Chuyên đề Hệ phương trình có chứa tham số

điều kiện hệ có nghiệm Sử dụng phương pháp này ở những hệ mà trong đó mỗi phương trình hay bất phương trình có tập nghiệm là một hình đường thẳng, đường tròn ,elíp ,parabôl…hoặc một đồ t[r]

Hệ phương trình có chứa tham số I-Hệ phương trình gồm phương trình bậc phương trình bậc hai Khi hệ phương trình gồm phương trình bậc phương trình bậc hai ,ta có thể rút ẩn này theo ẩn vào phương trình còn lại ,khi đó hệ có phương trình ẩn có bậc nhỏ hai ,phương trình này có bao nhiêu nghiệm thì hệ có nhiêu nghiệm Đê tìm điều kiện tham số cho hệ phương trình có tập nghiệm thoả mãn tính chất nào đó ,ta có thể sử dụng hệ thức Viét đồ thị hàm số để tìm x  y  Bài Cho hệ phương trình   x  xy  m  A,tìm m để hệ có nghiệm B,Tìm m để hệ có hai ngiệm(x ,y ),(x ,y ) thoả mãn P = x 12 + x 22 + y 12 + y 22 đạt giá trị nhỏ Giải y  x  a- Hệ pt   x  6x  m   Hệ có nghiệm  pt (2) có nghiệm  ,  10  m   m  10 b- Theo Viét : x1  x =6 , x x =m-1 Nên p = (x +x ) -2x x +(x -3) +(x -3) =-4m+46  (m  10)  p  m=10 3 x  y  a (1) Bài Cho hệ phương trình ;  2 3 x  y  b(2) a-Tìm a,b để hệ có nghiệm b-Tìm a để hệ có nghiệm với b   1,2 c- Tìm b để hệ có nghiệm với a   1,2 Giải a  3x a-Từ(1)  y  thay vào (2)ta có :24x -6ax+a -5b=0(3) Hệ có nghiệm  pt(3) a2 c ó nghiệm  ,  15a  120b   b  b-Không có a thoả mãn vì với b =-1 hệ không có nghiệm a2 c-Hệcó nghiệm với a   1,2  b  max  ( ) a   1,2  b  Các bài tập tương tự x  y  m 1- Giải và biện luận h ệ phương trình :  2 x  y  2x  Lop12.net x  y  2- Cho hệ phương trình :  ax  y  b a-Gi ải h ệ v ới a=0,25 ,b=0,5 b- Tìm a để hệ có nghiệm với b  x  ay  a  3- Cho hệ phương trình  2 x  y  x  a- Tìm a để hệ có hai nghiệm phân biệt )Chứng minh b-hệ có hai nghiệm(x ,y )(x ,y (x -x ) +(y -y )   x  xy  2m   4- Cho hệ phương trình:  x  y  a- Tìm m để hệ có hainghiệm phân biệt b-hệcó hai nghiệm(x ,y )(x ,y )Tìm mđể:(x -x ) +(y -y ) =4 x  y  5- Cho hệ phương trình:   x  xy  m  a- Tìm m để hệ có nghiệm b- Tìm m để hệ có hai ngiệm(x ,y ),(x ,y ) thoả mãn P = x 12 + x 22 +y +y đạt giá trị nhỏ  x  y  25 6-Tìm m để hệ cohainghiệm :  mx  y   3m  a ( x  y )  x  y  b 7- Cho hệ pt:  có nghiệm với b CMR:a=0 y  x  b II-Hệ đối xứng loại Hệ hai pt hai ẩn số gọi là hệ đối xứng loại đổi chỗ vị trí hai ẩn cho thì phương trình hệ không thay đổi Cách giải thông thường đặt s=x+y,p=xy(điều kiện s  p )Khi đó có hệ phương trình ẩn s,p lên để tìm điều kiện tham số để hệ có nghiệm ta giải hệ tìm s,p theo tham số m thay vào điều kiện trên