- Từ HĐ1 SGK cho học sinh rút ra nhận xét có thể gợi ý cho học sinh nếu cần - Từ đó dẫn đến việc phát biểu định nghĩa khái niệm nguyên hàm yêu cầu học sinh phát biểu, giáo viên chính xác[r]
(1)TRƯỜNG THPT HOÀI ĐỨC A GIÁO ÁN GIẢI TÍCH LỚP 12 NÂNG CAO §9 BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT I Mục đích yêu cầu: Về kiến thức: Giúp học sinh biết cách giải số dạng bất phương trình mũ và logarit đơn giản Về kỹ năng: - Học sinh nắm cách giải bất phương trình mũ và logarit đơn giản - Học sinh nắm phương pháp đặt ẩn phụ nhằm hữu tỷ hóa bất phương trình mũ và logarit II Chuẩn bị: Giáo viên: Giáo án, bảng phụ, phiếu học tập Học sinh: SGK, đọc trước bài III Tiến trình bài học: Ổn định lớp: Kiểm tra sỉ số, tác phong… Kiểm tra bài cũ: (3’) GV gọi học sinh để kiểm tra Cho ≠ a > 0; b, c > Khi nào thì: a) ab > ac; b) logab < logac? Bài mới: Tiết 47 : Hoạt động 1: Hình thành kỹ giải bất phương trình mũ HĐGV HĐHS * GV nêu lưu ý cần * Ghi nhớ thiết sau học sinh trả lời bài cũ * Ví dụ 1: (SGK) * Hs thực chỗ a) - GV hướng dẫn hs đặt hướng dẫn GV, trả lời nhân tử chung các câu hỏi và kết - Chia vế cho 5x - Vì thực được? 5x > Do tính chất nghịch biến 2 hàm số y = 5 Ghi bảng * Một số tính chất hàm số mũ và logarit * Ví dụ 1: (SGK) Giải các bpt: a) 2x+2 - 2x+3 - 2x+4 > 5x+1 - 5x+2 b) 9x < 2.3x + Giải: a) bpt 2x(4 - - 16) > 5x(5 - 25) 2 5 x 2x < 5x x > x b) Như SGK * HĐ1: Giải bpt 52x+1 > 5x + * Hs thực trên bảng Giải: * GV yêu cầu Hs thực theo gợi ý GV hoạt động (SGK) 5y2 - y - > y Đặt ẩn phụ y = 5x y Đ/k y? bpt? x 5 x > x 5 Hoạt động 2: Hình thành kỹ giải bất phương trình logarit HĐGV * Ví dụ 1: (SGK) HĐHS * Hs thực chỗ hướng dẫn GV, trả lời Ghi bảng * SGK trang 129 Giải bpt log0,5(4x + 11) < log0,5(x2 1 Giáo viên biên soạn: Nguyễn Tiến Long Lop12.net (2) TRƯỜNG THPT HOÀI ĐỨC A GIÁO ÁN GIẢI TÍCH LỚP 12 NÂNG CAO các câu hỏi và kết + 6x + 8) 4 x 11 + x x 4 x 11 x x - Đ/k xác định bpt? x x 4 x 11 x x - Giải bpt? - Biểu diễn tập nghiệm trên trục số và kết luận * GV yêu cầu Hs thực hoạt động (SGK) (1) * Hs thực trên bảng theo gợi ý GV (2) (3) (2) x < - x > - (3) - < x < Vậy tập nghệm bpt đã cho là S = (-2; 1) * HĐ 2: Giải bpt log ( x 1) log 32 x ) (1) - < x < (2) - Đ/k xác định bpt? - Với đ/k (2) bpt (1) ? (1) log log (2 x ) x 1 2x x 1 x x 1 ( x 1)(2 x ) 1 x x và 1 x Vậy bpt đã cho có N0 1 S 1; ; - Tập nghiệm bpt đã cho? Củng cố: Hoạt động 3: Củng cố bài học Hoạt động giáo viên Hoạt động học sinh * Giải bpt 23-6x > (1) TXĐ: x R (1) 23-6x > 20 – 6x > x < 0,5 Nhờ tính chất đồng biến hàm số y = 2x Vậy bpt đã cho có tập N0: S = (- ; 0,5) * Hướng dẫn giải BT 80a (SGK) + Đ/k xác định? + Đưa cùng số nào? + bpt ? Lý do? + Tập N0 bpt? * Hướng dẫn giải BT 81d (SGK) + Đ/k xác định? + bpt ? Lý do? + Tập N0 bpt? * Giải bpt log 2x (2) x 1 x > < x < 0,5 x 2x < – 2x x (x > 0) (2) x đ/k 1/3 x < 1/2 Vậy bpt đã cho có tập N0: S = (1/3; 0,5) 2 Giáo viên biên soạn: Nguyễn Tiến Long Lop12.net (3) TRƯỜNG THPT HOÀI ĐỨC A GIÁO ÁN GIẢI TÍCH LỚP 12 NÂNG CAO Hướng dẫn học và bài tập nhà(2p): - Nắm vững phương pháp giải các bài tập bất phương trình mũ và logarit - Làm các bài tập 80-83 (SGK trang 129-130) Tiết 48: Luyện tập bất phương trình mũ và logarit I Mục đích yêu cầu: Về kiến thức: Giúp học sinh giải thành thạo số dạng bất phương trình mũ và logarit đơn giản Về kỹ năng: Học sinh rèn luyện kỹ giải bất phương trình mũ và logarit đơn giản II Chuẩn bị: Giáo viên: Giáo án, bảng phụ, phiếu học tập Học sinh: SGK, làm các bài tập đã giao tiết trước III Tiến trình bài học: Ổn định lớp: Kiểm tra sỉ số, tác phong… Kiểm tra bài cũ: Xen kẽ bài Bài mới: Chữa các bài tập nhà Hoạt động 1: Rèn luyện kỹ giải bất phương trình mũ Hoạt động giáo viên Hoạt động học sinh * Hướng dẫn giải BT 80b (SGK) + Hãy đưa hai vế dạng lũy thừa 2: 16x = ?; 0,125 = ? + bpt đã cho ? + Dựa vào tính chất nào hàm số nào? * Hướng dẫn giải BT 82b (SGK) + Hãy biến đổi tương đương dùng phương pháp đặt ẩn phụ * Giải bpt 16x > 0,125 (1) 16x = 24x; 1 0,125 3 2 (1) 24x > 2-3 4x > - x > - 3/4 (Dựa vào tính chất đồng biến hàm số y = 2x) * Giải bpt 2x + 2-x+1 – < (2) Bpt x 2.2 x x 3 2x Đặt t = 2x (t > 0) bpt trở thành t2 + 2t - > 2 x 3 t 3 Khi đó x 2x x t 2 Hoạt động 2: Rèn luyện kỹ giải bất phương trình logarit Hoạt động giáo viên Hoạt động học sinh * Giải bpt log0,5(x2 – 5x + 6) - (3) x2 – 5x + > (3) < x2 – 5x + * Hướng dẫn giải BT 81c (SGK) + Đ/k xác định bpt? x x 5x x x 5x 1 x + Bpt ? + Tập N0 bpt? 1 x 3 x Vậy bpt có tập N0 là S = [1; 2) (3; 4] 3 Giáo viên biên soạn: Nguyễn Tiến Long Lop12.net (4) TRƯỜNG THPT HOÀI ĐỨC A GIÁO ÁN GIẢI TÍCH LỚP 12 NÂNG CAO * Hướng dẫn giải BT 82a (SGK) + Đ/k xác định? + Đặt ẩn phụ? đ/k? + Dạng bpt? * Giải bpt log 02,5 x log 0,5 x (4) + x>0 + Đặt t = log0,5x; t R + Bpt có dạng t2 + t – - t Từ đó có - log0,5x 0,5 x * Giải bpt log ( x 6x 5) log (2 x ) (5) * Hướng dẫn giải BT 83b (SGK) + Đ/k xác định? + – x > và x2 – 6x + > + (5) log3(2 – x)2 – log3(x2 – 6x + 5) (2 – x)2 x2 – 6x + 2x – + Với đ/k đó bpt ? + Vậy thì bpt ? x x + Do đó bpt (5) 2 x 2 x x (; 1) (5; ) x x 1 x / 1 + Vậy bpt có tập N0 là S = ; 1 2 + Tập N0 bpt ? Củng cố: Khắc sâu các phương pháp giải bất phương trình mũ và logarit Dặn dò: BTVN các BT SGK còn lại TiÕt49: NGUYÊN HÀM I Mục đích yêu cầu: Về kiến thức: - Hiểu định nghĩa nguyên hàm hàm số trên K, phân biệt rõ nguyên hàm với họ nguyên hàm hàm số - Biết các tính chất nguyên hàm Về kỹ năng: Tìm nguyên hàm số hàm số tương đối đơn giản Về tư duy, thái độ: - Thấy mối liên hệ nguyên hàm và đạo hàm hàm số - Cẩn thận, chính xác, nghiêm túc, tích cực phát biểu xây dựng bài II Chuẩn bị: Giáo viên: Giáo án, bảng phụ, phiếu học tập Học sinh: SGK, đọc trước bài III Tiến trình bài học: Ổn định lớp: Kiểm tra sỉ số, tác phong… Kiểm tra bài cũ: (3’) Câu hỏi: Tìm đạo hàm các hàm số sau: a) y = x3 b) y = tan x 4 Giáo viên biên soạn: Nguyễn Tiến Long Lop12.net (5) TRƯỜNG THPT HOÀI ĐỨC A GIÁO ÁN GIẢI TÍCH LỚP 12 NÂNG CAO Bài mới: Hoạt động 1: Xây dựng khái niệm guyên hàm HĐGV HĐTP1: Hình thành khái niệm nguyên hàm - Yêu cầu học sinh thực HĐ1 SGK - Từ HĐ1 SGK cho học sinh rút nhận xét (có thể gợi ý cho học sinh cần) - Từ đó dẫn đến việc phát biểu định nghĩa khái niệm nguyên hàm (yêu cầu học sinh phát biểu, giáo viên chính xác hoá và ghi bảng) HĐTP2: Làm rõ khái niệm - Nêu vài VD đơn giản giúp học sinh nhanh chóng làm quen với khái niệm (yêu cầu học sinh thực hiện) H1: Tìm Ng.hàm các hàm số: a/ f(x) = 2x trên (-∞; +∞) HĐHS Ghi bảng I Nguyên hàm và tính chất - Thực dễ dàng dựa vào Nguyên hàm: kquả KTB cũ Kí hiệu K là khoảng, đoạn - Nếu biết đạo hàm khoảng IR hàm số ta có thể suy ngược Định nghĩa: (SGK/ T93) lại hàm số gốc đạo hàm - Phát biểu định nghĩa nguyên hàm (dùng SGK) - Học sinh thực VD: cách dễ dàng nhờ vào bảng a/ F(x) = x là ng/hàm hàm số đạo hàm f(x) = 2x trên (-∞; +∞) b/ F(x) = lnx là ng hàm TH: hs f(x) = trên (0; +∞) x a/ F(x) = x2 c/ F(x) = sinx là ng/hàm h/số f(x) = cosx trên (-∞; +∞) b/ F(x) = lnx c/ F(x) = sinx a/ F(x) = x2 + C b/ F(x) = lnx + C c/ f(x) = cosx trên (-∞; +∞) HĐTP3: Một vài tính chất suy c/ F(x) = sinx + C (với C: số bất kỳ) từ định nghĩa - Yêu cầu học sinh thực HĐ2 SGK - Học sinh phát biểu định lý (SGK) b) f(x) = x l.tục trên (0; +∞) HĐGV HĐHS - Từ đó giáo viên giúp học sinh nhận xét tổng quát rút kết luận là nội dung định lý và - Chú ý định lý SGK - Yêu cầu học sinh phát biểu và C/M định lý - Từ định lý và (SGK) nêu K/n họ nguyên hàm h/số và kí hiệu - Làm rõ mối liên hệ vi phân hàm số và nguyên hàm nó biểu thức (Giáo viên đề cập đến thuật Ghi bảng Định lý1: (SGK/T93) C/M Định lý2: (SGK/T94) C/M (SGK) ∫f(x) dx = F(x) + C CЄR Là họ tất các nguyên hàm f(x) trên K * Chú ý: f(x)dx là vi phân ng/hàm F(x) f(x) vì dF(x) = F’(x)dx = f(x)dx 5 Giáo viên biên soạn: Nguyễn Tiến Long Lop12.net (6) TRƯỜNG THPT HOÀI ĐỨC A GIÁO ÁN GIẢI TÍCH LỚP 12 NÂNG CAO ngữ: tích phân không xác định - H/s thực vd cho học sinh) HĐTP4: Vận dụng định lý - H/s làm vd2 (SGK): Giáo