Bài tập có đáp án chi tiết về phương pháp nguyên hàm từng phần | Toán học, Lớp 12 - Ôn Luyện

x e dx x bằng phương pháp nguyên hàm từng phần thì cách đặt nào sau đây là đúng nhất?. Nếu sai thì sai từ bước nảoA[r]

CHƯƠNG III

Dạng Phương pháp nguyên hàm phần A KIẾN THỨC CẦN NHỚ.

1 Định lí:

Nếu hai hàm số u u x   v v x   có đạo hàm liên tục K thì

   '     '    u x v x dx u x v x  u x v x dx

  Viết gọn: udv uv  vdu

2 Cách đặt:

1 p x  ln ax b dx   ulnax b   

 

   

sin

cos d

ax b

ax b

p x ax b x u p x e 

 



  

  



3 Chú ý: Nhất lốc, nhì đa. B MỘT SỐ VÍ DỤ:

Ví dụ Tính xlnxdx

A

2

1

ln

2x x 4x C. B

2

1

ln

2x x 2x C. C

3

1

ln

2 x  4x C.

D

2

1

ln

2x x 2x C .

Lời giải

Đặt

2

ln

2

dx du

u x x

dv xdx x

v

   

 



 



  



 Do

2 2

1 1

ln d ln d ln

2 2

x x x x x x x x x x C

 

Vậy chọn đáp án A

Ví dụ Tính x1e dxx

A x1exexC B xex exC. C xexC. D x 2exC.

Lời giải

Đặt

1

x x

u x du dx

dv e dx v e

  

 



 

 

  .

Ví dụ Tính xsin 2xdx

A

1

cos sin

2x x x C

  

B xcos 2xsin 2x C .

C

1

cos sin

2x x x C

  

D

1

cos sin

2x x x C

  

Lời giải

Đặt

1 sin cos

2

du dx u x

dv xdx v x

  

 



 

 

 

 .

Do

1 1

sin cos cos d cos sin

2 2

x xdx x x x x x x x C

 

Vậy chọn đáp án C

Ví dụ Tính cos xdx

A 2 xsin x 2cos x C . B 2 xsin x2cos x C .

C 2 xsin x2cos x C . D 2 xsin x 2cos x C . Lời giải

Đặt t x  t2  x 2tdt dx Ta cos xdx2 cost tdt.

Đặt

2

cos sin

u t du dt

dv tdt v t

 

 



 

 

  .

Do 2 cost tdt2 sint t sin tdt 2 sint t2 cost C 2 xsin x2 cos x C

Vậy chọn đáp án B.

Ví dụ Tính I 1 sin xsin2xsin3x dx

A

1 tan

cos

I x C

x

  

B

1 tan

cos

I x C

x

  

C I  1 sinxtanx cosx C D I  1 sinxtanxcosx C

Lời giải

Vì sinx 1 nên

1 sin

1 sin cos

x

I dx dx

x x



 



 

Đặt

1 sin

cos

tan cos

u x

du xdx

v x

dv dx

x

  

  



 



 



 Do đó

1 sin tan sin 1 sin tan cos

I   x x  xdx  x x x C

Vậy chọn đáp án D

Câu [2D3-1] Cơng thức tính nguyên hàm phần là:

A udv uv  vdu B udv uv vdu.C udu uv  vdv D udu uv vdv

Câu [2D3-1] Khi tính xlog2xdx phương pháp nguyên hàm phần

thì cách đặt sau hợp lý?

A

2

log

u x

dv dx

  



 . B log2

u x

dv xdx

  



 .

C log2

du dx v x x

  



 . D log2

du dx

v x

  



 .

Câu [2D3-1] Khi tính sin x e dxx phương pháp nguyên hàm phần cách đặt sau nhất?

A

sin

x

u x

u e

  



 . B usinx.

C u e x. D usin x ex.

Câu [2D3-1] Thí sinh Nguyễn Văn Mít thực tính ln 2x dx   sau:

(I) Đặt

 

2

ln 2 1

1

du dx

u x x

dv dx v x

  

 



  



 

 

   

 

(II)    

2

ln ln

2

x

x dx  x  dx

 

(II)    

2

ln ln

2

x

x dx  x  x C



Theo bạn, giải hay sai? Nếu sai sai từ bước nảo? A Đúng B Sai (I) C Sai (II) D Sai (III)

Câu [2D3-2] Tính ln xdx

A xlnx1C B I xlnx x C. C

2

ln

x x

I   x C

.D xlnx C .