giải bất phương trình tìm giá trị tham số Đôi sử dụng cách đặt ẩn phụ khác để đưa hệ đối xứng loại ,khi đó tuỳ theo cách đặt ẩn phụ ,mà điều kiện ẩn phụ khác Để tìm điều kiện cho hệ có nghiệm có thể giải hệ phương trình sử dụng điều kiện bắt buộc để hệ có nghiệm có thể lợi dụng vào tính đối xứng hai ẩn hệ để tìm điều kiện cần tham số để hệ có nghiệm Sau đây là số ví dụ minh hoạ  x  y  xy   m Bài1-Chohệ phương trình:  Tìm m để hệ có nghiệm Giải 5( x  y )  xy  Lop12.net Đặt s=x+y,p=xy(điều kiện s  p )Thay vào hệ phương trình và giải hệ ta có s=4m ,p=5m-1 Hệ có nghiệm  s  p  m  m  x  y  xy  m  Bài 2- Chohệ phương trình:  Tìm m để hệ có nghiệm x  y  m Giải s  p  m Đặts=x+y,p=xy(điều kiện :s  p )Khiđóhệphươngtrình:  s  p  m s  1  3m  s  1  3m  1  (với m  )   p  m   3m   p  m   3m    3m  1)  4(m   3m  1) Hệ có nghiệm  s  p    m  (TMĐK) (1  3m  1)  4(m   3m  1)  x  y  m Bài 3- Tìm m để hệ có nghiệm :   x  y  3m  Giải s  m Đặt s=x +y ,p=x y (ĐK:s,p  0) Khiđóhệpt    s  p  3m  s  p s  m 0  m      m  3m  Hệcónghiệm  s  2  m   p  p     x  y  m Bài 4- Tìm m để hệ có nghiệm :   x   y   Giải Đặtu= x  ,v= y  (đK:u,v  ,x  ,y  )Khiđóhệpt: u  v  u  v  u  v      21  3m Hệcónghiệm u  ,v   uv  u  v  3m  (u  v)  4uv uv   16  2(21  3m) 13  m7  21  3m  x  y  x  y  Bài 5- Tìm m để hệ có nghiệm :   xy ( x  1)( y  1)  m Lop12.net Giải u  v  1 , v  )Khiđóhệ:  nên u,v là nghiệm pt bậc 4 uv  m 1 hai: X -8X +m=0 (u,v  )Hệ có nghiệm pt này có hai nghiệm lớn  4 Hai đồ thị hai hàm số y=x -8x và y=-m cắt hai điểm có hoành độ  Nên dựa 31 vào đồ thị ta có giá trị m thoả mãn :-16  m   Bài6- Tìm m để hệ có nghiệm 16 x  y  phân biệt  3  x  y  m( x  y ) Đặtu=x(x+1),v=y(y+1)(ĐK :u  x  y  x  y  Hệpt   v  2 x  y  ( x  y )( x  y  xy  m)  o  x y  x  y  x  y   Hệ có ba nghiệm phân biệt có hai     x  y   xy   m  x  y  xy  m   xy   m  Giải 1  pt X -X +1-m=0 có hai nghiệm phân biệt   2 3   4m  3  m  (m= ptcó nghiệm kép X=0,5) 4 x   y  xy  2m  Bai7-Cho hệ phương trình :   xy ( x  y )  m  m a-CMR : hệ có nghiệm với giá trị m b-Tìm m để hệ có nghiệm Giải s  m (1)   s  p  2m  p  m 1  Đặt s=x+y , p=xy Khi đó hệ phương trình :   s  m  sp  m  m   (2)  p  m a-Hệ (2) có mghiệm với m (s  p với m) nghiệm phân biệt x ,y  b-Hệ(2)luôn có nghiệm với m ,nên hệ có nghiệm thì hệ (2)có nghiệm  s  p  (m  1)  4m  m  Với m=1 hệ (1)vô nghiệm ,hệ (2)có nghiệm nhất.Vậy m=1 Chú ý : Khi hệ pt tương đương với nhiều hệ khác thì ĐK cần để hệ có nghiệm là các hệ đó có nghiệm ,từ đó tìm ĐK tham số ,thay giá trị tham