viên có thể hướng dẫn học sinh cần, chính xác hoá lời giải học sinh và ghi bảng học sinh cần) VD 2: a/ ∫2xdx = x2 + C; x Є(-∞; +∞) b/ ∫1/sds = ln s + C; s Є(0; +∞) c/ ∫costdt = sint + C; t Є(0; +∞) Củng cố: Khắc sâu định nghĩa, định lý DÆn dß: BTVN (SGK) TiÕt50: NGUYÊN HÀM (Tiếp theo) I Mục đích yêu cầu: Về kiến thức: - Nắm dược bảng nguyên hàm số hàm số thường gặp - Biết các tính chất nguyên hàm Về kỹ năng: Tìm nguyên hàm số hàm số tương đối đơn giản dựa vào bảng nguyên hàm và các tính chất nguyên hàm Về tư duy, thái độ: - Thấy mối liên hệ nguyên hàm và đạo hàm hàm số - Cẩn thận, chính xác, nghiêm túc, tích cực phát biểu xây dựng bài II Chuẩn bị: Giáo viên: Giáo án, bảng phụ, phiếu học tập Học sinh: SGK, đọc trước bài III Tiến trình bài học: Ổn định lớp: Kiểm tra sỉ số, tác phong… Kiểm tra bài cũ: (3’) Câu hỏi: Tìm đạo hàm các hàm số sau: a) y = x3 b) y = tan x Bài mới: Hoạt động : Tính chất nguyên hàm HĐGV HĐHS HĐTP1: Mối liên hệ nguyên hàm và đạo hàm: - Từ đ/n dễ dàng giúp học sinh suy tính chất (SGK) - Minh hoạ tính chất vd - Phát biểu tính chất (SGK) và y/c h/s thực HĐTP2: Tính chất (SGK) - H/s thực VD - Yêu cầu học sinh phát biểu tính chất và nhấn mạnh cho học sinh số K+0 - HD học sinh chứng minh tính chất - Phát biểu tính chất Ghi bảng Tính chất nguyên hàm: Tính chất 1: ∫f’(x) dx = f(x) + C VD 3: ∫(cosx)’dx = ∫(-sin)dx = cosx + C Tính chất 2: 6 Giáo viên biên soạn: Nguyễn Tiến Long Lop12.net (7) TRƯỜNG THPT HOÀI ĐỨC A GIÁO ÁN GIẢI TÍCH LỚP 12 NÂNG CAO HĐTP3: Tính chất - Y/cầu học sinh phát biểu tính chất - Thực HĐ4 (SGK) (giáo viên hướng dẫn học sinh cần) ∫kf(x) dx = k ∫f(x) dx k: số khác C/M: (SGK) Tính chất 3: ∫[f(x) ± g(x)]dx=∫f(x)dx ±∫g(x)dx - Phát biểu dựa vào SGK - Thực C/M: Chứng minh học sinh chính xác hoá Hoạt động 3: Nguyên hàm số hàm HĐGV - Minh hoạ tính chất VD 4: SGK và yêu cầu học sinh thực - Nhận xét, chính xác hoá và ghi bảng HĐTP1: Sự tồn nguyên hàm - Giáo viên cho học sinh phát biểu và thừa nhận định lý - Minh hoạ định lý vài vd SGK (y/c học sinh giải thích) HĐTP2: Bảng nguyên hàm - Cho học sinh thực hoạt động SGK - Treo bảng phụ và y/c học sinh kiểm tra lại kquả vừa thực - Từ đó đưa bảng kquả các nguyên hàm số hàm số thường gặp - Luyện tập cho học sinh cách yêu cầu học sinh làm vd6 SGK và số vd khác gv giao cho - HD h/s vận dụng linh hoạt bảng cách đưa vào các hàm số hợp HĐHS Ghi bảng - Học sinh thực VD: Với x Є(0; +∞) Ta có: ∫(3sinx + 2/x)dx = 3∫(sin)dx + 2∫1/xdx = - 3cosx + 2lnx +C VD 4: Tìm nguyên hàm hàm số f(x) = 3sinx + 2/x trên khoảng (0; +∞) Giải: Lời giải học sinh đã chính xác hoá Sự tồn nguyên hàm - Phát biểu định lý Định lý 3: (SGK/T95) - Thực VD5 - Thực HĐ5 VD5: (SGK/T96) - Kiểm tra lại kquả - Chú ý bảng kquả - Thực VD a) = 2∫x2dx + ∫x-2/3dx = 3x1/3 + C b) = 3∫[cosxdx = 3sinx - ]dx 3x 3 x C ln c) = 1/6(2x + 3)6 + C d) = ∫sinx/cosx dx = - ln/cosx/ +C Bảng nguyên hàm số hàm số thường gặp: Bảng nguyên hàm: (SGK/T97) x + VD6: Tính a/ + ─ ]dx trên (0; +∞) 3√x2 b) ∫(3cosx - 3x-1) dx trên (-∞; +∞) ∫[2x2 c) ∫2(2x + 3)5dx d) ∫tanx dx Cñng cè: Kh¾c s©u c«ng thøc vµ tÝnh chÊt cña nguyªn hµm DÆn dß: BTVN 1-4(SGK) 7 Giáo viên biên soạn: Nguyễn Tiến Long Lop12.net (8) TRƯỜNG THPT HOÀI ĐỨC A GIÁO ÁN GIẢI TÍCH LỚP 12 NÂNG CAO TiÕt51: BÀI TẬP NGUYÊN HÀM I Mục đích yêu cầu: Về kiến thức: Cñng cè l¹i lý thuyÕt VËn dông thµnh th¹o vµo bµi tËp Về kỹ năng: Tìm nguyên hàm dựa vào bảng n.hàm và các tính chất nguyên hàm Về tư duy, thái độ: - Thấy mối liên hệ nguyên hàm và đạo hàm hàm số - Cẩn thận, chính xác, nghiêm túc, tích cực phát biểu xây dựng bài II Chuẩn bị: Giáo viên: Giáo án, bảng phụ, phiếu học tập Học sinh: SGK, đọc trước bài III Tiến trình bài học: Ổn định lớp: Kiểm tra sỉ số, tác phong… Kiểm tra bài cũ: KÕt hîp Bài mới: Hoạt động 1: Hoạt động học sinh Hoạt động giáo viên T×m nguyªn hµm cña c¸c hµm sè sau x2 a) f x x C b) f x a) f x 3x x 5x 7x C 2 b) f x x x 7; x3 x c) f x C x 3 c) f ( x) d) f x x C e) f x x ; 1 x2 ; x d) f x x ; e) f x 10 x 2x 10 C ln 10 Gäi häc sinh lªn b¶ng lµm Gi¸o viªn söa sai Hoạt động 2: Hoạt động học sinh Hoạt động giáo viên T×m: a) x x C C b) x x c) x sin x C d) a) b) x x x dx; x2 x x dx ; c) sin xdx ; x sin x C d) cos x dx Gi¸o viªn gäi em häc sinh lªn b¶ng lµm Gi¸o viªn söa sai Hoạt động 3: Phát vấn hoc sinh để củng cố 8 Giáo viên biên soạn: Nguyễn Tiến Long Lop12.net (9) TRƯỜNG THPT HOÀI ĐỨC A GIÁO ÁN GIẢI TÍCH LỚP 12 NÂNG CAO * BT3 (SGK) Khẳng định đúng là (C) * BT4 (SGK) §úng v× - x lµ nguyªn hµm cña f Cñng cè: HÖ thèng l¹i c¸c d¹ng bµi tËp DÆn dß: BTVN s¸ch bµi tËp Tiết 52: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM I Mục tiêu 1.Về kiến thức: Hiểu phương pháp đổi biến số và lấy nguyên hàm phần Về kỹ năng: Giúp học sinh vận dụng phương pháp tìm nguyên hàm số hàm số không quá phức tạp Về tư thái độ: - Phát triển tư linh hoạt -Học sinh tích cực tham gia vào bài học, có thái độ hợp tác II Chuẩn bị giáo viên và học sinh Giáo viên: Lập các phiếu học tập, bảng phụ Học sinh: Các kiến thức vận dụng bảng các nguyên hàm, tính chất nguyên hàm, vi phân III Phương pháp: Gợi mở vấn đáp IV Tiến trình bài học : Kiểm tra bài cũ: Câu hỏi: a) Phát biểu định nghĩa nguyên hàm (2 x 1) b) Chứng minh hàm số F(x) = là nguyên hàm hàm số f(x) = 4x(2x2 +1)4 - Cho học sinh khác nhận xét bài làm bạn - Nhận xét, kết luận và cho điểm Bài mới: Hoạt động 1: Xây dựng phương pháp đổi biến số Hoạt động học sinh - Nếu đặt u = 2x2 + 1, thì x(2 x 1) dx = (2 x 1) (2 x 1)' dx = u du = u5 +C= (2 x 1) +C Hoạt động giáo viên - Thông qua câu hỏi b) , hướng dẫn hsinh đến phương pháp đổi biến số x(2 x 1) dx = Ghi bảng = (2 x 1) (2 x 1)' dx -Nếu đặt u = 2x2 + 1, thì biểu thức trên trở thành nào, kết sao? - Phát biểu định lí - Định lí 1: (SGK) 9 Giáo viên biên soạn: Nguyễn Tiến Long Lop12.net (10) TRƯỜNG THPT HOÀI ĐỨC A GIÁO ÁN GIẢI TÍCH LỚP 12 NÂNG CAO Hoạt động 2: Rèn luyện kỹ tìm nguyên hàm PPĐBS Hoạt động học sinh Hoạt động giáo viên - HS suy nghĩ cách biến đổi H1: Có dạng f [u ( x)]u ' ( x)dx 2x - Đ1: (x 2x x2 1 dx = thể biến đổi dx dạng x2 1 f [u ( x)]u ' ( x)dx không? Từ đó suy kquả? 1) ( x 1)' dx (x u 1) ( x 1)' dx = x2 1 dx = 1) ( x 1)' dx 2 Giải: x sin( x 1)dx = sin( x 1)( x 1)' dx Đặt u = (x2+1) , đó : 2 sin( x 1)( x 1)' dx = sin udu H2: Hãy biến x sin( x 1)dx f [u ( x)]u ' ( x)dx ? Từ đó suy = - e cos x (cos x)' dx Đặt u = cos x , đó : cos x e sin xdx = - (cos x)' dx = - e u du = - eu +C = - ecosx + C 1)( x 1)' dx Đặt u = (x2+1) , đó : đổi sin( x 1)( x 1)' dx = sin udu dạng = -cos u + C = - cos(x2+1) +C = -cos u + C = - cos(x2+1) k.quả? +C - HS suy nghĩ cách biến đổi - Nhận xét và kết luận dạng f [u ( x)]u ' ( x)dx Đ3: e cos x sin xdx = VD2: Tìm x sin( x 1)dx Đ2: x sin( x 1)dx = cos x dx 3 = u + C = (x2+1) + C 2 - HS suy nghĩ cách biến đổi - Nhận xét và kết luận dạng: f [u ( x)]u ' ( x)dx e x2 1 Giải: 2x 3 u + C = (x2+1) + C 2 2x 2 ( x 1) ( x 1)' dx = u du du sin( x Đặt u = x2+1 , đó : = VD1: Tìm (x Đặt u = x2+1 , đó : Ghi bảng VD3: Tìm e cos x sin xdx e cos x Giải: sin xdx = - e cos x (cos x)' dx Đặt u = cos x , đó : cos x cos x H3: Hãy biến đổi e sin xdx = - e (cos x)' dx u cos x dạng = - e du = -eu + c = - ecosx + c e sin xdx chú ý: có thể trình bày cách f [u ( x)]u ' ( x)dx ? Từ đó suy *khác: kquả? cos x cos x e sin xdx = - e d (cosx) - Nhận xét và kết luận = - ecosx + C Hoạt động 3: Củng cố ( 10 phút) Hoạt động nhóm Hoạt động học sinh Hoạt động giáo viên Ghi bảng - Các nhóm tập trung giải - Theo dõi phần trình bày nhóm bạn và rút nhận xét và bổ sung - Cho HS hđ nhóm thực phiếu HT1 - Gọi đại diện nhóm trình bày - Đại diện nhóm khác cho nhận xét - GV nhận xét và kết luận * Chú ý: Đổi biến số nào đó để đưa bài toán có dạng bảng nguyên hàm 10 Giáo viên biên soạn: Nguyễn Tiến Long Lop12.net (11) TRƯỜNG THPT HOÀI ĐỨC A GIÁO ÁN GIẢI TÍCH LỚP 12 NÂNG CAO Bài tập nhà: 6, trang 145 Phụ lục: Phiếu học tập1: Câu Tìm kết sai các kết sau: 1 x2 ln x x2 e d ( x ) dx = ln xd (ln x) = ln x + C = e +C ; b/ 2 x d (1 x ) dx = dx = ln(1+ x ) + C ; d/ xsinxdx = -xcosx + C x (1 x ) 1 x a/ e x xdx = c/ Câu Tìm kết sai các kết sau: x3 e d (x3 ) = e x + C ; b/ sin x cos xdx = sin x.d (sin x) = sin x + C 3 d (1 x ) dx = c/ = ln(1+ x ) + C ; d/ x cosxdx = x.sinx + C x (1 x ) 1 x a/ e x x dx = Tiết 53: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM (Tiếp theo) I Mục tiêu: Về kiến thức: Hiểu phương pháp đổi biến số và lấy nguyên hàm phần Về kỹ năng: Giúp học sinh vận dụng phương pháp tìm nguyên hàm số hàm số không quá phức tạp Về tư thái độ: - Phát triển tư linh hoạt -Học sinh tích cực tham gia vào bài học, có thái độ hợp tác II Chuẩn bị giáo viên và học sinh Giáo viên: Lập các phiếu học tập, bảng phụ Học sinh: Các kiến thức : - Vận dụng bảng các nguyên hàm, tính chất nguyên hàm, vi phân III Phương pháp: Gợi mở vấn đáp IV Tiến trình bài học: Tæ chøc: Kiểm tra bài cũ: Câu hỏi: a/ Phát biểu định nghĩa nguyên hàm b/ Chứng minh hàm số F(x) = (2 x 1) là nguyên hàm hàm số f(x) = 4x(2x2 +1)4 - Cho học sinh khác nhận xét bài làm bạn - Nhận xét, kết luận và cho điểm Bµi míi: Hoạt động 4: Giới thiệu phương pháp lấy nguyên hàm phần Hoạt động học sinh Đ: (u.v)’= u’.v + u.v’ Hoạt động giáo viên Ghi bảng H: Hãy nhắc lại công thức đạo 11 Giáo viên biên soạn: Nguyễn Tiến Long Lop12.net (12) TRƯỜNG THPT HOÀI ĐỨC A (uv)' dx = u 'vdx + uv' dx udv = (uv)'dx + vdu udv = uv - vdu Đ: Đặt u = x, dv = sinxdx Khi đó du = dx, v = -cosx Ta có : x sinxdx =- x.cosx + cosxdx = - xcosx + sinx + C GIÁO ÁN GIẢI TÍCH LỚP 12 NÂNG CAO hàm tích ? Hãy lấy nguyên hàm hai vế, suy udv = ? - GV phát biểu định lí - Lưu ý cho HS: đặt u, dv cho vdu tính dễ udv - H: Từ đlí hãy cho biết đặt u và dv nào? Từ đó dẫn đến kq? - yêu cầu HS khác giải cách đặt u = sinx, dv = xdx thử kq nào - Định lí 3: (SGK) udv = uv - vdu - VD1: Tìm x sin xdx Giải: Đặt u = x,dv = sinxdx Khi đó du =dx,v =-cosx Ta có : x sinxdx =- x.cosx + cosxdx = - xcosx + sinx + C Hoạt động 5: Rèn luyện kỹ tìm nguyên hàm pp lấy nguyên hàm phần Hoạt động học sinh Hoạt động giáo viên Ghi bảng - Học sinh suy nghĩ và tìm H: - Dựa vào định lí 3, hãy đặt u, dv - VD2: Tìm xe x dx hướng giải vấn đề nào ? Suy kết ? Bg : Đ: Đặt u = x ,dv = exdx Đặt u = x ,dv = exdx du = dx, v = ex du = dx, v = ex Suy : Suy : x x x x xe dx = x ex - e dx x - e dx = x e xe dx = x.ex – ex + C x = x.e – ex + C Đ: Đặt u = x2, dv = exdx du = 2xdx, v = ex Khi đó: x e x dx =x2.ex- x e x dx H : Hãy cho biết đặt u, dv nào ? Suy kquả ? - Lưu ý :Có thể dùng phần nhiều lần để tìm nguyên hàm = x2.ex-x.ex- ex+C - Đ: Đặt u = lnx, dv= dx du = dx, v = x x Khi đó : ln xdx = xlnx - - H: Cho biết đặt u và dv nào ? = xlnx – x + C - Đăt u = lnx, dv = du = x dx , v = x Đ: Không Trước hết : Giải: Đặt u = x2, dv = exdx du = 2xdx, v = ex Khi đó: x x x e dx =x2.ex- x e dx = x2.ex-x.ex- ex+C VD4: Tìm ln xdx Giải: Đặt u = lnx, dv= dx dx x2dx VD3: Tìm I= x e x dx - Thông qua VD3, GV yêu cầu HS cho biết x ln xdx thì ta đặt u, dv nào du = dx, v = x x Khi đó : ln xdx = xlnx - dx = xlnx – x + C ? Có thể sử dụng pp phần VD5: Tìm sin x dx 12 Giáo viên biên soạn: Nguyễn Tiến Long Lop12.net (13) TRƯỜNG THPT HOÀI ĐỨC A Đặt t = x dt = GIÁO ÁN GIẢI TÍCH LỚP 12 NÂNG CAO không ? ta phải làm nào ? + Gợi ý : dùng pp đổi biến số trước, đặt t = x dx x Suy sin x dx =2 t sin tdt Đặt u = t, dv = sint dt du = dt, v = - cost t sin tdt =-t.cost+ cos tdt * Lưu ý cho HS các dạng thường sử dụng pp phần f ( x) sin xdx , f ( x) cos xdx = -t.cost + sint + C Suy ra: sin x dx = f ( x)e x dx đặt u = f(x), dv cònlại f ( x) ln xdx , đặt u = lnx,dv =f(x) dx = -2 x cos x +2sin x +C Giải : Đặt t = x dt = dx x Suy sin x dx =2 t sin tdt Đặt u = t, dv = sint dt du = dt, v = - cost t sin tdt =-t.cost+ cos tdt = -t.cost + sint + C Suy ra: sin x dx = = -2 x cos x +2sin x +C Hoạt động 6: Củng cố (Giáo viên dùng bảng phụ, lớp cùng chú ý phát hiện) Hoạt động học sinh Hoạt động giáo viên Ghi bảng - Cả lớp tập trung giải - Theo dõi phần trình