Đang tải... (xem toàn văn)
Baøi 2: Tính theå tích caùc hình troøn xoay taïo neân do hình phaúng giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng (C): y = x 2 + 1, truïc tung vaø tieáp tuyeán cuûa (C) taïi ñieåm (1; 2) khi quay quanh [r]
(1)CHƯƠNG III NGUN HÀM - TÍCH PHÂN VAØ ỨNG DỤNG
CHUẨN BỊ KIẾN THỨC:
1) Đạo hàm hàm số sơ cấp:
Đạo hàm số sơ cấp bản Đạo hàm hàm số hợp (u = u(x)) (C)' = 0
(x)' = x-1( R, x > 0)
(√x)'= 1
2√x (x > 0) (1
x)'=−
1
x2 (x 0)
(u)' = u-1.u'( R, u > 0)
(√u)'= u '
2√u (u > 0) (1
u)'=− u '
u2 (u 0) (sinx)' = cosx
(cosx)' = -sinx (tanx)' = 1
cos2x (x π
2+kπ , k Z)
(cotx)' = - 1
sin2x (x k, k Z).
(sinu)' = cosu.u' (cosu)' = -sinu.u' (tanu)' = u '
cos2u (u π
2+kπ , k Z)
(cotu)' = - u '
sin2u (u k, k Z). (ex)' = ex
(ax)' = ax.lna
(eu)' = u'.eu (au)' = u'.au (ln|x|)'=1
x (x ≠ 0) (loga|x|)' = 1
xlna (x ≠ 0)
(ln|u|)'=u '
u (u ≠ 0) (loga|u|)' = u '
ulna (u ≠ 0) 2) Vi phân: Cho hàm số y = f(x) xác định (a; b) có đạo hàm x (a; b)
dy = f'(x)dx 3) Một số công thức lượng giác thường sử dụng:
tanx = sincosxx cotx = cossinxx tanx.cotx = 1
sin2a = 2sinacosa cos2a=1+cos 22 a sin2a=1−cos22 a 1
cos2x=1+tan
x 1
sin2x=1+cot
x cosacosb = 1
2 [cos(a + b) + cos(a - b)]
sinasinb = - 12 [cos(a + b) - cos(a - b)] sinacosb = 12 [sin(a + b) + sin(a - b)] §1 NGUYÊN HÀM
I- NGUYÊN HÀM VÀ TÍNH CHẤT Nguyên hàm:
Kí hiệu K khoảng đoạn nửa khoảng R.
Cho hàm số f(x) xác định K Hàm số F(x) gọi nguyên hàm hàm số f(x) K nếu F'(x) = f(x) với x K.
* Chú ý:
1) Nếu F(x) nguyên hàm hàm số f(x) K F(x) + C, C R họ tất nguyên hàm f(x) K Kí hiệu f(x)dx = F(x) + C.
2) Trong kí hiệu f(x)dx "d " gắn với biến tương ứng hàm f Ví dụ: 1sds , cos tdt
,
(2)Tính chất 1: f '(x)dx=f(x)+C Ví dụ: Với x (0; +), 1
xdx=(lnx)'dx = lnx. Tính chất 2: kf(x)dx=kf(x)dx ; (k số khác 0)
Tính chất 3: [f(x)± g(x)]dx=f(x)dx±g(x)dx
Ví dụ: Tìm ngun hàm hàm số f(x) = cosx + 2x khoảng (0; +). Sự tồn nguyên hàm:
Định lí: Mọi hàm số f(x) liên tục K có ngun hàm K. Ví dụ: Hàm số f(x) = x32 có nguyên hàm (0; +) x 3dx
=3
5x
5 + C. Bảng nguyên hàm số hàm số thường gặp:
0 dx=C dx=x+C xαdx=x
α+1
α+1+C(α ≠−1) dxx =ln|x|+C(x ≠0)
exdx=ex+C axdx= a
x
lna+C(0<a ≠1)
cos xdx=sinx+C sin xdx=−cosx+C dxcos2x=tgx+C dx
sin2x=−cot gx+C Ví dụ 1:
a) x3+2x −1
x2 dx b)
2s
+3s¿2ds ¿ ¿
c) tan2tdt
Ví dụ 2: Tìm nguyên hàm F(x) hàm soá y = f(x) = x2 + 2x - 1, biết F(1) = 0.
Bài tập
Dạng Tìm ngun hàm định nghĩa tính chất 1/ Tìm nguyên hàm hàm số.