Câu [2D3-2] Tính xcos dx x

A xsinxcosx C . B xsinx cosx C .C xsinxsinx C . D xsinx sinx C .

Câu [2D3-2] Tính x1 e d x x Kết sau không đúng?

C x1ex1 ex x C D x1ex exC

Câu [2D3-3] Tìm nguyên hàm hàm số ( )

( )

ln ln

x f x

x

=

A

( ) ( )

ln ln

d ln ln ln

x

x x x C

x = +

ò . B ln ln( x)dx ln ln lnx ( x) lnx C

x = + +

ò .

C

( )

( )

ln ln

d ln ln ln ln

x

x x x x C

x = - +

ò . D ln ln( x)dx ln ln( x) lnx C

x = + +

ò

Lời giải.

Đặt

d ln d x t x t

x

= Þ =

Suy

( )

ln ln

d ln d

x

x t t

x =

ò ò .

Đặt

d ln d d d

t

u t u

t v t v t

ìïï

ì = =

ï ï

ï Þ

í í

ï = ï ïỵ ï =ïỵ

Khi ịln dt t=t tln - òdt=t t t Cln - + =ln ln lnx ( x)- lnx C+ Chọn C.

Câu [2D3-3] Tìm I 3x2 x1e dxx

A I 3x2 7x8exC B I 3x2 7x e xC

C I 3x2 7x8exC D I 3x2  7x3exC Lời giải

Sử dụng phương pháp tính nguyên hàm phần, ta có:

Đặt u3x2 x1 dv e dx x ta có du6x1dx v e x Do đó:

3 1 x 3 1 x 6 1 x

I  x  x e dx x  x e   x e dx

Đặt u1 6x1

x

dv e dx ta có du1 6dx v1 ex Do đó:

6x 1e dxx 6x 1ex e dxx 6x 1ex 6ex C

       

  .

Từ suy ra:

3 1 x 3 1 x 6 7 x 3 7 8 x

I  x  x e dx x  x e  x e C  x  x e C

Vậy chọn đáp án A.

Câu 10. [2D3-4] Tìm   sin 

dx

I x x

cos x

A    

1

tan

cos

I x x C

x

cos x . B    

2 tan ln

cos

I x x cosx C

C     tan ln

cos

I x x cosx C

x . D    

1

tan

cos

I x x C

x cos x

Lời giải

Ta có  2sin  2 2sin

dx dx dx

x x x x

cos x cos x cos x

  

  

+ Xét cos2

dx

I x

x



Đặt ; cos2 ,

dx u x dv

x

 

ta có du dx v ; tan x

1

sin tan tan tan x

I x x xdx x x dx

cosx

     

Đặt t cosx  dt sinxdx

Ta có sin

ln ln

x dt

dx t C cosx C

cosx  t    

 

Vậy I1 xtanxln cosx C

+ Xét 2

1

2sin

I x dx

cos x



Đặt z cosx  dzsinxdx

2 2

1 2

2 C C

I dz

z z cosx

     

Từ   2

2

2sin tan ln

cos

dx

I x x I I x x cosx C

cos x x

       

Câu 11. Nguyên hàm I xlnx1dx

A  

2 1

ln

2

x x x

x C



   

B  

2 1 2

ln

2

x x x

x C

 

  

C  

2 1

ln

2

x x

x x C



   

D  

2

ln

2

x x x

x   C

Câu 12. Gọi F x  nguyên hàm hàm số f x  x lnx1 Biết  0

F  , F x  bằng:

A    

2 2

1 ln 1

x x

x x



   

B  

2 2

ln 1 x x x x    

C    

2

1 ln 1

x x

x x



   

D    

2

2

2

1 ln 1 x x x x     

Câu 13. Nguyên hàm hàm số

 

2

ln x

y x   bằng: A    

ln ln

2

x x x

C x     B    

ln ln

2

x x x

C x x     C    

ln ln

2

x x x

C x     D   ln ln

2 x x C x   

Câu 14. Giả sử F x  nguyên hàm hàm số  

1 ln

f x x x

x

 

  

  Biết

 1

F 

Vậy F x  bằng:

A

2 2 ln2 ln2 1

4

x  x x x

 

B

2 2 ln2 ln2 1

4

x x x x

 

 

C

2 2 ln2 ln2 1

4

x x x x

 

 

D

2 2 ln2 ln2 1

4

x x x x

 

 

Câu 15. Hàm số f x  xex có nguyên hàm là:

A F x xexexC B F x  x e2 xC

C  

1

1

x

F x x e C

x

 

 

 . D F x  e xx 1C.

