• Ta có thể dùng các công thức hạ bậc, nhân ñôi, biến tổng thành tích, biến tích thành tổng … ñể biến ñổi các phương trình lượng giác về dạng quen thuộc ñã biết cách giải.. Có thể dùng b[r]
(1)Nguyễn Văn Xá - THPT Yên Phong số - Bắc Ninh PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Phương trình lượng giác u = v + k2π 1)sin u = sin v ⇔ (k ∈ ℤ) u = π − v + k2π u = v + kπ 3) tan u = tan v ⇔ (k, n ∈ ℤ) π u ≠ + n π Các trường hợp ñặc biệt u = v + k2π 2)co s u = cos v ⇔ (k ∈ ℤ) u = − v + k2π u = v + kπ 4) cot u = cot vv ⇔ (k, n ∈ ℤ) u ≠ n π π + k2π (k ∈ ℤ) π 4) cos u = ⇔ u = + kπ (k ∈ ℤ) 6) cos u = −1 ⇔ u = π + k2π (k ∈ ℤ) 1)sin u = ⇔ u = kπ (k ∈ ℤ) 2)sin u = ⇔ u = π 3)sin u = −1 ⇔ u = − + k2π (k ∈ ℤ) 5) cos u = ⇔ u = k2π (k ∈ ℤ) Phương trình bậc với hay nhiều hàm số lượng giác a) Phương trình lượng giác bậc với hàm số lượng giác – Dạng: a.X + b = 0, với X là sinf(x), cosf(x), tanf(x), cotf(x) – Phương pháp: ðưa phương trình lượng giác b) Phương trình lượng giác bậc với hai hàm số lượng giác – Phương trình bậc với sin và cosin: + Dạng: a.sinu + b.cosu = c + ðiều kiện ñể phương trình có nghiệm: a2 + b2 ≥ c2 + Nếu a = b = ta ñưa phương trình + Xét a ≠ 0, b ≠ ta có thể giải theo các cách sau Cách Chia hai vế phương trình cho a + b và ñặt sin α = ñưa phương trình dạng sin(u + α) = c b a +b 2 ,cos α = a a +b 2 , ta a +b b Cách Chia hai vế phương trình cho a và ñặt tan α = a 2 u 2 (b + c)t − 2at + c − b = Giải tìm t, tìm u, từ ñó tìm nghiệm phương trình Cách Xét u = π + k2π Với u ≠ π + k2π ta ñặt t = tan , ñưa phương trình ñã cho dạng Chú ý Với phương trình a.sin u + b.cos u = c.sin v + d.cos v mà a + b = c + d > ta chia hai vế phương trình cho a + b và ñưa phương trình Với phương trình dạng a.sinu + b.cosu = ta có thể ñưa phương trình tanu cotu – Phương trình bậc với tang và cotang: + Dạng: a.tanu + b.cotu + c = + Phương pháp: ñặt t = tanu – Các phương trình dạng a.X + b.Y = với X là sinu cosu, còn Y là tanu cotu, ta thường ñưa phương trình tích, phương trình bậc hai ñối với sin cosin Phương trình bậc hai với hay nhiều hàm số lượng giác Chuyên ñề phương trình lượng giác Lop12.net (2) Nguyễn Văn Xá - THPT Yên Phong số - Bắc Ninh a) Phương trình bậc hai với hàm số lượng giác – – Dạng: a.X2 + b.X + c = 0, với X là sin cosin tang cotang Phương pháp: ðặt t = X, X là sin cosin thì có ñiều kiện −1 ≤ t ≤ b) Phương trình bậc hai với sin và cosin – Phương trình bậc hai ñối với sin và cosin + Dạng a.sin u + b.sin u.cos u + c.cos u = d + Phương trình này còn ñược gọi là phương trình ñẳng cấp bậc hai với sin và cosin + Phương pháp giải: Cách Tìm cách ñưa phương trình tích Cách Dùng công thức hạ bậc ñể ñưa phương trình bậc ñối với sin và cosin Cách Xét cosu = Xét cos u ≠ , chia hai phương trình cho cos2u và ñặt t = tanu Chú ý Với phương trình a.sin3u + b.sin2u.cosu + c.sinu.cos2u + d.cos3u + e.sinu + f.cosu = ta làm tương tự cách nói trên – Phương trình ñối xứng ñối với sin và cosin có dạng a(sinu + cosu) + b.sinu.cosu +c = t2 −1 Ta ñặt t = sin u + cos u ⇒ t ≤ 2, sin u.cos u = – Phương trình dạng a(sinu – cosu) + b.sinu.cosu + c = 0, ta thường ñặt 1− t2 t = sin u − cos u ⇒ t ≤ 2, sin u.cos u = Các phương trình lượng giác khác • Ta có thể biến ñổi phương trình lượng giác dạng phương trình tích Muốn cần nắm vững các công thức lượng giác, các ñẳng thức, các