Ứng dụng quan hệ tương đương trong dạy học phân số ở tiểu học

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI KHOA GIÁO DỤC TIỂU HỌC ====== NGUYỄN THỊ THU HẰNG ỨNG DỤNG QUAN HỆ TƢƠNG ĐƢƠNG TRONG DẠY HỌC PHÂN SỐ Ở TIỂU HỌC KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Toán phƣơng pháp dạy học Toán HÀ NỘI - 2019 TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI KHOA GIÁO DỤC TIỂU HỌC ====== NGUYỄN THỊ THU HẰNG ỨNG DỤNG QUAN HỆ TƢƠNG ĐƢƠNG TRONG DẠY HỌC PHÂN SỐ Ở TIỂU HỌC KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Toán phƣơng pháp dạy học Toán Ngƣời hƣớng dẫn khoa học TS NGUYỄN VĂN HÀO HÀ NỘI - 2019 LỜI CẢM ƠN Em xin đƣợc gửi lời cảm ơn chân thành tới giảng viên khoa Giáo dục Tiểu học - trƣờng Đại học Sƣ phạm Hà Nội tạo môi trƣờng học tập tốt để em đƣợc rèn luyện đạt kết đến thời gian Đặc biệt xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Nguyễn Văn Hào tận tình bảo, hƣớng dẫn em để hồn thành khóa luận tốt nghiệp với đề tài: “Ứng dụng quan hệ tương đương dạy học phân số Tiểu học” Trong q trình hồn thành khóa luận, em nhận đƣợc nhiều ý kiến đóng góp số bạn sinh viên để đề tài em đƣợc hoàn thiện nhƣ Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, 10 tháng năm 2019 Sinh viên Nguyễn Thị Thu Hằng LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đề tài nghiên cứu khóa luận kết nghiên cứu thân em dƣới hƣớng dẫn TS Nguyễn Văn Hào Các tài liệu tham khảo trích dẫn khóa luận đƣợc rõ nguồn gốc trung thực Hà Nội, 10 tháng năm 2019 Sinh viên Nguyễn Thị Thu Hằng MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN LỜI CAM ĐOAN MỞ ĐẦU 1 Lí chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Đối tƣợng nghiên cứu Giả thuyết khoa học Phạm vi nghiên cứu Phƣơng pháp nghiên cứu Cấu trúc khóa luận CHƢƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Tập hợp 1.1.1 Khái niệm tập hợp 1.1.2 Các phép toán tập hợp 1.1.2.1 Hiệu hai tập hợp 1.1.2.2 Hợp tập hợp 1.1.2.3 Giao tập hợp 1.1.2.4 Hiệu đối xứng hai tập hợp 1.1.3 Tích Descartes tập hợp 1.2 Quan hệ tƣơng đƣơng 1.2.1 Quan hệ hai 1.2.2 Quan hệ tƣơng đƣơng 1.3 Bản chất phân số 12 CHƢƠNG 2: ỨNG DỤNG QUAN HỆ TƢƠNG ĐƢƠNG TRONG DẠY HỌC PHÂN SỐ Ở TIỂU HỌC 13 2.1 Một số dạng toán sử dụng quan hệ tƣơng đƣơng tập hợp số hữu tỉ Tiểu học 13 2.1.1 Dạng Một số toán cấu tạo phân số 13 2.1.2 Dạng Một số tập so sánh phân số 16 2.1.3 Dạng Thực hành phép tính phân số 19 2.1.4 Dạng Một số tốn điển hình phân số 23 2.2 Một số toán dạng mở rộng 28 KẾT LUẬN 33 TÀI LIỆU THAM KHẢO MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Nhƣ biết, cấp