Bài giảng Cơ lý thuyết 2 - ĐH Phạm Văn Đồng

Phương pháp tìm quy luật chuyển động của chất điểm (hoặc cơ hệ) bằng cách lập phương trình vi phân chuyển động rồi tích phân các phương trình vi phân đó có nhiều nhược điểm như: Không [r]

1

TRƯỜNG ĐH PHẠM VĂN ĐỒNG KHOA KỸ THU T CÔNG NGHỆ

*******

ThS NGUYỄN QUỐC B O

BÀI GI NG

C LÝ THUYẾT

PHẦN ĐỘNG LỰC HỌC

2

M C L C

PH NăĐ NGăL CăH C

L IăNịI Đ Uă ……… ……… ………

M Đ Uă ……… ……… ….…………

Ch ng CÁC Ð NH LU T C A NEWTON VÀ PH NG TRÌNH VI PHÂN CHUY NĐ NG 1.1 Các khái niệm ……… ………… ……… …… … ………

1.2 Các định luật động lực học Newton ……… … ………

1.3 Phươngtrình vi phân chuyển độngcủa chất điểm …….… … ……

1.4 Hai toán động lực học…… …… ………… … ………

Ch ng 2.ăăăăăăăăăăCÁCăợ NHăLụăT NGăQUÁTăC AăĐ NGăL CăH C 2.1 Định lý biến thiên động lượng……… … ….……… 18

2.2 Định lý chuyển động khối tâm ………… ………… ……… 25

2.3 Định lý biến thiên momen động lượng …….… …… ….……… 29

2.4 Định lý biến thiên động ………… ……… …… ……… 35

Ch ngă3.ăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăNGUYểNăLụăD’ALEMBERT 3.1 Lực quán tính…… ……….……… ……… 49

3.2 Nguyên lý d’Alembert ………… ……… ………….… 53

3.3 Bài toán áp dụng nguyên lý d’Alembert ….…… ……… … …… 55

Ch ngă4 NGUYÊN LÝ DIăCHUY NăKH ăDƾ 4.1 Các khái niệm…….… ………… ……… 63

4.2 Nguyên lý di chuyển ……… ……… …… ………… 66

4.3 Bài toán áp dụng nguyên lý di chuyển ……… … ……… … 67

Ch ngă 5 PH NGă TRỊNHă D'ALEMBERT-LAGRANGE VĨă PH NGă TRỊNHăLAGRANGEăLO IăII 5.1 Phương trình d'Alembert - Lagrange…… ……… ………… …… 73

5.2 Phương trình Lagrange loại II ………… ………… …… …………77

T NGăK TăPH NăĐ NGăL CăH Că… …… ……… …… 86

3

LỜI NĨI ĐẦU

Cơ lý thuyết là mơn học thuộc khối kiến thức kỹ thuật sở được giảng dạy ngành kỹ thuật trường đại học, cao đẳng Cơ lý thuyết nghiên cứu qui luật tổng quát chuyển động cân bằng chuyển động vật thể

Cơ lý thuyết chương trình đào tạo của Trường Đại học Phạm

Văn Đồng dành cho sinh viên bậc đại học ngành Cơ khíđào tạo theo học

chế tín chia làm phần: Phần I Tĩnh học Động học.

Phần II Động lực học.

Bài giảng Cơ lý thuyết 2 (Phần Động lực học) biên soạn gồm

5 chương Trong chương có phần Câu hỏi ôn tập giúp cho học viên củng cố kiến thức học Cuối tài liệu có Tổng kết Phần động lực học giúp sinh viên hệ thống lại toàn nội dung học Đi kèm với

Bài giảng này, chúng tơi có biên soạn tài liệu Bài tập Cơ lý thuyết 2

Bài giảng hiệu chỉnh bổ sung nhiều lần, nhiên cũng không tránh khỏi sai sót, mong đóng góp bạn đọc để tài liệu ngày hoàn thiện Chúng xin chân thành cảm ơn.

Quảng Ngãi, tháng 12/2015

Người biên soạn

4 MỞ ĐẦU

Trong phần trước nghiên cứu lực (xác định lực, thu gọn lực, hợp lực) chuyển động (các dạng chuyển động, yếu tố đặc trưng chuyển động).

Phần Động lực học (ĐLH) là phần thứ ba phần tổng quát của Cơ lý thuyết Nó nghiên cứu các qỐi lỐật chỐyển động ốật thể dưới tác dụng lực.

Nói cách khác: ĐLH nghiên cứu quan hệ lực nguyên nhân gây chuyển động chuyển động vật thể tác dụng lực tác dụng lên chúng.

Trong ĐLH kh i lượngcủa vật thể đóng vai trị quan trọng Vật thể chất điểm, hệ chất điểm (cơ hệ) vật rắn tuyệt đối.

5

Ch ng 1

CÁC ĐỊNH LU T CỦA NEWTON VÀ

PH NG TRÌNH VI PHÂN CHUYỂN ĐỘNG

A M C TIÊU

- Nắm các định luật Newton của động lực học dạng của phương trình vi phân chuyểnđộng.

- Giải hai toán củađộng lực học B NỘI DUNG

1.1 CÁCăKHÁIăNI M

1.1.1.ăCh tăđi m

Chất điểm điểm hình học mang khối lượng

Vật chuyển động tịnh tiến coi chất điểm Vật khơng chuyển động tịnh tiến, kích thước bỏ qua tốn khảo sát coi chất điểm

Ví dụ: Khi nghiên cứu chuyển động đất quanh mặt trời, coi đất chất điểm; viên đạn xác định tầm bắn coi chất điểm, …

Trong chuyển động chất điểm trạng thái tự (gọi chất điểm tự do)

hoặc không tự (gọilà chất điểm không tự hay chất điểm chịu liên kết).

1.1.2.ăC ăh

Cơ hệ tập hợp hữu hạn vô hạn chất điểm chuyển động phụ thuộc lẫn

Ví dụ: Coi hành tinh chất điểm hệ mặt trời hệ

Cơ hệ gồm hệ tự hệ không tự Cơ hệ khơng tự khảo sát hệ tự nhờ thay liên kết

Vật rắn trường hợp đặc biệt hệ với vô hạn chất điểm mà khỏang cách điểm thuộc khơng đổi

1.1.3.ăL c

Lực số đo tác dụng tương hỗ vật thể Trong ĐLH, lực đại lượng biến đổi theo vị trí r, vận tốc v thời gian t

) , , (r v t F

6

Khi tác dụng lên hệ, lực phân theo cách: - Ngoại lực  e

k

F nội lực  i k F - Lực hoạt động  a

k

F phản lực liên kết  Nk

1.1.4.ăH ăquiăchi uăquánătính

Hệ qui chiếu hệ toạ độ gắn với vật làm mốc (vật chuẩn) để xác định chuyển động chất điểm (hoặc hệ chất điểm)

Hệ qui chiếu quán tính hệ qui chiếu, định luật qn tính Newton nghiệm

Trong kỹ thuật, đất vật rắn chuyển động thẳng đất xem hệ qui chiếu quán tính

1.1.5.ăH ăđ năv

Theo hệ đơn vị quốc tế (SI), ta có đại lượng: Các đại lượng bảncủa học:

- Độ dài: m - Khối lượng: kg - Thời gian: s

Các đại lượng dẫn xuất từ đại lượng bản: lực (F = mw) đơn vị

kgms  N

1.2.ăCÁCăĐ NHăLU TăĐ NGăL CăH CăC AăNEWTON 1.2.1.ăĐ nhălu tăquánătínhă(Đ nhălu tă1)

Chất điểm không chịu tác dụng lực đứng yên chuyển động thẳng đều.

