x e dx x bằng phương pháp nguyên hàm từng phần thì cách đặt nào sau đây là đúng nhất?. Nếu sai thì sai từ bước nảoA[r]
(1)CHƯƠNG III
Dạng Phương pháp nguyên hàm phần A KIẾN THỨC CẦN NHỚ.
1 Định lí:
Nếu hai hàm số u u x
v v x
có đạo hàm liên tục K thì
'
'
u x v x dx u x v x u x v x dx
Viết gọn:
udv uv
vdu
2 Cách đặt:
1
p x
ln ax b dx
uln
ax b
sin
cos d
ax b
ax b
p x ax b x u p x e
3 Chú ý: Nhất lốc, nhì đa. B MỘT SỐ VÍ DỤ:
Ví dụ Tính
xlnxdxA
2
1
ln
2x x 4x C. B
2
1
ln
2x x 2x C. C
3
1
ln
2 x 4x C.
D
2
1
ln
2x x 2x C .
Lời giải
Đặt
2
ln
2
dx du
u x x
dv xdx x
v
Do
2 2
1 1
ln d ln d ln
2 2
x x x x x x x x x x C
Vậy chọn đáp án A
Ví dụ Tính
x1
e dxxA
x1
exexC B xex exC. C xexC. D
x 2
exC.Lời giải
Đặt
1
x x
u x du dx
dv e dx v e
.
(2)Ví dụ Tính
xsin 2xdxA
1
cos sin
2x x x C
B xcos 2xsin 2x C .
C
1
cos sin
2x x x C
D
1
cos sin
2x x x C
Lời giải
Đặt
1 sin cos
2
du dx u x
dv xdx v x
.
Do
1 1
sin cos cos d cos sin
2 2
x xdx x x x x x x x C
Vậy chọn đáp án C
Ví dụ Tính
cos xdxA 2 xsin x 2cos x C . B 2 xsin x2cos x C .
C 2 xsin x2cos x C . D 2 xsin x 2cos x C . Lời giải
Đặt t x t2 x 2tdt dx Ta
cos xdx
2 cost tdt.Đặt
2
cos sin
u t du dt
dv tdt v t
.
Do
2 cost tdt2 sint t sin
tdt 2 sint t2 cost C 2 xsin x2 cos x CVậy chọn đáp án B.
Ví dụ Tính I
1 sin xsin2xsin3x
dxA
1 tan
cos
I x C
x
B
1 tan
cos
I x C
x
C I
1 sinx
tanx cosx C D I
1 sinx
tanxcosx CLời giải
Vì sinx 1 nên
1 sin
1 sin cos
x
I dx dx
x x
Đặt
1 sin
cos
tan cos
u x
du xdx
v x
dv dx
x
Do đó
1 sin
tan sin
1 sin
tan cosI x x
xdx x x x CVậy chọn đáp án D
(3)Câu [2D3-1] Cơng thức tính nguyên hàm phần là:
A
udv uv
vdu B
udv uv
vdu.C
udu uv
vdv D
udu uv
vdvCâu [2D3-1] Khi tính
xlog2xdx phương pháp nguyên hàm phầnthì cách đặt sau hợp lý?
A
2
log
u x
dv dx
. B log2
u x
dv xdx
.
C log2
du dx v x x
. D log2
du dx
v x
.
Câu [2D3-1] Khi tính
sin x e dxx phương pháp nguyên hàm phần cách đặt sau nhất?A
sin
x
u x
u e
. B usinx.
C u e x. D usin x ex.
Câu [2D3-1] Thí sinh Nguyễn Văn Mít thực tính
ln 2x dx
sau:(I) Đặt
2
ln 2 1
1
du dx
u x x
dv dx v x
(II)
2
ln ln
2
x
x dx x dx
(II)
2
ln ln
2
x
x dx x x C
Theo bạn, giải hay sai? Nếu sai sai từ bước nảo? A Đúng B Sai (I) C Sai (II) D Sai (III)
Câu [2D3-2] Tính
ln xdxA x
lnx1
C B I xlnx x C. C2
ln
x x
I x C
.D xlnx C .