số tìm vào hệ giải hệ kiểm tra điều kiện đủ Lop12.net  x  y  xy  Bài8-Tìm mđể hệ pt  có nghiệm  x  y   m( x  y  1)  Giải * Nếu hệ có nghiệm (x,y) thì (y,x)cũng là nghiệm hệ pt nên hệ có nghiệm thì x=y, thay vào hệ pt giải ta có x=y=1và m=0  x  y  xy   x  y  xy   x  y  xy  * Với m=0 hệ pt :      2  x  y   x  y  ( x  y )  xy   x  y  (VN )  xy    Vậy :m=0   x  y  x     xy  y  Chú ý : Để tìm điêu kiện cho hệ có nghiệm có thể biến đổi hệ dạng đơn giản tìm điều kiện bắt buộc để hệ có nghiệm Hoặc lợi dụng tính đối xứng hệ để tìm điều kiện cần tham số để hệ có nghiệm `Bài tập x  y  m  1-cho hệ pt :  2  x y  xy  2m  m  a-Giải hệ pt m=3 b-CMR :Hệ pt có nghiệm với m  x  xy  y  m  2- Cho hệ pt :  2  x y  xy  m a-Giải hệ pt m=2 b- Tìm m để hệ có nghiệm (x,y) cho x>0,y>0  x  y  xy  m  3- Cho hệ pt :  2 x  xy  y  m a- Giải hệ m=-3 b- Tìm m để hệ có nghiệm  x  y  2m  4- Tìm m để hệ :  có ngiệm(x,y)saocho:p= xy đạt giá trị nhỏ 2 x  y  m  m   2  x  y   2m 5- Tìm m để hệ có hai nghiệm phân biệt :  ( x  y )  x  y  m 6- Cho hệ pt :  a- Giải hệ m=2 2 x  y   m b- Tìm m để hệ có nghiệm (x,y) cho F=xy+2x+2y đạt giá trị nhỏ  xy ( x  2)( y  2)  5m  7- Tìm m để hệ có hai nghiệm phân biệt :  2  x  y  x  y  2m Lop12.net  x  y  xy  m 8- Tìm m để hệ :  có nghiệm phân biệt  x  y   2m  x  y  xy  m 9- Giải biện luận hệ pt:  2  x  y   2m  x  y  xy  m 10-Tìm m để hệ có nghiệm :   x  y  m III-Hệ đối xứng loại hai +Hệ hai pt có hai ẩn gọi là hệ đối xứng loại hai đổi chỗ ẩn x và y cho thì pt này hệ chuyển thành pt và ngược lại +Cách giải :Trừ vế hai pt ,khi đó ta pt tích dạng (x-y)f(x,y)=0 dựa vào pt này có thể giải hệ +Để tìm ĐK cho hệ có nghiệm cách làm hệ đối xứng loại  x  x  my Bài1-Chohệpt:  Tìm m để hệ có hai nghiệm phân biệt  y  y  mx Giải x  y   y ( y   m)  x  y  Trừ hai vế của hai pt ta có :    x  y x  y   m  x  x  my Hệ có hai nghiệm phân biệt  m+3   m  3 2  x  y  mx  y Bài 2-Tìm m để hệ có nghiệm   y  x  my  x Giải ( x  y )(3 x  y  m  1)  x  y Trừ hai vế hai pt,ta có hệ:   (1)  2 x  y  mx  y y  x  my  x   x  y  m     (2)  y  x  my  x Giải hệ (1) ta có x=y=0 v x=y=-m-1 Nên hệ có nghiệm thì :-m-1=0  m  1 đó hệ (2) vô nghiệm Vậy m=-1  xy  x  m( y  1) Bài 3- Tìm m để hệ có nghiệm :   xy  y  m( x  1) Giải Nếu hệ có nghiệm (x,y) thì (y,x) là nghiệm pt nên hệ có nghiệm nhấtthì x=y thay vào hệ có pt: 2x mx  m  có nghiệm m=0 v m=8 x  y  x   xy  x  Vớim=0hệlà:   (hệcóvôsốnghiệm)   xy  y  y   x( x  y )  Lop12.net  xy  x  8( y  1) Với m=8 hệ:   x  y  (hệ có nghiệm nhất)  xy  y  