Câu 16. Hàm số f x   x1 sin x có nguyên hàm là:

Câu 17. Hàm số f x lnx có nguyên hàm là:

A F x xlnx1C B  

1

F x C

x

 

C  

2

ln

x

F x  C

D F x  xlnx1C

Câu 18. Gọi hàm số F x  nguyên hàm f x xcos3x, biết F 0 1 Vậy F x  là:

A  

1

sin cos

3

F x  x x x C

B  

1

sin cos3

3

F x  x x x

C  

2

1

sin

F x  x x

D  

1

sin cos

3 9

F x  x x x

Câu 19. Nguyên hàm F x  f x  xex thỏa mãn F 0 1 là:

A F x  x1ex1 B F x   x1ex2

C F x   x1ex1 D.

   1 x

F x x e

   .

Câu 20. Kết sai kết sau?

A

.cos sin

2

x x x xdx C

 . B xsinxdxcosxsinx C

C xcosxdx x sinxcosx C D

.cos

sin sin

2

x x

x xdx  x C

 .

Câu 21. Kết sai kết sau?

A

3

3

3

x

x xe x

xe dx  e C

 . B xe dx x ex x ex C

  

 .

C

2

x x x

xe dx e C

 . D x x 1x

x x

dx C

e e e



  

 .

Câu 22. Tìm nguyên hàm hàm số f x  x2 1ex

A    

2

1 x

f x dx x e C

 . B f x  x 1ex C

   .

C f x dx  x2 2x2exC D f x dx  x2 2x 2exC

Câu 23. Tìm nguyên hàm hàm số f x  x23.lnx1

A  

3 ln1

3

f x dx x C

x

 

   

 



B  

3 ln

3

f x dx x  x C

 



C f x dx x   3.lnx C D  

3.ln1

f x dx x C x

 

 .

Câu 24. Họ nguyên hàm hàm số   ln x

f x x



qua phép đặt t x là

A F t  2 lnt 2t 4t C B F t  2 lnt 2t4t C C 2 lnt t24t C . D 2 lnt t2 4t C .

Câu 25. Họ nguyên hàm hàm số  

 

2

ln x

f x

x

 

là:

A F x 2x1 ln 1  x2x C B F x  2x1 ln 1  x x C

C    

1

.ln ln

x

F x x x C

x



   

D    

1

.ln ln

x

F x x x C

x



   

Câu 26. Tìm nguyên hàm H hàm số f x  3x21 ln x

A  

3 1 ln

3

x

H x x  x  x C

B

3 3ln

3

x

H x x  x C

C  

3 1 ln

3

x

H x x  x C

D

3 3ln

3

x

H x x C

Câu 27. Họ nguyên hàm hàm số f x cos x sau phép đặt t x x 0 là:

A F t  2 cost t2sint C B F t  2 sint t2cost C C F t  2 cost t2sint C D F t  2 sint t 2cost C

Câu 28. Nguyên hàm hàm số

sin cos

x x y

x



A

tan

2 cos

x x

C x



 

B.

2

tan

2 cos

x x

C x  .

C 2cos2 tan

x

x C x



 

D 2cos2 tan

x

x C x



 

Câu 29. Tìm nguyên hàm H hàm số f x   xlnx

A

3ln 2

x x x

H   C

B

2ln 3

x x x

H   C

C

6ln 4

x x x

H   C

D

4ln 6

x x x

Đáp án

11-A 12-A 13-C 14-B 15-D 16-B 17-A 18-D 19-A 20-A

21-A 22-A 23-C 24-D 25-C 26-A 27-B 28-B 29-C

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Câu 11. Đáp án A.

Ta có           

2 2

1 1

ln ln ln ln

2 2

x x dx x d x  x x  x d x

  

   

2

2

1 1 1

ln ln 1

2 2

x

x x dx x x x dx

x x

 

         

   

 

     

2

2

1 1

ln ln ln

2 2

x x x

x x  x x x   x C

           

  .

Câu 12. Đáp án A.

Ta có            

2

1

ln ln ln ln

2

F x x x dx x  x dx x x x  xd x

     

2

1

ln ln ln

2

x

x x x dx x x x x x

x

         





   

1 ln

x x

x x C





    

Câu 13. Đáp án C.