Câu [2D3-2] Tính
xcos dx xA xsinxcosx C . B xsinx cosx C .C xsinxsinx C . D xsinx sinx C .
Câu [2D3-2] Tính
x1 e d
x x Kết sau không đúng? (4)C
x1
ex1
ex x C D
x1
ex exCCâu [2D3-3] Tìm nguyên hàm hàm số ( )
( )
ln ln
x f x
x
=
A
( ) ( )
ln ln
d ln ln ln
x
x x x C
x = +
ò
. B ln ln( x)dx ln ln lnx ( x) lnx Cx = + +
ò
.C
( )
( )
ln ln
d ln ln ln ln
x
x x x x C
x = - +
ò
. D ln ln( x)dx ln ln( x) lnx Cx = + +
ò
Lời giải.
Đặt
d ln d x t x t
x
= Þ =
Suy
( )
ln ln
d ln d
x
x t t
x =
ò
ò
.Đặt
d ln d d d
t
u t u
t v t v t
ìïï
ì = =
ï ï
ï Þ
í í
ï = ï ïỵ ï =ïỵ
Khi
ị
ln dt t=t tln -ò
dt=t t t Cln - + =ln ln lnx ( x)- lnx C+ Chọn C.Câu [2D3-3] Tìm I
3x2 x1
e dxxA I
3x2 7x8
exC B I
3x2 7x e
xCC I
3x2 7x8
exC D I
3x2 7x3
exC Lời giảiSử dụng phương pháp tính nguyên hàm phần, ta có:
Đặt u3x2 x1 dv e dx x ta có du
6x1
dx v e x Do đó:
3 1
x
3 1
x
6 1
xI
x x e dx x x e
x e dxĐặt u1 6x1
x
dv e dx ta có du1 6dx v1 ex Do đó:
6x 1
e dxx
6x 1
ex e dxx
6x 1
ex 6ex C
.Từ suy ra:
3 1
x
3 1
x
6 7
x
3 7 8
xI
x x e dx x x e x e C x x e C
Vậy chọn đáp án A.
Câu 10. [2D3-4] Tìm
sin
dx
I x x
cos x
A
1
tan
cos
I x x C
x
cos x . B
2 tan ln
cos
I x x cosx C
(5)C tan ln
cos
I x x cosx C
x . D
1
tan
cos
I x x C
x cos x
Lời giải
Ta có
2sin
2 2sindx dx dx
x x x x
cos x cos x cos x
+ Xét cos2
dx
I x
x
Đặt ; cos2 ,
dx u x dv
x
ta có du dx v ; tan x
1
sin tan tan tan x
I x x xdx x x dx
cosx
Đặt t cosx dt sinxdx
Ta có sin
ln ln
x dt
dx t C cosx C
cosx t
Vậy I1 xtanxln cosx C
+ Xét 2
1
2sin
I x dx
cos x
Đặt z cosx dzsinxdx
2 2
1 2
2 C C
I dz
z z cosx
Từ
22
2sin tan ln
cos
dx
I x x I I x x cosx C
cos x x
(6)Câu 11. Nguyên hàm I
xln
x1
dxA
2 1
ln
2
x x x
x C
B
2 1 2
ln
2
x x x
x C
C
2 1
ln
2
x x
x x C
D
2
ln
2
x x x
x C
Câu 12. Gọi F x
nguyên hàm hàm số f x
x ln
x1
Biết
0F , F x
bằng:A
2 2
1 ln 1
x x
x x
B
2 2
ln 1 x x x x
C
2
1 ln 1
x x
x x
D
2
2
2
1 ln 1 x x x x
Câu 13. Nguyên hàm hàm số
2
ln x
y x bằng: A
ln ln
2
x x x
C x B
ln ln
2
x x x
C x x C
ln ln
2
x x x
C x D
ln ln2 x x C x
Câu 14. Giả sử F x
nguyên hàm hàm số
1 ln
f x x x
x
Biết
1F
Vậy F x
bằng:A
2 2 ln2 ln2 1
4
x x x x
B
2 2 ln2 ln2 1
4
x x x x
C
2 2 ln2 ln2 1
4
x x x x
D
2 2 ln2 ln2 1
4
x x x x
Câu 15. Hàm số f x
xex có nguyên hàm là:A F x
xexexC B F x
x e2 xCC
1
1
x
F x x e C
x
. D F x
e xx
1
C.Câu 16. Hàm số f x
x1 sin
x có nguyên hàm là: (7)Câu 17. Hàm số f x
lnx có nguyên hàm là:A F x
x
lnx1
C B
1
F x C
x
C
2
ln
x
F x C
D F x
x
lnx1
CCâu 18. Gọi hàm số F x
nguyên hàm f x
xcos3x, biết F
0 1 Vậy F x
là:A
1
sin cos
3
F x x x x C
B
1
sin cos3
3
F x x x x
C
2
1
sin
F x x x
D
1
sin cos
3 9
F x x x x
Câu 19. Nguyên hàm F x
f x
xex thỏa mãn F
0 1 là:A F x
x1
ex1 B F x
x1
ex2C F x
x1
ex1 D.
