MỘT số DẠNG TOÁN về số PHỨC TRONG kỳ THI THPT ở VIỆT NAM 234567890

MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ SỐ PHỨC TRONG KỲ THI THPT Ở VIỆT NAM A MỞ ĐẦU Toán học môn khoa học tự nhiên gây hứng thú cho học sinh, mơn học quan trọng khơng thể thiếu trình học tập, nghiên cứu sống ngày Hiện nay, ngành toán học q trình phát triển nhằm hồn thiện bắt kịp cơng đổi mới, tốn học khơng thể khơng nói đến số phức Số phức đóng vai trò quan trọng toán học, xuất số i – ký hiệu thông dụng tốn học, dẫn đến việc hình thành số phức z  a  bi , với a, b số thực Rõ ràng biết số thực rộng lớn đủ để đáp ứng lôgic tốn học Tuy nhiên, số thực khơng thể giải đáp khái niệm trục quay điện môn vật lý số phức đời từ đòi hỏi cấp thiết Trong sống, số i đại diện cho quay chuyển hướng 90 độ tự nhiên nên số phức quan trọng hình học phẳng lượng giác hình học phẳng phức tạp cơng thức lượng giác phức tạp dễ dàng sử dụng số phức để giải chúng,… Ngày nay, số phức thường giảng dạy cấp học trung học phổ thông đại học hầu hết nhiều nước giới Riêng Việt Nam, số phức xuất bậc trung học phổ thông lần sách giáo khoa giải tích 12 số phức xuất đề thi trung học phổ thông quốc gia với mật độ xuất chiếm 10% tổng số điểm thi Trong đề thi trung học phổ thông quốc gia số phức xuất với nhiều dạng tốn khác dạng tìm tập hợp điểm, giải phương trình,hệ phương trình, dạng lượng giác,… Nhưng phép tốn số phức giải tất dạng tốn mà cần phải có phương pháp giải để giải tốn Như vậy, vấn đề đặt dạng đề có phương pháp hay cách làm giải tất câu số phức đề thi Để giải câu hỏi với mong muốn trao dồi thêm kiến thức, kỹ tốn học nói chung số phức nói riêng, em chọn đề tài “Một số dạng toán số phức kỳ thi trung học phổ thông Việt Nam” làm tiểu luận B NỘI DUNG CHƯƠNG MỘT SỐ KIẾN THỨC VỀ SỐ PHỨC TRONG CHƯƠNG TRÌNH SÁCH GIÁO KHOA Ở VIỆT NAM 1.1 Số phức 1.1.1 Số phức  Số phức biểu thức dạng a  bi , a b số thực số i thỏa i  1 Kí hiệu số phức z viết z  a  bi i gọi đơn vị ảo, a gọi phần thực b gọi phần ảo số phức z  a  bi  Hai số phức phần thực phần ảo chúng ac � a  bi  c  di � � cd � 1.1.2 Biểu diễn hình học số phức a; b Mỗi số phức z  a  bi hoàn toàn xác định cặp số thực   Điểm M  a; b  hệ trục tọa độ vng góc mặt phẳng gọi điểm biểu diễn số phức z  a  bi 1.1.3 Môđun số phức M a; b Giả sử số phức z  a  bi biểu diễn điểm   mặt phẳng tọa độ uuuu r z OM Độ dài vectơ gọi môđun số phức z kí hiệu z = uuuur OM hay a  bi = uuuu r OM a  bi  a  b Dễ thấy: 1.1.4 Số phức liên hợp Cho số phức z  a  bi Ta gọi a  bi số phức liên hợp z kí hiệu z  a  bi 1.2 Cộng, trừ nhân số phức 1.2.1 Phép cộng phép trừ Phép cộng phép trừ hai số