1 f(x) = x2 – 3x + 1
x f(x) =
2x4 +3
x2 f(x) =
x2−1 ¿2 ¿ ¿ ¿
f(x) = √x+3
√x+√4x f(x) = 1 √x−
2
3
√x f(x) = 2 sin 2x
2 f(x) = tan2x
f(x) = cos2x
9 f(x) = (tanx – cotx)2 10 f(x) = 1
sin2x cos2x 11 f(x) =
cos 2x
sin2x cos2x 12 f(x) = sin3x 13 f(x) = 2sin3xcos2x 14 f(x) = ex(ex – 1) 15 f(x) = ex(2 + e
− x
cos2x ¿ 16 f(x) = 2ax + 3x 2/ Tìm hàm số f(x) biết
1 f’(x) = 2x + f(1) = f’(x) = – x2 f(2) = 7/3
3 f’(x) = 4 √x − x f(4) = f’(x) = x - 1
x2+2 f(1) = 5 f’(x) = 4x3 – 3x2 + f(-1) = 6 f’(x) = ax + b
x2, f '(1)=0, f(1)=4, f(−1)=2 II- PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM
Phương pháp đổi biến số:
Định lí: Nếu f(u)du=F(u)+C u = u(x) hàm số có đạo hàm liên tục f[u(x)]u '(x)dx=F[u(x)]+C
Ví dụ 1: Tìm a) lnxx dx b) sin2x cos xdx c) 3 x
√x2 +1
(3)Hệ quả: Nếu f(x)dx=F(x)+C f(ax+b)dx=1
aF(ax+b)+C
Ví dụ 1: Ta có x2dx =x
3
3 +C neân
2x+1¿3 ¿ ¿
2x+1¿2dx=1
2¿
¿ ¿
+ C
Ví dụ 2: Tìm họ nguyên hàm hàm số sau: a) cos(2x+1)dx b) sin(1−4x)dx c)
3x −1 1dx
d) e− xdx e) √1− xdx f) 2
1 2xdx Ví dụ 3: Tính x+1
x2−5x+6dx Bài tập: Tìm nguyên hàm hàm số sau: 1 √5−2xdx dx
√2x −1
2x2+1¿7xdx ¿ ¿
x
+5¿4x2dx ¿ ¿
5.
√x2
+1 xdx x x2
+5dx 7
3x2
√5+2x3dx
1+√x¿2 ¿ √x¿
dx
¿ ¿
ln
x
x dx 10 x.ex2+1dx
11 sin
4xcos xdx
12
sinx
cos5x dx 13 cotxdx 14 tan
cos2 xdx
x
15 tanxdx
16 e√x
√xdx 17
exdx
√ex−3 18 tan cos
x 2 e
dx x
19 cos
3xsin2xdx
20. x√x −1 dx 21 dx
ex+1 22 x
√x2+1 dx 2 Phương pháp tính nguyên hàm phần:
Định lí: Nếu hai hàm số u = u(x) v = v(x) có đạo hàm liên tục K u(x)v '(x)dx=u(x).v(x)−u '(x)v(x)dx * Chú ý: Ta có v'(x)dx = dv, u'(x)dx = du nên udv=uv−vdu Phương pháp: Tính u(x)v '(x)dx
Đặt udv== dx⇒du⇒=v dx= . Khi ta có u(x)v '(x)dx = uv−vdu .
Ví dụ: Tính
a) xexdx ; b) xcosxdx ; c) ln xdx .
Tìm nguyên hàm hàm số sau:
Lấy vi phân: lấy đạo hàm nhân thêm d biến tương ứng
vi phaân hai veá
(4)1 x sin xdx xcosxdx (x2+5)sin xdx 4 (x2+2x+3)cos xdx 5 xsin2 xdx xcos xdx x.exdx
ln xdx
9 xln xdx 10 ln2xdx 11 ln xdx
√x 12 e
√xdx
13 x
cos2x dx 14 xtg
xdx 15 sin√xdx 16 ln(x2+1)dx 17 ex cos xdx
18 x3ex2
dx 19 xln(1+x2)dx 20 2xxdx 21 xlg xdx 22 2xln(1+x)dx 23 ln(1+x)
x2 dx 24 x
2cos xdx BÀI TẬP RÈN LUYỆN
1 Bài tập bản:
Bài 1: Tìm nguyên haøm sau: a) sin2x
2dx ; b)
1+2x¿3dx ¿ ¿
; c) 1
√3x+1dx ; d) x3 x+2dx .