bày bạn và rút nhận xét và bổ sung - Treo bảng phụ và yêu cầu lớp chú ý giải - Gọi HS trình bày ý kiến mình - GV nhận xét và kết luận Bài tập nhà: 7, 8, trang 145 và 146 Phụ lục: Dựa vào bảng sau đây, hãy cho biết gợi ý phương pháp giải nào không hợp lý ( Đối với f ( x)dx ) Hàm số Gợi ý phương pháp giải f(x) = (2x+1)cosx Đặt u = 2x+1 , dv =cosx f(x) = xe-x Đặt u = e-x , dv = xdx f(x) = x lnx Đặt u = lnx, dv = x f(x) = ex sinx Đặt u = ex ,dv = sinxdx u = sinx,dv = exdx Tiết 54: LUYỆN TẬP I Mục tiêu: 1.Về kiến thức: Học sinh nắm vững hai pp tìm nguyên hàm Về kỹ năng: Giúp học sinh vận dụng p.pháp tìm nguyên hàm số hàm số Về tư thái độ: - Phát triển tư linh hoạt - Học sinh tích cực tham gia vào bài học, có thái độ hợp tác 13 Giáo viên biên soạn: Nguyễn Tiến Long Lop12.net (14) TRƯỜNG THPT HOÀI ĐỨC A GIÁO ÁN GIẢI TÍCH LỚP 12 NÂNG CAO II Chuẩn bị giáo viên và học sinh Giáo viên : - Bài tập SGK - Lập các phiếu học tập Học sinh: Biết phân biệt dạng toán dung pp đổi biến số, phần III Phương pháp: IV Tiến trình bài học Tæ chøc: Kiểm tra bài cũ: Câu hỏi 1: Hãy phát biểu phương pháp đổi biến số để tìm nguyên hàm? Áp dụng: Tìm 1 cos dx x x Câu hỏi 2: Hãy phát biểu phương pháp lấy nguyên hàm phần để tìm nguyên hàm Áp dụng: Tìm (x+1)e x dx - Yêu cầu HS khác nhận xét, bổ sung - Gv kết luận và cho điểm Bµi míi: Hoạt động học sinh - Hs1: Dùng pp đổi biến số Đặt u = sin2x - Hs2: Đặt u = sin2x du = 2cos2xdx Khi đó: sin 2x cos2xdx 1 u du = u6 + C 12 = sin62x + C 12 = Hoạt động giáo viên Ghi bảng Thông qua nội dung kiểm tra bài Bài Tìm cũ x x sin cos dx Giáo viên nhấn mạnh thêm 3 khác việc vận dụng hai Giải: phương pháp x x Đặtu=sin du= cos dx 3 - Gọi môt học sinh cho biết cách x x cos dx = giải, sau đó học sinh khác Khi đó: sin 3 trình bày cách giải u du = u6 + C 18 x = sin6 + C Hoặc 18 x x sin cos dx x x = sin d(sin ) 3 x - Gọi môt học sinh cho biết cách = 18 sin + C - Hs1: Dùng pp đổi biến số Đặt u = 7-3x2 giải, sau đó học sinh khác Bài Tìm - Hs2: đặt u=7+3x2 du= trình bày cách giải 6xdx 3x 3x dx Khi đó : Giải : Đặt u=7+3x2 du=6xdx 3x 3x dx = Khi đó : 1 2 2 = u du = u +C 3x 3x dx = 2 14 Giáo viên biên soạn: Nguyễn Tiến Long Lop12.net (15) TRƯỜNG THPT HOÀI ĐỨC A GIÁO ÁN GIẢI TÍCH LỚP 12 NÂNG CAO 3 1 2 u du = u +C 2 Đ: Dùng pp lấy nguyên H: Có thể dùng pp đổi biến số 2 không? Hãy đề xuất cách = (7+3x ) 3x +C hàm phần giải? Đặt u = lnx, dv = x dx Bài Tìm x lnxdx 2 Giải : du = dx , v = x x Đặt u = lnx, dv = x dx = (7+3x2) 3x +C = Khi đó: x lnxdx = du = 2 = x23 3 x 2 dx , v = x x Khi đó: x lnxdx = dx x 2 2 = x2x + C= 3 3 2 x 3 = x2 dx x H: Hãy cho biết dùng pp nào để 3 2 2 tìm nguyên hàm? = x2x + C= 3 - Nếu HS không trả lời thì Đ: Dùng pp đổi biến số, GV gợi ý = - x +C sau đó dùng pp phần Đổi biến số trước, sau đó Đặt t = 3x phần Bài Tìm e x 9 dx t = 3x – 2tdt=3dx Giải : Khi đó: e x 9 dx = Đặt t = 3x t =3x-9 te t dt 2tdt=3dx t Đặt u = t, dv = e dt Khi đó: e x 9 dx = te t dt t du = dt, v = e Đặt u = t, dv = etdt Khi đó: te t dt=tet du = dt, v = et t t- et + c e dt = t e Khi đó: te t dt=tet - e t dt Suy ra: = t et- et + c t t x 9 e dx= te - e + C Suy ra: = - x +C e x 9 dx= tet - t e +c Hoạt động 7: Củng cố.(10’) f ( x)dx , hãy ghép ý cột trái với ý cột phải để mệnh đề đúng Với bài toán Hàm số Phương pháp 1/ f(x) = cos(3x+4) 2/ f(x) = a/ Đổi biến số cos (3 x 2) b/ Từng phần 3/ f(x) = xcos(x2) 4/ f(x) = x3ex c/ Đổi biến số d/ Đổi biến số 1 5/ f(x)= sin cos x x x e/ Từng phần 15 Giáo viên biên soạn: Nguyễn Tiến Long Lop12.net (16) TRƯỜNG THPT HOÀI ĐỨC A GIÁO ÁN GIẢI TÍCH LỚP 12 NÂNG CAO Bài tập nhà: Tìm f ( x)dx các trường hợp trên §3 TÍCH PHÂN I Mục tiêu: Về kiến thức: - Học sinh hiểu bài toán tính diện tích hình thang cong và bài toán quãng đường vật - Học sinh hiểu khái niệm tích phân, diện tích hình thang cong, tính chất tích phân - Phát biểu định nghĩa tích phân, định lí diện tích hình thang cong - Viết các biểu thức biểu diễn các tính chất tích phân Về kỹ năng: Học sinh rèn luyện