0 

F  v0 v = const

Trạng thái đứng yên chuyển động thẳng chất điểm gọi

trạng thái quán tính

Như khơng có lực tác dụng lên chất điểm có trạng thái qn tính Do lực ngun nhân làm biến đổi trạng thái chuyển động

Hệ qui chiếu thoả mãn Định luật gọi hệ qui chiếu quán tính 1.2.2.ăĐ nhălu tăc ăb nă(Đ nhălu t 2)

7

Biểu thức: Ta có biểu thức:

F w

m  (1.1) Trong đó:

+ m: hệ số tỉ lệ có giá trị khơng đổi, số đo qn tính chất điểm gọi khối lượng chất điểm

+ w: gia tốc chất điểm

Biểu thức (1.1) gọi phương trình cơbản động lực học * Chú ý:

1 Nếu F 0thì w0(bao gồm trường hợp v 0), tức chất điểm trạng

thái quán tính Do đó, lực ngun nhân gây chuyển động có gia tốc.

2 Nếu F Cte, chất điểm có khối lượng m lớn gia tốc w bé (v thay đổi ít) 

m cản trở thay đổi vận tốc.

3 Khi v < < c, ta xem khối lượng m số.

4 Khi chất điểm rơi tự trọng trường, ta có trọng lượng là:

P = mg (1.2) Trong đó: g gọi gia tốc trọng trường (gia tốc rơi tự do), g thay đổi theo vĩ độ độ cao, thường lấy g = 9,81 m/s2

Biểu thức (1.2) cho ta quan hệ khối lượng trọng lượng chất điểm Do vậy, vật có khối lượng m= 1kg có trọng lượng 9,81 N.

1.2.3 Đ nhălu tăl cătácăd ngăvƠăl căph nătácăd ngă(Đ nhălu tă3)

Hai lực tác dụng tương hỗ chất điểm có đường tác dụng (giá), cùng cường độ ngược chiều

Định luật cơsở để nghiên cứu toán cơhệ động lực học

* Chú ý:Lực tác dụng lực phản tác dụng khơng phải cặp lực cân chúng đặt lên chất điểm khác nhau.

1.2.4 Đ nhălu tăđ căl pătácăd ngă(Đ nhălu t 4)

Một chất điểm chịu tác dụng đồng thời nhiều lực có gia tốc tổng hình học gia tốc lực riêng rẽ sinh ra.

8

Trường hợp chất điểm chịu tác dụng đồng thời hệ lực F F1, , ,2 Fn, biểu thức (1.1) trở thành:

  Fk

w

m (1.3)

1.3.ăPH NGăTRỊNHăVIăPHỂNăCHUY NăĐ NGC AăCH TăĐI M

Phương trình vi phân chuyển động chất điểm chịu tác dụng hệ lực dạng biểu thức (1.3) phương trình hình chiếu lên trục toạđộ Ta thường dùng dạng sau:

1.3.1.ăD ngăvector

Xét chất điểm khối lượng m chịu tác dụng hệ lực F F1, , ,2 Fn Gọi r bán kính vector (vector định vị) chất điểm Từ (1.3), ta có: m.wFk

Mà: w d r22 r dt

 

Ta được:

k

m r F (1.4) Biểu thức (1.4) phương trình vi phân chuyển động chất điểm dạng vector.

1.3.2.ăD ngăt aăđ ăDescartes

Chọn hệ trục toạ độ Descartes gắn vào hệ qui chiếu quán tính Khi chiếu (1.4) lên trục toạ độ, ta được:

k

k

k

m x X

m y Y

m z Z

       

  

(1.5)

Trong đó: r x,y,z.; F X Y Z , , 

Các phương trình (1.5) phương trình vi phân chuyển động chất điểm dạng toạ độ Descartes.

* Chú ý: Khi chất điểm chuyển động mặt phẳng đường thẳng số phương trình giảm xuống cịn tương ứng2 1.

1.3.3.ăD ngăto ăđ ăt ănhiên

9

t tk

n nk

b bk

m w F

m w F

m w F

       

  

Theo phần động học, ta có: wt ; wn 2; wb

v s

v s

 

    

Do đó:

2

0

tk

nk

bk

m s F

s

m F

F



 



 

 

 



  

(1.6)

Trong đó: F F F tk, nk, Fbk 0

Các phương trình (1.6) phương trình vi phân chuyển động chất điểm dạng toạ độ tự nhiên.

