Đang tải... (xem toàn văn)
Ví dụ 3 Xác ñịnh tập hợp các ñiểm Mz trong mặt phẳng phức biểu diễn các số π z−2 có acgumen bằng... Vì số phức.[r]
(1)www.MATHVN.com MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ SỐ PHỨC Biên soạn: NGUYỄN TRUNG KIÊN 0988844088 I) DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC Dạng 1) Bài toán liên quan ñến biến ñổi số phức Ví dụ 1) Tìm số nguyên x, y cho số phức z=x+yi thoả mãn z = 18 + 26i Giải: x3 − xy = 18 z = 18 + 26i ⇔ ( x + yi ) = 18 + 26i ⇔ ⇔ 18 ( 3x y − y ) = 26 ( x3 − 3xy ) 3 x y − y = 26 Giải phương trình cách ñặt y=tx ta ñược t = ⇒ x = 3, y = Vậy z=3+i Ví dụ 2) Cho hai số phức z1; z2 thoả mãn z1 = z2 ; z1 + z2 = Tính z1 − z2 Giải: a12 + b12 = a22 + b22 = Đặt z1 = a1 + b1i; z2 = a2 + b2i Từ giả thiết ta có 2 ( a1 + a2 ) + ( b1 + b2 ) = ⇒ ( a1b1 + a2b2 ) = ⇒ ( a1 − a2 ) + ( b1 − b2 ) = ⇒ z1 − z2 = 2 Dạng 2) Bài toán liên quan ñến nghiệm phức Ví dụ 1) Giải phương trình sau: z − 8(1 − i ) z + 63 − 16i = Giải: Ta có ∆ ' = 16(1 − i ) − (63 − 16i ) = −63 − 16i = (1 − 8i ) Từ ñó tìm nghiệm là z1 = − 12i, z2 = + 4i Ví dụ 2) Giải phương trình sau: 2(1 + i ) z − 4(2 − i ) z − − 3i = Giải: Ta có ∆ ’ = 4(2 – i)2 + 2(1 + i)(5 + 3i) = 16 Vậy phương trình cho hai nghiệm là: 2(2 − i ) + 4 − i (4 − i )(1 − i ) z1 = = = = − i 2(1 + i ) 1+ i 2 2(2 − i ) − − i (−i )(1 − i ) 1 z2 = = = =− − i 2(1 + i) 1+ i 2 Ví dụ 3) Giải phương trình z − z + 14 z − = Giải: Ta có phương trình tương ñương với ( z − 1) ( z − z + ) = Từ ñó ta suy phương trình có nghiệm là z1 = ; z2 = − i; z3 = + i Ví dụ 4) Giải phương trình: z − z + z + + (2 z + 1)i = biết phương trình có nghiệm thực 2 z − z + 3z + = −1 thoả mãn Giải: Vì phương trình có nghiệm thực nên ⇒z= 2 z + = hai phương trình hệ:Phương trình ñã cho tương ñương với ( z + 1) ( z − 3z + + i ) = Giải phương trình ta tìm ñược z = − ; z = − i; z = + i www.MATHVN.com Lop12.net (2) www.MATHVN.com Ví dụ 5) Giải phương trình: z + (1 − 2i ) z + (1 − i) z − 2i = biết phương trình có nghiệm ảo: Giải: Giả sử nghiệm ảo phương trình là z=bi thay vào phương trình ta có ( bi ) + (1 − 2i) ( bi ) + (1 − i)(bi) − 2i = ⇔ (b − b2 ) + (−b3 + 2b + b − 2)i = b − b = ⇔ ⇒ b = ⇒ z = i là nghiệm, từ ñó ta có phương trình tương −b + 2b + b − = ñương với ( z − i ) ( z + (1 − i ) z + ) = Giải pt này ta tìm ñược các nghiệm Ví dụ 6) Tìm nghiệm phương trình sau: z = z Giải: Giả sử phương trình có nghiệm: z=a+bi thay vào ta có ( a + bi ) = a + bi a − b = a ⇔ Giải hệ trên ta tìm ñược (a, b) = (0; 0), (1; 0),(− ; ± ) Vậy phương 2 2ab = −b i trình có nghiệm là z = 0; z = 1; z = − ± 2 Dạng 3) Các bài toán liên quan ñến modun số phức: Ví dụ 1) Tìm các số phức z thoả mãn ñồng thời các ñiều kiện sau: z + − 2i = z − + i và z − i = Giải: x + + ( y − 2)i = x − + (1 − y )i Giả sử z=x+yi (x,y là số thực) Từ giả thiết ta có x + ( y − 1)i |= ( x + 1) + ( y − 2) = ( x − 2) + (1 − y ) y = 3x ⇔ ⇔ x = 1, y = ⇔ 2 10 − − = x x x + ( y − 1) = x = − , y = − Vậy có số phức thoả mãn ñiều kiện 5 i−m Ví dụ 2) Xét số phức z thoả mãn z = ;m∈ R − m(m − 2i ) a) Tìm m ñể z.z = b)Tìm m ñể z − i ≤ c) Tìm số phức z có modun lớn Giải: a) Ta có ( i − m ) (1 − m2 − 2mi ) i−m − m(1 − m2 ) + 2m + (1 − m + 2m ) = = z= − m + 2mi (1 − m + 2mi )(1 − m − 2mi ) (1 − m2 ) + 4m2 www.MATHVN.com Lop12.net (3) www.MATHVN.com = m(1 + m ) + i (1 + m ) (1 + m ) 2 ⇒ z z = m m i⇒ z = i + − 2 1+ m 1+ m + m + m2 1 m2 + ⇔ = ⇔ m + = ⇔ m = ±1 2 ( m2 + 1) b) Ta có z − i ≤ ⇔ = 1 m m m2 ⇔ + − ≤ ⇔ − i i ≤ ⇔ 2 2 1+ m 1+ m 1+ m 1+ m 1 1 m2 m4 m2 + ≤ ⇔ ≤ ⇔ 16m ≤ + m2 ⇔ − ≤m≤ 2 2 (1 + m ) (1 + m ) 16 1+ m 15 15 c) Ta có z = m2 + (m + 1) = m2 + ≤ ⇒| z |max = ⇔ m = Ví dụ 3) Trong các số phức z thoả mãn ñiều kiện z − − 4i = Tìm số phức z có modun lớn nhất, nhỏ 2 Giải: Xét số phức z = x+yi Từ giả thiết suy ( x − ) + ( y − ) = Suy tập hợp ñiểm M(x;y) biểu diễn số phức z là ñường tròn tâm I(2;4) bán kính R = Dễ dàng có ñược M (2 + sin α ; + cos α ) Modun số phức z chính là ñộ dài véc tơ OM Ta có |z|2= OM = (2 + sin α ) + (4 + cos α ) = 25 + 5(sin α + cos α ) Theo BDT Bunhiacopxki ta có (sin α + cos α ) ≤ (1 + 4) ( sin α + cos α ) = ⇒ − ≤ sin α + cos α ≤ ⇒ ≤ z ≤ Vậy −1 ; cos α = | z |max = ⇔ sin α + cos α = ⇔ sin α = ; cos α = | z |min = ⇒ sin α + cos α = − ⇔ sin α = −2 ⇔ x = 1, y = ⇒ z = + 2i ⇔ x = 3, y = ⇒ z = + 6i Ví dụ 4) Trong các số phức thoả mãn ñiều kiện z − − 4i = z − 2i Tìm số phức z có moodun nhỏ Giải: Xét số phức z = x+yi Từ giả thiết suy 2 ( x − ) + ( y − ) = x + ( y − ) ⇔ x + y − = Suy tập hợp ñiểm M(x;y) biểu diễn số phức z là ñường thẳng y=-x+4 Ta có z = x + y = x + (4 − x) = x − x + 16 = 2( x − 2) + ≥ 2 Từ ñó suy z = 2 ⇔ x = ⇒ y = ⇒ z = + 2i Dạng 4) Tìm tập hợp ñiểm biểu diễn số phức Ví dụ 1) Tìm tập hợp các ñiểm M mặt phẳng phức biểu diễn số phức z biết: z b) z = z − + 4i c) z − i + z + i = a) =3 z −i www.MATHVN.com Lop12.net (4) www.MATHVN.com Giải: Gọi z=x+yi 9 a) Từ giả thiết ta có z = z − i ⇔ x + y = 9( x + ( y − 1) ) ⇔ x + ( y − ) = 64 Vậy tập hợp ñiểm M là ñường tròn tâm I (0; ), R = 8 2 2 b) Từ giả thiết ta có x + y = ( x − 3) + (4 − y ) ⇔ x + y = 25 Vậy tập hợp các ñiểm M là ñường thẳng 6x+8y-25=0 