-Ta quy ước gọi một hệ hai phương trình với 2 ẩn x,y là đối xứng loại hai nếu trao đổi vai trò của x,y thì phương trình này chuyển thành phương trình kia.. Phương pháp giải: +Trừ vế với [r]
(1)¤n tËp to¸n Chủ đề đại số 10 Bài Phương trình bậc hai A.Tãm t¾t kiÕn thøc 1.Phương trình bậc hai 1.1.Dạng phương trình bậc hai: ax2 +bx +c = với a 1.2.Nghiệm phương trình bậc hai BiÓu thøc : Δ = b2 -4ac ( hay Δ ’=b’2 –ac víi b’ = b/2) * Δ < : pt v« nghiÖm * Δ = 0: pt cã nghiÖm kÐp * Δ > 0: pt cã nghiÖm ph©n biÖt x1,2 b Δ 2a ghi chú : ac < thì phương trình có nghiệm phân biệt 1.3.§Þnh lý viet *Nếu phương trình bậc hai: ax2 +bx +c = có hai nghiệm x1 ,x2 thì S = x1 +x2 = b c ; x1x2 = a a *Nếu x1 +x2 = S , x1x2 = P và S2 -4P thì x1,x2 là nghiệm phương trình : x2 –Sx +P = ghi chó: Nếu a +b +c = thì phương trình có nghiệm là x = và x = c/a Nếu a -b +c = thì phương trình có nghiệm là x = -1 và x = -c/a NÕu pt cã nghiÖm x1 vµ x2 th× ax2 +bx +c =a( x –x1)(x-x2) 2.Phương trình bậc bốn đưa phương trình bậc hai 2.1.D¹ng ax4 +bx2 +c = ( a 0) (phương trình trùng phương) Đặt t = x2 với t ta có phương trình : at2 +bt +c = 2.2.D¹ng (x+a)(x+b)(x+c)(x+d) = k đó a+b =c +d ; k đặt t = ( x+a)(x+b) 2.3.D¹ng (x +a)4 +(x+b)4 =k ( k>0) §Æt t = x + ab 2.4.D¹ng ax4 +bx3 +cx2 bx +a = víi a Chia vế cho x2 và đặt t x Ghi chó: nÕu t = x + ta có phương trình : at2 +bt +c +2a = x thì ta có kiện t x Giải tương tự cho phương trình : GV: Vò Hoµng S¬n ax4 +bx3 +cx2 Lop12.net e d dx +e = víi a b (2) ¤n tËp to¸n Chủ đề đại số 10 B.Phương pháp giải toán ví dụ 1: Tìm m để phương trình : x2 -10x +9m = a)cã hai nghiÖm b)x1- x2 =0 Hướng dẫn: a) m 0;m (1) 25 b) áp dụng định lí viet ta m = 0; m = Ví dụ 2.Tìm m để phương trình : x2 +(m-1)x +m + = (1) 2 Cã hai nghiÖm tho¶ m·n x1 +x2 = 10 Hướng dẫn: áp dụng định lí viet ,chú ý điều kịên để phương có nghiệm Ta ®îc m = -3 ; m = so víi ®iÒu kiÖn ta cã m = -3 Ví dụ định m để phương trình : x2 -2(m+1)x –m- = (1) Có hai nghiệm x1 ,x2 và A = x12 +x22 – 6x1x2 đạt giá trị nhỏ Hướng dẫn: *§iÒu kiÖn pt cã nghiÖm lµ m 2;m 1 *A = …= 4[(m+2)2 -1] 4 m = -2 v¹y A nhá nhÊt b»ng -4 m = -2 Ví dụ Gải các phương trình: a) (x-1)(x+5)(x-3)(x+7) = 297 §S: x = ; x = -8 4 b) x + ( x-1) = 97 §S: x = ; x = -2 c) 6x -35x +62x -35x +6 = §S: x =2;x=1/2 ;x = 3; x = 1/3 Ví dụ Cho phương trình : mx2 -2(m-2) x +m -3 = Tìm m để phương trình : a) Cã hai nghiÖm tr¸i dÊu §S: < m < b) Có hai nghiệm dương phân biệt §S: m< 0; 3< m <4 c) Có đúng nghiệm âm §S: < m < Ví dụ Cho phương trình ( m -1)x4 +2(m -3)x2 +m +3 = Định m để phương trình trên a)cã nghiÖm ph©n biÖt b)cã nghiÖm ph©n biÖt c)cã nghiÖm ph©n biÖt d)cã nghiÖm ph©n biÖt e) v« nghiÖm §S: m < -3 ; m > 3/2 Bµi tËp sè 1.Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt a) x2 -2mx +m2 -2m +1 = b) mx2 §S: m > 1/2 m §S: 24 m –( 2m+1)x +m -5 = 2.Cho phương trình : x2 -2(1+2m)x+3+ 4m = (1) 2 ;m 2 a) Định m để phương trình (1) có nghiệm x1,x2 §S: m b)Tìm hệ thức độc lập m các nghiệm x1,x2 §S: P – S -1 = GV: Vò Hoµng S¬n Lop12.net (3) ¤n tËp to¸n Chủ đề đại số 10 c) TÝnh theo m,biÓu thøc A = x1 +x2 §S:A=2(1+2m)(16m2+4m-5) §S: m d)Định m để pt(1) có x1 = 3x2 e)viÕt pt bËc hai cã nghiÖm lµ x12 vµ x22 1 §S:X2-2(8m2+4m-1)X+(3+4m)2=0 3.Cho phương trình : x2 -6x +m -2 = Định m để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt 4.Cho phương trình : mx2 +2(m +3)x +m = Định m để phương trình : §S: < m < 11 m §S: m a) Cã hai nghiÖm cïng dÊu b) Cã hai nghiÖm ©m ph©n biÖt 5.Giải các phương trình : §S: m > 3 73 b) (x+3)4 +( x+5)4 = 16 §S: -5;-3 3 §S: 1; d) x4 -5x3 +10x2 -10x +4 = 0.§S:1 ;2 a) (x+2)(x-3)(x+1)(x+6) = -36 §S: 0;-3; c) x4 +x3 -4x2 +x +1 = Bài 2.Hệ phương trình Vấn đề 1:Hệ gồm phương trình bậc và phương trình bậc hai Phương pháp giải: +Từ phương trình bậc ,rút ẩn theo ẩn +Thế vào phương trình bậc hai còn lại để đưa phương trình bậc hai ẩn 2 x y VÝ dô 1.gi¶i hÖ x xy 24 (1) §S: (-9;-19/3);( 8;5) (2) Vấn đề 2:Hệ đối xứng loại -ta qui ước gọi hệ chứa ẩn x,y là đối xứng loại hai phương trình hệ là đối xứng đối víi x,y Phương pháp giải: +Đặt S = x +y; P = xy đưa hệ hệ có ẩn x,y là đối xứng loại phương trình hệ là đối xứng x,y +Tìm S,P x,y là nghiệm phương trình tổng tích X2 –SX+P = Chú ý : điều kiện để hệ trên có nghiệm là : S2 - 4P x y xy VÝ dô 2.Gi¶i hÖ §S: (1;2) ,(2;1) 2 x y 1 x y 5 x y VÝ dô Gi¶i hÖ x y2 x y2 GV: Vò Hoµng S¬n 3 3 DS: 1; ;1 ; 2 Lop12.net (4) ¤n tËp to¸n Chủ đề đại số 10 NhËn xÐt: nÕu hÖ cã nghiÖm (x0;y0) th× hÖ cã nghiÖm (y0;x0) Vấn đề 3:Hệ đối xứng loại -Ta quy ước gọi hệ hai phương trình với ẩn x,y là đối xứng loại hai trao đổi vai trò x,y thì phương trình này chuyển thành phương trình Phương pháp giải: +Trừ vế với vế các phương trình đã cho +Phương trình trên đưa phương trình dạng tích ,đặc điểm là nó có nghiệm x = y +ứng với trường hợp xẩy ,kết hợp với phương trình hệ để có hệ con,gi¶i hÖ nµy +Tổng hợp nghiệm hệ đã cho x 3x y VÝ dô Gi¶i hÖ y