Bài tập Phương trình nghiệm nguyên

Ta thấy vế trái của phương trình luôn đồng dư với 0 hoặc 3 mod 4 còn vế phải đồng dư với 1 mod 4 như vậy phương trình vô nghiệm... Dùng tính chất bị chặn.[r]

http://kinhhoa.violet.vn PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN Phương trình bậc hai ẩn ax + by = c Phương trình có nghiệm và (a,b) | c Để giải phương trình ta tìm nghiệm riêng (x0,y0) từ đó suy tất các  x = x + bt nghiệm phương trình  (t ∈ Z)  y = y − at Ví dụ Giải phương trình 12x + 37y = 2008 Giải Từ phương trình ta suy y ≡ mod 12, ta chọn y0 = ⇒ x0 = 155.Vậy nghiệm  x = 155 + 37t phương trình là  (t ∈ Z)  y = − 12t Phương trình bậc ba ẩn ax + by + cz = d Để giải phương trình ta đưa dạng ax + by = d – cz với (a,b) = chọn z = a tùy ý Ví dụ Giải phương trình 13x + 25y – 41z = 2009 Giải Cho z = a ⇒ 13x + 25y = 2009 + 41a (*) phương trình 13x + 25y = có nghiệm là (2;–1) nên nghiệm (*) là  x = 2(2009 + 41a) + 25b (t ∈ Z) ⇒ Nghiệm phương trình ban đầu là   y = −(2009 + 41a) − 13b  x = 2(2009 + 41a) + 25b   y = −(2009 + 41a) − 13b (t ∈ Z) z = a  Phương trình ax + by + cxy = d b ab Ta đưa dạng tích x(a + cy) + (a + cy) = d + ⇔ (cx + b)(cy + a) = ab + cd c c Từ đây ta có cx + b, cy + a là các ước ab + cd Ví dụ Giải phương trình 2x + 5y – 3xy = Giải x(2 – 3y) – 5/3 (2 – 3y) = – 10/3 ⇔ (3x – 5)(3y – 2) = từ đây ta có các nghiệm là (4,1) và (2,3) nguyên Một vài phương pháp thường sử dụng giải phương trình nghiệm 4.1 Đưa tổng các bình phương Ví dụ Giải phương trình x2 – 6xy + 14y2 – 10y – 16 = Giải phương trình ⇔ (x – 3y)2 + 5(y – 1)2 = 21 Lop7.net ⇒ 5(y – 1)2 ≤ 21 ⇒ (y – 1)2 = 0, 1, (y – 1)2 = ⇒ (x – 3y)2 = 21 (loại) (y – 1)2 = ⇒ (x – 3y)2 = 16 ta có các nghiệm (4,0),(–4,0), (10,2),(2,2) (y – 1)2 = ⇒ ( x – 3y)2 = ta có các nghiệm (10,3),(8,3),(–2,–1),(–4,–1) 4.2 Đưa tích số Ví dụ Giải phương trình 6x2 – 10xy + 4y2 + 3x – 2y – 32 = Giải Phương trình ⇔ (2x – 2y + 1)(3x – 2y) = 32 Do 2x – 2y + là số lẻ nên 2x – 2y + ± từ đây ta có các nghiệm (32,32), ( – 30, – 29) 4.3 Dùng các tính chất chia hết, đồng dư Ví dụ Giải phương trình 3x2 – 2008y2 = 2009 Giải Nhận xét x chẵn thì x ≡ mod còn x lẻ thì x2 ≡ mod , tức là số chính phương đồng dư với modulo Ta thấy vế trái phương trình luôn đồng dư với mod còn vế phải đồng dư với mod phương trình vô nghiệm Ví dụ Giải phương trình x3 + 21y2 + = Giải 3 x ≡ 0, 1, – mod ⇒ x + 21y + ≡ 5, 6, mod ⇒ phương trình vô nghiệm Ví dụ Giải phương trình 5x2 + 6x + 11 = y2 + 4y Giải Phương trình ⇔ 4x2 + (x + 3)2 + = (y + 2)2 Vế trái đồng dư 2, mod 4, vế phải đồng dư 0, mod ⇒ phương trìnhvô nghiệm Ví dụ Giải phương trình 6x = y2 + y – Giải 6x ≡ mod y2 + y – = (y – 1)(y + 2) ≡ 0,3,4 mod ⇒ phương trình vô nghiệm Ví dụ Giải phương trình x2 = 2y2 – 8y + Giải Từ phương trình ta thấy x phải lẻ ⇒ x = 2k + ⇒ (2k + 1)2 = 2y2 – 8y + ⇒ 4k2 + 4k + = 2y2 – 8y + ⇒ 2k2 + 2k = y2 – 4y + 2k2 + 2k = 2k(k + 1)
