Chuyên đề Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau và đoạn vuông góc chung

Khi SA ^ ABCD , hãy dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung giữa các đường thẳng : b AB và SD c AD và SC a SA và CD Hướng dẫn: a Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung của SA và C[r]

Chuyên đề HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Luyện thi Đại học 2013 Chủ đề: KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU VÀ ĐOẠN VUÔNG GÓC CHUNG Chuyên đề “Hình Học Không Gian” nói chung và chủ đề “Khoảng cách hai đường thẳng chéo và đoạn vuông góc chung” nói riêng, là chủ đề tương đối khó khăn với đa số học sinh Chúng tôi biên soạn tài liệu này nhằm giúp các em nhìn nhận vấn đề trên dễ dàng và có hệ thống I-NỘI DUNG PHƯƠNG PHÁP: Để xác định Khoảng cách hai đường thẳng a, b chéo và đoạn vuông góc chung, thông thường dùng phương pháp sau: Phương pháp 1: Bước 1: Xác định mặt phẳng ( a ) ^ a A và (a ) cắt b Bước 2: Chiếu vuông góc b xuống ( a ) hình chiếu b ' Bước 3: Kẻ AH ^ b ' , dựng hình chữ nhật AHKP Dể dàng chứng minh: PK là đoạn vuông góc chung đường thẳng a và b ïìb Ì ( a ) Trong trường hợp đặt biệt : í ïîa ^ ( a ) + Dựng AH ^ b Þ AH là đoạn vuông góc chung đường thẳng a và b a b P K I A a b' H b H a A a Phương pháp 2: Bước 1: Xác định mặt phẳng ( a ) // a và P b Ì (a ) Bước 2: Chiếu vuông góc đường thẳng a trên mặt phẳng ( a ) đường thẳng a b a ' , a 'Ç b = { K } Bước 3: Dựng hình chữ nhật AHKP Dễ dàng chứng minh được: KP là đoạn vuông góc chung đường thẳng a và b Giáo viên: LÊ BÁ BẢO A a Lop12.net a' H K Tổ Toán THPT Phong Điền Chuyên đề HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Luyện thi Đại học 2013 II-MỘT SỐ BÀI TẬP MINH HOẠ: Bài tập 1: Cho tứ diện ABCD cạnh a Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung AB và CD Hướng dẫn: A Bước 1: Chọn mặt phẳng ( AHB ) Rõ ràng: CD ^ ( AHB ) Bước 2: Dễ thấy, AB Ì ( AHB ) Dựng HK ^ AB Þ HK là đoạn vuông góc chung AB và CD Bước 3: Tính HK: Xét DAHK vuông K: HK = AH - AK K D B H C Bài tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có SA ^ ( ABCD ) , đáy ABCD là hình chữ nhật Dựng b) AB và SC đoạn vuông góc chung : a) SA và CD Hướng dẫn: a) Xác đ ịnh và tính độ dài đoạn vuông góc chung SA và CD: Bước 1: Chọn mặt phẳng ( ABCD ) S Rõ ràng: SA ^ ( ABCD ) Bước 2: Dễ thấy, CD Ì ( ABCD ) và AD ^ CD Þ AD là đoạn vuông góc chung SA và CD B Bước 3: Tính AD (tùy theo giả thiết) b) Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung AB và SC: Bước 1: Chọn mặt phẳng ( SAD ) Dễ chứng minh được: AB ^ ( SAD ) Bước 2: Chiếu SC trên ( SAD ) : A D C S K H Ta có: CD ^ ( SAD ) Þ SD là hình chiếu SC trên ( SAD ) + Dựng AH ^ SD Þ AH là khoảng cách SC và AB P A + Dựng hình chữ nhật AHKP Þ KP là đoạn vuông góc chung đường thẳng SC và AB B C Bước 3: Tính AH 1 = 2+ Xét DSAD vuông A: AH SA AD Bài tập 