y x §S: (0;0),(5;5),(2;-1),(-1;2) Vấn đề 4:Hệ đẳng cấp bậc hai ĐN: Hệ ẩn x,y gọi là hệ đẳng cấp bậc hai nó có dạng ax bxy cy2 d 2 a 'x b'xy c' y d ' Phương pháp giải: +XÐt xem x =0 cã lµ nghiÖm cña hÖ hay kh«ng? + x 0,ta đặt y = kx *Thế vào hệ ,khử x,ta phương trình bậc hai theo k *Giải tìm k,ứng với trường hợp k ta tìm (x,y) VÝ dô Gi¶i hÖ 2 3x xy y 11 2 x xy y 17 (1) (2) ; ; , 13 §S: 1; , 1; 2 , Bµi tËp sè 1.Gi¶i hÖ : 2 x y a) xy x y 2.Gi¶i hÖ : x y2 10 a) x y x y 13 c) y x x y y x2 4x b) 2 x y 7 §S: (4;-2) , ; 3 x y xy §S: (3;1),(1;3) b) §S: (3;5),(5;3) x y3 d) x x y x y2 xy 78 e) 4 x y 97 GV: Vò Hoµng S¬n 2 x y xy §S:(1;3),(5;-5) §S: (1;2),(2;1) §S: (1;1) §S: (3;2),(2;3),(-3;-2),(-2;-3) Lop12.net (5) ¤n tËp to¸n Chủ đề đại số 10 3.Gi¶i hÖ: x y2 x y a) 2 y x y x x x y b) y y x x 3xy y2 1 c) 2 3x xy y 13 y 3xy d) 2 x xy y §S: (0;0),(-3;-3) §S: (0;0),(1;-1),(-1;1),( 3; ), 3; §S: (1;2),(2;1), (-1;-2), (-2;-1) §S: (1;4), (-1;-4) 4.Gi¶i hÖ: 1 x y 5 x y a) x y2 x y2 3 3 ;1 , 2 §S: 1; Bài 3: Giải bất phương trình Vấn đề 1: Xét dấu biểu thức và áp dụng để giải bất phương trình hữu tỉ A-XÐt dÊu biÓu thøc E + Viết E dạng tích các nhân tử là tam thức bậc hai hay nhị thức bậc + LËp b¶ng xÐt dÊu B- Giải bất phương trình hữu tỉ + ChuyÓn tÊt c¶ c¸c h¹ng tö sang vÕ + Rót gän biÓu thøc cã ®îc + Xét dấu biểu thức đó + Dùa vµo b¶ng xÐt dÊu, chän miÒn nghiÖm VÝ dô 1: XÐt dÊu E = (x2 – 4) (x2 – 4x + 3) x – cã nghiÖm lµ -2; x2 – 4x + cã nghiÖm lµ 1; LËp b¶ng xÐt dÊu Ví dụ 2: giải bất phương trình : HD: (1) x 2x 2 2x x (1) x 12 x 36 0 x 1 x LËp b¶ng xÐt dÊu,ta ®îc tËp nghiÖm x < -5; 1/2 < x < ; x > Bµi tËp 1.Giải các bất phương trình: a) x2 -7x +10 < §S: < x < b) (-x2 +3x -2)(x2 -5x +6) x x3 0 2x c) §S: x x 3x §S: x <1; 1< x <2 ; x x2 4x §S: x > 1/2 2.Giải các bất phương trình sau : GV: Vò Hoµng S¬n d) Lop12.net (6) ¤n tËp to¸n a) b) c) d) Chủ đề đại số 10 x2 4x 1 x 2x x 1 x x x x x x 15 1 x x 1 x2 4 x 2 x 2x §S: x < ; < x < 3/2 §S: x <-1; 3/2< x<2; x >3 §S: 5 x 2; 1 x 4 x x 2 §S: Giải các bất phương trình sau : a) x(x+1) < 42 x x 1 §S: -3 < x <2 b) x2 +(x+1)2 c) x(x+1)(x+2)(x+3) < 24 §S: -4 < x< Vấn đề 2.Giải hệ bất phương trình *Giải bất phương trình *kÕt hîp nghiÖm cßn l¹i ta ®îc nghiÖm cña hÖ x x VÝ dô Gi¶i hÖ : x 8x 15 Gi¶i : gi¶i (1) : x Gi¶i (2) : x 3; x 15 §S: 2 x x x 1 (1) (2) KÕt hîp (1) vµ (2) ta ®îc §S: x 3; x Bµi tËp: 1.Giải các hệ bất phương trình 3x 8x b) §S: VN 17 x x 3 ;x §S: 4 x x x 12 a) §S: 1/2 < x < x x2 2x c) 4 1 x2 Vấn đề 3.