phức thực theo quy tắc cộng, trừ đa thức Cho hai số phức z  a  bi z� c  di ta có: z  z�   a  bi    c  di    a  c    b  d  i z  z�   a  bi    c  di    a  c    b  d  i 1.2.2 Phép nhân Phép nhân hai số phức thực theo quy tắc nhân đa thức thay i  1 kết nhận Cho hai số phức z  a  bi z� c  di ta có: z z �   a  bi   c  di    ac  bd    ad  bc  i 1.3 Phép chia số phức 1.3.1 Tổng tích hai số liên hợp Cho số z  a  bi Ta có : z  z   a  bi    a  bi   2a z.z   a  bi   a  bi   a   bi   a  b  z 2  Tổng số phức với số phức liên hợp hai lần phần thực số phức  Tích số phức với số phức liên hợp bình phương mơđun số phức 1.3.2 Phép chia hai số phức Chia số phức c  di cho số phức a  bi khác tìm số phức z cho c  di   a  bi  z Số phức z gọi thương phép chia c  di cho a  bi kí hiệu : z c  di a  bi 1.4 Phương trình bậc hai với hệ số thực 1.4.1 Căn bậc hai số thực âm Tương tự bậc hai số thực dương, từ đẳng thức i  1 , ta nói i bậc hai -1; -i bậc hai -1,  i   1 Từ đó, ta xác định bậc hai số thực âm, chẳng hạn: Căn bậc hai -2 ±i (±i )2 = -2; Căn bậc hai -3 ±i (±i )2 = -3; Căn bậc hai -4 ±i (±i )2 = -4 Tổng quát, bậc hai số thực a âm �i a 1.4.2 Phương trình bậc hai với hệ số thực 2 Cho phương trình ax  bx  c  với a, b, c  �, a Xét biệt thức   b  4ac phương trình Ta thấy:  Khi ∆ = 0, phương trình có nghiệm x b 2a  Khi ∆ > 0, có hai bậc ∆ �  phương trình có hai nghiệm thực phân biệt, xác định công thức x1,2  b �  2a  Khi ∆ < phương trình khơng có nghiệm khơng tồn bậc hai thực ∆ Tuy nhiên, trường hợp ∆ < 0, xét trường hợp tập số phức, ta có hai bậc hai ảo ∆ nghiệm phức xác định công thức x1,2  �i  Khi đó, phương trình có hai b �i  2a 1.5 Dạng lượng giác số phức ứng dụng 1.5.1 Số phức dạng lượng giác  Acgumen số phức z �0 : Cho số phức z �0 Gọi M điểm mặt phẳng phức biểu diễn số z Số đo(rađian) góc lượng giác tia đầu Ox, tia cuối OM gọi acgumen z CHÚ Ý: Nếu φ acgumen z acgumen z có dạng   k 2 , k ��(Người ta nói: Acgumen z �0 xác định sai khác k 2 , k ��)  Dạng lượng giác số phức: Dạng z  r  cos   i sin   , r > 0, gọi dạng lượng giác số z  a  bi  a, b �� phức z �0 Còn dạng gọi dạng đại số số phức z 1.5.2 Nhân chia số phức dạng lượng giác Nếu z  r  cos   i sin   , z�  r�  cos  � i sin  �  (r �0, r ��0) Thì zz�  rr � cos     � , �   i sin     � � � � z� r �  � cos   �     i sin   �   � ( r  0) � z r � 1.5.3 Công thức Moa-vrơ(Moivre) ứng dụng  Công thức Moa-vrơ(Moivre): Từ công thức nhân số phức dạng lượng giác, quy nạp toán học dễ dàng suy với số nguyên dương n, n r  cos   i sin   � � � �  r  cos n  i sin n  n n � r  cos   i sin   � �  r  cos n  i sin n  Và r = 1, ta có: � n  Ứng