độ học sinh tiểu học khởi đầu phát triển trí tuệ cho trẻ Ở cấp học này, em học sinh đƣợc làm quen với khái niệm, công thức tốn học thơng qua tốn dạng đơn giản, dễ hiểu Tuy nhiên, sinh viên đƣợc đào tạo ngành Giáo dục Tiểu học thƣờng suy nghĩ kiến thức tốn học cao cấp khơng có nhiều ứng dụng việc dạy học toán bậc Tiểu học Thực chất, cơng thức, khái niệm đƣợc lấy từ kiến thức toán học cao cấp đƣợc đào tạo cho sinh viên chuyên ngành Giáo dục Tiểu học nhà trƣờng Để minh chứng cho việc suy nghĩ khơng chuẩn xác đó, đƣợc định hƣớng ngƣời hƣớng dẫn, em muốn giới thiệu quan hệ tƣơng đƣơng ứng dụng lý thuyết việc dạy học phân số Tiểu học, để hoàn thành khóa luận chun ngành Tốn phƣơng pháp dạy học Toán với đề tài: “Ứng dụng quan hệ tương đương dạy học phân số Tiểu học” với hai mục đích: (i) Sử dụng lý thuyết việc định hƣớng tìm lời giải số dạng tập phân số Tiểu học (ii ) Từ sở định hƣớng phần trên, em đƣa số phƣơng pháp hƣớng dẫn giải phù hợp với nhận thức học sinh cấp độ Mục đích nghiên cứu Ứng dụng quan hệ tƣơng đƣơng dạy học phân số Tiểu học để giúp giáo viên hiểu đƣợc chất khái niệm phân số, đƣa cách giải tập cách hữu hiệu Đồng thời, giúp học sinh rèn luyện tƣ duy, khả sáng tạo, phát giải vấn đề giải dạng toán thuộc dạng Đối tƣợng nghiên cứu Lý thuyết quan hệ tƣơng đƣơng số tập phân số ứng dụng quan hệ tƣơng đƣơng Tiểu học Giả thuyết khoa học Đề tài giúp giáo viên có định hƣớng đƣa đƣợc cách giải toán hiệu học sinh ứng dụng quan hệ tƣơng đƣơng, góp phần nâng cao hiệu dạy học Nghiên cứu việc ứng dụng quan hệ tƣơng đƣơng dạy học phân số Tiểu học Phạm vi nghiên cứu Ứng dụng quan hệ tƣơng đƣơng dạy học phân số Tiểu học Phƣơng pháp nghiên cứu Phƣơng pháp nghiên cứu tài liệu Phƣơng pháp phân tích, tổng hợp Cấu trúc khóa luận Ngồi phần Mở đầu, Kết luận, Tài liệu tham khảo, khóa luận gồm có chƣơng Chƣơng 1: Kiến thức chuẩn bị Chƣơng 2: Ứng dụng quan hệ tƣơng đƣơng dạy học phân số Tiểu học CHƢƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Tập hợp 1.1.1 Khái niệm tập hợp Trong sống hàng ngày, gặp nhiều tập hợp khác nhau: tập hợp sinh viên khoa Giáo dục Tiểu học, tập hợp số tự nhiên nhỏ 100 , tập hợp chữ cái,.…Nhƣ vậy, ta hiểu đối tƣợng có chung số tính chất đƣợc gọi tập hợp Mỗi đối tƣợng tập hợp đƣợc gọi phần tử tập hợp Ngƣời ta thƣờng dùng chữ in hoa A, B, X ,Y , để ký hiệu tập hợp Ngƣời ta thƣờng dùng chữ thƣờng a,b, x, y, để ký hiệu phần tử tập hợp Tập hợp X gồm phần tử x, y, z, đƣợc kí hiệu X {x, y, z, } Phần tử x nằm tập hợp X đƣợc ký hiệu là: x Phần tử a không thuộc tập hợp X đƣợc ký hiệu a X X Ta nói hai