kĩ tính số tích phân đơn giản Vận dụng vào thực tiễn tính diện tích hình thang cong , giải các bài toán tìm quãng đường vật Về tư và thái độ: - Thái độ: tích cực xây dựng bài, chủ động, sáng tạo quá trình tiếp cận tri thức - Tư duy: hình thành tư logic, lập luận chặt chẽ, và linh hoạt quá trình suy nghĩ II Phương pháp: Thuyết trình, kết hợp thảo luận nhóm và hỏi đáp III Chuẩn bị: Chuẩn bị giáo viên: Phiếu học tập, SGK, bảng phụ Chuẩn bị học sinh: - Hoàn thành các nhiệm vụ nhà - Đọc qua nội dung bài nhà IV Tiến trình tiết dạy : Ổn định lớp: Kiểm tra bài cũ: 5’ - Viết công thức tính nguyên hàm số hàm số hàm số thường gặp - Tính : ( x 1)dx - GV nhắc công thức : f ' x0 lim x x0 f x f x0 x x0 Bài mới: Tiết 55: Hoạt động 1: Tìm hiểu khái niệm tích phân qua bài toán diện tích hình thang cong Hoạt động học sinh Hoạt động giáo viên I Khái niệm hình thang cong - Dựng hình thang ABCD 73 biết các đường thẳng: AB: 20 S= f(x)=x+1,AD: x=2, CB: x=6 và y = (trục hoành) t 1 t2 ( t ) t 4 S(t) = - Tính diện tích S hình thang 2 ABCD t 2;6 Ghi bảng 16 Giáo viên biên soạn: Nguyễn Tiến Long Lop12.net (17) TRƯỜNG THPT HOÀI ĐỨC A S’(t) = t+1= f(t) S(t) là nột nguyên hàm f(t) = t+1 S(6) = 20,S(2) = và S ABCD = S(6)-S(2) y y=f(x)= x+1 B G f(x0) GIÁO ÁN GIẢI TÍCH LỚP 12 NÂNG CAO A -1 C H D -2 -1 x0 x Hình - Lấy t 2;6 Khi đó diện tích hình thang AHGDbằng bao nhiêu? - S’(t) = ?.Khi đó S(t) và f(t) có liên hệ nào ? - Tính S(6) , S(2) ? và S ABCD ? Từ lập luận trên dẫn đến k/n hình thang cong và công thức tính d/t nó A - Bài toán tích diện tích hình phẳng giới hạn đường cong có thể đưa bài toán tính diện tích số hình thang cong Hai bài toán dẫn đến khái niệm tích phân: a) Diện tích hình thang cong - Bài toán 1: (SGK) y y=f(x) B y y=f(x) A S(x) B a x a O Hình x b - Giáo viên đưa bài toán: Tính diện tích hình thang cong aABb Giới hạn đồ thị hàm số liên tục y = f(x) , f(x) 0, trục Ox và các đương thẳng x = a , x = b (a<b) - Cho học sinh đọc bài toán SMNEQ = S(x) – S(x0) SGK - Kí hiệu S(x) là diện tích SMNPQ < SMNEQ < SMNEF hình thang cong giới hạn đồ thị (C) hàm số y = f(x), trục Ox và các đường lim f x f(x0) thẳng qua a, x và song song x x Oy Hãy chứng minh S(x) là S ( x) S ( x0 ) f(x0) (2) nguyên hàm f(x) trên xlim x x x0 [a; b] - Giả sử x0 là điểm tùy ý cố 0 x b KH: S(x) (a x b ) y y f( x) E F f(x) Q f(x0) P x x0 M N x * Xét điểm x (a ; b ] SMNEQ là S(x) – S(x0) Ta có:SMNPQ < SMNEQ < SMNEF f(x0)(x-x0)<S(x)S(x0)<f(x)(x-x0) f(x0)< S(x) - S(x ) <f(x) (1) x - x0 17 Giáo viên biên soạn: Nguyễn Tiến Long Lop12.net (18) TRƯỜNG THPT HOÀI ĐỨC A GIÁO ÁN GIẢI TÍCH LỚP 12 NÂNG CAO S ( x) S ( x0 ) định thuộc (a ; b) lim f(x0) (3) * Xét điểm x (a ; b ] x x x x0 - Diện tích hình thang cong S ( x) S ( x0 ) lim f(x0) MNEQ? x x x x0 - Dựa vào hình so sánh diện tích S(x) = F(x) +C (C: là số) SMNPQ , SMNEQ và SMNEF * f(x) liên tục trên [ a; b ] lim f x ? x x S = S(b) – S(a) S ( x) S ( x0 ) ? - Suy lim 0 x x0 x x0 * Xét điểm x [a ; b ) S ( x) S ( x0 ) ? Tương tự lim x x0 x x0 Từ (2) và (3) suy gì? S(x) là nguyên hàm f(x) trên [ a; b ] ta biểu diễn S(x)? * SMNEQ = S(x) – S(x0) S =? Vì lim f x f(x0) x x0 (1) lim x x0 S ( x) S ( x0 ) x x0 f(x0)(2) * Xét điểm x [a ; b ) Tương tự: lim x x0 S ( x) S ( x0 ) x x0 f(x0)(3) Từ (2) và (3)ta có: lim x x0 S ( x) S ( x0 ) f(x0) x x0 Hay S’ (x) = f(x0) Suy S’ (x) = f(x) (vì x (a ; b ) nên suy S’ (a) = f(a),S’(b) = f(b) Vậy S(x) là nguyên hàm f(x) trên [ a; b ] S(x)= F(x) +C (C: là - Học sinh tiến hành giải số) định hướng giáo viên: S = S(b) – S(a) x5 = (F(b) +C) – (F(a) + C) C ( C là số) I = x dx = = F(b) – F(a) - Giáo viên củng cố kiến thức BT1 + Giả sử y = f(x) là hàm số liên tục và f(x) trên [ a; b ] Khi đó diện tích hình thang cong giới hạn đồ thị (C) hàm số y Chọn F(x) = x = f(x), trục Ox và đường thẳng x = a, x = b là S = F(b) – F(a) F(1) = , F(2) = 32 đó F(x) là nguyên 5 31 hàm bất kì hàm số f(x) (dvdt ) S = F(2) –F(1) = trên [ a; b ] - Giáo viên định hướng học sinh