thức bậc hai theo t có nghiệm là và Tam thức âm vaø chæ ≤ t ≤ Từ đó suy nghiệm bất phương trình là ≤ x ≤ Baøi 11 a) Giaûi baát phöông trình 22x+1 – 9.2x + ≤ (1) b) Định m để nghiệm bất phương trình (1) là nghiệm cuûa baát phöông trình : (m2 + 1)x + m(x + 3) + > (Đại học An ninh – Đại học cảnh sát , khối G năm 1998 – 1999) Giaûi a) Ta coù : 22x+1 – 9.2x + ≤ (1) ⇔ 2.22x = 9.2x + ≤ Ñaët t = 2x > , ta seõ coù : (1) ⇔ 2t2 – 9t + ≤ vaø Tam thức âm : ≤t≤4 ≤ 2x ≤ hay 2-1 ≤ 2x ≤ 22 Do đó ta có : Nghiệm tam thức theo t là Đáp số : –1 ≤ x ≤ b) (m2 + 1)x + m(x + 3) + > (2) 128 Lop12.net (9) ⇔ (m2 + m + 1)x + 3m + > Ñaët f(x) = (m2 + m + 1)x + 3m + Moïi nghieäm cuûa (1) laø nghieäm cuûa (2) vaø chæ f(x) > 0, ∀x ∈ [-1 , 2] ⎧ f (− 1) > ⇔0<m<2 ⎩ f (2) > ⇔ ⎨ Đáp số : < m < Baøi 12 Giaûi baát phöông trình : log x x−5 6x ≥− (Đại học An ninh – Đại học cảnh sát , khối A năm 1998 – 1999) Giaûi Ta phaûi coù ñieàu kieän x > vaø x ≠ log x Trường hợp < x < (1) ⇔ x−5 6x ≤ x−5 6x ≥− 1 = log x3 (1) x ⇔ ⏐5 - x⏐ ≤ ⇔ x ≥ -1 ⇔ < x < (vì < x ≠ 1) x Trường hợp x > ⎡ x ≤ −1 ⎣ x ≥ 11 (1) ⇔ ⏐x - 5⏐ ≥ ⇔ ⎢ Do đó ta có < x < hay x ≥ 11 Baøi 13 Tìm tham soá a cho baát phöông trình sau ñaây töông ñöông : ⎧(a − 1)x − a + > ⎨ ⎩(a + 1)x − a + > (Cao ñaúng Haûi quan naêm 1998) Giaûi Xeùt a = -1 Hai bất phương trình đã cho có dạng –2x > -4 ; Ox > -3 Hai baát phöông trình aáy khoâng töông ñöông 129 Lop12.net (10) Xét a > : Nghiệm bất phương trình thứ là x > nghiệm bất phương tình thứ hai là x > a−2 a +1 a−3 vaø a −1 Muốn cho bất phương trình đó tương đương thì phải có : a−3 a−2 = ⇒a=5 a −1 a +1 Bằng cách tương tự a < -1 hay –1 < a < ta có hai phương trình khoâng töông ñöông Keát luaän : Hai baát phöông trình töông ñöông a = Baøi 14 Giaûi baát phöông trình : log2x + log3x < + log2x.log3x (Đại học ngoại thương , khối A năm 1998 – CSII) Giaûi Bất phương trình tương đương với : log2x(1 – log3x) – (1 - log3x) < ; (x > 0) ⇔ (1 - log3x)(log2x – 1) < Có thể xảy trường hợp : • ⎧1 − log x > ⇔0<x<2 ⎨ x log − < ⎩ • ⎧1 − log x < ⇔x>3 ⎨ ⎩log x − > ⎡0 < x < ⎣x > Vaäy nghieäm cuûa baát phöông trình laø : ⎢ 130 Lop12.net (11) Baøi 15 Tìm taát caû caùc giaù trò cuûa tham soá m cho baát phöông trình sau ñaây thoả mãn với x ≤ ; x ≥ 2 m x − x + (m+1) 10 x − x - 251+ x − x >0 Giaûi