Baøi 2: Tìm nguyên hàm hàm số sau: a) f(x) = x+√3 x+1
√x ; b) f(x) =
2x−1
ex ; c) f(x) =
1
sin2x cos2x ;
d) f(x) = sin5x.cos3x; e) f(x) = tan2x; f) f(x) = 1
(1+x)(1−2x) . Bài 3: Sử dụng phương pháp đổi biến số, tính:
a) 1− x¿
dx
¿ ¿
(đặt t = - x); b) 1+x
2 ¿
3 2dx x¿ ¿
(đặt t = + x2);
c) cos3xsin xdx (đặt t = cosx); d) dxex+e− x
+2 (đặt t = e x + 1). Bài 4: Tìm:
a) e2x
¿ ¿ ¿
; b) sin2xcos xdx ; c) x+1
x2+2x+2dx . Bài 5: Sử dụng phương pháp tính nguyên hàm phần, tính:
a) (1− x)cos xdx ; b) xsin2 xdx ; c) xln(1+x)dx ; d)
(x2
+2x −1)exdx ;
e) xsin(2x+1)dx ; g) (1+x)e3xdx ; h) xln(1+2x)dx . Bài 6: Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số sau:
a) f(x) = 3x2−1 x+4 e
x
biết F(0) = 1; b) f(x) = sin2x.cos3x + 3tan2x bieát F() = 0.
2 Bài tập nâng cao:
Bài 1: Tìm nguyên hàm hàm số sau:
a) y = (2tanx + cotx)2; b) y = cos2x
2 ; c) y = sinx √2cosx −1 .
(5)a) 2x√x2
+1 dx ; b) 3x2√x3+1dx ; c)
3x2+9¿4 ¿ ¿ x ¿ ¿
; d) 2x+4
x2+4x −5dx ;
e) e
tanx
cos2x dx ; f)
e− x
1+e− xdx ; g)
1
xlnxdx ; h)
2 xex2+4
dx .
Bài 3: Tìm:
a) x2exdx ; b) 3x2cos(2x)dx ; c)
x3ln(2x)dx ;
d) x2cos(3x)dx ; e) √xln xdx ; f) xsinx
3dx
.
§2 TÍCH PHÂN I- KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN:
Diện tích hình thang cong:
Cho hàm số y = f(x) liên tục, không đổi dấu đoạn [a; b] Hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành hai đường thẳng x = a, x = b gọi hình thang cong.
b a
O
y = f(x)
x y
B
A
Diện tích hình thang cong aABb: S = F(b) - F(a), trong đó F(x) nguyên hàm hàm số y = f(x).
Với hình phẳng D giới hạn đường cong kín ta chia nhỏ thành những hình thang cong cách kẻ đường song song với trục tọa độ.
Định nghóa tích phân:
Cho y = f(x) hàm số liên tục đoạn [a; b] Giả sử F(x) nguyên hàm f(x) trên đoạn [a; b] Hiệu số F(b) - F(a) gọi tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định đoạn [a; b]) của hàm số f(x), kí hiệu
a b
f(x)dx Dùng kí hiệu F(x)¿ab để hiệu số F(b) - F(a), ta có:
) ( ) ( ) ( )
(x dx F x F b F a
f ba
b
a
(NewTon - Lebniz) Ví dụ: Tính tích phaân sau:
Cận trên
(6)a)
x2dx
=¿ b)
1
e
dx
x =
* Chú ý: i) Ta quy ước
a a
f(x)dx=0 (a = b),
a b
f(x)dx=−
b a
f(x)dx (a > b).
ii) Tích phân hàm số f từ a đến b không phụ thuộc vào biến số, phụ thuộc vào hàm số cận a, b nên ta kí hiệu
a b
f(x)dx
a b
f(t)dt .
iii) Ý nghĩa hình học tích phân: Nếu hàm số y = f(x) liên tục không âm đoạn [a; b], tích phân
a b
f(x)dx diện tích S hình thang cong giới hạn đồ thị hàm số f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b Vậy S =
a b
f(x)dx . II- TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN:
* Tính chất 1: b a b a dx x f k dx x
kf( ) ( )
(k số)
* Tính chất 2:
b a b a b a dx x g dx x f dx x g x
f( ) ( ) ( ) ( ) . Ví dụ: Tính tích phân sau:
0
(x2−3x)dx =
* Tính chất 3:
b a c a b c dx x f dx x f dx x
f( ) ( ) ( )
(a < c < b) Ví dụ: Tính tích phân sau:
a) I =
−2
|x −1|dx ; b) J =
0 2π
√1−cos 2xdx .