1
xF x x e
.
Câu 20. Kết sai kết sau?
A
.cos sin
2
x x x xdx C
. B
xsinxdxcosxsinx C
C
xcosxdx x sinxcosx C D.cos
sin sin
2
x x
x xdx x C
.Câu 21. Kết sai kết sau?
A
3
3
3
x
x xe x
xe dx e C
. B xe dx x ex x ex C
.C
2
x x x
xe dx e C
. D x x 1xx x
dx C
e e e
.Câu 22. Tìm nguyên hàm hàm số f x
x2 1
exA
2
1 x
f x dx x e C
. B f x
x 1
ex C .
C
f x dx
x2 2x2
exC D
f x dx
x2 2x 2
exCCâu 23. Tìm nguyên hàm hàm số f x
x2
3.lnx1
A
3 ln1
3
f x dx x C
x
B
3 ln
3
f x dx x x C
(8)C
f x dx x
3.lnx C D
3.ln1
f x dx x C x
.Câu 24. Họ nguyên hàm hàm số
ln xf x x
qua phép đặt t x là
A F t
2 lnt 2t 4t C B F t
2 lnt 2t4t C C 2 lnt t24t C . D 2 lnt t2 4t C .Câu 25. Họ nguyên hàm hàm số
2
ln x
f x
x
là:
A F x
2
x1 ln 1
x
2x C B F x
2
x1 ln 1
x
x CC
1
.ln ln
x
F x x x C
x
D
1
.ln ln
x
F x x x C
x
Câu 26. Tìm nguyên hàm H hàm số f x
3x21 ln
xA
3 1 ln
3
x
H x x x x C
B
3 3ln
3
x
H x x x C
C
3 1 ln
3
x
H x x x C
D
3 3ln
3
x
H x x C
Câu 27. Họ nguyên hàm hàm số f x
cos x sau phép đặt t x x
0
là:A F t
2 cost t2sint C B F t
2 sint t2cost C C F t
2 cost t2sint C D F t
2 sint t 2cost CCâu 28. Nguyên hàm hàm số
sin cos
x x y
x
A
tan
2 cos
x x
C x
B.
2
tan
2 cos
x x
C x .
C 2cos2 tan
x
x C x
D 2cos2 tan
x
x C x
Câu 29. Tìm nguyên hàm H hàm số f x
xlnxA
3ln 2
x x x
H C
B
2ln 3
x x x
H C
C
6ln 4
x x x
H C
D
4ln 6
x x x
(9)Đáp án
11-A 12-A 13-C 14-B 15-D 16-B 17-A 18-D 19-A 20-A
21-A 22-A 23-C 24-D 25-C 26-A 27-B 28-B 29-C
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Câu 11. Đáp án A.
Ta có
2 2
1 1
ln ln ln ln
2 2
x x dx x d x x x x d x
2
2
1 1 1
ln ln 1
2 2
x
x x dx x x x dx
x x
2
2
1 1
ln ln ln
2 2
x x x
x x x x x x C
.
Câu 12. Đáp án A.
Ta có
2
1
ln ln ln ln
2
F x
x x dx x
x dx x x x
xd x
2
1
ln ln ln
2
x
x x x dx x x x x x
x
1 ln
x x
x x C
Câu 13. Đáp án C.
