Giáo án Bồi dưỡng học sinh giỏi - Hình học 8

Bồi dưỡng học sinh giỏi – hình học 8 vuông BCDE bằng tổng diện tích của 2 hình vuông ABFG và ACMN ta đã vẽ đường cao AH rồi kéo dài để chia hình vuông BCDE thành 2 hình chữ nhật không có[r]

Bồi dưỡng học sinh giỏi – hình học Phương pháp diện tích Ta đã biết số công thức tính diện tích đa giác tam giác, hình thang, hình bình hành, hình thoi, … Khi biết độ dài số yếu tố ta có thể tính diện tích các hình Ngược lại biết quan hệ diện tích hình chẳng hạn biết tam giác có diện tích và có đáy thì suy các chiều cao tương ứng Như các công thức diện tích cho ta các quan hệ độ dài các đoạn thẳng, từ đó giúp ta so sánh độ dài các đoạn thẳng Để so sánh độ dài nào đó p2 diện tích ta có thể làm theo các bước sau : Xác định quan hệ diện tích các hình Sử dụng các công thức diện tích để biểu diễn mqh đó đẳng thức có chứa các độ dài Biến đổi đẳng thức vừa tìm ta có quan hệ độ dài đoạn thẳng cần só sánh Mét sè biÖn ph¸p thùc hiÖn : a) Sö dông trùc tiÕp c«ng thøc tÝnh diÖn tÝch tam gi¸c Ví dụ Cho tam giác ABC Từ điểm O tam giác ta vẽ OH  AB; OI  BC; OK  CA Chứng minh O di động tam giác thì tổng OH +OI + OK không đổi Bg Gọi độ dài cạnh tam giác là a, chiều cao là h Ta cã SAOB + SBOC + SCOA = SABC A 1 1 a.OH + a.OI + a.OK = a.h 2 2 1 a(OH + OI + OK) = ah 2 H O K Suy OH + OI + OK = h (không đổi) B I C NhËn xÐt Có thể giải ví dụ trên cách khác không ngắn gọn p2 diện tích đã trình bày ë trªn Bài toán trên đúng điểm O thuộc cạnh tam giác Ta còn có tổng AI + BI + CK không đổi Nếu thay tam giác đa giác bất kì thì tổng các khoảng cách từ điểm O đến các cạnh không đổi b) Sử dụng tính chất : Nếu hai tam giác có cùng chiều cao thì tỉ số hai đáy tương ứng tỉ số hai diện tích Ngược lại, tam giác có cùng đáy thì tỉ số chiều cao tương ứng tØ sè diÖn tÝch Ví dụ Cho tam giác ABC và điểm A’ , B’ , C’ nằm trên cạnh BC, CA, AB cho AA’, BB’, CC’ đồng quy (A’ , B’ , C’ không trùng với các đỉnh tam giác) Chøng minh r»ng : A ' B B 'C C ' A =1 A 'C B ' A C ' B Bg  Tìm hướng giải : Ta thấy vế trái đpcm là tích tỉ số Để có thể rút gọn tích này ta thay đổi tỉ số cạnh tỉ số diện tích tam giác thích hợp, sau đó khử liên tiếp để kết là  Chøng minh : Lop8.net Bồi dưỡng học sinh giỏi – hình học VÏ BH  AA’ vµ CK  AA’ Tam gi¸c AA’B vµ tam gi¸c AA’C lµ tam gi¸c cã cïng chiÒu cao hạ từ A và có cạnh đáy tương ứng là A’B và A’C nên MÆt kh¸c  AA’B vµ  AA’C cã chung c¹nh AA’ và có các chiều cao tương