Ôn tập Chương III. Nguyên hàm. Tích phân và ứng dụng

[r]

Nguyên hàm I–KI N TH C C N NHẾ Ứ Ầ Ớ:

1 Bảng nguyên hàm đạo hàm :: d[u(x)] u’(x)dx Hàm

số NH hàm số đơngiản NH hàm số hợp Ghi chú Lũy

thừa

 

dx x C du u C   x  1

1       

x dx x C

1       

u du u C (x) x1

Mũ Lơgarít

 

dxx ln x C du ln u C u

1 (ln x) 

x

 

e dxx ex C e duu eu C (ex) ex

 



x

x a

a dx C

lna   

u

u a

a du C

lna ( )  ln

x x

a a a

Lượng giác

 

cosxdx sinx C cosudusinu C (sinx) cosx

 

sinxdx cosx C sinuducosu C cosx sinx

2  

cos xdx tanx C   

du tanu C

cos u  

1   tanx

cos x

2  

sin xdx cotx C   

du

cotu C

sin u  

1   cotx

sin x

 

cotxdx ln sinx C cotudu ln sinu C  ln sinx  cotx

 

tanxdx ln cosx C tanuduln cosu C ln cosx tanx Căn

thức

2

 

dxx x C du 2 u C u ( )   x x 1    

nxdx nn n nx C  1 1 

nudu nn nun C (nxn1) nn1nx

2 2    

 dx ln x x a C x a

2 2    

 du ln u u a C u a 2        

ln x x a x a

2   

 dx arcsinxa C

a x 2

 



 du arcsinua C

a u 2

 

 

    

 

x asint t

Phân thức hữu tỷ  

dxx x C

1

 

duu u C    12

x x

1

1 ( 1) 



 



 n n

dx

C

x n x

1 ( 1) 



 



 n n

du

C

u n u

1 ( 1)        

xn  n xn

2 2     

x dxa aln x ax a C 2

1     

udua aln u au a C    

  

 

x a ln

x a x a x a

2

1

 



x dxa aarctanax C 2

1

 



udua aarctanax C   2  2

 

2 Định nghĩa: f x dx F x C( )  ( )  F x/( )f x( ) 3 Tính chất: 1) f x dx f x/( )  ( )

2) kf x dx k f x dx( )   ( )

 

3) f x( )g x dx( ) f x dx( ) g x dx( ) II - PHƯƠNG PHÁP GIẢI

1 Phương pháp đưa nguyên hàm hàm số hợp: Tính I f x dx( )

 Biến đổi I g u x d u x[ ( )]  ( )

 Áp dụng tính chất: Nếu g x dx G x C( )  ( )

2 Phương pháp đặt ẩn phụ: Tính I f x dx( )

 Đặt t  u(x) biến đổi I g t dt( )

 Áp dụng tính chất: Nếu g x dx G x C( )  ( ) g t dt G t C( )  ( )

3 Phương pháp nguyên hàm phần P.Pháp: Tính I u x v x dx( ) ( )

 Đặt

( ) ( )

( ) ( )



 

 



 

 

 

 

u u x du u x dx

dv v x dx v v x

 Khi đó: I udv uv  vdu

Chú ý: u x v x dx( ) ( ) u x d v x( ) [ ( )]u x v x( ) ( ) v x d x( ) [u( )] 4 Phương pháp hàm số hữu tỷ

Tính

( 0; 0)

( )

dx

I a

ax b 

 



  

 

TH1: 1

1 ( )

ln

d ax b

I ax b

a ax b a





  

  

 

TH2: ≠1

1

1 ( )

( ) ( )

1

ax b I ax b d ax b

a a

 





  

 

 

   

  

Tính

( )

(

( )

P x

I dx a

ax b 

 

 

 

P(x) đa thức)

Bước 1: Phân tích P x( ) c ax b1( ) c ax b2( ) c ax bn( ) n



 

      

Bước 2: Biến đổi I tích phân dạng ( )

dx I

ax b 

 



 

Tính

1

1 2

( 0; 0)

( )( )

ax b

I dx a a

a x b a x b 





  

 



Dạng I:

Dạng II:

P.Pháp: Tách 1 2

A B

I dx

a x b a x b





 

   

 

 