b 2® Chøng minh gãc ABP=gãc NAM cïng bï gãc BAC.[r]
(1)§Ò thi häc sinh giái m«n thi : to¸n líp C©u : (2 ®iÓm) 1 TÝnh : a) A= 39 51 1 52 68 b) B= 512- 512 512 512 512 - 10 2 2 C©u : (2 ®iÓm) a) T×m x,y nguyªn biÕt : xy+3x-y=6 b) T×m x,y,z biÕt : x y z x y z (x,y,z 0) z y 1 x z 1 x y C©u : (2 ®iÓm) a) Chứng minh : Với n nguyên dương ta có S=3n+2-2n+2+3n-2n chia hÕt cho 10 b) T×m sè tù nhiªn x,y biÕt : 7(x-2004)2 = 23-y2 C©u : (3 ®iÓm) Cho tam gi¸c ABC , AK lµ trung tuyÕn Trªn nöa mÆt ph¼ng kh«ng chøa B , bê lµ AC , kÎ tia Ax vu«ng gãc víi AC ; trªn Ax lÊy ®iÓm M cho AM=AC Trªn nöa mÆt ph¼ng kh«ng chøa C , bê lµ AB , kÎ tia Ay vu«ng gãc víi AB vµ lÊy ®iÓm N thuéc Ay cho AN=AB LÊy ®iÓm P trªn tia AK cho AK=KP Chøng minh : a) AC//BP b) AK vu«ng gãc víi MN C©u : (1 ®iÓm) a , b , c lµ sè ®o c¹nh cña mét tam gi¸c vu«ng víi c lµ c¹nh huyÒn Chøng minh r»ng : a2n + b2n c2n Lop7.net ; n lµ sè tù nhiªn lín h¬n (2) đáp án đề thi học sinh giỏi m«n thi : to¸n líp C©u : (2 ®) 1 1 ( ) A= 13 17 1 1 ( ) 13 17 a) (1®) b)(1®) B=512(1- 1 10 ) 2 2 B=512 (1 ) ( 2 0,25 1 1 ) ( ) ( 10 ) 2 2 2 1 1 10 ) 2 2 2 1 B=512 10 =512 1024 2 0,5 B=512 (1 C©u : (2 ®) 0,25 a) (1®) xy+3x-y=6 (xy+3x)-(y+3)=3 0,25 x(y+3)-(y+3) =3 (x-1)(y+3)=3=3.1=-3.(-1) 0,25 Có trường hợp xảy : x ; y x y x 3 y 1 ; x 1 y 3 ; Từ đó ta tìm cặp số x;y thoả mãn là : (x=4;y=-2) ; (x=2;y=0) ; (x=-2;y=-4) ; (x=0; y=-6) 0,5 b : (1®) Tõ x y z x y z , suy = z y 1 x z 1 x y z y 1 x z 1 x y x yz 1 = , suy x+y+z= 2( x y z ) 2 1 Từ đó ta có x+y= z ; x+z= -y ; y+z= -x 2 Lop7.net 0,5 0,25 (3) Thay vµo ta t×m ®îc x= 1 ; y= ; z=2 2 0,25 C©u : (2®) a) (1®) S=(3n+2 + 3n )-(2n+2 + 2n) =3n (32 + 1) - 2n-1(23 + 2) 0,5 S=3n.10 - 2n-1.10=10(3n - 2n-1) chia hÕt cho 10 0,5 b) (1®) 7(x-2004)2 = 23-y2 7(x-2004)2 + y2 =23 (*) V× y2 nªn (x-2004)2 23 , suy (x-2004)2 =0 hoÆc (x-2004)2=1 0,5 Víi (x-2004)2 =0 thay vµo (*) ta cã y2=23 (lo¹i) Víi (x-2004)2 =1 thay vµo (*) ta cã y2=16 0,25 x Từ đó ta tìm (x=2005;y=4) ; (x=2003; y=4) 0,25 M H y N C©u : (3 ®) A a) (1®) Chøng minh AKC PKB (c.g.c) B C K (0,5®) Suy Aˆ Pˆ1 , từ đó suy AC//BP P (0,5®) b) (2®) Chøng minh gãc ABP=gãc NAM (cïng bï gãc BAC) (0,5®) Chøng minh ABP NAM (c.g.c) (0,5®) Suy Aˆ1 Nˆ Gäi H lµ giao ®iÓm cña AK vµ MN Chøng minh Aˆ Aˆ1 90 (0,5®) Suy Aˆ Nˆ =900 Do đó AK NM H (0,5®) C©u : (1®) Lop7.net (4) Với n=1 , theo định lí Pythagore ta có : a2 + b2 = c2 (Đúng) 0,25 Giả sử đúng với n=k , ta có a2k + b2k c2k Víi n= k+1 , ta cã a2(k+1) + b2(k+1) = =(a2k + b2k)(a2 + b2) - a2b2k - b2a2k c2kc2=c2(k+1) 0,5 Vậy bất đẳng thức đúng với n=k + Do đó ta có a2n + b2n c2n ; n lµ sè tù nhiªn lín h¬n Lop7.net 0,25 (5)