8( x  1) Vậy m=8   x   y  m Bài 4- Tìm m để hệ có nghiệm :    y   x  m Giải : Đ K :-1  x, y  Nếu (x,y)là nghiệm hệ thì (5-x,5-y)cũng là nghiệm hệ nên hệ có nghiệm x   x thì   x=y= thay vào hệ ta có m= 14 y   y   x   y  14 Với m= 14 hệ pt:     y   x  14   x   y  14    x   x   y   y  14 Mà  x   x   y   y  14 dấu xảy  x=y= hệ pt)Nên hệ có nghiệm x=y= (thoả mãn Vậy m= 14 Bài5-Tìm m để hệ có nghiệm  x   y   m   y   x   m Giải ĐK :x,y  3   x   x   y   y   x   x   y   y  (1) Hệ     x   y   m  x 1  y   m  nghịch biến khoảng (2,+  ) Nênpt(1)  x=ythay vào t 1  t  pt ta có pt: x   x   m Hệcónghiệmkhiptnàycónghiệm  Vậy: m  m  Min  ( x   x  )  Hàm số f(t)= x2  x  y  x  mx Bài 6- Tìm m để hệ có nghiệm :  Giải  y  x  y  my Lop12.net ( x  y )( x  y  xy  6( x  y )  m)  Trừ haivế hai pt ta có:   x=y=0 V  x  y  x  mx  x  y  xy  6( x  y )  m  0(2) x  y V ( II ) ( I )    y  x  y  my  y  y  m  0(1) ĐK Cần : Hệ (I)không có nghiệm x=y=0,nên hệ pt đã cho có nghiệm thì hệ (I)vô nghiệm  pt (1) vô nghiệm  , <0  m >16 ĐK Đủ :Với m>16 đó pt (2)  y  ( x  6) y  x  x  m  Là pt bậc hai ẩn y có   3( x  2)  4(m  12)  với m>16 nên pt(2) vô nghiệm  hệ (II) vô nghiệm và hệ (I) vô nghiệm Vậy :m>16 Bài tập ( x  1)  y  m 1- Tìm m để hệ có nghiệm :  ( y  1)  x  m 2- Tìm m để các hệ pt sau có nghiệm n hất  x   y  m   x   y  m  x  y  y  my a-  b,  c,   y  x  x  mx  y   x  m   y   x  m  x  x  y  2m d,   y  y  x  2m 2 x  y   m 3-Tìm m để hệ có nghiệm :  2 y  x   m IV-Hệ đẳng cấp bậc hai a x  b xy  c1 y  d1 (1) Xét hệ có dạng :  a x  b2 xy  c y  d (2) Cách giải Cách 1: + xét xem x=0 có là nghiệm hệ pt hay không  x (a  b t  c1t )  d1 +Với x  đặt y=tx thay vào hệ pt :  1 chia hai vế hai pt  x (a  b2 t  c t )  d cho x cân hệ số vế phải hai pt trừ hai vế hai pt khử ẩn x đó ta có pt bậc hai ẩn t,giải pt đó tìm t Lop12.net Cách 2:Cân hệ số ẩn X hai pt trừ hai vế hai pt khử ẩn x ,rút x theo y pt thay vào pt còn lại ,quy đồng khử mẫu pt đó đưa pt trùng phương giải ẩn x Cách 3:Cân hệ số tự hai pt ,trừ hai vế hai pt khử số hạng tự dota pt có các hạng tử đẳng cấp bậc hai với ẩn x,y Với hệ có chứa tham số dựa vào các cách giải trên để biến đổi,song tuỳtheo hệ mà ĐK để hệcónghiệmcũng khác  x  xy  y  m(1) Bài 1-CMR :Hệ pt sau có nghiệm với m:   y  xy  4(2) Giải Nhận xét pt (2) bậc với ẩn x nên rút x pt (2) thayvào pt(1)tacó pt:2y -(409m)y -16=0(3)Đặt t=y (t  ) Ta có pt:2t -(40-9m)t-16=0(4) pt(4) luôn có hai nghiệm trái dấu nên pt(3) luôn có nghiệm đó hệ luôn có nghiệm với m (ĐPCM) 3 x  xy  y  11 