Cách tìm giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất của một biểu thức đại số - Tìm tập xác định của biểu thức - Trên tập xác định của biểu thức, chứng minh rằng f x, y,.... Các dạng bài tập thường g[r]
(1)Chủ đề GIÁ TRỊ LỚN NHẤT,GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC ĐẠI SỐ I Tóm tắt lý thuyết Trên tập xác định biểu thức f(x,y, ) a Số A gọi là giá trị lớn f(x,y, ) f ( x, y, ) A và có (x0; y0; ) cho f ( x0 , y0 , ) A Ký hiệu Max f A b Số B gọi là giá trị nhỏ f(x,y, ) f ( x, y, ) B và có (x0; y0; ) cho f ( x0 , y0 , ) B Ký hiệu Min f B Cách tìm giá trị lớn hay nhỏ biểu thức đại số - Tìm tập xác định biểu thức - Trên tập xác định biểu thức, chứng minh f ( x, y, ) A f ( x, y, ) B - Chỉ số (x0; y0 ) cho f ( x0 , y0 , ) A f ( x0 , y0 , ) B - Kết luận: Max f A x = x0 ; y = y0 Min f B x = x0 ; y = y0 Các kiến thức thường dùng 2k + x , x R Tổng quát f ( x) với x Từ đó xuy ra: f ( x) m m , x R 2k M f ( x) M , x R 2k + x ,x R + x x , x R Dấu x ≥ + + |x| ≥ -x, x R Dấu x ≤ x y x y Dấu xảy và xy + x y x y Dấu xảy và xy và |x| ≥ |y| II Các dạng bài tập thường gặp §1 ĐA THỨC BẬC NHẤT CÓ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ Lop7.net (2) a A x b B x Giải a Biểu thức A xác định với x thuộc tập số R Ta có x Nên A A x x Vậy A = x b Biểu thức B xác định với x thuộc tập số R Ta có: x x Nên B = x Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn biểu thức D 2x 1 Giải Biểu thức D xác định với x R Ta có x Nên x Vậy max D = 5, x Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ biểu thức C x 2008 x 2009 Giải Biểu thức C xác định với x R Áp dụng bất đẳng thức x y x y Dấu xảy xy ta C x 2008 x 2009 x 2008 2009 x x 2008 2009 x Nên C Vậy C = (x – 2008)(2009 – x) Tức 2008 x 2009 Bài tập Tìm giá trị nhỏ biểu thức a M 51 x b N x x c P x x Tìm giá trị lớn các biểu thức a C 12 3x b D x2 3 Tìm giá trị nhỏ Lop7.net (3) a E x a x b với a b b F x x x x c M x x x x 12 §2 ĐA THỨC BẬC HAI Ví dụ 1: a Tìm giá trị nhỏ biểu thức A 3x x b Tìm giá trị lớn biểu thức B 3 x x Giải a Biểu thức A xác định với x thuộc tập số thực R Ta có: A 3x x 3( x x) 3( x 1) 5 Do ( x 1) với x, nên A 5 A 5 x x Vậy A = -5 x = b Biểu thức B xác định với x thuộc tập số thực R Ta có B 3x x 4 3( x x 1) 9 13 3( x ) 9 13 3( x ) 3 13 13 B x Do ( x ) với x nên B 3 Ví dụ 2: Với giá trị nào x, y thì các biểu thức sau đây: a C x 12 xy y x đạt giá trị nhỏ b D 15 10 x 10 x 24 xy 16 y đạt giá trị lớn Giải a Biểu thức C xác định với x thuộc tập số thực R C x 12 xy y x ( x x 4) (4 x 12 xy y ) ( x 2) (2 x y ) C x Và x y và y x2 Vậy C = x = và y b D 15 10 x 10 x 24 xy 16 y 40 ( x 10 x 25) (9 x 24 xy 16 y ) 40 ( x 5) (3 x y ) 40 15 Max D = 40 x 5; y Lop7.net (4) Ví dụ 3: a Tìm giá trị nhỏ biểu thức E x xy y x y b Tìm giá trị lớn biểu thức F x xy y x 10 y Giải a Biểu