Ta có
2
ln ln
ln ln
x x
dx x d d x
x x x x
ln
2
x dx
x x x
ln 2 ln 1
ln ln
2 2
x x x x
dx x x C
x x x x
ln ln
2
x x x
C
x x
Câu 14. Đáp án B.
Ta có
2
1 ln
ln ln ln ln ln
2
x
x xdx x dx dx xd x xd x
x x
2 2 2
1 1 1
ln ln ln ln ln
2x x x d x x 2x x x xdx
(10)2 2
2 2
1 1 ln ln
ln ln
2 4
x x x x
x x x x C
Mà
2 2
1 ln ln
1
4
x x x x
F C F x C
Câu 15. Đáp án D.
Ta có
xe dxx
xd e
x xex
e dx xex x exCCâu 16. Đáp án B.
Ta có
x1 sin
xdx
xsinxdx
sinxdx
xd
cosx
cosxcos cos cos
x x xdx x
xcosxsinx cosx C
x1 cos
xsinx C .Câu 17. Đáp án A.
Ta có
lnxdx x lnx
xd
lnx
xlnx
dx x lnx x C x
lnx1
C Câu 18. Đáp án D.Ta có
1 1
cos3 sin sin sin
3 3
x xdx xd x x x xdx
13xsin 3x19cos 3x CDo
8 1
0 sin cos3
9 9
F C F x x x x
Câu 19. Đáp án A.
Ta có:
xe dxx
xd e
x
xex
e dxx xex exC
x1
exCMà F
0 1 C 1 F x
x1
ex1 Câu 20. Đáp án A.Ta có
xsinxdx
xd
cosx
xcosx
cosxdxxcosxsinx C Câu 21. Đáp án A.Ta có
3 3 3
3 3
x x x x x x
xe dx xd e xe e dx xe e C
.Câu 22. Đáp án A.
Đặt
2 1 2
x x
du xdx
u x
v e dx dv e dx
Suy
f x dx
x21
ex
2 x e dxxĐặt
2
x x
u x du dx
dv e dx v e dx
(11)Suy
2 1 x 2 x 1 x 2 x 2. x
f x dx x e x e dx x e x e e dx
x2 1
ex 2 x ex 2.ex C
x 1
2ex C
Cách khác: Đối với nguyên hàm phần dạng
x
x
x
x xf x e dxf x e f x e f x e k e C
.
x2 1
e dxx
x2 1
ex 2xex 2.ex C
x2 2x 1
ex C
.Câu 23. Đáp án C.
Đặt
2
3 3ln
3
du dx
u x x
dv x dx x
v
Suy
3 3
2 3.ln 1 3ln 1 3ln 1
3 3
x x x
x x dx x x dx x C
x3.lnx C .
Câu 24. Đáp án D.
Đặt t x 2tdt dx
Suy
2
ln
ln ln ln ln
t
f x dx tdt t dt t t t d t t t dt
t
4 lnt t 4t C
Quan sát đáp án ta thấy D đúng, lnt t2 4t C 4 lnt t 4t C .
Câu 25. Đáp án C.
Đặt
2
1 ln
1
1 1 1
1
du dx
u x
x x
dv dt v
x x x
Suy
1 1
.ln ln ln
x x
F x x dx x x C
x x x
Câu 26. Đáp án A.
Đặt
2
3
1 ln
3
1
u x du dx
x
dv x dt
v x x x x
Suy
3 1 ln 1 1 ln
3
x
F x x x x
x dx x x x x C (12)Câu 27. Đáp án B.
Đặt t x 2tdt dx Suy F t
2 cost tdtĐặt
2
2 sin 2cos
cos sin
u t du dt
F t t t t C
dv tdt v t
.
Câu 28. Đáp án B.
Đặt
2
3
cos
sin
2.cos
cos cos
u x du dx
d x
x v
dv dx
x
x x
Suy
21 tan
2 cos cos 2cos
x x x
F x dx C
x x x
Câu 29. Đáp án C.
Đặt
1 ln
2
du dx
u x x
dv xdx v x x
2 2
ln ln
3 3
H x x x xdx x x x x x C
6 ln 4
9
x x x
C