3: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’, các mặt bên là các hình vuông cạnh a a) Hình lăng trụ có đặc điểm gì? b) Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung A’B và B’C’ Hướng dẫn: a) Hình lăng trụ đứng tam giác cạnh a b) Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung A’B và B’C’: Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Lop12.net Tổ Toán THPT Phong Điền D Chuyên đề HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Bước 1: Chọn mặt phẳng ( AII ' A ') Luyện thi Đại học 2013 C' A' Dễ chứng minh được: B ' C ' ^ ( AII ' A ') B' Bước 2: Chiếu A’B trên ( AII ' A ') : Ta có: BI ^ ( AII ' A ') Þ A ' I là hình chiếu A’B trên ( AII ' A ') + Dựng I ' H ^ A ' I Þ I ' H là khoảng cách A’B và B’C’ + Dựng hình chữ nhật HKPI’ Þ KP là đoạn vuông góc chung đường thẳng A’B và B’C’ Bước 3: Tính I’H A 1 ' ' D A I I = + Xét Xét vuông I’: I ' H A ' I '2 II '2 I' P H K C I B Bài tập 15: Cho hình vuông ABCD và tam giác SAD cạnh a nằm mp vuông góc Tính khoảng cách hai đường thẳng: a) AD và SB b) SA và BD Hướng dẫn: a) Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung SB và AD: S Bước 1: Chọn mặt phẳng ( SIM ) Dễ chứng minh được: AD ^ ( SIM ) Bước 2: Chiếu SB trên ( SIM ) : K Ta có: BM ^ ( SIM ) Þ SM là hình chiếu SB trên ( SIM ) + Dựng IH ^ SM Þ IH là khoảng cách SB và AD P + Dựng hình chữ nhật HKPI Þ KP là đoạn vuông góc A chung đường thẳng SB và AD Bước 3: Tính IH 1 = 2+ Xét DSIM vuông I: IH IS IM b) Xác đ ịnh và tính độ dài đoạn vuông góc chung SA và BD: Bước 1: Chọn mặt phẳng ( SEA ) Þ BD // ( SEA ) R Bước 2: Chiếu BD trên ( SEA ) : Gọi L và J là trung điểm EA và DO Þ IL ^ SL + Dựng IH ^ SL Þ IH ^ ( SEA ) + Dựng JR // IH Þ JR ^ ( SEA ) D M B S K C D I L Suy ra: d ( BD, SA ) = d ( BD, ( SAE ) ) = d ( J , ( SAE ) ) = JR C I H E H A J P O B + Dựng hình chữ nhật RKPJ Þ KP là đoạn vuông góc chung đường thẳng SA và BD Bước 3: Tính JR 1 = 2+ Ta có: JR = IH Xét DSIL vuông I: IH IS IL Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Lop12.net Tổ Toán THPT Phong Điền Chuyên đề HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Luyện thi Đại học 2013 Bài tập 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông A và B, AB= a, BC= a , AD=3a , CD= a , SA= a Khi SA ^ (ABCD) , hãy dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung các đường thẳng : b) AB và SD c) AD và SC a) SA và CD Hướng dẫn: a) Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung SA và CD: S Bước 1: Chọn mặt phẳng ( ABCD ) K Rõ ràng: SA ^ ( ABCD ) Bước 2: Dễ thấy, CD Ì ( ABCD ) Dựng AH ^ CD Þ AH là đoạn vuông góc chung SA và CD A Bước 3: Tính AH: 1 = + Xét DACD vuông A: B C 2 AH AC AD b) Xác đ ịnh và tính độ dài đoạn vuông góc chung AB và SD: Bước 1: Chọn mặt phẳng ( SAD ) D H Rõ ràng: AB ^ ( SAD ) Bước 2: Dễ thấy, SD Ì ( SAD ) Dựng AK ^ SD Þ AK là đoạn vuông góc chung SD và AB Bước 3: Tính