Đang tải... (xem toàn văn)
Theo chương trình chuẩn Câu VI.a 2 điểm: 1 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC biết A5; 2.. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC.[r]
(1)TDT ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC VÀ CAO ĐẲNG NĂM 2010 Môn thi: TOÁN Thời gian: 180 phút (không kể thời gian phát đề) Đề số 16 I PHẦN CHUNG (7 điểm) Câu I (2 điểm): Cho hàm số y = x + x + mx + có đồ thị là (Cm); ( m là tham số) 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số m = 2) Xác định m để (Cm) cắt đường thẳng y = ba điểm phân biệt C(0;1), D, E cho các tiếp tuyến (Cm) D và E vuông góc với Câu II (2 điểm): 1) Giải phương trình: 2) Giải hệ phương trình: cos x + cos x - cos x - tan x = cos x ì x + y + xy + = y í 2 î y ( x + y) = x + y + 2 e Câu III (1 điểm): Tính tích phân: I= I = log32 x òx + 3ln x dx Câu IV (1 điểm): Cho hình hộp đứng ABCD.A'B'C'D' có các cạnh AB = AD = a, AA' = a và góc BAD = 600 Gọi M và N là trung điểm các cạnh A'D' và A'B' Chứng minh AC ' vuông góc với mặt phẳng (BDMN) Tính thể tích khối chóp A.BDMN Câu V (1 điểm): Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn a + b + c = Chứng minh rằng: ab + bc + ca - 2abc £ 27 II PHẦN TỰ CHỌN (3 điểm) Theo chương trình chuẩn Câu VI.a (2 điểm): 1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC biết A(5; 2) Phương trình đường trung trực cạnh BC, đường trung tuyến CC’ là x + y – = và 2x – y + = Tìm tọa độ các đỉnh tam giác ABC 2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, hãy xác định toạ độ tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, biết A(–1; 0; 1), B(1; 2; –1), C(–1; 2; 3) Câu VII.a (1 điểm): Cho z1 , z2 là các nghiệm phức phương trình z - z + 11 = Tính giá trị biểu thức : 2 z1 + z2 ( z1 + z2 )2 Theo chương trình nâng cao Câu VI.b (2 điểm): 1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hai đường thẳng D : x + y + = , D ' :3x - y + 10 = và điểm A(–2; 1) Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc đường thẳng D , qua điểm A và tiếp xúc với đường thẳng D ’ 2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba điểm A(0; 1; 2), B(2; –2; 1), C(–2; 0; 1) Viết phương trình mặt phẳng (ABC) và tìm điểm M thuộc mặt phẳng (P): x + y + z – = cho MA = MB = MC ìï2log1- x (- xy - x + y + 2) + log + y ( x - x + 1) = Câu VII.b (1 điểm): Giải hệ phương trình: í =1 ïîlog1- x ( y + 5) - log + y ( x + 4) ============================ Trần Sĩ Tùng Lop12.net (2) Hướng dẫn: I PHẦN CHUNG éx = Câu I: 2) PT hoành độ giao điểm: x + x + mx + = Û x ( x + x + m ) = Û ê ë f ( x) = x + 3x + m = Đê thỏa mãn YCBT thì PT f ( x ) = có nghiệm phân biệt x , x khác và y¢ ( x ) y¢ ( x ) = -1 2 ì9 - 4m > 0, f (0) = m ¹ Û í 2 î(3x1 + x1 + m)(3x2 + x2 + m) = -1 ì ì ïm < , m ¹ ïm < , m ¹ Ûí Ûí 4 2 2 ï9( x x ) + 18 x x ( x + x ) + 3m( x + x ) + 36 x x + 6m( x + x ) + m = -1 îï4m - 9m + = î 2 2 2 ± 65 Û m= Câu II: 1) Điều kiện: cos x ¹ é cos x = é x = k 2p ê Û PT Û cos x - tan x = + cos x - (1 + tan x) Û 2cos x - cos x - = Û ê 2p + k 2p ê cos x = êx = ± ë ë ì x2 + +x+ y =4 ï ì x + y + xy + = y y ï 2) Từ hệ PT Þ y ¹ Khi đó ta có: í Ûí 2 y ( x y ) x y + = + + x + î ï( x + y )2 - =7 ïî y x2 + ì u+v = ì u = 4-v é v = 3, u = Đặt u = , v = x + y ta có hệ: í Ûí Ûê y îv - 2u = îv + 2v - 15 = ëv = -5, u = ìx2 + = y ì x2 + = y ì x2 + x - = é x = 1, y = Ûí Ûí Ûê = 2, = x y + = = = x y y x y x ë î î î · Với v = 3, u = ta có hệ: í ìx2 + = y ìx2 +1 = y ì x + x + 46 = , hệ này vô nghiệm Ûí Ûí î x + y = -5 î y = -5 - x î y = -5 - x Kết luận: Hệ đã cho có hai nghiệm: (1; 2), (-2; 5) · Với v = -5, u = ta có hệ: í æ ln x ö e e e ç ÷ log 23 x ln x ln xdx ln ø Câu III: I = ò dx = ò è dx = ò 2 ln 1 + 3ln x x x + 3ln x x + 3ln x dx Đặt + 3ln x = t Þ ln x = (t - 1) Þ ln x = tdt x 2 e 2 (t - 1) log 23 x 1 æ1 ö t -t ÷ = Suy I = ò dx = ò tdt = t - 1) dt = ( ç 3 ò 9ln è ln t 9ln ø 27 ln x + 3ln x Câu IV: Gọi P,Q là trung điểm BD, MN Chứng minh được: AC’ ^ PQ Suy AC ¢ ^ (BDMN) Gọi H là giao PQ và AC’ Suy AH là đường cao hình chóp A.BDMN Tính AH = PQ = 3a a 15 a 3a2 15 , MN = Þ SBDMN = Suy ra: VA.BDMN = S BDMN AH = 16 16 Câu V: · Cách 1: Ta có ab + bc + ca - 2abc = a (b + c) + (1 - 2a )bc = a (1 - a ) + (1 - 2a )bc Đặt t = bc thì ta có £ t = bc £ (b + c)2 (1 - a )2 = 4 Trần Sĩ Tùng Lop12.net a 15 AC¢ = 5 (3) é (1 - a)2 ù Xét hàm số: f (t ) = a(1 - a) + (1 - 2a)t trên đoạn ê 0; ú ûú ëê æ (1 - a )2 ö ( a + - a) æ 1ö = < và f ç - (2a + ) ç a - ÷ £ với "a Î [ 0;1] ÷= ç ÷ 27 4 27 3 27 è ø è ø Vậy: ab + bc + ca - 2abc £ Dấu "=" xảy Û a = b = c = 27 Có: f (0) = a (1 - a ) £ · Cách 2: Ta có a2 ³ a2 - (b - c )2 = (a + b - c)(a - b + c) = (1 - 2c)(1 - b) (1) Tương tự: b2 ³ (1 - a)(1 - 2c) (2), c2 ³ (1 - 2a)(1 - 2b) (3) Từ (1), (2), (3) Þ abc ³ (1 - 2a)(1 - 2b)(1 - 2c ) = - 2(a + b + c ) + 4(ab + bc + ca) - 8abc Þ ab + bc + ca £ + 9abc Þ ab + bc + ca - 2abc £ + abc 