dụng vào lượng giác: Công thức khai triển lũy thừa bậc ba nhị thức cos   i sin  cho ta  cos   i sin    cos3   3cos  sin   i  3cos  sin   sin   Mặt khác, theo công thức Moa-vrơ,  cos   i sin    cos 3  i sin 3 Từ suy ra: cos 3  cos3   3cos  sin   cos   3cos  sin 3  3cos  sin   sin   3sin   4sin  Tương tự, cách đối chiếu công thức khai triển lũy thừa bậc n nhị thức cos   i sin  với cơng thức Moa-vrơ, biểu diễn cos n sin n theo lũy thừa cos  , sin  CHƯƠNG MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ SỐ PHỨC THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPT QUỐC GIA Ở VIỆT NAM 2.1 Dạng toán phép toán số phức  Nhận dạng: Đây dạng toán thực phép tính số phức  Phương pháp: Sử dụng công thức cộng, trừ, nhân, chia lũy thừa số thực; ý i  1 để làm Bài 1.(Trích đề thi đại học năm 2017-2018 mã đề 116) Cho hai số phức z1   3i z2   3i Tìm số phức z  z1  z2 Bài giải: Theo đề ta có: z  z1  z2  (4  3i )  (7  3i )  (4  7)  (3  3)i  3  6i Vậy z = -3 – 6i Bài 2.(Trích đề thi thử THPT Hậu Lộc 2-Thanh Hóa năm 2017-2018) Cho hai số phức z1   3i z2  4  5i Tìm số phức z  z1  z2 Bài giải: Theo đề ta có: z  z1  z2  (2  3i )  (4  5i )  (2  4)  (3  5)i  2  2i Vậy z = -2 – 2i Bài 3.(Trích đề thi thử THPTSGD Nam Định - năm 2017-2018) Cho hai số phức z1   2i z2   i Tìm số phức Bài giải: z Theo đề ta có: z Vậy  i 5 z2  i (3  i )(1  2i )     i z1  2i 5 z z2 z1 Bài 4.(Trích đề thi thử THPT Cam Lộc – Hà Tĩnh - năm 2017-2018) Cho hai số phức z1   i z2   3i Tìm số phức liên hợp số phức w  z1  z2 Bài giải: Theo đề ta có: w  z1  z2  (1  i )  (2  3i )  (1  2)  (1  3)i   2i � w   2i Vậy w   2i Bài 5(Trích đề thi thử THPT Chuyên Thái Nguyên lần 3năm 2017-2018) Cho hai số phức z1   2i z2  3  3i Tìm số phức w  z1  z2 Bài giải: Theo đề ta có: w  z1  z2  (2  2i )  ( 3  3i )  (2  3)  (2  3)i   5i Vậy w  z1  z2   5i 2012 Bài Tính T   i  i  i  i   i Bài giải: Ta có:  i 2013 Mà  i   (i )1006 i   i 2013  (1  i )(1  i  i  i   i 2012 ) 2012 Nên  i  i  i   i  Vậy T = Nhận xét: Sử dụng đẳng thức đáng nhớ để giải toán 2012 Bài Tính A  (1  i ) Bài giải: 2012 1006 1006 1006 503 1006 Ta có: A  (1  i)  [(1  i) ]  (2i)  (i )  2 1006 Vậy A  2 Bài Tính giá trị biểu thức sau: P i  i  i   i 2009 i  i  i   i 2010 Bài giải: Ta có: Và i  i  i   i 2009  i (1  i  i   i 2004 )  i i  i  i   i 2010  i (1  i  i   i 2006 )  i Suy P  (i )1003 i 1 i2  i 2007  i.