ứng là BH và CK nên A ' B S AA ' B  A ' C S AA 'C A (1) B’ S AA ' B BH C’  (2) O S AA 'C CK H  AOB vµ  AOC cã chung c¹nh AO vµ cã c¸c chiÒu S BH A’ cao tương ứng là BH và CK nên AOB  (3) B S AOC CK A ' B S AOB  Tõ (1), (2), (3) suy (4) K A ' C S AOC B ' C S BOC C ' A SCOA   Chứng minh tương tự (5) vµ (6) B ' A S BOA C ' B SCOB S S S A ' B B 'C C ' A Nhân vế các đẳng thức (4), (5), (6) ta được: = AOB BOC COA = S AOC S BOA SCOB A 'C B ' A C ' B C Chú ý : Bài toán trên đúng các điểm A’ , B’, C’ thuộc các đường thẳng chứa các cạnh tam giác, đó có đúng điểm nằm ngoài tam giác c) Sử dụng tính chất : Nếu tam giác và hình bình hành có cùng đáy và cùng chiều cao (ứng với đáy đó) thì diện tích tam giác nửa diện tích hình bình hành Ví dụ Chứng minh định lý Pi-ta-go: Trong tam giác vuông, bình phương cạnh huyền tổng các bình phương cạnh góc vuông  Có nhiều cách để chứng minh, đây ta dùng p2 diện tích để chứng minh : Bg N LÊy c¸c c¹nh cña  ABC ( AA = 900 ) lµm c¹nh, dùng phÝa ngoµi cña tam gi¸c nµy c¸c h×nh vu«ng BCDE, ABFG, ACMN Muèn chøng minh BC2 = AB2 + AC2 ta pcm M SBCDE = SABFG + SACMN G VÏ ®­êng cao AH vµ kÐo dµi c¾t DE t¹i K Ta sÏ A chøng minh SABFG = SBHKE vµ SACMN = SCHKD Nèi AE, CF  FBC =  ABE (c.g.c) F (1)  SFBC = SABE  FBC và hình vuông ABFG có chung đáy BF, C B đường cao ứng với đáy này ( = AB ) H SABFG Tương tự, SABE = SBHKE nªn SFBC = (2) (3) Tõ (1), (2), (3) suy SBHKE = SABFG Chứng minh tương tự SCHKD = SACMN Do đó SBHKE + SCHKD = SABFG + SACMN hay E D K SBCDE = SABFG + SACMN (®pcm) NhËn xÐt §iÓm mÊu chèt c¸ch gi¶i trªn lµ viÖc vÏ h×nh phô: VÏ thªm h×nh vu«ng §iÒu g× gîi ý cho ta c¸ch vÏ Êy ? Hãy nhìn vào kết luận định lí: Ta pcm BC2 = AB2 + AC2 mà BC2 ; AB2 ; AC2 chính là diện tích các hình vuông có cạnh là BC, AB, AC Để chứng minh diện tích hình Lop8.net Bồi dưỡng học sinh giỏi – hình học vuông BCDE tổng diện tích hình vuông ABFG và ACMN ta đã vẽ đường cao AH kéo dài để chia hình vuông BCDE thành hình chữ nhật không có điểm chung chứng minh hình chữ nhật này có diện tích diện tích hình vuông Bµi tËp Cho tam giác ABC cân A Từ điểm M trên đáy BC vẽ MD  AB, ME  AC a) Chứng tỏ tổng MD + ME không phụ thuộc vào vị trí M trên đáy BC b) Có nhận xét gì MD  ME M di động trên đường thẳng BC không nằm trên A đáy BC ? Bg a) Gäi c¹nh bªn lµ b, ®­êng cao øng víi c¹nh b lµ h SABM + SACM = SABC ; 1 b.MD + b.ME + b.h 2 A  MD + ME = h (không đổi) b) Chứng minh tương tự câu a) ta MD  ME = h (không