tập hợp A B đƣợc kí hiệu A B phần tử thuộc A thuộc B ngƣợc lại Trƣờng hợp, có phần tử thuộc tập hợp A nhƣng khơng thuộc tập hợp B có phần tử thuộc tập hợp B mà không thuộc tập hợp A ta nói hai tập hợp A B khác ký hiệu A B Tập hợp A đƣợc gọi tập hợp tập hợp B , đƣợc kí hiệu A B phần tử tập hợp A thuộc tập hợp B Khi đó, ta nói B chứa A ( B bao hàm A ) kí hiệu B A Thơng thƣờng có hai cách để xác định tập hợp - Cách thứ liệt kê phần tử Ví dụ: Tập hợp số tự nhiên nhỏ A {0,1,2,3,4,5} - Cách thứ hai tính chất đặc trƣng phần tử thuộc tập hợp Ví dụ: Tập hợp số tự nhiên nhỏ A {x :x 6} Ví dụ Một số tập hợp số chƣơng trình tốn nghiên cứu - tập hợp số tự nhiên gồm chữ số đƣợc viết nhƣ sau {0,1,2, 3, 4,5, } - tập hợp số hữu tỷ gồm chữ số đƣợc viết nhƣ sau r - p :p q * ,q , p, q tập hợp số phức gồm chữ số đƣợc viết nhƣ sau {z x i y : x, y } Ví dụ Tập hợp nghiệm thực phƣơng trình x2 x Khi biết cách giải phƣơng trình bậc hai, ta thấy phƣơng trình có hai nghiệm thực x x 1.1.2 Các phép toán tập hợp 1.1.2.1 Hiệu hai tập hợp Định nghĩa Giả sử A B hai tập hợp tùy ý Hiệu tập hợp A tập hợp B tập hợp gồm phần tử thuộc tập hợp A nhƣng không thuộc tập hợp B , ký hiệu A \ B đƣợc viết dƣới dạng ký hiệu toán học A\B {x : x A, x B} Nếu tập hợp B tập hợp tập hợp A hiệu A \ B đƣợc gọi phần bù B A đƣợc ký hiệu C AB Ví dụ A tập hợp học sinh giỏi Toán lớp 4A1: A {Hoa, Lan, Anh, Tú, Hoàng} B tập hợp học sinh giỏi Tiếng Việt lớp 4A1: B {Lan, Tú, Hoàng, Thúy, Quỳnh} A \ B gồm học sinh giỏi Toán mà không giỏi Tiếng Việt lớp 4A1 A\B {Hoa, Anh} B \ A gồm học sinh giỏi Tiếng Việt mà khơng giỏi Tốn lớp 4A1 Bài tốn Tính nhanh 4 5 6 7 8 9 Hƣớng dẫn giải Phân tích tốn 4 4 ; 4 ; ……… 10 10 10 Do 4 10 10 30 5 6 7 8 7 8 16 9 10 9 30 30 Bài toán Tính nhanh tổng sau 1 Hƣớng dẫn giải Phân tích tốn 1 ; 20 32 10 10 4 1 ; 4 8 1 16 15 16 1 16 32 31 32 1 ; ; 16 32 Do 16 32 1 32 b) 27 3 63 32 Bài toán Tính cách nhanh a) 4 22 Hƣớng dẫn giải a) b) 27 5 22 7 27 22 3 Bài toán Điền dấu ( , , ) vào chỗ chấm a) 1 4 c) 9 15 10 b) 3 4 d ) Hƣớng dẫn giải Để điền đƣợc dấu thích hợp vào chỗ chấm trƣớc hết ta phải thực phép tính, giáo viên cần gợi nhớ cho học sinh quy tắc có liên quan đến tốn áp dụng cách tính nhanh a) 4 c) 21 15 10 b) 4 d) Một số toán tƣơng tự Bài tốn Tính nhanh : a) : 5 : : : 10 b) 2018 Bài tốn Tính nhanh tổng sau 20 30 42 56 72 90 110 132 156 Bài toán Điền dấu ( , , ) vào chỗ chấm a) 12 34 2 7 12 34 b) 16 32 2018 28 2019 c) d) 15 25 4: 12 12 37 21 12 61 49 Bài toán Tính cách thuận tiện a) 49 b) 2019 49 49 49 2019 2019 49 49 2019 2019 Bài tốn Tính nhanh a) 