AK: 1 = + Xét DSAD vuông A: AK AS AD c) Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung AD và SC: S Bước 1: Chọn mặt phẳng ( SAB ) Dễ chứng minh được: AD ^ ( SAB ) I D Ta có: BC ^ ( SAB ) Þ SB là hình chiếu SC trên ( SAB ) + Dựng AI ^ SB Þ AI là khoảng cách SB và AD C + Dựng hình chữ nhật AIJP Þ JP là đoạn vuông góc chung đường thẳng SC và AD Bước 3: Tính AI 1 = + Xét DSAB vuông I: 2 AI AS AB Bài tập 5: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, cạnh đáy AB= a, đường cao SO= h xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung hai đường thẳng SB và AD Hướng dẫn: F Giải Phương pháp 2: Bước 1: Chọn mặt phẳng ( SBC ) A B Bước 2: Chiếu SB trên ( SIM ) : J P Dễ chứng minh được: AD // ( SBC ) Bước 2: Chiếu AD trên ( SBC ) (hay tính d ( AD, SB ) ) Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Lop12.net Tổ Toán THPT Phong Điền Chuyên đề HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Gọi M, N là trung điểm BC và AD Þ ON ^ BC Ta có: ( SMN ) ^ ( SBC ) , dựng OH ^ SN Þ OH ^ ( SBC ) Luyện thi Đại học 2013 S + Dựng MI // OH Þ MI ^ ( SBC ) Suy ra: d ( AD, SB ) = d ( AD, ( SBC ) ) = d ( M , ( SBC ) ) = MI I K + Dựng hình chữ nhật MIKP Þ KP là đoạn vuông góc H chung đường thẳng SB và AD D Bước 3: Tính MI Ta có: MI = 2OH P M 1 O N A = + Xét DSON vuông O: 2 OH OS ON B Bài tập 6: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh a Gọi M, N là trung điểm AC và AD Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung hai đường thẳng DM và D’N Hướng dẫn: F Giải Phương pháp 2: Bước 1: Chọn mặt phẳng ( D ' NJ ) (với hình bình hành DJIM) D' Dễ chứng minh được: DM // ( D ' NJ ) A' Bước 2: Chiếu DM trên ( D ' NJ ) (hay tính d ( DM , D ' N ) ) C C' B' Do DJ // MI Þ DJ ^ IJ Þ IJ ^ ( D ' JD ) Ta có: ( D ' JD ) ^ ( D ' NJ ) , dựng DH ^ D ' J Þ DH ^ ( D ' NJ ) Suy ra: d ( DM , D ' N ) = d ( DM , ( D ' NJ ) ) = d ( D, ( D ' NJ ) ) = DH H K D J I C M P N + Dựng hình chữ nhật HKPD Þ KP là đoạn vuông góc A B chung đường thẳng DM và D’N Bước 3: Tính DH 1 1 1 = + = + == + Xét DD ' DJ vuông D: 2 2 2 DH DD ' DJ DD ' MI DD ' AM Bài tập 7: Cho khối lập phương ABCD.A’B’C’D’ Hãy xác định đoạn vuông góc chung BD’, B’C Hướng dẫn: D' C' Bước 1: Chọn mặt phẳng ( ABC ' D ') Dễ dàng chứng minh BC ' ^ ( ABC ' D ') Bước 2: Dễ thấy, BD ' Ì ( ABC ' D ') Dựng HK ^ BD ' Þ HK là đoạn vuông góc chung BD’ và B’C Bước 3: Tính HK: Ta có HK = C ' P 1 = + Xét DBC ' D ' vuông C’: 2 C 'P C ' D ' C ' B2 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Lop12.net A' B' P H D A K C B Tổ Toán THPT Phong Điền Chuyên đề HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Luyện thi Đại học 2013 Bài tập 8: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Hãy xác định đoạn vuông góc chung hai đương thẳng A’C’ và B’C Hướng dẫn: D' C' P O' Bước 1: Chọn mặt phẳng ( DBB ' D ') Dễ chứng minh được: A ' C ' ^ ( DBB ' D ') B' A' Bước 2: Chiếu B’C trên ( DBB ' D ') : Ta có: OC ^ ( DBB ' D ') K H Þ B ' O là hình chiếu B’C trên ( DBB ' D ') D + Dựng O ' H ^ B ' O Þ O ' H là khoảng cách A’C’ và B’C O + Dựng hình chữ nhật O’HKP Þ KP là đoạn vuông góc B A chung đường thẳng A’C’ và B’C Bước 3: Tính O’H 1 = + Xét DO ' B ' O vuông O’: 2 O'H O ' B ' OO '2 Bài tập 9: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC cạnh a, cạnh bên SA = a, SA ^ (ABC), I là trung điểm cạnh BC Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung hai đường thẳng SI và AB Hướng dẫn: S F Giải Phương pháp 2: Bước 1: Chọn mặt phẳng ( SIJ ) , với IJ // AB và AJ ^ IJ Dễ chứng minh được: AB // ( SIJ ) Ta có: ( SAJ ) ^ ( SIJ ) , dựng AH ^ SJ Þ AH ^ ( SIJ ) Suy ra: d ( AB, SI ) = d ( AB, ( SIJ ) ) = d ( A, ( SIJ ) ) = AH K H Bước 2: Chiếu AB trên ( SIJ ) (hay tính d ( AB, SI ) ) C A B P J I + Dựng hình chữ nhật AHKP Þ KP là đoạn vuông góc C chung đường thẳng AB và SI 1 = + Bước 3: Tính AH Xét DSAJ vuông A: 2 AH AJ SA Bài tập10: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Gọi I, J là tâm các hình vuông AĐ’A’ và BCC’B’ Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung hai đường thẳng CI và AJ D C Hướng dẫn: F Giải Phương pháp 2: Bước 1: Chọn mặt phẳng ( AA ' J ) A B P Dễ chứng minh được: CI // ( AA ' J ) Bước 2: Chiếu IC trên ( AA ' J ) (hay tính d ( CI , AJ ) ) Dựng IH ^ MJ , để ý A ' A ^ ( MIJ ) Lop12.net K J M ì IH ^ MJ Ta có: í Þ IH ^ ( AA ' J ) î IH ^ A ' A Suy ra: d ( CI , AJ ) = d ( CI , ( AA ' J ) ) = d ( I , ( AA ' J ) ) = IH Giáo viên: LÊ BÁ BẢO I A' H D' C' B' Tổ Toán THPT Phong Điền Chuyên đề HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Luyện thi Đại học 2013 + Dựng hình chữ nhật IHKP Þ KP là đoạn vuông góc chung đường thẳng AJ và CI Bước 3: Tính IH 1 = + Xét DMIJ vuông I: 2 IH IM IJ Bài tập 11: Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình thoi , cạnh 2a , cạnh bên AA’= a , AD’ ^ BA’.Tính khoảng cách hai đường thẳng AD’ và BA’ D' Hướng dẫn: F Giải Phương pháp 2: A' B' ì BE // DD ' P Bước 1: Chọn mặt phẳng ( AD ' E ) , với í î BE = DD ' K Dễ chứng minh được: A ' B // ( AD ' E ) D Bước 2: Chiếu A’B trên ( AD ' E ) (hay tính d ( A ' B, AD ') ) C' C I B A ì AI ^ BD Ta có: í Û AI ^ ( BB ' D ' B ) Þ ( AD ' E ) ^ ( BB ' D ' B ) î AI ^ BB ' Dựng BH ^ D ' E Þ BH ^ ( AD ' E ) H E Suy ra: d ( A ' B, AD ') = d ( A ' B, ( AD ' E ) ) = d ( B, ( AD ' E ) ) = BH + Dựng hình chữ nhật BHKP Þ KP là đoạn vuông góc chung đường thẳng A’B và AD’ Bước 3: Tính BH 1 = + Xét DIBE vuông B: 2 BH BE BI Bài tập 12: Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’, đáy ABC có cạnh a, cạnh bên h Tính khoảng cách hai đường thẳng AC và BC’ Hướng dẫn: P F Giải Phương pháp 2: C A ìCD // AB B I Bước 1: Chọn mặt phẳng ( BDC ') , với í îCD = AB H K Dễ chứng minh được: AC // ( BDC ') Bước 2: Chiếu AC trên ( BDC ') (hay tính d ( AC , BC ') ) Gọi I là trung điểm BD ìCI ^ BD Ta có: í Û BD ^ ( CC ' I ) Þ ( BDC ') ^ ( CC ' I ) îCC ' ^ BD Dựng CH ^ C ' I Þ CH ^ ( BDC ') A' C' B' Suy ra: d ( AC , BC ') = d ( AC , ( BDC ') ) = d ( C , ( BDC ') ) = CH + Dựng hình chữ nhật CHKP Þ KP là đoạn vuông góc chung đường thẳng AC và BC’ Bước 3: Tính CH 1 = 2+ Xét DICC ' vuông C: CH CI CC '2 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Lop12.net Tổ Toán THPT Phong Điền D Chuyên đề HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Luyện thi Đại học 2013 Bài tập 13: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có đường chéo AC’=2a và AB=AA’= a a) Chứng minh: AC ' ^ CD ' b) d(D,(ACD’) c) Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung AC’, CD’ Hướng dẫn: a) Do AA ' = AB = a Þ ABB ' A ' là hình vuông ìCD ' ^ DC Suy ra: í Û CD ' ^ ( ADCB ') Þ CD ' ^ AC ' A' CD ' A ' D ^ î B A b) Ta có: CD ' ^ ( ADCB ') Þ ( ADI ) ^ ( AD ' C ) và ( ADI ) Ç ( AD ' C ) = AI Dựng DH ^ AI Þ DH ^ ( AD ' C ) Û d ( D, ( AD ' C ) ) = DH B' K H D' C' 1 D = + 2 DH DA DC ' c) Theo câu a, CD ' ^ ( ADCB ') và CD 'Ç ( ADCB ') = { I } I Xét DADC ' vuông D: C Dựng IK ^ AC ' Þ IK là đoạn vuông góc chung AC’ và CD’ KI KC ' AD.KC ' = Û KI = AD DC ' DC ' Bài tập 14: Cho khối lập phương ABCD.A’B’C’D’ a) Chứng minh: BC ' ^ ( A ' B ' CD ) b) Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung AB’ và BC’ Hướng dẫn: a) Chứng minh BC ' ^ ( A ' B ' CD ) : Xét DDAC ' đồng dạng với DKIC ' , ta có: ì BC ' ^ B ' C Ta có: í Û BC ' ^ ( A ' B ' CD ) î BC ' ^ CD b) Xác đ ịnh và tính độ dài đoạn vuông góc chung AB’ và BC’: Bước 1: Chọn mặt phẳng ( A ' B ' CD ) Dễ chứng minh được: BC ' ^ ( A ' B ' CD ) A C B Bước 2: Chiếu AB’ trên ( A ' B ' CD ) : K P Ta có: AH ^ ( A ' B ' CD ) Lop12.net H J I Þ HB ' là hình chiếu AB’ trên ( A ' B ' CD ) + Dựng IJ ^ B ' H Þ IJ là khoảng cách AB’ và BC’ + Dựng hình chữ nhật IJKP Þ KP là đoạn vuông góc chung đường thẳng AB’ và BC’ B' Bước 3: Tính IJ IJ IB ' CD.IB ' = Û IJ = Xét DCB ' D đồng dạng với DJB ' I , ta có: CD B ' D B'D Giáo viên: LÊ BÁ BẢO D D' A' C' Tổ Toán THPT Phong Điền Chuyên đề HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Luyện thi Đại học 2013 III- BÀI TẬP TỰ LUYỆN: Bài tập 15: Tứ diện ABCD có ABC là tam giác cạnh a, AD ^ BC, AD= a và d(D,BC)= a H là trung điểm BC b) DI ^ (ABC) a) Chứng minh: BC ^ (ADH) c) Xác định và tính đoạn vuông góc chung AD và BC Gợi ý: D ì AH ^ BC Þ BC ^ ( AHD ) î AD ^ BC a) Kẻ í K ì DI ^ BC Þ DI ^ AH í b) î AD = DH = a Þ DI ^ ( AH , BC ) º ( ABC ) O c) HK C A I H B Bài tập 16: Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, cạnh a, góc Aˆ = 60 và có đường cao SO= a Tính: d(O,(SBC)) d(AD,SB) Gợi ý: a) OH Dựng (SOP) ^ (SBC).Kẻ OH ^ SP b) IK Dựng (STM) ^ (SBC) Kẻ IK ^ SM S K I 60 A Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Lop12.net C H D M O P B Tổ Toán THPT Phong Điền