BÀI TẬP: TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG CÁCH SỬ DỤNG TÍNH CHẤT VÀ NGUYÊN HÀM CƠ BẢN:
1.
1
(x x 1)dx 2. 2 1 1 ( ) e
x x dx
x x 2
x dx
4
2
1
x dx
2
3
(2sinx 3cosx x dx) 6
(ex x dx)
(x x x dx)
8.
2
( x1)(x x1)dx 1 (3sinx 2cosx )dx
x 10
(ex x 1)dx
11 e
7x x 5 dx x
12 x 2
5
2
dx x2
III- PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN: Phương pháp đổi biến số:
Định lí: Cho hàm số f(x) liên tục đoạn a;b Giả sử hàm số x = (t) có đạo hàm liên tục trên đoạn ; cho ()a,() = b a(t)b, t;ta có:
b a dt t t f dx x f ( )) '( ) . ( ) ( a) Đổi biến số dạng 1: Tính I =
b
(7)Ví dụ: Tính tích phân
1 1+x2dx b) Đổi biến số dạng 2: Tính I =
a b
f(x)dx cách đặt t = (x) Đặt t = (x) dt = '(x)dx
Đổi cận: x = a t1 = (a) x = b t2 = (b)
Biến đổi f(x)dx = C.f[(x)].'(x)dx (với C số) Khi ta có: I =
a b
f(x)dx=
t1
t2
C.f[ϕ(x)].ϕ'(x)dx=
t1
t2
C.f (t)dt Ví dụ: Tính tích phân sau:
a)
0
π
2
sin2xcos xdx ; b)
−1
x√x2+1 dx
; c)
( )
1
2017 0
x x 1
dx.
BÀI TẬP: Tính tích phân:
1
2
3
3
sin xcos xdx
2 3
sin xcos xdx
sin 1 3 x dx cosx tanxdx cotxdx 6
1 4sinxcosxdx
7 1
x x dx
1
x x dx
1 x dx x 10 1
x x dx
11. 1 1dx
x x
12 1 1x dx 13 sin x e cosxdx 14 sin cosx e xdx 15 2 x
e xdx
16 2 3
sin xcos xdx
17 sin 1 3 x dx cosx
18 1
1 ln e x dx x 19 π π
sinx −cosx √1+sin 2x dx
20.
0
π
2
sin 2x+sinx
√1+3 cosx dx
Phương pháp tính tích phân phần:
Định lí: Nếu u = u(x) v = v(x) hai hàm số có đạo hàm liên tục đoạn a;b :
b a b a b
a u x v x dx
x v x u dx x v x
u( ) '( ) ( ( ) ( )) '( ) ( )
hay
b a b a b a vdu uv udv .
* Chú ý: Tính I =
a b
u(x)v '(x)dx Đặt u= ⇒du= dx
dv= dx⇒v= . , đó: I = (uv)∨ b a−a
b
vdu .
Tích phân các hàm số dễ phát hiện u và dv
vi phân hai vế
(8)Dạng 1
sin ( )
ax
ax f x cosax dx
e Đặt: ( ) '( ) sin sin cos ax ax
u f x du f x dx
ax ax
dv ax dx v cosax dx
e e Dạng 2:
( ) ln( )
f x ax dx
Đặt
ln( ) ( ) ( ) dx du u ax x
dv f x dx
v f x dx
Dạng 3: sin .
eax cosaxax dx
Ví dụ 1: Tính tích phân: a) I =
lnx
x5 dx ; b) J =
π
2
xcos xdx ; c) K =
0
xexdx ; d) L =
π
2
exsin xdx .