thức E xác định với x thuộc tập số thực R E x xy y x y E ( x y x y xy ) ( x x 4) ( x y 1) ( x 2) 3 E 3 x y và x Min E = -3 x và y 3 b Biểu thức F xác định với x thuộc tập số thực R F 18 ( x y xy x y ) 3( y y 4) 18 ( x y 1) ( y 2) 18 F 18 x y và y Max F = 18 x v à y Bài tập Tìm giá trị nhỏ biểu thức: a A x x b B x x 11 c x 20 x 53 Tìm giá trị lớn biểu thức: a D x x b E 5 x x c F x x Với giá trị nào x, y thì các biểu thức sau đây đạt giá trị nhỏ a G 10 x 12 xy y x b M x xy x y x y xy x 2009 c C x xy y 3x y Tìm giá trị lớn các biểu thức a A x y xy x y 15 b B = y y 12 xy x §3 BIỂU THỨC CÓ DẠNG PHÂN THỨC Phân thức có tử số là số, mẫu số là tam thức bậc hai Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ A 2x x2 Giải A 1 2x x ( x 1) 4 Lop7.net (5) Ta có ( x 1) ( x 1) 1 ( x 1) 4 1 ( x 1) Vậy A x = Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn B 4x 4x Giải 7 B x x (2 x 1) Ta có (2 x 1) (2 x 1) 7 (2 x 1) 8 Vậy max B x Phân thức có mẫu số là bình phươngcủa nhị thức x2 x 1 Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ biểu thức C ( x 1) Giải Biểu thức C có giá trị xác định với x 1 C x x 4( x x 1) x x 3( x 1) ( x 1) ( x 1) 4( x 1) ( x 1) 4( x 1) 4( x 1) 4( x 1) ( x 1) C x = 0C 4 4( x 1) x Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn D ( x 1) Vì Giải Biểu thức D có giá trị xác định với x 1 x x 11 1 2 x ( x 1) ( x 1) ( x 1) y Đặt x 1 1 1 1 D y y ( y y ) ( y y ) ( y ) 4 4 1 1 D y x 1 x 1 Vậy max D x = D Các phân thức khác Lop7.net (6) Ví dụ: Tìm giá trị lớn và nhỏ biểu thức M x2 1 x2 x 1 Ta có x x ( x ) nên biểu thức M có giá trị xác định với x R Tìm giá trị lớn M x2 1 2( x x 1) ( x x 1) ( x 1) x2 x 1 x2 x 1 x2 x 1 x2 x ( x 1) M 2 Vì nên x2 x 1 ( x 1) M Vậy max M = x = Tìm giá trị nhỏ M M x2 1 3( x 1) 2( x x 1) ( x x 1) x x 3( x x 1) 3( x x 1) ( x 1) 2 3( x x 1) Min M x = -1 Bài tập Tìm giá trị nhỏ các biểu thức sau: 6x 9x 3x x b Q x 2x x2 x 1 c S x 2x Tìm giá trị lớn các biểu thức sau: a K 4x 4x x x 14 b E x x 12 x4 1 c F ( x 1) a P §4 BIỂU THỨC CÓ BIẾN BỊ RÀNG BUỘC BỞI MỘT HỆ THỨC CHO TRƯỚC Ví dụ: Cho hai số x, y thoả mãn điều kiện: 3x + y = a Tìm giá trị nhỏ biểu thức A x y b Tìm giá trị lớn biểu thức B xy Giải Do 3x y y 3x ta có 2 a A x (1 3x) x 3x 2( x x ) 2( x ) 17 16 Lop7.net (7) 17 17 2( x ) nên A 8 Vậy A 17 13 x ; y 4 x 3 b B x(1 3x) x 3x 3( x ) 13 13 3( x ) 3( x ) 36 12 Nên B 13 13 1 max B x và y 12 12 Bài tập Cho x, y là hai số thoả mãn điều kiện: x y2 4 x2 Tìm giá trị nhỏ x.y Cho hai số thực x, y thoả mãn điều kiện x y Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ x + y Cho x + y = Tìm giá trị nhỏ P x y Chủ đề PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO I Phương trình bậc cao là phương trình có dạng: f(x) = đó f(x) là đa thức bậc n (n 2) x II Một số phương pháp giải phương trình bậc