đổi) B E D D B C E M C M Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A, ®­êng ph©n gi¸c AD VÏ DH  AB §Æt DH = d, AB = c, AC = b Chøng minh r»ng ; 1   b c d Bg VÏ DK  AC th× DK = DH = d SADB + SADC = SABC ; A 1 cd + bd = bc ; cd + db = bc 2 1 Chia c¶ vÕ cho bcd ta ®­îc   b c d H B K d D C Cho tam gi¸c ABC, ®iÓm M ë tam gi¸c hoÆc ë trªn mét c¹nh cho SMBC = SMAB + SMAC Chứng minh M di động trên đoạn thẳng cố định Bg A VÏ AH  BC; MK  BC SMBC = SMAB + SMAC = 1 SABC  MK = AH 2 V× M kh«ng n»m ngoµi tam gi¸c nªn M n»m trªn ®o¹n th¼ng EF // BC vµ c¸ch BC kho¶ng AH E B H M K F C Cho h×nh b×nh hµnh ABCD Trªn AB lÊy ®iÓm M, trªn AD lÊy ®iÓm N Gäi O lµ giao ®iÓm cña BN víi DM BiÕt OC lµ tia ph©n gi¸c cña gãc BOD, chøng minh r»ng BN = DM A M B Bg VÏ CH  BN; CK  DM ta ®­îc CH = CK O H N SNBC = SDBC ; SMCD = SBCD K Suy SNBC = SMCD đó BN = DM D C ( vì có chiều cao tương ứng ) Cho tam gi¸c ABC (AB < AC), M lµ ®iÓm trªn c¹nh BC VÏ BI  AM ; VÏ CK  AM X¸c định vị trí M để tổng BI + CK nhỏ Bg Lop8.net Bồi dưỡng học sinh giỏi – hình học VÏ ®­êng cao AH SABM + SACM = SABC ; 1 AM.BI + AM.CK = SABC 2 A 2S AM(BI + CK) = SABC ; BI + CK = ABC AM BI + CK nhá nhÊt  AM lín nhÊt V× AH  AB < AC nªn AM lín nhÊt và M  C Min(BI + CK) = độ dài đường cao kẻ từ B  ABC B I I H M Cho  ABC, ®­êng cao BH, CK §Æt AC = b ; AB = c ; BH = hb ; CK = hc Hái  ABC ph¶i có điều kiện gì để b + hb = c + hc Bg b + hb = c + hc  (b - c) – (hc – hb) =  (b – c) b  c   S  b.c   2S   (b – c) 1   =0  bc  2S 2S S (b  c)  =  (b – c) =0 c b b.c   ABC c©n t¹i A hoÆc  ABC vu«ng t¹i A 7* Cho  ABC Trên các cạnh BC, CA, AB lấy các điểm D, E, F (khác các đỉnh tam gi¸c) cho AD, BE, CF c¾t t¹i H Chøng minh r»ng : a) AH BH CH   =2 AD BE CF b) Bg §Æt SHBC = S1 ; SHCA = S2 ; SHAB = S3 ; SABC = S AH BH CH   6 HD HE HF A S  S3 AH S S3 E F   Tương tự có : AD S ACD S ABD S H BH S1  S3 CH S1  S   ; BE S CF S B D 2( S1  S  S3 ) AH BH CH 2S   VËy = = = AD BE CF S S S3 S  S3 S2 AH BH S3  S1 CH S1  S      b) ; Tương tự ; HD SCHD S BHD S1 HE S2 HF S3 a) C S S  S S  S S  AH BH CH                 + + = HD HE HF  S1 S   S S3   S1 S3  DÊu “=” xÈy  S1 = S2 = S3  H trïng víi träng t©m tam gi¸c ABC * Cho tam gi¸c ABC vµ M lµ mét ®iÓm n»m tam gi¸c VÏ MD  BC; ME  CA; MF  AB §Æt BC = a; CA = b; AB = c; MD = x; ME = y; MF = z vµ SABC = S VËy a) Chøng minh r»ng ax + by + cz = 2S a b A c b) T×m     x y z   F Bg a) SMBC + SMCA + SMAB = SABC  (ax + by + cz) = S y z x B E M D C  (ax + by + cz) = 2S a b c  x y y z  z x b) (ax + by + cz)     = (a2 + b2 + c2) + ab    + bc    + ca    x z x y z  y x  z y 2 2  a + b + c + 2ab + 2bc + 2ac = (a + b + c)  a b c  (a  b  c)  a b c  (a  b  c) VËy      dÊu “=” xÈy  x = y = z      = 2S 2S x y z x y z Lop8.net C K Bồi dưỡng học sinh giỏi – hình học ( vµ chØ M lµ giao ®iÓm c¸c ®­êng ph©n gi¸c ) a) Cho góc xOy, tia Ot nằm góc đó Lấy điểm A cố định trên Ox, điểm B cố định trên Oy và C là điểm di động trên Ot Tia Ot cắt AB M Chứng minh SAOC = SBOC và chØ M lµ trung ®iÓm cña AB b)* Cho hình bình hành ABCD Trên các cạnh AB và BC lấy các điểm E và F Gọi M N, K thø tù lµ trung ®iÓm DE, DF, vµ EF Gäi O lµ giao ®iÓm cña AM vµ CN Chøng minh r»ng ®iÓm B, O, K th¼ng hµng Bg y a) – NÕu M lµ trung ®iÓm cña AB th× SAOM = SBOM ; SCAM = SCBM Suy SAOM + SCAM = SBOM + SCBM hay SAOC = SBOC C B - §¶o l¹i, nÕu SAOC = SBOC ta pcm MA = MB Gọi h1 và h2 là khoảng cách từ O và từ C tới AB M x Ta cã SAOM + SCAM = SBOM + SCBM ; O A 9* 1 MA(h1 + h2) = MB(h1 + h2) suy MA = MB 2 A E B b) V× M lµ trung ®iÓm DE nªn SOAE = SOAD (1) K M V× N lµ trung ®iÓm cña DF nªn SOCD = SOCF (2) MÆt kh¸c, dÔ thÊy SOAB + SOCD = SOAD + SOBC ; F O (SOAE + SOBE) + SOCD = SOAD + (SOBF + SOCF) (3) N D C Từ (1), (2), (3) suy SOBE = SOBF đó tia BO qua trung ®iÓm K cña EF (theo c©u a) VËy ®iÓm O, B, K th¼ng hµng 10* Cho tam giác ABC vuông cân A, AB = 4cm Trên cạnh AB, AC lấy các điểm M và N cho AM = CN Xác định vị trí M và N cho tứ giác BCNM có diện tích nhỏ Tính diện tích nhỏ đó Bg B §Æt SBCNM = S ; AM = CN = x suy AN = – x S = SABC - SAMN 4.4 x(4  x) x(4  x)   8 2 x(4  x) S nhá nhÊt  lín nhÊt S= M  x(4 – x) lín nhÊt A N C Vì x + (4 – x) = (không đổi) nên x.(4 – x) lớn  x = – x  x = Khi đó M và N là trung điểm AB và AC Min S = - 2.(4  2) = (cm2) NhËn xÐt - Trong cách giải trên ta đã sử dụng hệ bất đẳng thức Cô-si : Nếu số có tổng không đổi thì tích chúng lớn và số - Để sử dụng các bất đẳng thức đại số ta đặt độ dài cần xác định là x, biểu thị đại lượng cần tìm GTNN (hay GTLN) biểu thức có biến x tìm điều kiện x để biểu thức có GTNN hay (GTLN) 11 Cho bát giác ABCDEFGH cạnh a Các đường thẳng GH và CD cắt đường thẳng AB M và N, cắt đường thẳng EF Q và P Xác định dạng tứ giác MNPQ và tính diện tích tứ giác đó Bg Mỗi góc ngoài bát giác là 3600 : = 450 Suy các tam giác MAH, NBC, PDE, QFG M A a B N lµ nh÷ng tam gi¸c vu«ng c©n b»ng a A N A P A Q A  90 vµ MN = NP = PQ = QM Do đó M H C VËy