Ví du 2: Tính các tích phân sau
a/
1
2 0( 1)
x x e dx x đặt 2 ( 1) x
u x e dx dv x
b/
3
4
2( 1)
x dx x đặt ( 1) u x x dx dv x c/
1 2 1
1
2 2 2 2
0 0
1
(1 ) (1 ) 1 (1 )
dx x x dx x dx
dx I I
x x x x
Tính I1
1 01 dx x
bằng phương pháp đổi biến sô
Tính I2 =
1
2
0(1 )
x dx x
bằng phương pháp từng phần : đặt (1 2) u x x dv dx x Bài tập
1 1
ln
e
x dx
x 1 ln
e x xdx 3 ln( 1)
x x dx
ln e x xdx 5 3 ln e x dx x
6 1
ln e x xdx 7 ln( 1)
x x dx
ln e x xdx 9
(x cosx)sinxdx
10 1
1 ( ) ln
e x xdx x 11 2
ln(x x dx)
12 tan x xdx 13
2 3
x e dxx
(9)15)
2
x cos xdx 16) sin xdx 17)
x sin xdx cos x 18)
xsin x cos xdx 19)
x(2 cos x 1)dx 20) 2 ln(1 x)dx x
21) 1
e
lnx
√x dx 22)
π
2
(x+cos3x)sin xdx 23)
ln(x2− x)dx
BÀI TẬP RÈN LUYỆN
1 Bài tập bản:
Bài 1: Tính tích phân sau:
a)
1− x¿2 ¿ ¿ √¿ −1 2 ¿
; b)
0
x3−1
x2−1dx ; c) 0 ln
e2x+1+1 ex dx ;
d)
−1
2
(x −2)(x+3)dx ; e) 1 2
1
x(x+1)dx ; g)
−1
dx
x2−3x+2 . Bài 2: Tính tích phân sau:
a)
0
π
2
sin(π
4− x)dx ; b) −π
2
π
2
sin 3xcos 5xdx ; c)
−π
2
π
2
sin 2x sin xdx ;
d)
0
π
2
sin2xdx .
Bài 3: Tính tích phân sau:
a)
0
|1− x|dx ; b)
1
√x2
+2x+1 dx ; c)
0
|x2− x −2|dx ; d)
0
|x2−3x+2|dx .
Bài 4: Sử dụng phương pháp đổi biến số, tính:
a)
1
√x+2dx ; b)
0
x3√1− xdx ; c)
ex22 xdx ; d)
0
π
sin 2xcos2xdx ;
e)
1+x¿ ¿ ¿ x2 ¿ ¿
; f)
ex
(1+x)
1+xex dx ; g) 0
√1− x2dx .
Bài 5: Sử dụng phương pháp tích phân phần, tính:
a)
0
π
2
(x+1)sin xdx ; b)
1
e
x2ln xdx ; c)
ln(1+x)dx ; d)
(10)2 Bài tập nâng cao:
Bài 1: Tính tích phân sau:
a) x −2
x+3¿
2dx ¿ −2 ¿
; b)
−4
(|x+3|−|x −4|)dx ; c)
x√31− xdx ;
d)
−1
2x+1 √x2+x+1
dx ; e)
0
π
2
cosx
1+4 sinxdx
; f)
1
x9 x10
+4x5+4dx . Bài 2: Tính tích phân sau:
a)
dx
√4− x2 ; b)
√3
dx
x2+3 ; c) −1
dx
x2+2x+2 ; d)
a
2
1
√a2− x2dx(a>0)
. Bài 3: Tính tích phân sau:
a)
0
π
2
(x2−2x+3)sin xdx ; b)
e
x2ln2xdx ; c)
(x2+1)e2xdx ; d)
xcos xdx . IV MỘT SỐ TÍCH PHÂN ĐẶC BIỆT:
Bài tốn mở đầu: Hàm số f(x) liên tục [-a; a], đó:
− a a
f(x)dx=
a
[f(x)+f(− x)]dx
VÝ dơ: +) Cho f(x) liªn tơc trªn [- 3π
2 ;
3π
2 ] tháa m·n f(x) + f(-x) = √2−2cos 2x ,
TÝnh:
−32π
3π
2
f(x)dx +) TÝnh
−1
x4 +sinx
1+x2 dx
Bài toán 1: Hàm số y = f(x) liên tục lẻ [-a, a], đó:
− a a
f(x)dx = 0.