13 b) 13 c) 2019 2020 d) 22 6 2020 2.1.4 Dạng Một số tốn điển hình phân số Bài tốn Trung bình cộng ba phân số số thứ với phân số thứ hai 13 Trung bình cộng phân 36 Trung bình cộng phân số thứ hai 24 Tìm ba phân số 12 phân số thứ ba Hƣớng dẫn giải Tổng ba phân số 13 36 13 12 Tổng phân số thứ thứ hai 24 12 Phân số thứ ba 13 12 12 Tổng phân số thứ hai thứ ba 12 Phân số thứ 13 12 Phân số thứ hai Đáp số: 23 1 ; ; Bài toán Bạn Hoàng đƣợc mẹ cho 366000 đồng để mua đồ dùng học tập Hoàng mua bút hết số tiền, mua sách hết số tiền Hỏi Hồng cịn thừa tiền? Hƣớng dẫn giải Cách Hoàng mua bút hết số tiền 366000 61000 (đồng) Hoàng mua hết số tiền 366000 244000 (đồng) Hồng cịn lại số tiền 366000 (61000 244000) 61000 (đồng) Đáp số: 61000 đồng Cách Phân số số tiền Hoàng mua (tổng số tiền) Phân số số tiền cịn lại Hồng (tổng số tiền) Hồng cịn lại số tiền 366000 61000 (đồng) Đáp số: 61000 đồng 24 Bài toán Tổng số tuổi bố 100 tuổi Tuổi trai tuổi mẹ, tuổi gái 11 tuổi gái Tính tuổi ngƣời Hƣớng dẫn giải Cách Phân số số tuổi gái 5 11 (tuổi bố) 11 Nhƣ vậy, coi tuổi bố 11 phần tuổi trai phần, tuổi gái phần nhƣ Ta có sơ đồ ? tuổi Tuổi bố Tuổi trai ? tuổi tuổi ? tuổi Tuổi gái Tuổi bố 100 : (11 4) 11 55 (tuổi) Tuổi trai 55 11 25 (tuổi) 20 (tuổi) Tuổi gái 25 Đáp số: Bố: 55 tuổi; Con trai: 25 tuổi; Con gái: 20 tuổi Cách Phân số số tuổi gái 25 5 11 (tuổi bố) 11 Phân số tổng số tuổi bố 11 11 20 (tuổi bố) 11 Tuổi bố 20 11 100 : 55 (tuổi) Tuổi trai 55 11 25 (tuổi) Tuổi gái 25 20 (tuổi) Đáp số: Bố: 55 tuổi; Con trai: 25 tuổi; Con gái: 20 tuổi Bài tốn Một giá sách có ba ngăn: số sách ngăn thứ hai ngăn thứ nhất, số sách ngăn thứ ba số sách số sách ngăn thứ Biết ngăn thứ ba nhiều ngăn thứ hai 96 sách Hỏi ngăn có sách? Hƣớng dẫn giải Phân số 96 sách 3 (ngăn thứ nhất) Số sách ngăn thứ 96 : 128 (quyển) Số sách ngăn thứ hai 26 128 96 (quyển) Số sách ngăn thứ ba 96 96 192 (quyển) Đáp số: 128 sách; 96 sách; 192 sách Bài tốn Một cửa hàng có số ổi số táo Tính tỉ số số ổi số táo cửa hàng Hƣớng dẫn giải Cách Quy đồng mẫu số ; 10 15 10 Nhƣ 15 số ổi số táo 10 10 Khi đó, ta coi số ổi 15 phần số táo phần nhƣ Vậy cửa hàng có số ổi 15 số táo Cách Quy đồng tử số 12 ; 15 12 Nhƣ 12 12 số ổi số táo 15 Hay 1 số ổi số táo 15 Vậy cửa hàng có số ổi 15 số táo 27 Một số toán tƣơng tự Bài toán Một ngƣời bán vải lần thứ bán đƣợc ngƣời bán đƣợc vải Lần thứ hai số vải cịn lại Tính phân số số vải ngƣời bán sau hai lần ( [10] , Bài 239, trang 85) Bài toán Một ngƣời bán hoa lần thứ bán đƣợc hai bán đƣợc số xoài số xoài, lần thứ số xoài bán lần thứ Tìm phân số số xồi cịn lại Bài