c) Giả sử z =x+yi thì z − i + z + i = ⇔ x + ( y − 1) + x + ( y + 1) = ⇔ 2 x + ( y + 1) ≤ x + ( y + 1)2 ≤ 16 ⇔ ⇔ x + ( y − 1)2 = 16 − x + ( y + 1) + x + ( y + 1)2 x + ( y − 1) = y + x + ( y + 1)2 ≤ 16(1) x + ( y + 1)2 ≤ 16 x2 y2 2 ⇔ x + y + y + = y + y + 16 ⇔ + = 1(2) y ≥ −4 3 y ≥ −4(3) Ta thấy các ñiểm nằm hình tròn (1) và Elip (2) và tung ñộ các ñiểm nằm trên (Elip) x2 y2 luôn thoả mãn ñiều kiện y >-4 Vậy tập hợp ñiểm M là Elip có pt + = Ví dụ 2) Tìm tập hợp các ñiểm biểu diễn mặt phẳng phức số phức ω = + i z + biết số phức z thoả mãn: z − ≤ ( ) Giải: Đặt z = a + bi ( a, b ∈ R ) Ta có z − ≤ ⇔ ( a − 1) + b ≤ (1) Từ ( ( ) x = a − b + ) ω = + i z + ⇒ x + yi = + i ( a + bi ) + ⇔ ( Từ ñó ( x − 3) + y − ) y = 3a + b x − = a − + b ⇔ y − = 3(a − 1) + b ≤ ( a − 1) + b ≤ 16 (1) ( Vậy tập hợp các ñiểm cần tìm là hình tròn ( x − 3) + y − ) ( ) ≤ 16 ; tâm I 3; , bán kính R=4 Ví dụ 3) Xác ñịnh tập hợp các ñiểm M(z) mặt phẳng phức biểu diễn các số π z−2 có acgumen phức z cho số z+2 Giải: www.MATHVN.com Lop12.net (5) www.MATHVN.com z − ( x − ) + yi ( x − ) + yi ( x + ) + yi = = z + ( x + ) + yi ( x + 2) + y2 Giả sử z=x+yi, thì = x − + y + yi ( x + − x + ) ( x + 2) + y2 = x2 + y − ( x − 2) + y2 + 4y ( x − 2) + y2 i (1) π z−2 có acgumen , nên ta có: z+2 π π 4y x2 + y2 − cos sin + = τ + i i với τ > 2 3 ( x − 2) + y ( x − 2) + y Vì số phức x2 + y2 − τ = 2 ( x − 2) + y ⇒ 4y τ = ( x − )2 + y 2 Từ ñó suy y>0 (1) và 2 4y 4y = ⇔ x2 + y2 − = ⇔ x2 + y − = (2) Từ (1) và (2) suy 2 x + y −4 3 3 tập hợp các ñiểm M là ñường tròn tâm nằm phía trên trục thực(Trên trục Ox) Dạng 5) Chứng minh bất ñẳng thức: 2z −1 Ví dụ 1) Chứng minh z ≤ thì ≤1 + iz Giải: Giả sử z =a+bi (a, b ∈ R) thì z = a + b ≤ ⇔ a + b ≤ Ta có 4a + (2b − 1) 2 z − 2a + (2b − 1)i Bất ñẳng thức cần chứng minh tương ñương = = + iz (2 − b) + (2 − b) + a với 4a + (2b − 1)2 (2 − b) + a 2 ≤ ⇔ 4a + (2b − 1) ≤ (2 − b) + a ⇔ a + b ≤ ⇒ dpcm Ví dụ 2) Cho số phức z khác không thoả mãn ñiều kiện z + ≤ Chứng minh z3 ≤2 z Giải: Dễ dàng chứng minh ñược với số phức z1 , z2 ta có z1 + z2 ≤ z1 + z2 rằng: z + 3 1 1 1 1 Ta có z + = z + + z + ⇒ z + ≤ z3 + + z + ≤ + z + z z z z z z z Đặt z + =a ta có a − 3a − ≤ ⇔ ( a − )( a + 1) ≤ ⇒ dpcm z www.MATHVN.com Lop12.net (6) www.MATHVN.com II) DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC Dạng 1: VIẾT DẠNG LƯỢNG GIÁC Ví dụ 1) Viết dạng lượng giác các số phức: − ( cos ϕ + i sin ϕ ) a) b) 1 − ( cos ϕ + i sin ϕ ) (1 + cos ϕ + i sin ϕ ) + cos ϕ + i sin ϕ Giải: − ( cos ϕ + i sin ϕ ) (1 − cos ϕ ) − i sin ϕ = a) + cos ϕ + i sin ϕ (1 + cos ϕ ) + i sin ϕ = 2sin 2 cos ϕ ϕ − 2i sin + 2i sin ϕ ϕ cos cos ϕ ϕ ϕ sin − i cos ϕ = tan 2 = −i tan ϕ ϕ ϕ ϕ 2 cos + i sin ϕ π ϕ π - Khi tan > dạng lượng giác là: tan cos − + i sin − 2 2 ϕ π ϕ π - Khi tan < dạng lượng giác là: − tan cos + i sin 2 2 ϕ = thì không có dạng lượng giác b) 1 − ( cos ϕ + i sin ϕ ) (1 + cos ϕ + i sin ϕ ) - Khi tan ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ sin − i cos cos cos + i sin 2 2 2 2 π π = 2sin ϕ cos ϕ − + isin ϕ − 2 - Khi sin ϕ = thì dạng lượng giác không xác ñịnh = 2sin ϕ π π - Khi sin ϕ > thì dạng lượng giác là: 2sin ϕ cos ϕ − + i sin ϕ − 2 π π - Khi sin ϕ < thì dạng lượng giác là: (−2sin ϕ ) cos ϕ + + i sin ϕ + 2 Ví dụ 2): Viết dạng lượng giác các số phức: − ( cos ϕ + i sin ϕ ) b) [1 − (cos ϕ + i sin ϕ ) ][1 + cos ϕ + i sin ϕ ] a) + cos ϕ + i sin ϕ Giải: ϕ ϕ − ( cos ϕ + i sin ϕ ) ϕ sin − i cos ϕ − cos ϕ − i sin ϕ a) = = tan = −i tan ϕ ϕ ϕ + cos ϕ + i sin ϕ cos ϕ − i sin ϕ 2 cos + 2i sin cos 2 2 ϕ π ϕ π Khi tan >0 thì dạng lượng giác là tan cos − + i sin − 2 TEL:0988844088 www.MATHVN.com Lop12.net (7) www.MATHVN.com Khi tan ϕ <0 thì dạng lượng giác là - tan π π cos + i sin 2 ϕ ϕ =0 thì không tồn dạng lượng giác b) [1 − (cos ϕ + i sin ϕ ) ][1 + cos ϕ + i sin ϕ ] Khi tan = 2sin ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ sin − i cos cos cos + i sin 2 2 2 2 π π = 2sin ϕ cos ϕ − + i sin ϕ − 2 - Khi sin ϕ = thì dạng lượng giác không xác ñịnh π π - Khi sin ϕ > thì dạng lượng giác là: 2sin ϕ cos ϕ − + i sin ϕ − 2 π π - Khi sin ϕ < thì dạng lượng giác là: ( −2sin ϕ ) cos ϕ + + i sin ϕ + 2 Dạng 2: MÔĐUN VÀ ACGUMEN Ví dụ 1) Tìm phần thực và phần ảo số phức z, biết z = −2 + 3i Giải: Ta có: z = − + i ⇔ z = co s π + i s in π 2π 2π Do ñó: z = −2 + 3i ⇔ z = cos + i sin 3 2π 2π z = cos + i sin z = 1+ i ⇔ ⇔ π π z = −1 − i z = −2 cos + i sin 3 Từ ñó suy phần thực và phần ảo z tương ứng là và ( ) -1 và − Ví dụ 2) Tìm acgumen số phức: z − + i biết acgumen z π 1 nên z = z + 2 i 1 Do ñó: z − + i = ( z − 2) + 2 i Giải: z có acgumen ( π ) ( ) - Khi z > , aacgumen z − + i là ( π ) - Khi < z < , acgumen z − + i là 4π TEL:0988844088 www.MATHVN.com Lop12.net (8) www.MATHVN.com ( ) - Khi z = thì z − + i =0 nên acgumen không xác ñịnh Ví dụ 3) Cho số phức z có môñun Biết acgumen z là ϕ , tìm acgumen của: d) z + z c) z + z a) 2z b) − 2z Giải: z = , z có acgumen là ϕ Do ñó z = cos ϕ + i sin ϕ a) z = cos 2ϕ + i sin 2ϕ ⇒ z = ( cos 2ϕ + i sin 2ϕ ) ⇒ z = ( cos ϕ − i sin ϕ ) Vậy 2z2 có acgumen là 2ϕ b) z = cos ϕ + i sin ϕ ⇒ z = cos ϕ − i sin ϕ ⇒ z = ( cos ϕ − i sin ϕ ) 