VÝ dô: TÝnh:
−1
ln(x+√1+x2)dx
−π
2
π
2
cosxln(x+√1+x2)dx
Bài toán 2: Hàm số y = f(x) liên tục chẵn [-a, a], đó:
− a a
f(x)dx = 2
0
a
f(x)dx
VÝ dô: TÝnh
−1
|x|dx
x4− x2+1
2 2 cos 4 sin
x x dx x
Bài toán 3: Cho hàm số y = f(x) liên tục, chẵn [-a, a], đó:
− a a
f(x)
1+bxdx=0
a
f(x)dx (1 b>0, ∀ a)
VÝ dô: TÝnh:
−3
x2+1
1+2xdx
−π
2
π
2
sinxsin3xcos 5x
1+ex dx
Bài toán 4: Nếu y = f(x) liªn tơc trªn [0; π
2 ], th×
0
π
2
f(sinx)=
π
2
(11)VÝ dô: TÝnh
π
2
sin2009x
sin2009x
+cos2009x dx 0
π
2
√sinx
√sinx+√cosxdx
Bài toán 5: Cho f(x) xác định [-1; 1], đó:
0
π
xf(sinx)dx=π
20
π
f(sinx)dx
VÝ dô: TÝnh
0
π
x
1+sinxdx 0
xsinx
2+cosxdx
Bài toán 6:
a b
f(a+b − x)dx=
a b
f(x)dx ⇒
0
b
f(b − x)dx=
b
f(x)dx
VÝ dô: TÝnh
0
π
xsinx
1+cos2xdx
0
π
4
sin 4xln(1+tgx)dx
Bài toán 7: Nếu f(x) liên tục R tuần hoàn với chu kì T th×:
a a+T
f(x)dx=
T
f(x)dx ⇒
0 nT
f(x)dx=n
T
f(x)dx
VÝ dô: TÝnh
0 2008π
√1−cos 2xdx
Các tập áp dụng:
1
−1
√1− x2
1+2x dx 2
−π
4
π
4
x7− x5+x3− x+1
cos4x dx 3
−1
dx
(1+ex)(1+x2) 4
−π
2
π
2
x+cosx
4−sin2xdx
5
−12
1
cos 2xln(1− x
1+x)dx 6.
sinx+nx sin(¿)dx
2π
¿
7
− π2
π2
sin5x
√1+cosxdx 8 1
e
tga
xdx 1+x2+ 1
e
cot ga
dx
x(1+x2)=1 (tga>0)
V TÍCH PHÂN HÀM GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI:
1
−3
|x2
−1|dx 2
0
|x2
−4x+3|dx 3.
0
x|x − m|dx 4.
−π
2
π
2
|sinx|dx
5
− π π
√1−sinxdx 6
π
6
π
3
√tg2x+cotg2x −2 dx 7
π
4 3π
4
|sin 2x|dx 8
0 2π
√1+cosxdx
§2 ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC I- TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG:
Hình phẳng giới hạn giới hạn đường cong trục hồnh:
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi: đồ thị hàm số f(x) liên tục, trục hoành (y = 0) hai đường thẳng x = a, x = b tính theo cơng thức:
S=
a b
|f(x)|dx
Ví dụ: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = x3, trục hoành hai đường thẳng x = -1, x = 2.
Hình phẳng giới hạn hai đường cong:
y
(12)Cho hai hàm số y = f1(x) y = f2(x) liên tục đoạn [a; b] Gọi D hình phẳng giới hạn đồ thị hai hàm số đường thẳng x = a, x = b Khi diện tích hình phẳng D là:
S=
a b
|f1(x)− f2(x)|dx
* Chú ý: Nếu phương trình hồnh độ giao điểm f1(x) = f2(x) có hai nghiệm x1, x2 (a; b) với (x1 < x2)
thì
|f1(x)−f2(x)|dx=¿|
a x1
[f1(x)− f2(x)]dx|
a x1
¿
Khi đó:
S= a b
|f1(x)− f2(x)|dx=| a x1
[f1(x)− f2(x)]dx|+| x1
x2
[f1(x)− f2(x)]dx|+| x2
b
[f1(x)− f2(x)]dx| Ví dụ 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn hai đường y = x2 - 3x + y = x + 1.
Ví dụ 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường: y = x3 - x, y = x - x2, x = -1, x = 2. Ví dụ 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường: y = sinx, y = cosx, x = 0, x = . II- TÍNH THỂ TÍCH:
Thể tích vật theå:
Cắt vật thể (T) hai mặt phẳng (P) (Q) vng góc trục Ox x = a, x = b Một mặt phẳng tùy ý vng góc với Ox x [a; b] cắt (T) theo thiết diện có diện tích S(x) Giả sử S(x) liên tục đoạn [a; b] Khi thể tích vật thể (T) là:
V =
a b
S(x)dx Thể tích khối chóp cụt:
Cho khối chóp cụt tạo khối chóp đỉnh S có diện tích hai đáy B, B' có chiều cao bằng h Khi thể tích khối chóp cụt V = 3h(B+√BB'+B ') .
III- THỂ TÍCH KHỐI TRÒN XOAY:
Hình thang cong giới hạn đồ thị hàm số y = f(x), trục Ox hai đường thẳng x = a, x = b (a < b) quay xung quanh trục Ox tạo thành khối tròn xoay.