Hình 1.1

* Chú ý: Phương trình thường được áp dụng ta biết quĩ đạo chuyển động của chấtđiểm

1.4.ăHAIăBĨIăTOÁNăC ăB NăC AăĐ NGăL CăH C

Ta có sơđồ biểu diễn mối quan hệ toán sau:

Mo (+) n

M

b

t

CHUYỂN ĐỘNG

BƠi toán thu n

m.w = ∑Fek Bài toán ng c

10 1.4.1.ăBƠiătoánăthu n

a) Bài toán

Biết: Chuyển động chất điểm (phương trình chuyển động, vận tốc, gia tốc)Xác định: Lực tác dụng lên chất điểm

b) Phương pháp giải

Ta xác định gia tốc chất điểm thay vào phương trình vi phân chuyển động thích hợp, ta tìm lực tác dụng

c) Trình tự giải

1 Xác định vật thể khảo sát dạng chất điểm

2 Đặt lực tác dụng lên chất điểm: lực hoạt động phản lực liên kết Chọn hệ trục toạ độ thích hợp viết phương trình vi phân chuyển động

4 Tìm gia tốc: cách tính đạo hàm hìnhchiếu vectỏ gia tốc lên trục toạ độ

5 Tìm lực: cách thay gia tốc vào phương trình có 1.4.2.ăBƠiătốnăng c

a) Bài tốn

Biết: lực tác dụng lên chất điểm điều kiện ban đầu chuyển động

 Xác định: Chuyển động chất điểm (phương trình chuyển động, vận tốc, hoặc gia tốc, thời gian chuyển động)

b) Phương pháp giải

Khi biết lực, ta lập phương trình vi phân chuyển động chất điểm, phương trình vi phân cấp giải phương trình vi phân ta xác định yêu cầu

c) Trình tự giải

1 Khảo sát chất điểm vị trí Đặt lực tác dụng lên

3 Chọn hệ trục toạ độ thích hợp, viết phương trình vi phân chuyển động điều kiện đầu có dạng:

 

k , ,

11       , , , , , , k k k

m x X t x x

m y Y t y y

m z Z t z z

            (b) Giải hệ phương trình vi phân:

- Tích phân để tìm nghiệm tổng quát: ta hàm theo thời gian có chứa số tích phân

 , 1, 2

r  r t C C (c)

      1x 2x 2 x x t, C , C y y t, C , C z z t, C , C

y y z z          (d) - Tìm nghiệm riêng tốn: dựa vào điều kiện đầu xác định số tích phân

Tại thời điểm ban đầu ta biết vị trí vận tốc chất điểm là:

 0 0;  0

r t t r v t t v (e) Đạo hàm (a) ta có:

 , ,1 2

v  r r t C C (f) Thay gía trị (e) vào (c) (f), ta có:

 

 

0

0 , ,

, ,

r r t C C

v v t C C

   



 (g) Từ (g) ta xác định số tích phân:

 

 

1 0

2 0 , ,

, ,

C C t r v

C C t r v

   



 (h) Thay (h) vào (c), ta phươngtrình chuyển động chất điểm:

 , , ,0 0  

r r t t r v  r t (i)

           

x x , , , y y , , , z z , , ,

o o o

o o o

o o o

t t x x x t t t y y y t t t z z z t

            (j)

12 Xác định sức căng T dây cáp (H 1.2) Giải: (Bài toán thuận)

Thang máy chuyển động tịnh tiến nên coi chất điểm chuyển động thẳng đứng tác dụng trọng lực P sức căng T

Phương trình vi phân chuyển động chất điểm theo trục z: m.w = - P + T  T = m.w + P = (1 )

g w P P w g

P   

Kết quả: T = 

    



g w

P

Hình 1.2

* Nhận xét:

-Khi thang máy đứng yên, chuyển động thẳng (w = 0) thì: T = P -Khi thang máy xuống thì: (1 )

g w P

T   < P

-Đặc biệt, thang xuống với với w = g T =

Ví dụ 1.2: Một vật nặng có trọng luợng P treo vào đầu sợi dây dài L buộc vào

điểm O Vật nặng quay quanh trục thẳng đứng vạch nên vòng tròn mặt phẳng nằm ngang, dây treo tạo với đường thẳng đứng góc  (H 1.3)