Điều kiện để tam thức không đổi dấu trên R Ví dụ 1.Định m để f(x) = mx2 +4x+m > , x R Gi¶i: m = suy f(x) = 4x > x đó m = không nhận m 0 a m m m m ;m Δ ' m f(x) > , x R Ví dụ 2.Định m để bất phương trình sau vô nghiệm (m +1)x2 -2mx –(m -3) < (1) Bµi tËp HD: 1 1 m 2 1) f(x) = +m +3 0, x R -2 m 2) f(x) = mx –mx -5 < , x R 20 m …………………… x2-mx GV: Vò Hoµng S¬n Lop12.net (7) ¤n tËp to¸n Chủ đề đại số 10 Bài Phương trình –Bất phương trình chứa thức Vấn đề1.Luỹ thừa các vế Chó ý: B A B A B Ví dụ 1.Giải bất phương trình : x x Ví dụ 2.Giải phương trình: x 3x Vấn đề Đổi biến đưa phương trình hữu tỉ §S: x = -5/4 §S: x = VÝ dô: (x + 1)(x + 4) – x x Vấn đề Đưa hệ phương trình hữu tỉ cách đặt ẩn số phụ VÝ dô: x x Vấn đề Đưa phương trình chứa trị tuyệt đối §S: x = -7; x = VÝ dô: x x x x Vấn đề Bất phương trình chứa thức C¸c d¹ng c¨n b¶n §S: -1 x §S: x = B B A B vµ A A B B A B 0 A B Ví dụ: Giải bất phương trình : x x Ví dụ: Giải bất phương trình: x 3x x …………………………………………… Bài tập tương tự I.Giải các phương trình : 1) x 2x x §S: -2 2) 3x 9x x §S: 3) 3x 9x x §S: 3;-1/2 4) 3x x §S: 1;3 5) x x x 11 7) 9) §S: -6;-5;-11/2 6) x 3x x §S: -1 x x §S: 8) 3x 2x 15 3x 2x §S: 1;-1/3 x x §S: 4;-4 10) 47 2x 35 2x §S: -17;23 x 2x x 2x 12) 5x 5x 12 11) §S: 15 §S: -3;4 II.Giải các bất phương trình : 1) x x 12 x §S: x 3; x 3) x 3x 10 x 61 2) §S: x 2; x 14 4) x x x 5) §S: x 5; x §S: 2x x GV: Vò Hoµng S¬n 21 x x x §S: x Lop12.net x 2(1 ) (8) ¤n tËp to¸n Chủ đề đại số 10 Một số đề thi Đại học I.Phương trình x x x Giải phương trình: 3x x x 3x x 2.Giải phương trình : x R x mx x 3.Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt : 4.Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực: x + m x = x 5.Chứng minh với giá trị dương tham số m ,phương trình sau cã nghiÖm ph©n biÖt: x2 +2x - = m( x 2) II Bất phương trình x x x x x x x 2x2 +4x +3 2x x > 5x x x 2(x 16) x 3 x 3 x 12 x x 2x x 3x 7x x 3 m 9.Tìm m để bất phương trình : x 3x x 3x x x x x cã nghiÖm x 0;1 III Hệ phương trình x y ( y x) y ( x 1)( y x 2) y 2 x xy y 3( x y ) 2 x xy y 7( x y ) 1 x x y y 2 y x x y2 x y x(x y 1) y(y 1) 3 x x y y 2 x 3( y 1) x,y x y x y x y x y xy xy ( x, y ) x y xy (1 x) 2 xy x y x y x,y x x y x x y x x3 y x y x x xy x 2 x y m 10.Tìm m để hệ phương trình : x xy x,y cã nghiÖm nhÊt x y 11.Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm x x y y 3m ………………………………………………… GV: Vò Hoµng S¬n Lop12.net (9)