Thể tích khối tròn xoay là:
f(x)¿2dx ¿ V=π
a b
¿
Ví dụ 1: Cho hình phẳng giới hạn đường cong y = cosx, trục hoành hai đường thẳng x = 0, x = . Tính thể tích khối trịn xoay thu quay hình xung quanh trục Ox.
Ví dụ 2: Tính thể tích khối trịn xoay hình phẳng giới hạn đường y = -x2 - 2x + 3, y = quay quanh trục Ox.
BÀI TẬP RÈN LUYỆN 1 Bài tập bản:
Bài 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn parabol y = - x2, y = đường thẳng y = -x. Bài 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường:
a) x = -1, x = 3, y = 0, y = x4 + 2x2 + 3; b) y = x2 - 2, y = -3x + 2;
(13)Bài 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường:
a) y = x2, y = x + 2; b) y = |lnx|, y = 1; c) y = (x - 6)2, y = 6x - x2.
Bài 4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường cong y = x2 + 1, tiếp tuyến với đường điểm M(2; 5) trục Oy.
Bài 5: Tính thể tích vật thể trịn xoay hình phẳng giới hạn trục hoành parabol y = x(4 - x) quay quanh trục hồnh.
Bài 6: Tính thể tích khối trịn xoay hình phẳng giới hạn đường sau quay quanh trục Ox: a) y = -x2 + 1, y = 0; b) y = sin x
2 , y = 0, x = 0, x =
π
4 ; c) y = lnx, y = 0, x = e.
Bài 7: Tính thể tích khối trịn xoay hình phẳng giới hạn đường sau quay quanh trục Ox: a) y = - x2, y = 0; b) y = cosx, y = 0, x = 0, x = π
4 ; c) y = tanx, y = 0, x = 0, x =
π
4 .
2 Bài tập nâng cao:
Bài 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường: y = x2, x - y + = 0, y = 0.
Bài 2: Tính thể tích khối trịn xoay quay hình phẳng xác định y = 2x - x2, y = x, quanh trục Ox * ÔÂN TẬP CHƯƠNG III *
1 Bài tập bản:
Bài 1: Tìm nguyên hàm hàm số sau:
a) f(x) = (x - 1)(1 - 2x)(1 - 3x); b) f(x) = sin4xcos22x;
c) f(x) = 1
1− x2 ; d) f(x) = (e
x - 1)3. Bài 2: Tính
a) (2− x)sin xdx ; b)
x+1¿2 ¿ ¿ ¿ ¿
; c) e
3x
+1 ex+1 dx ;
d)
sinx+cosx¿2 ¿ ¿
1
¿ ¿
; e) 1
√1+x+√xdx ; f)
1
(1+x)(2− x)dx . Baøi 3: Tính:
a)
0
x
√1+xdx ; b) 1
64
1+√x
√x dx ; c) 0
2
x2e3xdx ; d)
π
√1+sin 2xdx . Bài 4: Tính:
a)
0
π
2
cos 2xsin2xdx ; b)
−1
|2x−2− x|dx ; c)
(x+1)(x+2)(x+3)
(14)d)
1
x2−2x −3dx ; e)
sinx+cosx¿2dx ¿
π
2 ¿
; f)
x+sinx¿2dx ¿
π
¿
.
2 Bài tập nâng cao:
Bài 1: Xét hình phẳng D giới hạn y = 2 √1− x2 y = 2(1 - x). a) Tính diện tích hình D;
b) Quay hình D xung quanh trục Ox Tính thể tích khối trịn xoay thành.
(15)CHƯƠNG IV SỐ PHỨC oOo §1 SỐ PHỨC 1 Số i:
Phương trình x2 + = có nghiệm số kí hiệu "i" với i2 = -1
2 Định nghĩa số phức:
Mỗi biểu thức dạng a + bi, a, b R, i2
= -1 gọi số phức. Đối với số phức z = a + bi, ta nói alà phần thực, blà phần ảo z.