Ta coù : 2 m x − x + (m+1) 10 x − x - 251+ x − x ⎛5⎞ ⇔ m + (m + 1) ⎜ ⎟ ⎝2⎠ ⎛5⎞ Ñaët : y = ⎜ ⎟ ⎝2⎠ x−x2 ⎡⎛ ⎞ x − x - 25 ⎢⎜ ⎟ ⎢⎣⎝ ⎠ ⎤ ⎥ ⎥⎦ >0 >0 x−x2 >0 Khi x ≥ , x ≤ , ta coù : x – x2 ≤ Vaäy < y ≤ Ta đưa bài toán : Tìm m để bất phương trình f(y) = 25y2 - (m + 1) y – m < thoả mãn với y cho < y ≤ ⇔ f(y) có nghiệm y1 ; y2 thoả y1 ≤ < < y2 ⎧f (0) ≤ ⎩f (1) < ⇔ ⎨ ⎧− m ≤ ⎩− 2m + 24 < ⇔ ⎨ ⇔ m > 12 131 Lop12.net (12) Baøi 16 Giaûi baát phöông trình : log 21 ( x − 5) + log 5 ( x − 5) + log ( x − 5) − log 25 ( x − 5) + ≤ 25 Với giá trị nào m thì bất phương trình trên và bất phương trình sau: (x – m)(x – 35) ≥ chæ coù moät nghieäm chung nhaát Giaûi 1/ log1 (x − 5) + 3log5 (x − 5) + log (x − 5) − log25 (x − 5) + ≤ (1) 25 ⇔ log 52 ( x − 5) + log ( x − 5) − log ( x − 5) − log ( x − 5) + ≤ Ñaët y = log5(x – 5) (1) ⇔ y2 – 3y + ≤ ⇔ ≤ y ≤ Vaäy ≤ log5(x – 5) ≤ ⇔ ≤ x – ≤ 25 ⇔ 10 ≤ x ≤ 30 2/ (x – m)(x – 35) ≥ (1) • Trường hợp : m ≥ 35 ⎡x ≥ m ⎣ x ≤ 35 (không thoả) (1) ⇔ ⎢ • Trường hợp : m < 35 ⎡x ≤ m ⎣ x ≥ 35 (1) ⇔ ⎢ (1) coù nghieäm nhaát [10;30] ⇔ m = 10 132 Lop12.net (13) Baøi 17 Giaûi baát phöông trình : log2 log2 (x (x ) + − x − + log x ≤ Giaûi ) + − x − + log x ≤ ⎧⎪ x + − x − > ⎪⎩x > Ñieàu kieän cuûa nghieäm: ⎨ Khi đó : log2x < và ⇒ log2 (x ⇔ 0<x<1 x + − ( x + 1) < ) + − x2 −1 < Vậy vế trái bất phương trình luôn âm với < x < Nghieäm cuûa baát phöông trình laø : < x <1 Baøi 18 Tìm tất các giá trị m để bất phương trình : log (2 x − x + 2m − 4m ) + log ( x + mx − 2m ) = (1) có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 và thoả : x 12 + x 22 > (1) ⇔ Giaûi Log2(2x – x + 2m – 4m2) = log2(x2 + mx – 2m2) ⎧⎪2 x − x + 2m − 4m = x + mx − 2m ⎪⎩x + mx − 2m > ⇔ ⎨ ⎧ ⎡ x = 2m ⎧⎪x − (m + 1) x + 2m(1 − m) = ⎪⎢ ⇔ ⎨ ⇔ ⎨⎣ x = − m ⎪⎩x + mx − x > ⎪ 2 ⎩x + mx − 2m > Điều kiện bài toán : 133 Lop12.net (14) ⎧4 m > ⎧(2m) + m(2m) − 2m > ⎪ ⎪ − 2m − m + > 2 ⎪ ( m ) m ( m ) m − + − − > ⎪ ⎪ ⇔ ⎨ ⇔ ⎨5m − 2m > 2 ⎪(2m) + (1 − m) > ⎪ ⎪2 m ≠ − m ⎪m ≠ ⎩ ⎪⎩ ⎡− < m < ⇔ ⎢2 ⎢ <m< ⎣5 Baøi 19 Xác định các giá trị tham số m để bất phương trình sau đây có nghieäm : 4x − m.2 x +1 + − 2m ≤ Giaûi x − m.2 x +1 + − 2m ≤ x Ñaët : t = (t > 0) (1) ⇔ t − 2mt + − 2m ≤ ⇔ t2 + ≤ 2m t +1 Ñaët : f (t) = t2 + t1 f '(t) = ⇔ t=1 vaäy : f (t) ≤ 2m (t > 0) Ta coù : f '(t) = ∀t > ⇔ ≤ 2m t + 2t − (t + 1) ⇔ 1≤ m Löu yù : Daïng : g(T) ≤ m, T ∈ Dg (*), luoân coù nghieäm m ≥ Ming(T)T ∈ Dg Daïng : g(T) ≥ m, T ∈ Dg (*) lu6n coù nghieäm) ⇔ m ≤ Maxg(T), T ∈ Dg 134 Lop12.net (15) Baøi 20 Cho baát phöông trình : 2 m.92x − x − (2m + 1).62x − x + m.42x − x ≤ Xác định các giá trị tham số m để bất phương trình có nghiệm Giaûi 2 m.92x − x − (2m + 1).62x − x + m.42x − x ≤ ⎛3⎞ (1) ⇔ m ⎜ ⎟ ⎝2⎠ 2x − x ⎛3⎞ − ( 2m + 1) ⎜ ⎟ ⎝2⎠ 2x − x (1) +m≤0 ⎧g ( x ) = 2x − x ⎪⎪ g( x ) Ñaët : ⎨ ⎛3⎞ ⎪t = ⎜ ⎟ ⎩⎪ ⎝ ⎠ ⎛ 1⎤ ⎡1 ⎞ Ta khảo sát y = g ( x ) với x ∈ ⎜ −∞, − ⎥ ∪ ⎢ , +∞ ⎟ 2⎦ ⎣2 ⎝ ⎠ g ' ( x ) = 4x − Ta coù : x ≥ o ⎛3⎞ ⇒ g(x) ≥ ⇒ t ≥ ⎜ ⎟ = ⎝2⎠ (1) ⇔ mt − ( 2m + 1) t + m ≤ ( ) ⇔ m t − 2t + ≤ t ⇔ m ≤ t ( t − 1)2 ∀t > Bạn đọc có thể làm tương tự bài trên …… Baøi 21 Giaûi baát phöông trình : log a2 + log a x + > (cô soá a döông vaø khaùc ) log a x (Đề ĐH Bách Khoa Hà Nội ) Giaûi log a2 + log a x + > ( a > ; a ≠ 1) log a x − 135 Lop12.net (16) ⎧x > log a x ≠ ⇔ ⎨x ≠ a ⎩ Ñaët t = log a x , ta coù baát phöông trình theo t : t2 + t + t2 + >1⇔ >0 ⇔t–2>0⇔ t>2 t−2 t−2 ⎡ a >1 Vaäy log a x > ⇔ ⎢ x > a neáu < x <1 < < x a ⎣ Baøi 22 Tìm nghiệm phương trình : sin4x + cos4x = cos2x thoả mãn bất phöông trrình : + log (2 + x − x ) > (Đề ĐH Bách Khoa Hà Nội ) Giaûi sin 2x = cos2x ⇔ cos22x – 2cos2x + = ⇔ cos2x = ⇔ x = k π; k ∈ Z ⎧⎪2 + x − x > ⎧ (2) ⇔ ⎨log (2 + x − x ) ≥ −1 ⇔ ⎨2 + x 2− x > ⎩x − x ≤ ⎪⎩ ⎧⎪− < x < ⇔ ⎨⎡ x ≥ ⇔ ⎧⎨− < x ≤ ⎩1 ≤ x < ⎪⎩⎢⎣ x ≤ (1) ⇔ − Nghiệm (1) thoả mãn (2) ⎡ − < kπ ≤ ⇔ k = ⎢⎣1 ≤ kπ ≤ Vaäy x = 136 Lop12.net (17) Baøi 23 Giaûi caùc baát phöông trình : b) x − x −1 ⎛1⎞ ≥⎜ ⎟ ⎝3⎠ log ( x + 1) − log ( x + 1) a) x −2 x x − 3x − > (Đề ĐH Bách Khoa Hà Nội ) Giaûi a) Ñieàu kieän cuaû nghieäm : x2 – 2x ≥ ⇔ ⎡ x ≥ ⎢⎣ x ≤ ⇔ x −2x ⎛1⎞ ≥⎜ ⎟ ⎝ 3⎠ x − x −1 ⇔ x −2 x ≥3 x −1 − x x − 2x ≥ − x + x − (**) Vì ( x – 1)2 = x2 –2x + > x2 – 2x ⇒ x − > x − 2x ∀x ≥ x ≤ Vì theá (**) khoâng theå xaûy , − x ≥ hay x ≤ Vậy phải có x > ,do đó x > Lúc đó , (**) trở thành : x − 2x ≥ − x + x − = − , là hiển nhiên đúng Vaäy nghieäm cuûa (*) laø : x ≥ Caùch khaùc : Xeùt x > : ñöa veà daïng A ≥ B A ≤ B Xét x < : bạn hãy tự giải , dễ ⇒ đáp số b) Điều kiện x + > Nếu x + = thì tử thức , vô lý ; Nên phải có x + ≠ Lúc đó : log x +1 − log x +1 2 log2(x +1)2 – log3(x + 