toán Một ngƣời bán hoa bán lần thứ đƣợc bán đƣợc số hoa Lần thứ hai số hoa cịn lại cịn hoa Hỏi a) Số hoa đem bán b) Số hoa bán lần Bài toán Hà mua sách hết số tiền Hà có, mua hết số tiền lại Sau mua sách vở, Hà lại 3000 đồng Hỏi lúc đầu Hà có tiền? 2.2 Một số toán dạng mở rộng Bài toán Cho phân số 11 Cần thêm vào tử số mẫu số phân số 16 với số để đƣợc phân số có giá trị 157, trang 19) Hƣớng dẫn giải 28 ? ( [1] , Bài Hiệu mẫu số tử số phân số 11 16 16 11 Mặt khác, ta có tỉ số tử số mẫu số phân số Ta có sơ đồ Mẫu số ? Tử số Tử số : (5 4) 20 Số cần thêm vào tử số mẫu số phân số cũ 20 11 Thử lại 11 16 9 20 25 Vậy số cần tìm Bài toán Cần bớt tử số mẫu số phân số đƣợc phân số đơn vị để ? ( [1] , Bài 159, trang 19) Hƣớng dẫn giải Hiệu mẫu số tử số phân số 5 Mặt khác, ta có tỉ số tử số mẫu số phân số Tử số ? 29 Ta có sơ đồ Mẫu số Tử số : (2 1) Số cần tìm Thử lại 1 Vậy số cần tìm Bài toán Khi cộng thêm vào tử số đồng thời bớt mẫu số phân số 59 với số tự nhiên ta đƣợc phân số Tìm số tự nhiên 91 Hƣớng dẫn giải Tổng tử số mẫu số phân số 59 59 91 91 150 Mặt khác, ta có tỉ số tử số mẫu số phân số Tử số Mẫu số ? Mẫu số phân số 150 : (3 2) Số cần tìm 91 60 Thử lại 30 31 60 Ta có sơ đồ 59 91 31 31 90 60 Vậy số cần tìm 31 Bài toán Khi bớt tử số đồng thời thêm vào mẫu số phân số với số tự nhiên ta đƣợc phân số Tìm số tự nhiên Hƣớng dẫn giải Tổng tử số mẫu số phân số 79 65 79 65 144 Mặt khác, ta có tỉ số tử số mẫu số phân số Ta có sơ đồ ? Tử số Mẫu số Tử số 144 : (4 5) Số tự nhiên cần tìm 79 64 15 Thử lại 79 65 15 15 64 80 Vậy số cần tìm 15 Một số toán tƣơng tự 31 64 79 65 Bài toán Cần thêm vào tử số mẫu số phân số để đƣợc phân số ? ([1] , Bài 160, trang 20) Bài toán Khi bớt tử số mẫu số phân số nhiên ta nhận đƣợc phân số Bài toán Cho phân số 19 Hỏi phải bớt tử số mẫu số 7 Hỏi phải thêm vào tử số đồng thời bớt 13 mẫu số để đƣợc phân số a) Hỏi phải bớt tử số đồng thời thêm vào mẫu 11 số để đƣợc phân số Bài toán Cho phân số 71 với số tự 41 Tìm số tự nhiên số tự nhiên để đƣợc phân số Bài toán Cho phân số 13 đơn vị 19 11 b) 32 KẾT LUẬN Trong chƣơng trình Tiểu học, mơn Tốn mơn học đóng vai trị quan trọng Nó khơng cung cấp cho học sinh kiến thức số học, hình học, đại lƣợng đo đại lƣợng Giải tốn có lời văn giúp học sinh phát triển tƣ logic, khả suy luận, phán đoán, phát giải vấn đề cách khoa học Khơng vậy, mơn Tốn cịn cơng cụ thiết yếu để học sinh học tập môn học khác vận dụng đƣợc kỹ sống thực tiễn Vì vậy, nội dung phƣơng pháp dạy học Tốn phải khơng ngừng cải thiện mục tiêu, nội dung môn học lớp cấp học để phù hợp với xu thời đại