(i )1003  i   1 i 1 i 1 i i  i  i   i 2009 i (1  i )   1 i  i  i   i 2010 1 i Vậy P = -1 Nhận xét: Biến đổi dạng cấp số cộng sử dụng cơng thức cấp số cộng để giải tốn tính biểu thức Bài Tìm số phức z cho z  3i 3i Bài giải: Ta có: Vậy z z  3i (1  3i)(3  i)  8i     i 3i  (1) 10 5  i 5 Bài 10 Xét đa thức f ( z )  z  (3  4i ) z   5i Tính f ( z0 ) với z0   3i Bài giải: Ta có: f ( z0 )  (2  3i )  (3  4i )(2  3i )   5i   12i   (6  17i)   5i  z i  z i  � x  yi  i  x  yi  i  � x  ( y  1)  x  ( y  1)  � x2  y   y  x2  y   y  2 Đặt t  x  y  Khi đó, phương trình trở thành: t  2y  t  2y  � (t  y )(t  y )  2t  16 � (t  y )(t  y )   t � (t  y )(t  y )  (8  t ) (8  t �0) � 4t  y  16 � x  y  12 � x2 y  1 Vậy tập hợp tất điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z i  z i  x2 y   mặt phẳng tọa độ đường elip Bài 12.(Trích đề thi thử THTT Số 3-486 tháng 12 năm 2017-2018) Tập hợp tất điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn mặt phẳng tọa độ đường gì: Bài giải: Đặt z  x  yi,  x, y �� � z  x  yi Ta có: z 1  z  z  2 z 1  z  z  � x  yi   x  yi  x  yi  � ( x  1)  y  ( x  1) � ( x  1)2  y  ( x  1)2 � y2  4x Do đó, tập hợp tất điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z 1  z  z  mặt phẳng tọa độ đường parabol: y2 = 4x Bài 13.(Trích đề thi thử THPT Chuyên Lương Thế Vinh – Hà Nội – lần năm 2017-2018) Cho số phức z thỏa mãn ( z   i)( z   i)  25 Biết tập hợp điểm M biểu diễn số phức w  z   3i đường tròn tâm I(a;b) bán kính c Gía trị a + b + c bằng? Bài giải: Đặt w  x  yi,  x, y �� z  a  bi,  a, b �� Theo đề ta có: ( z   i )( z   i )  25 � ( a  bi   i )(a  bi   i )  25 � ( a  2)  (b  1)  25  1 Lại có: w  z   3i � x  yi  2( a  bi )   3i � x  yi  2a   (3  2b)i �x  2a  �� �y   2b � x2 a � � 2 ��   3 y � b � Thay (2) vào (1) ta 2 �x  � �3  y �  � �  1� 25 � �2 � �2 � 2 � ( x  2)  ( y  5)  100 Suy ra, tập hợp điểm M biểu diễn số phức w  z   3i đường tròn tâm I(2 ; 5) bán kính 10 Vậy a  b  c    10  17 Bài 14.Xác định tập hợp điểm M mặt phẳng biểu diễn số phức (1  i 3) z  z  �2 Bài giải: Đặt z  a  bi,  a, b �� Theo đề ta có: (1  i 3) z   (1  i 3)(a  bi)   (2  a  b 3)  ( a  b)i Điểm biểu diễn M  x; y  có tọa độ � yx 32 �a  � �x   a  b � �� � y 3 x2 �y  a  b � b � � Lại có: z  �2 � a  bi  �2 � (a  1)  b �4  * Thay a, b vào (*) ta x  y  x  y �4 � ( x  3)  ( y  3) �16 Vậy tập hợp điểm M hình tròn tâm I (3; 3) bán kính 2.4 Dạng tốn phương trình, hệ phương trình ẩn số phức  Nhận dạng: Đây dạng toán phương trình, hệ phương trình ẩn số phức  Phương pháp: - Đối với dạng phương trình bậc thường có hai cách giải: Cách 1: Sử dụng phép biến đổi đại số phép toán số phức Cách 2: Thực bước sau:  Bước 1: Đặt z = a + bi (a,b ��)  Bước 2: thay z vào phương trình sử dụng định nghĩa hai số phức tìm a, b  Bước 3: Kết luận - Đối với dạng phương trình bậc hai: Sử dụng kiến thức phần phương trình bậc hai số thực chương để giải Bài 1.