giải nhiệm vụ phiếu học tập số - Tìm họ nguyên hàm f(x)? - Chọn nguyên hàm F(x) f(x) họ các nguyên hàm đã tìm ? - Tính F(1) và F(2) Diện tích cần tìm ? Giải: x5 C I = x dx = x5 Chọn F(x) = ( C là số) 32 , F(2) = 5 31 (đvdt ) S = F(2) –F(1) = F(1) = Củng cố: Nhắc lại công thức tính diện tích hình thang cong Rút kinh nghiệm: 18 Giáo viên biên soạn: Nguyễn Tiến Long Lop12.net (19) TRƯỜNG THPT HOÀI ĐỨC A GIÁO ÁN GIẢI TÍCH LỚP 12 NÂNG CAO Tieát 56: Bài mới: Hoạt động 1: Tìm hiểu khái niệm tích phân qua bài toán quãng đường vật Hoạt động học sinh Hoạt động giáo viên Ghi bảng - Giáo viên định hướng học sinh giải bài toán (sgk) + Gọi s(t) là quãng đường vật thời điểm t Quãng đường khoảng thời gian từ thời điểm t = a đến thời điểm t = b là bao nhiêu? + v(t) và s(t) có liên hệ nào? + Suy f(t) và s(t) có liên hệ nào? + Suy s(t) và F(t) có liên hệ nào? + Từ (1) và (2) hãy tính L theo F(a) và F(b)? - Giáo viên định hướng học sinh giải nhiệm vụ phiếu học tập - Học sinh tiến hành giải định hướng giáo viên Quãng đường khoảng thời gian từ thời điểm t = a đến thời điểm t = b là : L = s(b) – s(a) (1) b) Quãng đường vật Bài toán 2: (SGK) CM: Quãng đường khoảng thời gian từ thời điểm t = a đến thời điểm t = b là : L = s(b) - s(a) (1) + Tìm họ nguyên hàm f(t)? + Lấy nguyên hàm F(t) f(t) họ các nguyên hàm đã tìm + Tính F(20) và F(50)? + Quãng đường L vật khoảng thời gian từ t1 = 20 đến t2 = 50 liên hệ nào với F(20) và F(50) I = (3t 2)dt t 2t C v(t) = s’(t) s’(t) = f(t) v(t) = s’(t) s’(t) = f(t) s(t) là nguyên hàm f(t) suy tồn C: s(t) = F(t) +C s(t) là nguyên hàm f(t) (2) suy tồn C: s(t) = F(t) +C Từ (1) và (2) L= F(b)–F(a) (2) Từ (1) và (2) L= F(b)–F(a) - Học sinh tiến hành giải định hướng giáo viên F(t) = t2 2t Giải: I = (3t 2)dt t 2t C F(t) = t2 2t F(20) = 640 ; F(50) = 3850 F(20) = 640 ; F(50) = 3850 Suy L = F(50)– Suy L = F(50)– F(20)=3210(m) F(20)=3210(m) Hoạt động 2: Hình thành khái niệm tích phân Hoạt động học sinh Hoạt động giáo viên - Giáo viên nêu định nghĩa Học sinh tiếp thu và ghi nhớ tích phân (SGK) - Giáo viên nhấn mạnh Trong trường hợp a < b, ta gọi Ghi bảng Khái niệm tích phân Định nghĩa: (SGK) b f ( x)dx là tích phân f a trên đoạn [a ; b ] Học sinh tiến hành giải Giáo viên yêu cầu học sinh định hướng giáo viên trả lời câu hỏi (H2) Gợi ý: 19 Giáo viên biên soạn: Nguyễn Tiến Long Lop12.net (20) TRƯỜNG THPT HOÀI ĐỨC A GIÁO ÁN GIẢI TÍCH LỚP 12 NÂNG CAO b - Gọi F(x) = g(x) +C là họ các Giả sử: F(x) = f ( x)dx = g(x)+C nguyên hàm f(x) a - Chọn nguyên hàm F1(x) = Chọn F1(x) = g(x)+C1 bất kì g(x)+C1 bất kì họ các nguyên hàm đó F1(a) = g(a)+C1 - Tính F1(a), F1(b)? F1(b) = g(b)+C1 b - Tính f ( x)dx ? a b - Nhận xét kết thu - Giáo viên lưu ý học sinh: f ( x)dx = [g(b)+C1]-[g(a)+C1] a Người ta còn dùng kí hiệu Người ta còn dùng kí hiệu F(x)| = g(b) – g(a) b F(x)| ba để hiệu số F(b) để hiệu số F(b) -F(a).Như Không phụ thuộc vào cách chọn a F(a) F là nguyên hàm C1 (đpcm) b - Hãy dùng kí hiệu này để f trên k thì: viết a f ( x)dx = F(x)| Học sinh tiếp thu, ghi nhớ b f ( x)dx a - Giáo viên lưu ý học sinh: Người ta gọi hai số a, b là hai cận tích phân, số a là cận dưới, số b la cận trên, f là hàm số dấu tích phân, f(x)dx là biểu thức dấu tích phân và x là biến số lấy tích phân - Giáo viên định hướng học sinh giải nhiệm vụ phiếu học tập số a) 2xdx b a b f(x) thì: f ( x)dx = F(x)| ba /2 b) sin xdx - Tìm nguyên hàm sinx? - Thay các cận vào nguyên hàm trên /3 dx c) / cos x a) 2xdx = x2| 15 = 25 – = 24 a /2 sin xdx = - cosx | b) /2 0 Học sinh giải định = - (0 -1) =1 hướng giáo viên: a) 2xdx = x2| 15 = 25 – = 24 1 - Tìm nguyên hàm 2x? - Thay các cận vào nguyên hàm trên Giải: Giả sử F(x) là nguyên hàm /2 sin xdx = - cosx | b) /2 /3 c) dx = tanx| // 34 = / cos x 1 =- (0 -1) =1 dx = ln|x|| 42 = ln4 – ln2 x = ln = ln2 d) /3 c) dx = tanx| // 34 = / cos x 1 - Tìm nguyên hàm ? cos x - Thay các cận vào nguyên dx = ln|x|| 42 = ln4 – ln2 x d) 20 Giáo viên biên soạn: Nguyễn Tiến Long Lop12.net (21)