cao Phương pháp đưa phương trình tích Lop7.net (8) Ví dụ 1: Giải phương trình: x x x x Giải x x 5x x ( x 2)( x x x 3) ( x 2) x ( x 1) 3( x 1) ( x 2)( x 1)( x 3) * x20 x * x x 3 * x2 x2 Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: x = 2; x = -3 Ví dụ 2: Giải phương trình: x x 19 x 106 x 120 Giải x x 19 x 106 x 120 ( x x ) (2 x x ) (23 x 46 x) (60 x 120) x ( x 2) x ( x 2) 23 x( x 2) 60( x 2) ( x 2)( x x 23 x 60) ( x 2)x ( x 2) ( x x ) ( x x) (20 x 60) ( x 3) x( x 3) 20( x 3) ( x 2)( x 3)( x x 20) ( x 2)( x 3)( x 4)( x 5) *x2 x *x3 x *x4 x * x x 5 Vậy phương trình đã cho có bốn nghiệm x = 2; x = 3; x = 4; x = -5 Ví dụ 3: Giải phương trình: x 12 x x x 15 Giải Lop7.net (9) x 12 x x x 15 x x 16 x 16 x 21x 21x 15 x 15 (4 x ( x 1) 16 x ( x 1) 21x( x 1) 15( x 1) ( x 1)(4 x 16 x 21x 15) ( x 1)2 x ( x 1) (4 x 10 x ) (6 x 15 x) (6 x 15) (2 x 5) x( x 5) 3(2 x 5) ( x 1)(2 x 5)(2 x x 3) 3 Vì x 3x 2( x x ) 3 2( x ) với x Nên: x x Hoặc: x x 2,5 Vậy phương trình có hai nghiệm x = 1, x = -2,5 Ví dụ 4: Giải phương trình: x x x x Giải x 2x3 2x 4x ( x 4) (2 x x) (2 x 4) ( x 2)( x 2) x( x 2) 2( x 2) ( x 2)( x x 2) ( x )( x )( x x 4) *x x *x x * x x (vô nghiệm) Vì x x ( x 1) Vậy phương trình có hai nghiệm: x ; x 2 Phương pháp đặt ẩn phụ Ví dụ 1: Giải phương trình: ( x 1)( x 2)( x 4)( x 5) 40 Giải ( x 1)( x 2)( x 4)( x 5) 40 ( x 1)( x 5) ( x 2)( x 4) 40 ( x x 5)( x x 8) 40 Lop7.net (10) Đặt: x x t ta có t (t 3) 40 t 3t 40 (t 5)(t 8) + Nếu t = thì x x x x x( x 6) x x = -6 + Nếu t = -8 thì x x 8 x x 13 Phương trình này vô nghiệm vì x x 13 ( x 3) với x Vậy: Phương trình đã cho có hai nghiệm x = 0; x = -6 Ví dụ 2: Giải phương trình: ( x 6) ( x 8) 16 Giải ( x 6) ( x 8) 16 Đặt: x – = y, phương trình chở thành: ( y 1) ( y 1) 16 y4 6y2 Đặt: y z ta có: z 6z ( z 1)( z 7) Nếu z z thoả mãn điều kiện z z z 7 (loại) Với z = ta có y 1 * y 1 x 1 x * y 1 x 1 x Vậy phương trình có hai nghiệm x = 6, x = Ví dụ 3: Giải phương trình: ( x 3x 4) (2 x x 3) (3x x 1) Giải Đặt u x 3x v x 5x u v 3x x 10 Lop7.net (11) Phương trình có dạng: u v (u v) u v (u v) u v (u 3u v 3uv v ) 3u v 3uv 3uv(u v) u v u v x x x x x x + x 3x ( x 1)( x 4) x x 4 + x 5x (2 x 3)( x 1) x x = + 3x x (3 x 1)( x 1) x x = 1 3 Vậy phương trình đã cho có bốn nghiệm: x 1; x ; x ; x 4 Ví dụ 4: Giải phương trình: ( x 1) ( x 2) (2 x 1) Giải ( x 1) ( x 2) (2 x 1) Đặt: x + = y; x – = z; – 2x = t Thì y + z + t = 0; z + t = - y Do đó: (y + z + t)3 = y ( z t ) y ( z t ) y( z t ) y ( z t ) y ( z t )( y z t ) y z t z t zt y z t zt ( z t ) y z t yzt Vậy yzt = ( x 1)( x 2)(1 x) * x x 1 * x20 x 11 Lop7.net (12) * 2x x Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm: x 1; x 2; x 3 Các phương pháp khác Ví dụ 1: Giải phương trình: 1 1 x x x x 12 x x 20 x 11x 30 Giải x x ( x 2)( x 3) x x 12 ( x 3)( x 4) x x 20 ( x 4)( x 5) x 11x 30 ( x 5)( x 6) ĐKXĐ: x 6, x 5, x 4, x 3, x 2 Phương trình biến đổi dạng: 1 1 ( x 2)( x 3) ( x 3)( x 4) ( x 4)( x 5) ( x 5)( x 6) 1 1 1 1 x2 x3 x3 x4 x4 x5 x5 x6 1 x2 x6 x x 20 ( x 10)( x 2) * x 10 x 10 (Thoả mãn ĐKXĐ) * x x (Thoả mãn ĐKXĐ) Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 2, x = - 10 Ví dụ 2: Giải phương trình x 99 x x 99 x x 99 x x 99 x x 99 x x 99 x 99 98 97 96 95 94 Giải Cộng vào hai vế phương trình (- 3), ta có 12 Lop7.net (13) x 99 x x 99 x x 99 x 1) ( 1) ( 1) 99 98 97 x 99 x x 99 x x 99 x ( 1) ( 1) 1) 96 95 94 x 99 x 100 x 99 x 100 x 99 x 100 99 98 97 2 x 99 x 100 x 99 x 100 x 99 x 100 96 95 94 1 1 1 ( x 99 x 100)( )0 99 98 97 96 95 94 ( Vì: 1 1 1 đó: 99 98 97 96 95 94 x 99 x 100 ( x 1)( x 100) * x 1 x * x 100 x 100 Vậy phương trình có nghiệm x = 1; x = - 100 Bài tập Giải các phương trình Bài 1: a) x x x b) ( x 1) 4(2 x 1) c) ( x 1) (2 x 3) 27 x Bài 2: a) ( x x) 2( x x) 24 b) ( x x 2)( x x 3) 12 c) ( x x 1) 3( x x 1) Bài 3: a) x( x 1)( x 1)( x 2) 24 b) ( x 4)( x 5)( x 6)( x 7) 1680 c) (12 x 7) (3x 2)(2 x 1) d) (2 x 1)( x 1) (2 x 3) 18 Bài 4: a) ( x x 9) 15( x x 10) b) ( x 1) 3x( x 1) x c) ( x 9) 12 x 13 Lop7.net (14) Bài 5: a) ( x 1) ( x 3) 82 b) ( x 1) ( x 2) c) ( x 2,5) ( x 1,5) Bài 6: a) ( x 1) ( x 2) (2 x 1) b) ( x 7) ( x 8) (15 x) Bài 7: a) x 3x x 3x b) x x 38 x x c) x x 3x 3x x d) x x 36 x x Chủ đề BẤT ĐẲNG THỨC I Tóm tắt lý thuyết Định nghĩa: a nhỏ b, ký kiệu a b , a b a lớn b, ký hiệu a b, a b a nhỏ b, ký hiệu a b , a b 14 Lop7.net (15) a lớn b, ký hiệu a b, a b Tính chất a b b a a b, b c a c a b a c b c a b ac bc ac b a bc a c, b d a b c d a b, c d a c b d a b, c ac bc a b, c ac bc a b 0, c d ac bd a b a n b n a b a n bn với n lẻ a b a n b n với n chẵn Một số bất đẳng thức thông dụng a Bất đẳng thức Cô si Nếu a, b là các số không âm thì ab ab Dấu xảy a = b b Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối a b ab Dấu xảy a.b ≥ II Một số phương pháp - Sử dụng định nghĩa - Sử dụng các phép biến đổi tương đương - Sử dụng các tính chất bất đẳng thức III Một số ví dụ Ví dụ 1: Chứng minh bất đẳng thức a b c ab ac bc Giải a b c ab ac bc (1) 15 Lop7.net (16) 2(a b c ) 2(ab ac bc) 2a 2b 2c 2ab 2ac 2bc (a 2ab b ) (a 2ac c ) (b 2bc c ) (a b) (a c) (b c) (2) Bất dẳng thức (2) là bất đẳng thức đúng Mặt khác các phép biến đổi trên tương đương Vây bất đẳng thức (1) là bất đẳng thức đúng xảy dấu a = b = c Ví dụ 2: Cho a,b là hai số thoả mãn điều kiện a + b = chứng minh a b a b Giải Từ a b a b 2(a b ) (a b )(a b) 2a 2b a a b ab b a b a b ab a ( a b) b ( a b) (a b)(a b ) (a b) (a ab b ) b ( a b ) ( a ) b Dấu xảy a = b = Ví dụ 3: Chứng minh với số thực a, b khác không ta luôn có bất đẳng thức sau: a2 b2 a b 3( ) b a b a Giải ( a2 b2 a b 2) 3( ) b a b a a b a b a b ( ) 2( ) ( ) b a b a b a