(Trích đề thi đại học năm 2009-2010 khối A) Gọi z1, z2 hai nghiệm phức phương trình z2 +2z + 10 = Tính giá trị biểu thức A =  z1  z2 Bài giải:   22  4.10  36  �   36i 2 Phương trình có hai nghiệm phức z1  1  3i; z2  1  3i Ta lại có: z1  (1)  32  10 Theo đề ta có: A =  z1  z2 ; z2  (1)  (3)  10 = ( 10 )2 + ( 10 )2 = 20 Vậy giá trị biểu thức cần tìm A = 20 Bài 2.(Trích đề thi đại học năm 2012-2013 khối D) Giải phương trình z  3(1  i) z  5i  trường số phức Bài giải: Ta có: phương trình z  3(1  i) z  5i  có biệt thức   2i    i  Do đó, nghiệm phương trình z z 3(1  i)  (1  i)  1  2i ; 3(1  i )  (1  i )  2  i Vậy phương trình có nghiệm z  1  2i; z  2  i Bài 3.(Trích đề thi thử THPT Hậu Lộc 2-Thanh Hóa lần 1- năm 2017-2018) Tìm tất nghiệm phương trình bậc hai z  z   tập số phức � Bài giải: 2 Ta có: phương trình z  z   có biệt thức �   4  4i Do đó, phương trình có hai nghiệm phức z1  1  2i; z2  1  2i Vậy phương trình cho có hai nghiệm phức z1  1  2i; z2  1  2i Bài 4.(Trích đề thi thử THPT Chuyên Hồng Văn Thụ-Hòa Bình năm 2017-2018) Tìm nghiệm phức có phần ảo dương phương trình bậc hai z  z   tập số phức � Bài giải: 2 Ta có: phương trình z  z   có biệt thức   (1)   3  3i Do đó, phương trình có hai nghiệm phức z1   3i  3i ; z2  2  i Vậy nghiệm phức có phần ảo dương phương trình bậc hai 2 Bài 5.(Trích đề thi thử SGD Hà Tĩnh Lần - năm 2017-2018) Gọi zo nghiệm phức có phần ảo dương phương trình bậc hai z  z  10  tập số phức �.Tính iz0 Bài giải: 2 Ta có: phương trình z  z  10  có biệt thức   (1)  10  9  9i �   3i Do đó, phương trình có hai nghiệm phức z1  1  3i; z2  1  3i Nghiệm phức có phần ảo dương phương trình bậc hai z0  1  3i Vậy iz0  i (1  3i )  3  i Bài 6.(Trích đề thi thử THPT Chu Văn An-Hà Nội- năm 2017-2018) Gọi z1, z2 hai nghiệm phức phương trình z  z   Giá trị biểu thức P  ( z1  z2 ) z2  z1 bằng: Bài giải: 2 Ta có: phương trình z  z   có biệt thức � (2)   1  i � � i Do đó, phương trình có hai nghiệm phức z1   i; z2   i P  ( z1  z2 ) z2  z1  (2  i  2(2  i )(2  i )  4(2  i )  15 Vậy P= -15 Nhận xét: Sử dụng cơng thức giải phương trình bậc hai ta tìm nghiệm, sau ta thay nghiệm vào biểu thức ta tìm giá trị biểu thức Bài 7.(Trích đề thi thử THPT Chuyên Võ Nguyên Giáp – Quảng Bình- năm 20172018) Gọi z1, z2 hai nghiệm phức phương trình z  z   , z1 có phần ảo dương Số phức liên hợp số phức z1  z2 là: Bài giải: 2 Ta có: phương trình z  z   có biệt thức �   4  4i � � 2i Do đó, phương trình có hai nghiệm phức z1  1  2i; z2  1  2i Suy ra: z1  z2  1  2i  2(1  2i )  3  2i Vậy số phức liên hợp số phức z1  z2 -3 + 2i Bài 8.