1)3 = − = log x +1 log x +1 log x +1 log x +1 ⎛9⎞ log x +1 ⎜ ⎟ ⎛9⎞ ⎝8⎠ = log ⎜ ⎟ log ( x + 1) = (log x +1 2)(log x +1 3) ⎝8⎠ 137 Lop12.net (18) Do đó : log ( x + 1) − log ( x + 1) x − 3x − > (1) trở thành : ⎛9⎞ ⎡⎧x > log ⎜ ⎟ log x +1 ⎢⎨x + > ⎝8⎠ ⇔ ⎡x > > ⇔ (x – 4)logx+12 > ⇔ ⎢⎩ ⎢⎣ x < x < ⎧ ( x + 1)( x − 4) ⎢⎨x + < ⎣⎩ Đối chiếu điều kiện − < x ≠ ta có nghiệm (1) là : x > − < x < Baøi 24 Giaûi baát phöông trình : log x − 5x + + log x − > log ( x + 3) 3 (Đề ĐH Bách Khoa Hà Nội ) Giaûøi ⎧⎡ x > ⎧x − 5x + > ⎪⎢⎣ x < ⎪ ⎪ Ñieàu kieän : ⎨x − > ⇔ ⎨x > ⇔ x > ⎪x > −3 ⎪⎩x + > ⎪⎩ Với điều kiện trên : log x − 5x + + log x − > log ( x + 3) 3 1 ⇔ log ( x − 2)( x − 3) − log ( x − 2) > − log ( x + 3) ⎡ ( x − 2)( x − 3) ⎤ ⇔ log ⎢ ⎥ + log ( x + 3) > x−2 ⎣ ⎦ ⇔ log ( x − 3) + log ( x + 3) > ( vì x > ) ⇔ log ( x − 3)(x + 3) > ⇔ x2 – > ⇔ x > 10 ⇔ x > 10 ( vì x > ) Đáp số : x > 10 138 Lop12.net (19) Baøi 25 Tìm m để bất phưong trình log ( x − x + m) > −3 có nghiệm Giaûi log ( x − 2x + m) > −3 ⎧ ⇔ log ( x − 2x + m) > ⇔ ⎨x − 2x + m > ⎩x − x + m < ⎧m > x − x = f ( x ) ⇔ ⎨ ⎩m < x + x + = f ( x ) Xét các điểm M(x,m) thuộc miền (f2) và miền ngoài (f1) Do f2(x) > f1(x) ∀ x nên (f1) bên (f2) , vì để bất phương trình trên có nghiệm cần và đủ là : m < max(f2) ⇔ m < Vaäy m < thì : log ( x − x + m) > −3 coù nghieäm Baøi 26 Giaûi baát phöông trrình sau : x + x x 1-\ 4x + x.2 x +1 + 3.2 x2 +1 2 + 3.2 x > x 2 x + 8x + 12 Giaûi > x + 8x + 12 x2 2 ⇔ 4( x − 2x − 3) + x (2 x + − x ) > [ ⇔ ( x − x − 3) − x ] ⎡⎧x ⎢⎨x > ⇔ ⎢⎩ ⎢⎧x ⎢⎣⎨⎩x − 2x − > <2 − 2x − < >2 139 Lop12.net (20) ⎡⎧⎡ x > ⎢⎪⎨⎢⎣ x < −1 ⎢⎪ − 2<x< ⎡ ⇔ ⎢ ⎩− < x < ⇔ ⎢− < x < −1 ⎧ ⎢ ⎣ <x<3 ⎢⎪⎨⎡ x > ⎢⎪⎢ x < − ⎣⎩⎣ Vậy nghiệm bất phương trình đã cho là : (− ;−1) U ( ;3) Baøi 27 Với < x < π , chứng minh : 2 sin x + tgx > 2 x +1 (Đề Đại Học Dược Hà Nội ) Giaûi 2 sin x + tgx > 2 sin x + tgx = sin x + tgx +1 2 Ta xeùt haøm f(x) = 2sinx + tgx – 3x f’(x) = 2cosx + 0<x< π 1 −3= (1 − cos x + cos x ) 2 cos x cos x (1 – cosx )(1 + cosx – 2cos2x) cos x = (1 – cosx )2 (1 + 2cosx) > cos x = ⇒ f(x) là hàm tăng , f(x) > f(0) = với < x < Suy Baøi 28 2 sin x +2 tgx > x +1 22 (ñpcm) ⎛ 2x − ⎞ Giaûi baát phöông trình sau : log x ⎜ ⎟ > ⎝ x −1 ⎠ Giaûi x − x − ⎛ ⎞ > log x x log x ⎜ ⎟ > ⇔ log x x −1 ⎝ x −1 ⎠ 140 Lop12.net π (21)