a b a b a b ( )( 1) 2( 1) b a b a b a a b a b ( 1)( 2) b a b a 2 (a b ab)(a b 2ab) 0 a 2b 16 Lop7.net (17) b (a ) b (a b) (*) Bất đẳng thức (*) đúng bất đẳng thức ban đầu là đúng Ví dụ 4: Cho a b c chứng minh a b c Giải 3 Đặt a x , b y , c z Do a b c nên x y z ta có: 1 a b c ( x) ( y ) ( z ) 3 2 x x2 y y2 z z2 9 ( x y z) x y z 3 1 x2 y2 z2 3 Dấu xảy x y z abc Ví dụ 5: Cho ba số dương x, y, z thoả mãn điều kiện x + y + z = Chứng minh rằng: x y xyz Giải Theo bất đẳng thức Cô-si ta có: ( x y ) xy ( x y ) xy Ta có: ( x y ) z 2 4( x y ) z 4( x y ) z (nhân vế với x+y) 16( x y ) 4( x y ) z Mà ( x y ) xy 4( x y ) z 16 xyz Nên 16( x y ) 16 xyz 17 Lop7.net (18) x y xyz Bài tập: Bài tập 1: Cho a, b là hai số dương Chứng minh: a) (a b)(a b ) 2(a b ) b) (a b)(a b ) (a b )(a b ) Bài tập 2: a) Cho các số dương a, b, c có tích Chứng minh rằng: (a 1)(b 1)(c 1) b) Cho a, b là các số không âm Chứng minh rằng: (a 1)(ab 1) 4ab Bài tập 3: Cho hai số a, b thoả mãn điều kiện a + b = chứng minh: a) a b b) a b Bài tập 4: Cho a, b, c có tổng Chứng minh: 1 9 a b c Bài tập 5: Cho a, b, c là các số dương Chứng minh rằng: 1 a b c 2 ab bc ac Chủ đề TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT TRONG BÀI TOÁN HÌNH HỌC I TÓM TẮT LÝ THUYẾT Trong hình học có nhiều bài toán yêu cầu tìm giá trị lớn hay nhỏ đại lượng hình học nào đó độ dài đoạn thẳng, chu vi, diện tích hình Các bài toán này gọi là bài toán “cực trị hình học” Đường lối chung để giải bài toán cực trị hình học Cách 1: Chỉ hình chứng minh hình đó có đại lượng cần tìm cực trị lớn nhỏ yếu tố tương ứng hình khác Người ta thường dùng cách chứng minh này hình dạng hình có cực trị đã nói rõ đầu bài 18 Lop7.net (19) Cách 2: Thay điều kiện đại lượng cực trị các điều kiện tương đương, cuối cùng dẫn đến điều kiện xác định vị trí các đại lượng hình học để đạt cực trị Người ta thường dùng cách này đầu bài cho dạng: “Tìm hình nào đó thoả mãn các điều kiện cực trị bài toán” II MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP 19 Lop7.net (20) Dạng 1: Vận dụng quan hệ đường xiên và đường vuông góc, quan hệ đường xiên và hình chiếu Kiến thức cần nhớ Ta có: A AH d , A d , b d C d, H d a AB AH Dấu “=” xảy B H d b AB AC BH HC B H C Các ví dụ Ví dụ 1: Cho tam giác ABC vuông A M là điểm chuyển động trên cạnh BC Vẽ MD AB, ME AC ( D AB; E AC ) Xác định vị trí đểm M để đoạn thẳng DE có độ dài nhỏ Giải Vẽ AH BC ( H BC ) H cố định và AH không đổi Tứ giác AEMD có A E D 90 o Nên AEMD là hình chữ nhật A D E DE AM Mà AM AH Vậy DE nhỏ M H B C M H Ví dụ 2: Cho tam giác ABC Qua đỉnh A tam giác hãy dựng đường thẳng d cắt BC cho tổng các khoảng cách từ B và từ C đến d có giá trị nhỏ Giải: Gọi M là giao điểm d và BC vẽ BH d , CK d ( H , K d ) A SMAB + SMAC = SABC H BH AM CK AM S ABC 2 2S BH CK ABC AM B M C K 20 Lop7.net (21)