(Trích đề thi thử THTT Số 4-487 tháng năm 2017-2018) Tổng nghiệm phức phương trình z  z   là: Bài giải: Ta có: z3  z   � ( z  1)( z  z  2)  �z  � �2 �z  z   �z  � � �z  1  i �z  1  i � Vậy tổng nghiệm phức phương trình z  z    ( 1  i )  (1  i )  1 Bài 9.(Trích đề thi thử THPT Chuyên Hà Tĩnh-lần 1-năm 2017-2018) Gọi z1, z2 hai nghiệm phức phương trình z  z   , z2 có phần ảo âm Phần thực phần ảo số phức z1  3z2 là: Bài giải: 2 Ta có: phương trình z  z   có biệt thức �  2.5  1  i � � i z1  Do đó, phương trình có hai nghiệm phức 3 i 3 i  ; z2   2 2 Suy ra: z1  z2  6  i Vậy số phức z1  3z2 có phần thực -6 phần ảo -1 Bài 10.( Trích đề thi thử THPT Chuyên Lê Qúy Đôn-Điện Biên-lần 3-năm 20172018) Cho số phức w hai số a, b Biết z1  w  2i z2  2w-3 hai nghiệm T  z1  z2 phức phương trình z  az  b  Tìm giá trị Bài giải: Đặt w  m  ni,  m, n �� Suy : �z1  w  2i  m  (n  2)i � �z2  2w-3=2m-3+2ni Theo đề ta có: z1; z2 hai nghiệm phức phương trình z  az  b  nên z1  z2  3m   (3n  2)i  a số thực 3n   � 2 �� �n 3m  �0 � � z1  m  i � � �� �z  2m   i �2 4 16 z1 z2  (m  i )(2m   i )  2m  3m   ( m  4)i  b 3 Lại có số thực � m4 0� m 3 � z   i � 97 � � T  z1  z2  � �z   i Vậy � Bài 11 Giải hệ phương trình 2 � �z1  z2   2i  1 � �z1  z2   i   Bài giải: 2 Bình phương hai vế phương trình (2) ta được: z1  z2  z1 z2  15  8i Kết hợp với (1) ta có: z1 z2   5i Khi ta có hệ phương trình: �z1 z2   5i � �z1  z2   i Do z1, z2 nghiệm hệ phương trình z  (4  i ) z   5i  Ta có ∆ = -5 + 12i = ( + 3i)2 Vậy nghiệm hệ phương trình z1   i; z2   2i Nhận xét: Từ hệ phương trình ta tìm tổng tích hai giá trị, ta thấy hai giá trị nghiệm phương trình Z2 + SZ + P =0(theo định lí vi - et) tìm nghiệm hệ phương trình Bài 12 Tìm bậc hai số phức i Bài giải: Đặt z  a  bi,  a, b �� bậc hai số phức i , tức là: i  (a  bi )  a  b  2abi �a  b  �� �2ab  � b � � � 2a �4a   � � ab � � �� � a  b   � � Vậy số phức i có hai bậc hai � (1  i ) 2.5 Dạng toán dạng lượng giác số phức ứng dụng   Nhận dạng: Thường đặt câu hỏi “ Viết dạng lượng giác …” Phương pháp: Sử dụng kiến thức phần dạng lượng giác, phép toán dạng lượng giác ứng dụng, phương trình bậc hai,… để giải tốn Bài 1.(Trích đề thi đại học năm 2012-2013 khối B) Gọi z1, z2 hai nghiệm phức phương trình z  3iz   Viết dạng lượng giác z1, z2 Bài giải: Phương trình bậc hai: z  3iz   có biệt thức ∆ = > Suy phương trình có hai nghiệm là: z1   i z1  1  i   2 2 Vậy dạng lượng giác z1 = 2(cos + isin ) z2 = 2(cos + isin ) Bài 2.