Xác định vận tốc v vật nặng sức căng dây Giải:(Bài toán thuận)

Vật khảo sát: vật nặng coi chấtđiểm Hệ lực tác dụng: P sức căng dây T

Chọn hệ trục toạ độ tự nhiên Mtnb hình vẽ (H 1.3) Ta có phương trình:

T

w

13

T P w g

P  

Chiếu phương trình lên hệ trục toạđộ tự nhiên, ta được:

             P T T w g P w g P n    cos sin               P T T R v g P v g P   cos sin 

Với: R = L.sin

Vậy: ; sin

cos cos

P Lg

T v  const

 

  

Hình 1.3

Ví dụ 1.3: Một cầu khối lượng m rơi thẳng đứng từ điểm O, không vận tốc

đầu, duới tác dụng trọng lực sức cản không khí Fckm (k số) (H 1.4) Tìm qui luật chuyển động cầu

Giải:(Bài toán ngược)

Xem cầu chất điểm chuyển động theo phương thẳng đứng hướng xuống

Lập phương trình vi phân chuyển động cầu theo trục z là:

g k

m km mg F P z

m.  c    

k g

z 

  O R l b n

M t v

P

α

14 Do đó: g k dz g kdt

dt z d

z      



Hình 1.4

Giải phương trình ta được:

 

z g k t C  (a)

 dz g k t C 1 dz g k t C dt 1

dt        

Vậy:  

1

2

z g k t C t C (b)

Thay điều kiện ban đầu: t = 0, z = 0, z = vào (a) (b), ta được: C1 C2 0

Kết quả: 1 

2

z g k t

* Chú ý: Trong trường hợp có lực cản hàm theo z: Fc  z, phương trình vi

phân chuyển động cầu là: m z m g  .z m.z.zm.g

Ví dụ 1.4: Một viên đạn có khối lượng m bắn với vận tốc ban đầu v0

nghiêng góc  so với phương ngang (H 1.5).

Viết phương trình chuyển động viên đạn Bỏ qua sức cản khơng khí Giải:

- Coi viên đạn chất điểm, có khối lượng m - Lực tác dụng: trọng lực P

- Chọn hệ trục Oxy, phương trình chuyển động:

 

 F P r

m.

Chiếu biểu thức lên trục tọa độ: z

O

Fc z m

15         mg P y m x m            g y x     (a) Hình 1.5

Điều kiện ban đầu:

       0 ) ( y x

(b) và:          sin cos ) ( o o v y v x   (c) Tích phân (a):

1

2

x C

y gt C

 

    

Theo điều kiện (c), ta được:        sin cos o o v C v C           sin cos o o v gt y v x   (d) Tích phân (d):

          sin cos C t v gt y C t v x o o  

Theo điều kiện (b), ta được: C3 C4 0

           sin cos t v gt y t v x o o

16

 x x

v g y

o



 tan

cos

2

2     

  

 : phương trình đường parabol

Ví dụ 1.5: Một vật khối lượng m được mắc vào đầu lị xo có độ cứng C,

đầu lò xo buộc vào điểm cố định Bỏ qua ma sát vật mặt phẳng ngang Hãy xác định qui luật chuyển động vật lò xo kéo dãn đoạn  buông không vận tốc đầu (H 1.6).

Giải:(Bài toán ngược)

Khảo sát vật nặng thời điểm Lực tác dụng:

+ Trọng lượng: P = m.g + Phản lực: N

+ Lực đàn hồi lò xo tỉ lệ với độ dãn dài x: F = C.x

Hình 1.6

Chọn trục x hình vẽ, tâm O vị trí cân tĩnh lị xo (chưa dãn) Phương trình vi phân chuyển động vật theo trục x:

x

m xF  C x

 x C x 0 x 2x 0

m 

    

trong đó: C

m

 tần số dao động riêng Nghiệm phương trình viết:

t C

t C

x 1.cos  2.sin (a) sin .cos

x  C t C  t (b) x

F N

P x

17

1,C

C xác định từ điều kiện ban đầu: t = 0, x0 , x0 0 Từ (a) (b) ta xác định được: C1, C20

Kết quả: xcos.t

C CÂU HỎI ÔN T P

1 Phát biểu định luật ĐLH ?

2 Viết phương trình vi phân chuyển động chất điểm dạng toạ độ Descartes, dạng toạ độ tự nhiên

18

Ch ng 2

CÁC ĐỊNH LÝ TỔNG QUÁT CỦA ĐỘNG LỰC HỌC

A M C TIÊU

- Nghiên cứu định lý tổng quát động lực học

- Cho phép thiết lập mối quan hệ đặc trưng chuyển động với lực tác dụng.