1 = ( cos ( −ϕ ) − i sin ( −ϕ ) ) = ( cos ϕ + i sin ϕ ) 2z 1 ⇒− = ( − cos ϕ − i sin ϕ ) = ( cos (ϕ + π ) + i sin ϕ (ϕ + π ) ) 2z có acgumen là ϕ + π Vậy − 2z c) Ta có: z + z = cos ϕ Nếu cos ϕ > thì có acgumen là Nếu cos ϕ < thì có acgumen là π Nếu cos ϕ = thì acgumen không xác ñịnh ⇒ d) z + z = cos 2ϕ + i sin 2ϕ , z = cos ϕ − i sin ϕ ⇒ z + z = cos 2ϕ + cos ϕ + i ( sin 2ϕ − sin ϕ ) = cos = cos ϕ ϕ 3ϕ 3ϕ cos + i.2 cos sin 2 2 ϕ ϕ 3ϕ cos + i sin 2 Vậy acgumen z + z là cos 3ϕ =0 ϕ cos Ví dụ 4) Cho số phức z = − cos π 3ϕ ϕ 3ϕ < và không xác ñịnh > , là + π cos 2 − i sin π Tính môñun, acgumen và viết z dạng lượng giác Giải: π π π 8π 4π Ta có: z = − cos + sin = 1 − cos = 1 + cos = cos 7 7 π 8π sin − sin = = cot 4π = tan − π Đặt ϕ = arg ( z ) thì tan ϕ = 4π π 14 − cos 2sin 7 www.MATHVN.com Lop12.net (9) www.MATHVN.com Suy ra: ϕ = − π 14 + kπ , k ∈ z Vì phần thực − cos π > , phần ảo − sin π 4π π π cos − + i sin − Vậy z = cos 14 14 < nên chọn acgumen là − Ví dụ 5) Viết dạng lượng giác số phức z cho z = acgumen 3π z là − 1+ i π 14 và Giải: 1 thì z = ( cos ϕ + i sin ϕ ) 3 1 ⇒ z = ( cos ϕ − i sin ϕ ) = ( cos ( −ϕ ) + i sin ( −ϕ ) ) 3 1 π π 2 Vì + i = + i = cos + i sin 4 2 π π z = cos −ϕ − + i sin −ϕ − Nên 1+ i 4 π π π π 1 3π Do ñó: −ϕ − = − + 2kπ ⇔ ϕ = + 2kπ , k ∈ Ζ z = cos + i sin 3 2 4 π z + 3i Ví dụ 6) Tìm số phức z cho: = và z+1 có ácgumen là − z +i Giải: Từ giả thiết Theo giả thiết z = ⇒ z + 3i = z + i ⇔ x + ( y + 3)i = x + ( y + 1)i ⇔ x + ( y + 3) = x + ( y + 1) z + 3i =1 z+i ⇒ y = −2 2 π π τ tức là z + = τ [cos − + i sin − ] = − i với r>0 6 6 τ x + = ⇔ τ = Ta có z+1=x+1-2i suy ⇒ z = − − 2i x = − −2 = − τ Dạng 3) ỨNG DỤNG SỐ PHỨC TRONG BÀI TOÁN TỔ HỢP Ví dụ 1) Tính các tổng sau n=4k+1 a) S = C20n +1 − C22n +1 + C24n +1 − + C22nn+−12 − C22nn+1 z+1 có acgumen − π ( ) b) S = C21n +1 − C23n +1 + C25n+1 − + C22nn+−11 − C22nn++11 Giải: www.MATHVN.com Lop12.net (10) www.MATHVN.com Xét n +1 (1 + i ) = C20n+1 + iC21n+1 + i 2C22n+1 + + i 2n +1C22nn++11 = C20n+1 − C22n+1 + − C22nn+1 + i(C21n+1 − C23n+1 + − C22nn++11 ) Mặt khác ta lại có: n +1 π π (2n + 1)π (2n + 1)π n +1 + i = cos + i sin ⇒ (1 + i ) = cos + i sin 4 4 (2n + 1)π (2n + 1)π (8k + 3)π (8k + 3)π = 2n cos + i sin = 2n cos + i sin 4 4 3π 3π = 2n cos + i sin = −2n + i 2n 4 Từ ñó ta có a) S=-2n b) S=2n Ví dụ 2) Tính các tổng hữu hạn sau: a) S = − Cn2 + Cn4 − Cn6 + b) S = Cn1 − Cn3 + Cn5 − Cn7 + Giải: n Xét (1 + i ) = Cn0 + iCn1 + i 2Cn2 + + i nCnn = − Cn2 + Cn4 − + i (Cn1 − Cn3 + Cn5 − Cn7 + ) n π π nπ nπ n + i = cos + i sin ⇒ (1 + i ) = cos + i sin 4 4 Từ ñó ta có kết n n nπ nπ b) S = sin a) S = cos 4 nπ Ví dụ 3) Chứng minh rằng: + Cn3 + Cn6 + = 2n + cos 3 Giải: Ta có 2n = Cn0 + Cn1 + Cn2 + Cn3 + Cnn (1) 2π 2π Xét ε = cos + i sin ⇒ ε3 =1 3 Ta có (1 + ε ) n (1 + ε ) = Cn0 + ε Cn1 + ε 2Cn2 + ε n Cnn = Cn0 + ε Cn1 + ε 2Cn2 + Cn3 + ε Cn4 + (2) n = Cn0 + ε 2Cn1 + ε 4Cn2 + ε nCnn = Cn0 + ε 2Cn1 + ε Cn2 + Cn3 + ε 2Cn4 + .