1+ 27 = Mặt khác a + b + c ³ 3 abc Þ abc £ Do đó: ab + bc + ca - abc £ 27 27 Dấu "=" xảy Û a = b = c = II PHẦN TỰ CHỌN Theo chương trình chuẩn Câu VI.a: 1) Gọi C (c; 2c + 3) và I (m; - m ) là trung điểm BC Suy ra: B(2m - c; - m - 2c ) Vì C’ là trung điểm AB nên: æ 2m - c + 11 - 2m - 2c ö æ 41 ö æ 2m - c + ö 11 - 2m - 2c C 'ç ; +3 = Þ m = - Þ I ç- ; ÷ ÷÷ Î CC ' nên ç 2 è ø è 6 ø è ø Phương trình BC: x – 3y + 23 = ì2 x - y + = æ 14 37 ö Tọa độ C là nghiệm hệ: í ÞCç ; ÷ è 3 ø î3 x - y + 23 = æ 19 ö ; ÷ è 3ø uuur uuur 2) Ta có: AB = (2; 2; -2), AC = (0; 2; 2) Suy phương trình mặt phẳng trung trực AB, AC là: x + y - z - = 0, y + z - = uuur uuur r Vectơ pháp tuyến mp(ABC) là n = éë AB, AC ùû = (8; -4; 4) Suy (ABC): x - y + z + = ì x + y - z -1 = ìx = ï ï Giải hệ: í y + z - = Þ í y = Suy tâm đường tròn là I (0; 2; 1) ï2 x - y + z + = ï z = î î Tọa độ B ç - Bán kính là R = IA = (-1 - 0) + (0 - 2)2 + (1 - 1)2 = Câu VII.a: Giải PT đã cho ta các nghiệm: z1 = - 3 i, z2 = + i 2 2 z + z2 æ3 ö 11 22 Suy | z1 |=| z2 |= + çç ; z1 + z2 = Do đó: = ÷÷ = ( z1 + z2 )2 è ø Theo chương trình nâng cao Câu VI.b: 1) Giả sử tâm I (-3t – 8; t ) Î D Ta có: d ( I , D¢ ) = IA Û 3(-3t - 8) - 4t + 10 +4 2 = (-3t - + 2)2 + (t - 1) Û t = -3 Þ I (1; -3), R = PT đường tròn cần tìm: ( x –1) + ( y + 3)2 = 25 uuur uuur r uuur uuur 2) Ta có AB = (2; -3; -1), AC = (-2; -1; -1) Þ n = éë AB , AC ùû = (2; 4; -8) là VTPT (ABC) Trần Sĩ Tùng Lop12.net (4) Suy phương trình (ABC): Giả sử M(x; y; z) ( x – ) + ( y –1) – ( z – ) = Û x + y – z + = ì x + ( y - 1)2 + ( z - 2)2 = ( x - 2)2 + ( y + 2)2 + ( z - 1)2 ìx = ï ï ì MA = MB = MC Ta có: í Û í x + ( y - 1)2 + ( z - 2)2 = ( x + 2)2 + y + (z - 1)2 Û í y = Þ M(2;3; -7) î M Î (P) ï2 x + y + z - = ïîz = -7 î ì- xy - x + y + > 0, x - x + > 0, y + > 0, x + > Câu VII.b: Điều kiện: í (*) î0 < - x ¹ 1, < + y ¹ ïì2log1- x [(1 - x)( y + 2)] + 2log 2+ y (1 - x) = ïìlog1- x ( y + 2) + log + y (1 - x) - = Hệ PT Û í Ûí = îïlog1- x ( y + 5) - log + y ( x + 4) =1 îïlog1- x ( y + 5) - log 2+ y ( x + 4) (1) (2) t Với t = ta có: - x = y + Û y = - x - (3) Thế vào (2) ta có: Đặt log + y (1 - x) = t thì (1) trở thành: t + - = Û (t - 1) = Û t = log1- x (- x + 4) - log1- x ( x + 4) = Û log1- x é x=0 -x + -x + =1Û = - x Û x2 + 2x = Û ê x+4 x+4 ë x = -2 · Với x = Þ y = -1 (không thoả (*)) · Với x = -2 Þ y = (thoả (*)) Vậy hệ có nghiệm x = -2, y = ===================== Trần Sĩ Tùng Lop12.net (5)