⇒ y2 +
(vô lý) ⇒ phương trình vô nghiệm 4.4 Dùng tính chất A n < Xn < (A + 2)n ⇒ Xn = (A + 1)n Ví dụ Giải phương trình x3 + x2 + x + = y3 Lop7.net Giải Với x < – hay x > ta có x < y < (x + 1)3 ⇒ phương trình vô nghiệm Với x = ta có nghiệm (0,1) Với x = –1 ta có nghiệm ( –1, 0) 3 Ví dụ Giải phương trình x(x + 1)(x + 7)(x + 8) = y2 Giải phương trình ⇔ (x2 + 8x)(x2 + 8x + 7) = y2 Đặt m = x2 + 8x ta có m2 + 7m = y2 Nếu m > thì (m + 3)2 < y2 < (m + 4)2 ⇒ vô nghiệm Nếu m ≤ thì – ≤ x ≤ Bằng cách thử trực tiếp ta có các nghiệm ( −9, ±12),( −8,0),( −7,0),( −4, ±12),( −1,0),(0,0),(1, ±12) 4.5 Dùng tính chất bị chặn Ví dụ Tìm nghiệm nguyên dương phương trình 1 + + =1 x y z Giải Giả sử x ≤ y ≤ z ⇒ ≤ ⇒ x ≤ ⇒ x = 1,2,3 x * x = (loại) 1 1 + = ⇒ ≤ ⇒ y ≤ ⇒ y = 2,3,4 y z 2 y y = 2( loại) 1 y=3⇒ = ⇒z=6 z 1 y=4⇒ = ⇒z=4 z 1 2 *x=3⇒ + = ⇒ ≤ ⇒y≤3⇒y=3⇒z=3 y z 3 y Vậy nghiệm phương trình là (2;3;6), (2,4,4), (3,3,3) và các hoán vị chúng *x=2⇒ 4.6 Phương pháp xuống thang Ví dụ Giải phương trình x2 + y2 + z2 = 2xyz Giải 2 2xyz chẵn ⇒ x + y + z chẵn ⇒ số x2, y2, z2 có chẵn, lẻ chẵn Giả sử x2 chẵn, y2 và z2 lẻ ⇒ x2 + y2 + z2 ≡ mod đó 2xyz ≡ mod (vô lý) ⇒ x2 , y2 , z2 chẵn ⇒ x = 2x1, y = 2y1, z = 2z1 ⇒ x12 + y12 + z12 = 4x1y1z1 Bằng cách lý luận tương tự ta có x = 2kxk , y = 2kyk , z = 2k zk và xk2 + yk2 + zk2 = 2k+1xkykzk Nếu x khác thì đến lúc nào đó xk lẻ (vô lý) Vậy x = 0, y = 0, z = Lop7.net 4.7 Phương pháp xây dựng nghiệm (chỉ họ nghiệm nào đó phương trình) Ví dụ Chứng tỏ phương trình x2 + y2 = z2 có vô số nghiệm Họ nghiệm phương trình là x = m2 – n2, y = 2mn, z = m2 + n2 Ví dụ Chứng tỏ phương trình x2 + y2 = z2 + có vô số nghiệm Giải Thay z = y + ta có x2 = 2y + Chọn x = 2k ⇒ y = 2k2 – Vậy họ nghiệm phương trình là (2k, 2k2 – 2,2k2 – 1) Ví dụ Chứng tỏ phương trình x2 + y3 = z5 có vô số nghiệm Giải m m x = 2 ,y = ,z = ⇒ m = 6(5k + 4) m +1 Chọn m cho m
2, m
và m +
Phương trình Pytagore x2 + y2 = z2 Gọi d = (x,y) ⇒ x = da, y = db và (a,b) = ⇒ a2 + b2 = (z/d)2 Đặt z = dc (c ∈ Q) ⇒ c2 ∈ N ⇒ c ∈ Z Nếu a, b cùng lẻ thì a2 + b2 ≡ mod ⇒ c2 ≡ mod (vô lý) Vậy a, b khác tính chẵn lẻ Giả sử a lẻ, b chẵn ⇒ c lẻ c +a c −a b c +a c −a vớ i  b =c –a ⇒   = ,  =1 2  2  c+a c −a ⇒ = m2 , = n2 ⇒ c = m2 + n2, a = m2 – n2, b = 2mn 2 Vậy nghiệm phương trình là  x = (m2 − n2 )d  x = 2mnd    y = (m2 − n2 )d với (m,n) =  y = 2mnd z = (m2 + n2 )d z = (m2 + n2 )d   2 Phương trình Pell x2 – dy2 = ( d là số không chính phương) (1) Trong phần này ta xét nghiệm nguyên dương Định nghĩa Giả sử (x,y) và (x’,y’) là nghiệm (1) Ta thấy x < x’ thì y < y’ ngược lại Như trên tập các nghiệm phương trình ta xây dựng quan hệ thứ tự (x,y) < (x’,y’) ⇔ x < x’ Định lý Phương trình (1) có vô số nghiệm Định lý ( Nếu (a,b) là nghiệm nhỏ củA (1) và a + b d n ) = x n + y n d (*) với n là số nguyên dương thì (xn,yn) là nghiệm (1) Lop7.net Chứng minh (a + b d) = C a + C a (b d) + Cn2ann−2 (b d)2 + = x n + y n d n n n n −1 n (a − b d)n = C0nan − C1nan−1(b d) + Cn2ann−2 (b d)2 − = xn − y n d (**) Từ (**) ⇒ (xn + yn d)(xn − y n d) = (a2 − db2 )n = ⇒ x n2 − dy n2 = ⇒ (x n , yn ) là nghiệm (1) Ta chứng minh điều ngược lại: (u, v) là nghiệm (1) thì u + v d có dạng (*) Giả sử u + v d ≠ (a + b d)n với n nguyên dương Ta có < a + b d < u + v d ( ) ( ) Do dãy số a + b d, a + b d , a + b d , không bị chặn trên nên tồn số nguyên dương N cho (a + b d)N < u + v d < (a + b d)N+1 ⇒ 1< u+v d (a + b d)N < a+b d ⇒ < (u + v d)(xN − yN d) < a + b d (xN,yN) là nghiệm (1) ⇒ < uxN − vyNd + (vxN − uyN ) d < a + b d ⇒ < U + V d < a + b d với U = uxN − vyNd, V = vxN − uyN ⇒ U2 – dV2 = (uxN − vyN )2 − d(vxN − uyN )2 = (xN2 − dyN2 )(u2 − dv ) = ⇒ (U,V) thỏa (1) và U + V d U − V d = ( )( ) Từ U + V d > ⇒ < U − V d < ⇒ U > và V > ⇒ U + V d < a + b d ( mâu thuẩn với (a,b) là nghiệm nhỏ (1)) Định lý đã chứng minh Ta có thể biểu diễn các nghiệm (1) công thức n xn (a + b d ) + (a − b d ) = n yn = Hoặc n n (a + b d ) − (a − b d ) với n là số nguyên d xn + = 2ax n+1 − x n yn + = 2ay n+1 − y n với (xo,yo) = (1,0) và (x1,y1) = (a.b) Ví dụ Giải phương trình x2 – 5y2 = Giải Ta có nghiệm nhỏ là (9,4) Nghiệm phương trình tính công thức xn+2 = 18xn+1 – xn, yn+2 = 18yn+1 – yn với (xo,yo) = (1,0) và (x1,y1) = (9,4) Lop7.net Phương trình x2 – dy2 = n ( n là số tự nhiên ) (2) Ta gọi phương trình x2 – dy2 = là phương trình liên kết với (2) có (a,b) là nhiệm nhỏ Định lý Phương trình (2) vô nghiệm vô số nghiệm Định lý Nếu (αi , βi ) , i = 1,2, , m là các nghiệm (2) thỏa mãn  −na2  βi2 ≤ max nb2 ,  thì các cặp (x n,i ,y n,i ) sau đây vét hết các nghiệm (2): d   xn +1,i = ax n,i + dby n,i , x o,i = αi (i = 1,2,…,m) yn +1,i = bx n,i + ay n,i , y o,i = βi Ví dụ Giải phương trình x2 – 5y2 = – Nghiệm nhỏ phương trình liên kết x2 – 5y2 = là (9,4) y2 ≤ –(–4)92/5 = 64,8 ⇒ y ≤ ⇒ các cặp nghiệm ban đầu là (1,1), (4,2), (11,5) Vậy nghiệm phương trình là xn+1 = 9xn + 20yn, yn+1 = 4xn + 9yn với (x0,y0) = (1,1), (4,2) ,( 11,5) Phương trình Ax2 – By2 = n ( A > 1, AB không chính phương ) (3) Ta gọi phương trình x2 – ABy2 = là phương trình liên kết với (3) có (a,b) là nghiệm nhỏ Định lý Phương trình (3) vô nghiệm vô số nghiệm Định lý  −na2  Nếu ( αi , βi ) , i = 1,2, , m là các nghiệm (3) thỏa mãn βi2 ≤ max  Anb2 ,  B   thì các cặp (xn,i , y