- Nghiên cứu tính chất quan trọng chuyển động mà không cần biết chi

tiết chuyển động đó.

B NỘI DUNG

Phương pháp tìm quy luật chuyển động chất điểm (hoặc hệ) cách lập phương trình vi phân chuyển động tích phân phương trình vi phân có nhiều nhược điểm như: Khơng phải phương trình vi phân tích phân được, với hệ có nhiều chất điểm khối lượng tính tốn lớn

Do vậy, để lập phương trình chuyển động mà không thiết phải biết chuyển động chất điểm cụ thể ta dùng định lý tổng quát ĐLH Các định lý tổng quát ĐLH hệ phương trình ĐLH, cho biết mối quan hệ đặc trưng động lực (động lượng, momen động lượng, động năng)

và đại lượng tác dụng lực (xung lượng lực, momen lực công lực).

2.1.ăĐ NHăLụăBI NăTHIểNăĐ NGăL NG

2.1.1.ăKh iăl ngăvƠăkh iătơmăc aăc ăh 2.1.1.1 Kh i lượngcủa cơhệ

Xét hệ gồm n chất điểm (k = 1, 2,…, n) có khối lượng mk

Định nghĩa: Khối lượng cơhệ tổng khối lượng chất điểm thuộc hệ:

 

 n

k k m M

1

(2.1) Trong đó:

- M khối lượng tồn hệ

19

Xét hệ gồm n chất điểm (k = 1, 2,…, n), chất điểm thứ kcó khối lượng mk , vị trí chúng xác định vectơ định vị rk (H 2.1)

Điểm hình học C gọi khối tâm hệ vị trí xác định cơng thức:

M r m m r m

r k k

k k k C    

 (2.2)





 M.rC mk.rk (2.3) Trong đó: rC vectơ định vị khối tâm C

Hình 2.1 * Chú ý:

1 Chiếu biểu thức (2.2) lên trục toạ độ Descartes, ta có:

               M z m M y m M x m k k k k k k z y x C C C (2.4)

2 Đối với vật rắn đặt trường trọng lực, khối tâm trùng với trọng tâm, ta có:                P z P P y P P x P k k k k k k z y x C C C (2.5)

Trong đó:

20 - PPk là trọng lượng vật rắn

- Pk mk.g trọng lượng chất điểm thứ k 2.1.2.ăĐ ngăl ng

a) Động lượng chất điểm (q)

Động lượng chất điểmlà đại lượng vector tích số khối lượng chất điểm vận tốc

v m

q (2.6) b) Động lượng hệ (Q)

Động lượng hệbằng tổng động lượng chất điểm thuộc hệ 

 

 qk mkvk

Q (2.7) Đơn vịcủa động lượng: kgm/s = N.s

* Chú ý:

1. Ta tính động lượng hệ qua vận tốc khối tâm Đạo hàm biểu thức (2.3) theo thời gian, ta được:

Q v m v M

C  k k 

 Q = M.vC (2.8) Vậy: Động lượng hệ tích khối lượng cơ hệ với vận tốc khối tâm của nó.

2 Nếu hệ chuyển động khối tâm hệ đứng yên (vC 0)thì Q0 3 Hình chiếu Q lên trục toạ độ, ta có:

              k k C z k k C y k k C x z m z M Q y m y M Q x m x M Q      

4 Nếu hệ chuyển động phức hợp động lượng Qchỉ đặc trưng cho phần

chuyển động tịnh tiến hệ với khối tâm không đặc trưng cho chuyển động quay quanh khối tâm.

2.1.3.ăXungăl ngăc aăl c