phương pháp ñặt nhân tử chung … Chúng ta lưu ý số kĩ thuật sau: ☺ Nếu phương trình lượng giác có chứa sin2x, sin3x, tanx, tan2x, tan3x … ta có thể ñặt nhân tử chung là sinx ☺ Nếu phương trình lượng giác có chứa sin2x, cos3x, cotx, tan2x, cot3x … ta có thể ñặt nhân tử chung là cosx x x ☺ Nếu phương trình lượng giác có chứa cos ,cot ,sin x, tan x ta có thể ñặt 2 nhân tử chung là + cosx x x ☺ Nếu phương trình lượng giác có chứa sin , tan ,sin x, tan x ta có thể ñặt 2 nhân tử chung là – cosx x π π x ☺ Nếu phương trình lượng giác có chứa cos x, cot x,sin ( + ),cos ( − ) ta có 4 thể ñặt nhân tử chung là + sinx π x x π ☺ Nếu phương trình lượng giác có chứa cos x, cot x,sin ( − ), cos ( + ) ta có 2 thể ñặt nhân tử chung là – sinx ☺ Nếu phương trình lượng giác có chứa cos2x, cot2x, + sin2x, + tanx, + cotx, tanx + cotx … ta có thể ñặt nhân tử chung là sinx + cosx ☺ Nếu phương trình lượng giác có chứa cos2x, cot2x, – sin2x, – tanx, – cotx, tanx – cotx … ta có thể ñặt nhân tử chung là sinx – cosx • Ta có thể dùng các công thức hạ bậc, nhân ñôi, biến tổng thành tích, biến tích thành tổng … ñể biến ñổi các phương trình lượng giác dạng quen thuộc ñã biết cách giải Có thể dùng bất Chuyên ñề phương trình lượng giác Lop12.net (3) Nguyễn Văn Xá - THPT Yên Phong số - Bắc Ninh ñẳng thức ñể giải phương trình lượng giác Nhiều phương trình lượng giác cần chú ý ñến ñiều kiện xác ñịnh Bài tập thực hành π π π x 1)sin (x − ) = cos (3x + ) 2) tan(2x + ) tan(π − ) = 3)sin 2x + sin x = 2 2 2 4)8sin x cos x − 3sin x + 2sin x cos x + cos x = 5)sin 6x cos 7x = sin 8x cos5x 6)2sin x cos 2x − + 2cos 2x − sin x = 7)sin x + sin 2x = sin 3x + sin 4x 8) 2sin x − = − 3sin x 9)2x − sin πx = 10) cos3 x + sin x = cos 2x 5π x 3x x 3x 11)sin( cos πx) = 12) cos x cos cos − sin x sin sin = 13) tan 2x = 3tan x 2 2 2 14)2cot 2x − 3cot 3x = tan 2x 15) tan 2x + cot x = 8cos x 16)2cos 4x + sin10x = 4x 3x 5x 3x 17) cos + sin + 2sin = cos 18) cos 2x + 4sin x = 8cos6 x − cos 6x 19)sin x + cos x = 20)sin 3x + cos 2x + = 21)sin 2x + = cos 3x 22)(cos 2x − cos 4x) = + cos 3x 23)2sin x + 3cos8 x = 24) sin x + cos x = cos x sin x + cos x 25)sin10 x + cos10 x = 26)sin x − cos x = sin 4x cos 2x + 2sin x cos x 27) cos 2x + sin 3x = sin 2x − cos3x 28)sin x + sin 2x + sin 3x + sin 4x = cos x cos5x 29)sin x + sin 2x + sin 3x + sin 4x = 30) − = 8sin x sin 3x cos3x cos x x −1 +1 31) sin x − cos x + sin x + cos x = 32) tan cos x + sin 2x = 33) + = sin x cos x x 2cos + tan x 34)sin x + sin x + cos3 x = 35) = + sin 2x 36) tan x = − tan x − sin x 37)sin6x + sin8x + sin16x + sin18x + 16sin3x = 38)3(cot x − cos x) − 5(tan x − sin x) = 39)2cos13x + 3(cos3x + cos5x) = 8cos x cos3 4x 40) sin x + sin x + sin x + cos x = 41)sin x + sin 2x = 3(cos x + cos 2x) 42)2sin x cos 2x + sin 2x cos 2x = sin 4x cos x 23π sin x 43) tan( − x) + = 44)sin 2x + cos 2x + 3sin x − cos x − = + cos x sin x + cos x cot 2x (2 − sin 2x)sin 3x 45) = − 46) tan x + = 5sin 2x 8sin 2x cos x 2cos 4x 47) = sin x 48)3 − tan x(tan x + 2sin x) + 6cos x = 49) cot x = tan x + sin 2x 8cos x 2+3 π 50) cos 3x cos3 x − sin 3x sin x = 51)2sin(2x − ) + 4sin x + = 3 52) cos x + sin x + 2sin x = 53)4sin x + 4sin x + 3sin 2x + cos x = 54)(2sin x − 1) tan 2x + 3(2cos x − 1) = 55) cos 2x + (1 + 2cos x)(sin x − cos x) = Chuyên ñề phương trình lượng giác Lop12.net (4)