Ta có

 

      

2

ln ln

ln ln

x x

dx x d d x

x x x x

   

     

 

  

 

 

ln

2

x dx

x x x

 

 





   

 

 

 

ln 2 ln 1

ln ln

2 2

x x x x

dx x x C

x x x x

   

      





   

ln ln

2

x x x

C

x x

 

  

Câu 14. Đáp án B.

Ta có    

2

1 ln

ln ln ln ln ln

2

x

x xdx x dx dx xd x xd x

x x

 

    

 

 

    

 

2 2 2

1 1 1

ln ln ln ln ln

2x x x d x x 2x x x xdx

2 2

2 2

1 1 ln ln

ln ln

2 4

x x x x

x x x x   C

     

Mà    

2 2

1 ln ln

1

4

x x x x

F   C   F x    C

Câu 15. Đáp án D.

Ta có xe dxx xd e x xex e dx xex  x exC

Câu 16. Đáp án B.

Ta có x1 sin xdxxsinxdxsinxdxxdcosx cosx

cos cos cos

x x xdx x

    xcosxsinx cosx C  x1 cos xsinx C .

Câu 17. Đáp án A.

Ta có lnxdx x lnx xdlnx xlnx dx x lnx x C  xlnx1C Câu 18. Đáp án D.

Ta có  

1 1

cos3 sin sin sin

3 3

x xdx xd x  x x xdx

   13xsin 3x19cos 3x C

Do    

8 1

0 sin cos3

9 9

F   C  F x  x x x

Câu 19. Đáp án A.

Ta có: xe dxx xd e x xexe dxx xex exC x1exC

Mà F 0  1 C  1 F x  x1ex1 Câu 20. Đáp án A.

Ta có xsinxdxxdcosx xcosxcosxdxxcosxsinx C Câu 21. Đáp án A.

Ta có  

3 3 3

3 3

x x x x x x

xe dx xd e  xe  e dx xe  e C

   .

Câu 22. Đáp án A.

Đặt

2 1 2

x x

du xdx

u x

v e dx dv e dx

    



 



 

 Suy f x dx  x21ex 2 x e dxx

Đặt

2

x x

u x du dx

dv e dx v e dx

   



 

  

Suy        

2 1 x 2 x 1 x 2 x 2. x

f x dx x  e  x e dx x  e  x e  e dx

  

x2 1ex 2 x ex 2.ex C x 12ex C

       

Cách khác: Đối với nguyên hàm phần dạng   x   x   x   x x

f x e dxf x e  f x e  f x e  k e C

 .

x2 1e dxx x2 1ex 2xex 2.ex C x2 2x 1  ex C

         

 .

Câu 23. Đáp án C.

Đặt

2

3 3ln

3

du dx

u x x

dv x dx x

v

 



   

 



 



  

 



Suy      

3 3

2 3.ln 1 3ln 1 3ln 1

3 3

x x x

x x dx x  x dx x  C

  x3.lnx C

  .

Câu 24. Đáp án D.

Đặt t x  2tdt dx

Suy      

2

ln

ln ln ln ln

t

f x dx tdt t dt t t t d t t t dt

t

     

    

4 lnt t 4t C

  

Quan sát đáp án ta thấy D đúng, lnt t2 4t C 4 lnt t 4t C .

Câu 25. Đáp án C.

Đặt

 

2

1 ln

1

1 1 1

1

du dx

u x

x x

dv dt v

x x x





   

  



 

 

    

 



Suy      

1 1

.ln ln ln

x x

F x x dx x x C

x x x

 

      

Câu 26. Đáp án A.

Đặt    

2

3

1 ln

3

1

u x du dx

x

dv x dt

v x x x x



 



 



 

 

 

     

Suy        

3 1 ln 1 1 ln

3

x

F x x x  x x  dx x x  x  x C

Câu 27. Đáp án B.

Đặt t x  2tdt dx Suy F t  2 cost tdt

Đặt  

2

2 sin 2cos

cos sin

u t du dt

F t t t t C

dv tdt v t

 

 

    

 

 

  .

Câu 28. Đáp án B.

Đặt

 

2

3

cos

sin

2.cos

cos cos

u x du dx

d x

x v

dv dx

x

x x



  

 



 



 

 



Suy   2

1 tan

2 cos cos 2cos

x x x

F x dx C

x x x

     

Câu 29. Đáp án C.

Đặt

1 ln

2

du dx

u x x

dv xdx v x x

 



  

 



 



  



 



2 2

ln ln

3 3

H x x x xdx x x x x x C

       6 ln 4

9

x x x

C