MNPQ lµ h×nh vu«ng V× AH = a nªn AM = Lop8.net a G Q F E D F P t Bồi dưỡng học sinh giỏi – hình học a a + = a(1 + ) 2 SMNPQ= [a(1 + )]2 = a2(3 + 2 ) MN = a + 12 Cho tam giác ABC cân A Trên tia đối tia CA lấy điểm M cho CM = CA Tia phân gi¸c cña gãc A c¾t BM t¹i N Cho biÕt SNBC = 10, tÝnh SABM Bg Gäi SABM = S Gäi D lµ giao ®iÓm cña AN vµ BC V× CM = CA nªn SABC = A S 12 1 1 SABC = S ; SNBD = SNBC = 10 = 2  SABN = SACN = SCMN = S Ta cã SABD + SNBD = SABN S S 5   S = 60(®vdt) SABD = C D N B M 13 Gọi S là diện tích tứ giác ABCD có độ dài các cạnh là a, b, c, d Chøng minh r»ng S  a  b2  c2  d B Bg VÏ AH  CD ; SACD = c 1 AH  ab 2 A d  4SACD  2ab  a2 + b2 (B®t C«-si ) b Tương tự 4SABC  c2 + d2 a C D H VËy 4(SACD + SABC)  a2 + b2 + c2 + d2 a  b2  c2  d Hay S  DÊu “=” xÈy   ABC vu«ng c©n ë B vµ  ADC vu«ng c©n ë D  ABCD lµ h×nh vu«ng 14** Cho hình vuông ABCD và đường thẳng đó đường thẳng chia hình vuông thµnh tø gi¸c cã tØ sè diÖn tÝch lµ Chứng minh đường thẳng đó có ít 3 đường thẳng đồng quy Bg Gọi P, N, Q, M là trung điểm AB, BC, CD, DA Mỗi đường thẳng chia hình vuông thành tứ giác phải cắt cạnh đối h×nh vu«ng Gi¶ sö ®­êng th¼ng d nh­ vËy c¾t AB ë E, c¾t CD ë F vµ c¾t MN ë O1 S AEFD ( AE  DF ) AD : MO1    S EBCF ( BE  CF ).BC : O1 N E P A B O3 M O1 O2 N O4 D F Q C MO1   O1 là điểm cố định Vậy đường thẳng d qua điểm O1 cố định Do đó MN NO2  hoÆc ®i Tương tự ta xác định đường thẳng d có thể qua O2 thuộc MN cho NM PO3 QO4   Có đường thẳng qua điểm cố định qua ®iÓm O3 , O4 thuéc PQ cho PQ QP nªn theo nguyªn lý §i–rÝch–lª Ýt nhÊt ph¶i cã ®­êng th¼ng cïng ®i qua ®iÓm nãi trªn 15 Cho h×nh ch÷ nhËt ABCD cã AB = 14cm ; BC = 6cm Trªn c¸c c¹nh AB, BC, CD, DA lÇn lượt lấy các điểm M, N, P, Q cho AM = AQ = CN = CP Xác định các điểm M, N, P, Q Lop8.net Bồi dưỡng học sinh giỏi – hình học để : a) Tứ giác MNPQ có diện tích lớn Tính diện tích lớn đó b) Tứ giác MNPQ là hình thoi Tính diện tích hình thoi đó Bg M 14 - x B A x a) SAMQ = SCNP ; SBMN = SDPQ §Æt AM = x th× BM = 14 – x ; BN = – x N S = SMNPQ = SABCD – 2(SAMQ + SBMN) Q x S = 14.6 – [x2 + (14 – x)(6 – x)] = -2x2 + 20x 2 = -2[(x – 5) – 25] = -2(x – 5) + 50  50 C D P DÊu “=” xÊy  x = VËy max S = 50 Khi vµ chØ AM = AQ = CN = CP = b) Tứ giác MNPQ có các cặp cạnh đối nên là hình bình hành Hình bình hành MNPQ lµ h×nh thoi  MQ = MN  MQ2 = MN2  2x2 = (14 - x)2 + (6 – x)2  2x2 = 2x2 – 40x + 232  x = 5,8 (cm) SMNPQ = -2x2 + 20x = -2.5,82 + 20.5,8 = 48,72 cm2 Lop8.net