Bài 2-Tìm m để hệ có nghiệm :   x  xy  y  17  m Giải +x=0 thay vào hệ giải tìm y=  11 ,m=16  x (t  2t  3)  11 +x  (haym  16 )Đặty=tx thay vào hệ :  2   x (3t  2t  1)  17  m  3t  2t  17  m   11   t  2t   x (t  2t  3)  11  (m  16)t  2(m  6)  3m  40  0(3) Ta có :t +2t+3=(t+1) +2>0 với mọitnên  2  x (t  2t  3)  11(4) hệ có nghiệm  pt(3) có nghiệm  ,  2(m  10m  338)   5-11  m  5  x  (m  1) xy  (m  2) y  m  1(1) Bài 3-Tìm m để hệ :  có nghiệm phân biệt  x  (m  1) xy  (2m  5) y  m  1(2) Giải (m  3) y  Lấy pt (1) trừ pt (2) rút x theo y ta có x= thay vàopt(1)tacó:(3m 2y 18m  23) y -12(m+1)y +4=0 Đặt t=y (Đ K:t  )Ta có:(3m 18m  23)t -12(m+1)t+4=0 (3) Lop12.net Hệ có 4nghiệm phân biệt  pt(3)có2nghiệm dương phân biệt   36(m  1)  4(3m  18m  23)   m 3m  18m  23   m 1  0  3m  18m  23 Bài tập  x  my  y  m 1-Tìm m để hệ có nghiệm :   x  (m  1) xy  my  m 3 x  xy  y  m 2-Tìm m để hệ có nghiệm :   x  xy  y  V-Một số hệ khác 1-Hệ hai bất pt bậc hai có hai ẩn Ta xét hệ hai bất pt bậc hai có hai ẩn mà các hạng tử chứa ẩn là bậc hai ,cách tìm điều kiện để hệ có nghiệm có liên quan đến việc giải hệ đẳng cấp bậc hai 1 m  2 (1)  x  xy  y  Ví dụ 1- Tìm m để hệ sau có nghiệm :  m 1 3 x  10 xy  y  2(2)  Giải *ĐK Cần: Nếu hệ có nghiệm (x,y) thì (x,y) thoả mãn hệ bất pt trên Khi đó nhân 4 hai vế (1) với -2 cộng hai bất đẳng thức với ta có: x 6 xy  y  m 1   ( x  y)   m    m  1 m 1 1 m  1   1 *ĐK Đủ: Với m<-1.Ta có : m 1 m 1 1 m  2  y  0,5  x  1,5  x  xy  y  1  Xét hệ pt:  V   Hệ có nghiệm 1 m   x   , y   , 2   3 x  10 xy  y  2  Vậy : m<-1 Bài tập 1- Tìm m để hệ có nghiệm 3m  5 x  xy  y   2  5 x  xy  y  a-  b-  m2 2m  7 x  xy  y  3 x  xy  y  2m    Lop12.net 3 x  xy  y   c-  m 1  x  xy  y  2m   2- Sử dụng hình học để tìm điều kiện hệ có nghiệm Sử dụng phương pháp này hệ mà đó phương trình hay bất phương trình có tập nghiệm là hình (đường thẳng, đường tròn ,elíp ,parabôl…)hoặc đồ thị hàm số ,khi giá trị tham số thay đổi thì các hình đó thay đổi ,dựa vào điều kiện sảy các vị trí tương đối nó để biện luận tập nghiệm hệ Tuỳ theo hệ ,có phải biến đổi có thể sử dụng phương pháp này 2  x  y  2(1  a ) Bài 1- Tìm a để hệ có hai nghiệm :  ( x  y )  Giải Nếu a<-1 hệ vô nghiệm 2  x  y  2(1  a )(1) Nếu a  1 Khi đó hệ :  Tập nghiệm (1) là đường tròn tâm  x  y  2(2) O(0,0) bán kính R= 2(1  a ) còn nghiệm (2) là hai đường thẳng x+y-2=0 V x+y+2=0 đối xứng qua O Nên hệ có nghiệm  hai đường thẳng và đường tròn có hai điểm chung  Hai đường thẳng cùng tiếp xúc với đường tròn  Khoảng cách từ O