n,i ) sau đây vét hết các nghiệm (3): xn +1,i = ax n,i + Bby n,i , x o,i = αi yn +1,i = Abxn,i + ayn,i , y o,i = βi (i = 1,2,…,m) Ta có thể biểu diễn công thức trên dạng truy hồi xn + = 2ax n+1 − x n yn + = 2ay n+1 − y n vớ i x = α,x1 = aα + Bbβ y = β,y1 = aβ + Abα Ví dụ Giải phương trình 3x2 – 2y2 = Giải phương trình liên kết x2 – 6y2 = có nghiệm nhỏ là (a,b) = (5,2) y2 < 3.1.22 = 12 ⇒ y ≤ Ta có nghiệm ban đầu là (1,1) Vậy nghiệm phương trình là xn+2 = 10xn+1 – xn , yn+2 = 10yn+1 – yn với (x0,y0) = (1,1) ,(x1,y1) = (9,11) Lop7.net BÀI TẬP Tìm nghiệm nguyên các phương trình a) 2x + 3y = 156 b) 3xy + x – y = c) 2x2 + 3xy – 2y2 = d) x3 – y3 = 91 e) x2 – xy = 6x – 5y – 2) Cho đa thức f(x) có các hệ số nguyên Biết f(1).f(2) = 35.Chứng minh f(x) không có nghiệm nguyên 3) Chứng minh các phương trình sau không có nghiệm nguyên: a) 3x2 – 4y2 = 13 b) 19x2 + 28y2 = 2001 c) x2 = 2y2 – 8y + d) x5 – 5x3 + 4x = 24(5y + 1) e) 3x5 – x3 + 6x2 – 18x = 2001 4) Tìm số nguyên dương cho tích chúng gấp đôi tổng chúng 5) Tìm số nguyên dương cho tổng chúng tích chúng 6) Tìm các nghiệm nguyên các phương trình : a) x2 + xy + y2 = 2x + y b) x2 + xy + y2 = x + y c) x2 – 3xy + 3y2 = 3y d) x2 – 2xy + 5y2 = y + 7) Tìm các số tự nhiên cho 2x + 3x = 35 8) Tìm các số nguyên x,y cho x3 + x2 + x + = y3 9) Tìm các nghiệm nguyên dương : x! + y! = (x + y)! 10) Tìm các nghiệm nguyên phương trình 3x2 + 4y2 = 6x + 13 11) Có tồn hay không hai số nguyên dương x , y cho x2 + y và y2 + x là số chính phương 12) Tìm các nghiệm nguyên các phương trình : a) x(x2 + x + 1) = 4y(y + 1) b) x4 + x3 + x2 + x = y2 + y c) x4 – 2y2 = d) x3 – 3y3 = 9z3 e) x2 + y2 = 3z2 f) x2 + y2 = 6(z2 + t2) g) x2 + y2 + z2 = 2xyz 13) a) Giải phương trình x2 + y2 = 7z2 b) Chứng minh số không viết dạng tổng các bình phương số hữu tỉ 14) Tìm các nghiệm nguyên : a) xy – 2y – = 3x – x2 b) 2x2 + 3xy – 2y2 = c) x2 + y2 – x – y = d) 7(x2 + xy + y2) = 39(x + y) e) 3(x2 –xy + y2) = 7(x + y) f) 5(x2 + xy + y2)= 7(x + 2y) g) 8y2 – 25 = 3xy + 5z h) 7x2 – 5y2 = 1) Lop7.net 15) Chứng minh phương trình sau có vô số nghiệm nguyên (x + y + z)2 = x2 + y2 + z2 16) Tìm nghiệm nguyên dương : 1 1 a) + + = x y 6xy 1 1 b) + + = x y 2xy xy xz yz 17) Tìm nghiệm nguyên + + =3 z y x 18) Tìm số nguyên dương x,y,z cho xy +
z, xz +
y , yz +
x 19) Tìm điều kiện a để các nghiệm phương trình là số nguyên : a) x2 – ax + a + = b) x2 + ax + 6a = c) x + a 2x + a – = 20) Tìm các số nguyên a và b cho a + b = 25 và các nghiệm phương trình x2 + ax + b = là số nguyên.Tìm các nghiệm đó 21) Giải phương trình a) x2 – 7y2 = b) x2 –15y2 = c) 3x2 – 5y2 = 22) Hãy chứng minh các tính chất ba số Pitagore : a) Tồn số là bội b) Tồn số là bội c) Tồn số là bội Lop7.net