(3) Ta có + ε + ε = 0;1 + ε = cos π − i sin π ;1 + ε = cos π + i sin Cộng (1) (2) (3) theo vế ta có 2n + (1 + ε ) + (1 + ε ) = ( Cn0 + Cn3 + Cn6 + ) ⇔ 2n + cos n n nπ 1 ⇔ + Cn3 + Cn6 + = 2n + cos 3 π nπ = ( Cn0 + Cn3 + Cn6 + ) TEL:0988844088 www.MATHVN.com 10 Lop12.net (11) www.MATHVN.com MỘT SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN 1) Giải phương trình sau trên tập số phức: c) z − ( z ) = 4i a) z = z b) z + z = + 4i d )z2 + 2z +1− i = g ) z − 2( z + z ) + = e) z + z + = f )(1 + i ) z + + 11i = 2) Tìm số thực x thoả mãn bất phương trình: x + + 2i − 1+ i c)1 − log − log x ≤ b) a) + 4i − 2− x ≤ ≥0 − 3) Tìm số phức z cho A = ( z − 2)( z + i ) là số thực z + 7i là số thực 4) Tìm số phức z thoả mãn ñiều kiện z = 5; z +1 5) Tìm tập hợp các ñiểm M mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thoả mãn ñiều kiện z − 2i a ) z − ( z ) = b) = c )3 z + i = z + z − 3i d ) z + 3i − = e) z + ≥ z + i z + 2i z−2 +2 z − 2i ) >1 f ) z = z + − 3i g ) > h)2 z − i = z − z + 2i k ) log ( z + 2i z − −1 6) Trong các số phức thoả mãn ñiều kiện z − + 3i = Tìm số phức z có modun lớn nhất,nhỏ 7) Tìm số phức z thoả mãn ñiều kiện ( z − 1)( z + 2i ) là số thực và z nhỏ 8) Tìm acgumen số phức z khác biết z + z i = z 9) Tìm số phức z thoả mãn z + z = và z = 10) Giải hệ pt sau tập số phức: z − i = z − z + 2i a) 2 z − z = z1 + z2 = − i b) 1 + i z + z = z − z2 + = c) z2 − z1 + = d) z − 12 = z − 8i z−4 =1 z −8 z + z + z + = e) 2010 2011 z + z + = 11) Cho phương trình z − (2i + 1) z + (9i − 1) z + 5i = có nghiệm thực Hãy tìm tất các nghiệm phương trình 1 12) Tìm phần thực phần ảo z = 2011 + w 2011 biết + w =1 w w 13) Tìm n nguyên dương ñể các số phức sau là số thực, số ảo: − +i a) z = + 3i n + 6i b) z = −1 + 5i n + 4i c) z = − 3i www.MATHVN.com n − 3i d ) z = − 3i 11 Lop12.net (12) www.MATHVN.com 14) Cho n nguyên dương, chứng minh 2nπ 15) Tìm số phức z cho z = z − và acgumen z-2 acgumen C20n − 3C22n + 9C24n − 27C26n + + ( −3) C22nn = 22 n cos n z+2 cộng với π 16) Giải phương trình 2z a) = z + tan 100 + 4i − cos10 b) 2z = z + cot 120 + 6i − sin12 Mọi thắc mắc xin vui lòng liên hệ thầy Nguyễn Trung Kiên 0988844088 www.MATHVN.com 12 Lop12.net (13)