đến hai đường thẳng bán kính đường tròn   2(1  a )  a   x  ( y  1)  a (1) Bài 2- Tìm a để hệ có nghiệm :  ( x  1)  y  a (2) Giải Nếu a<0 hệ vô nghiệm Nếu a  Khi đó nghiệm (1) là hình tròn tâm I(0,-1)bán kính R= a và nghiệm (2) là hình tròn tâm J(-1,0) bán kính R= a Nên hệ có nghiệm  Hai hình tròn có điểm chung  Hai hình tròn tiếp xúc ngoài  IJ  a  2 2 a a  x  y  3a Bài 3-Tìm a để hệ có nghiệm ;   x   y   a Giải Nếu a<0 hệ vô nghiệm Nếu a u  v  a (1) (u , v  0)  đặtu= x   ,v= y   Khiđóhệ:  2 u  v  3a  3(2) Trong hệ toạ độ nghiệm (1)là tập hợp các điểm nằm trên đường thẳng :u+v=a(d) và nghiệm (2) là tập hợp các điểm nằm trên đường tròn tâm O(o,o)bán kính R= 3a  Nên hệ có nghiệm  hai đường có điểm chung góc phần tư thứ d(o,m)  d(o,d)  R (trongđóđtm:u+v= 3a  ) 3a   a  6a   Lop12.net Bài tập  x  y  Bài 1-Tìm a để hệ có nghiệm :   x  y  x( y  1)  a   x  y  xy  m  Bài 2-Tìm m để hệ có nghiệm :   x  y  log 2 ( x  y )  (x  y ) Bài 3-Tìm m để hệ có nghiệm :   x  y  m  x  y   x Bài 4-Tìm m để có nghiệm :   x  y  m   x  y  x  Bài 5-Tìm m để hệ có nghiệm :   x  y  m   x   y   sau có nhiều nghiệm :   x  y  m Bài 6-Tìm m để hệ 3-sử dụng điều kiện cần và đủ  x  y   Bài 1- Tìm m để hệ có nghiệm :   x  ( y  2)  m Giải Điều kiện cần :Nếu hệ có nghiệm (x,y)thì (-x,y)cũng là nghiệm hệ Do đó để hệcó nghiệm thìx=-xx=0  y  2Vy  6  y   Với x=0thay vào hệ ta có :   (II)  ( y  2)  m 2  m  y   m 2   m Đểhệ(II)có nghiệm điều kiện là:  m0    m Điều kiện đủ :hệ có nghiệm x=0,y=2 3 x  a y    Bài 2- Tìm a để hệ có nghiệm   a2 x  y  y  y 1  Giải 3 x  a y   Hệ pt   Nếu hệ có nghiệm (x,y)thì (x,-y) là nghiệm Nên hệ  x  y   a có nghiệm thì y=-y y=0 3 x  a  Thay y=0 vào hệ ta có   a  1Va  x   a Lop12.net Nếu a=-1 thay vào hệ ,giải hệ ta có hệ có nghiệm x=y=0 Nếu a=4/3 thay vào hệ ,giải hệ => nghiệm :x=7/9,y=0 Vậy :a=-1 a=4/3  x2   y  a  Bài-3 Tìmađể hệ có nghiệm   y   x  x    a Giải Nếu (x,y)là nghiệm thì (-x,-y)cũng là nghiệm Nên để hệ có nghiệm thì x=y=0.Thay vào hệ ta có a=  x   y  (1)  Với a= ,hệ pt:  Nhận thấy x,y  thì VT(1)  Nên  y   x  x  (2) (1) có nghiệm :x=y=0 thay vào (2)thoả mãn Vây :a= Bài tập  xyz  z  a  Bài 1-Tìm a,b để hệ có nghiệm :  xyz  z  b x  y  z   x  y  z Bài 2- Tìm a để hệ có nghiệm  x  y  z  a  x  y  Bài 3- Tìm a để hệ có nghiệm   y   ax  a 2 x  x  y  x  m Bài 4-Cho hệ pt:   y  x  a-Giải hệ với m=2 b-Tìm m để hệ có nghiệm a ( x  1)  cos x  y Bài 5-Tìm a để hệ có nghiệm   sin x  y  Lop12.net Lop12.net Lop12.net Lop12.net Lop12.net Lop12.net Lop12.net