Sau đề tài nghiên cứu này, rút đƣợc số kết luận nhƣ sau Kiến thức môn Toán rộng, trừu tƣợng nhƣng Tiểu học kiến thức đƣợc trình bày cách đơn giản phù hợp với nhận biết học sinh Sử dụng kiến thức toán học khái quát, tổng hợp giúp cho giáo viên học sinh có định hƣớng xác để giải vấn đề Để giúp học sinh có tƣ nhạy bén, có cách giải nhanh xác giáo viên cần chọn phƣơng pháp tối ƣu sở kiến thức toán học đại Với nhiều dạng tốn khác áp dụng phƣơng pháp giải Ứng dụng quan hệ tƣơng đƣơng dạy học phân số Tiểu học thực chất dựa lí thuyết tốn cao cấp để giúp giáo viên hiểu đƣợc chất phân số từ đƣa cách giải tốn có liên quan cách phù hợp Qua đề tài này, giáo viên hiểu phân số, từ có phƣơng pháp giảng dạy hiệu quả, đồng thời, học sinh giải dạng tập phân số cách dễ dàng nhanh chóng 33 TÀI LIỆU THAM KHẢO A Tài liệu tiếng Việt [ ] Nguyễn Áng (2017), Toán bồi d ỡng học sinh l p 4, Nhà xuất Giáo dục Việt Nam ũ Quốc Chung (2005), Ph [ ] ng pháp dạy học mơn Tốn Tiểu học, Nhà xuất Đại học sƣ phạm [ ] Trần Diên Hiển - Nguyễn Tiến Tài - Nguyễn ăn Ngọc (2001), Lý thuyết số, Nhà xuất Giáo dục [ ] Trần Diên Hiển (2014), Bồi d ỡng học sinh giỏi toán Tiểu học, Nhà xuất Đại học sƣ phạm [ ] Đỗ Trung Hiệu - Đỗ Đình Hoan (2010), Ph ũ Dƣơng Thụy - ũ Quốc Chung ng pháp dạy học mơn Tốn Tiểu học, Nhà xuất Đại học sƣ phạm [ ] Đỗ Trung Hiệu (2002), Các toán phân số số thập phân l p 4, 5, Nhà xuất Giáo dục [ ] Đỗ Đình Hoan (2008), SGK Tốn 3, Nhà xuất Giáo dục [ ] Đỗ Đình Hoan (2008), SGK Toán 4, Nhà xuất Giáo dục [ ] Đỗ Đình Hoan (2008), SGK Tốn 5, Nhà xuất Giáo dục [ ] ũ Dƣơng Thụy (2014), Toán nâng cao l p 4, Nhà xuất Giáo dục Việt Nam [ ] Nguyễn Đình Trí - Tạ ăn Đĩnh - Nguyễn Hồ Quỳnh (2009), Toán cao cấp tập 1, Nhà xuất Giáo dục B Tài liệu tiếng Anh [ ] Nguyen Van Hao - Nguyen Thi Thu Hang - Dao Thi Ngoc Bich, Equivalence relations and the application of equivalence relations in teaching fractions in primary, Hanoi Metropolitan University (posting in February 2019) ... pháp dạy học Toán với đề tài: ? ?Ứng dụng quan hệ tương đương dạy học phân số Tiểu học? ?? với hai mục đích: (i) Sử dụng lý thuyết việc định hƣớng tìm lời giải số dạng tập phân số Tiểu học (ii ) Từ sở... CHƢƠNG 2: ỨNG DỤNG QUAN HỆ TƢƠNG ĐƢƠNG TRONG DẠY HỌC PHÂN SỐ Ở TIỂU HỌC 13 2.1 Một số dạng toán sử dụng quan hệ tƣơng đƣơng tập hợp số hữu tỉ Tiểu học 13 2.1.1 Dạng Một số toán... hình thành phân số nhƣ tảng để xây dựng tập số hữu tỉ Mỗi số hữu tỉ lớp đƣơng đƣơng gồm phân số tƣơng đƣơng [3] 12 CHƢƠNG ỨNG DỤNG QUAN HỆ TƢƠNG ĐƢƠNG TRONG DẠY HỌC PHÂN SỐ Ở TIỂU HỌC Trong chƣơng