(Trích đề thi đại học năm 2013-2014 khối A) Cho số phức z   3i Viết dạng lượng giác z Tìm phần thực phần ảo số phức w = (1 + i )z5 Bài giải:   z   3i  2(  i)  2(cos  i sin ) 3 Ta có: Suy ra: z  25 (cos 5 5  i sin )  16(1  3i ) 3 Do đó, w = (1 + i )z5 = ( + i).16(  3i ) = 16(  1)  16(1  3)i Vậy: Dạng lượng giác số phức z z  2(cos    i sin ) 3 số phức w có phần thực 16(  1) ; phần ảo 16(1  3) *Nhận xét: Có thể viết dạng lượng giác số phức z   3i theo cách khác: 2 Ta có mơđun r   ( 3)  � cos   � � �  � sin    � chọn Acgumen φ thỏa mãn z  2(cos    i sin ) 3 Từ suy ra: Bài : Viết dạng lượng giác số phức + i Bài giải: 2 Ta có mơđun r    � cos   � � � � sin   � � Acgumen φ thỏa mãn z  2(cos Từ suy ra: Bài 4: Tính   chọn    i sin ) 4  1 3 P  1 i 30 20 Bài giải: Ta có: �1 � �   � 1 i  �  i  cos  i sin � � � �2 � � 3 � � � � �  1 i  � cos  i sin � 4� � Suy ra: P 1 3  1 i 30 30 20 ��   � � 2� cos  i sin � � � � � � � 20 � �  � � cos  i sin � �2 � � 4� � � � 230 � cos  10   i sin  10  � � �  2 20  220 � cos  15   i sin  15  � � � Vậy: P = - 220 z1   3i; z2  i Bài 5: Cho hai số phức Hãy viết dạng lượng giác số phức z1 z2 Bài giải: Ta có: �1 � �   � 1 i  2�  i  cos  i sin � � � �2 � � 3 � � �  � �  i  � cos  i sin � � � Vậy:  � �   � � 5 5 � �  z1 z2  � cos  i sin 1� cos  i sin cos  i sin � � � � �� 2 � � 6 � � 23 �1 �  � �2 i � � � � Bài Tìm phần thực phần ảo Bài giải: �1 3 � �  i  1�  i�  cos � � � 2 �3 �2 � 23 � � � � i sin � � � �3 � �1 � � � � � ��  cos � � i sin � �2 i � �� �3 � � � �3 � 23 � � �23 � � �23 cos � � � i sin � �� � � � � � � � � � �  i � � 23 �1 � � �2  i � � � � Vậy số phức có phần thực  phần ảo C TÀI LIỆU THAM KHẢO Nguyễn Văn khuê, Lê Mậu Hải,Hàm Biến Phức, nhà xuất Đại học Quốc Gia Hà Nội, 2006 Trương Văn Thương, Hàm Số Biến Phức, nhà xuất Giáo dục, 2009 Lê Mậu Hải, Bùi Tắc Đắc, Bài Tập Hàm Biến Phức, nhà xuất Giáo dục, 2001 Vũ Tuấn, Giải Tích Tốn Học Tập 3,nhà xuất Giáo dục, 1978 Đinh Thế Lục, Phạm Huy Điển, Tạ Duy Phương, Giải Tích Các Hàm Nhiều Biến, nhà xuất Đại Học Quốc Gia Hà Nội, 2002 Trần Văn Hạo(tổng chủ biên), Vũ Tuấn(chủ biên), Giải Tích 12, nhà xuất Giáo dục Việt Nam ...  , sin  CHƯƠNG MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ SỐ PHỨC THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPT QUỐC GIA Ở VIỆT NAM 2.1 Dạng toán phép toán số phức  Nhận dạng: Đây dạng toán thực phép tính số phức  Phương pháp:... DUNG CHƯƠNG MỘT SỐ KIẾN THỨC VỀ SỐ PHỨC TRONG CHƯƠNG TRÌNH SÁCH GIÁO KHOA Ở VIỆT NAM 1.1 Số phức 1.1.1 Số phức  Số phức biểu thức dạng a  bi , a b số thực số i thỏa i  1 Kí hiệu số phức z viết... 2  Tổng số phức với số phức liên hợp hai lần phần thực số phức  Tích số phức với số phức liên hợp bình phương mơđun số phức 1.3.2 Phép chia hai số phức Chia số phức c  di cho số phức a  bi