Tập hợp số phức kí hiệu C (Complex) * Chú ý:
Số thực a = a + 0i Mỗi số thực a số phức R C. Số ảo: bi = + bi
i = + 1i (số i gọi đơn vị ảo)
Số phức + (-3)i viết - 3i, số phức + √3 i cịn viết + i √3 . 3 Số phức nhau:
Hai số phức phần thực phần ảo chúng tương ứng nhau. a + bi = c + di a = c b = d
Ví dụ: Tìm x, y để hai số phức z = (2x+1) + (3y-2)i, z’ = (x – 2) +(4y -3)i nhau. Giải:
4 Biểu diễn hình học số phức:
Điểm M(a; b) hệ tọa độ vuông góc mặt phẳng gọi điểm biểu diễn số phức z = a + bi. Ví dụ 1: Biểu diễn hình học số phức: + 2i, 2 - i, -2 - 3i, 3i, 4.
Giaûi:
Ví dụ 2: Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện phần ảo bằng -5 phần thực thuộc khoảng (-4; 4).
Giaûi:
y
x
O 1 2 3 4 5
6
-1 -2 -3 -4
-5
-6 -5 -4
-3 -2 -1
5 4 3 2 1
5 Môđun số phức:
(16)Giả sử số phức z = a + bi biểu diễn điểm M(a; b) mặt phẳng tọa độ Độ dài vectơ ⃗OM được gọi môđun số phức z kí hiệu z .Vậy:
|z|=|a+bi|=|⃗OM| = √a2+b2
M b
a x y
O
6 Số phức liên hợp:
Cho số phức z = a + bi Ta gọi a - bi số phức liên hợp z
và kí hiệu là ¯z = a - bi. Ví dụ:
Số phức liên hợp z = -3 + 2i là:
Số phức liên hợp z = - 3i là:
* Chú ý: Trên mặt phẳng tọa độ, điểm biểu diễn z và ¯z đối xứng qua trục Ox, ¯¯z=z ,|¯z|=|z|
z = a - bi z = a + bi
-b M' M b
a x y
O
Ghi chuù:
BÀI TẬP RÈN LUYỆN 1 Bài tập bản:
Bài 1: Tìm phần thực phần ảo số phức z, biết:
a) z = - i; b) z = √2 - i; c) z = 2√2 ; d) z =
-7i.
Bài 2: Tìm số thực x y, biết:
a) (3x - 2) + (2y + 1)i = (x + 1) - (y - 5)i; b) (1 - 2x) - i√3 = √5 + (1 - 3y)i;
c) (2x + y) + (2y - x)i = (x - 2y + 3) + (y + 2x + 1)i. Bài 3: Tính |z| với:
a) z = -2 + i √3 ; b) z = √2 - 3i; c) z = -5; d) z = i √3 .
Baøi 4: Tìm ¯z , biết:
a) z = - i√2 ; b) z = - √2 + i√3 ; c) z = 5; d) z = 7i.
Bài 5: Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện:
(17)c) Phần thực z thuộc khoảng (-1; 2); d) Phần ảo z thuộc đoạn [1; 3]; e) Phần thực phần ảo z thuộc đoạn [-2; 2].
2 Bài tập nâng cao:
Bài 1: Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện:
a) |z| = 1; b) |z| 1; c) < |z| 2; d) |z| = phần ảo z
bằng 1.
Bài 2: Trên mặt phẳng Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn đẳng thức z 3. Bài 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa z i 2.
CAÂU HỎI CHUẨN BỊ BÀI
(18)§2 CỘNG, TRỪ VAØ NHÂN SỐ PHỨC 1 Phép cộng phép trừ hai số phức:
Phép cộng phép trừ số phức thực theo quy tắc cộng, trừ đa thức. (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i;
(a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i. Ví dụ: Cho số phức z1 = + 5i; z2 = -2i Tính z1 + z2, z1- z2.
Giaûi:
2 Phép nhân hai số phức:
Phép nhân hai số phức thực theo quy tắc nhân đa thức thay i2 = -1 kết nhận
được.
(a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad +bc)i.
* Chú ý: Phép cộng phép nhân số phức có tất tính chất phép cộng phép nhân số thực.
Ví dụ: Cho số phức z = - 2i, z1 = -2 + 3i Thực phép tính:
a) z.z1; b) z2; c) z3 - 3z1.
Giaûi:
Ghi chuù:
BÀI TẬP RÈN LUYỆN 1 Bài tập bản:
Bài 1: Thực phép tính sau:
a) (2 - 3i) + (-4 + i); b) 4i - (-7 + 3i); c) (2 - 3i)(5 + 7i);
d) (3 - 5i) + (2 + 4i); e) (-2 - 3i) + (-1 - 7i); f) (4 + 3i) - (5 - 7i).
Bài 2: Tính + , - với:
a) = 3, = 2i; b) = 5i, = -7i;
c) = 1- 2i, = 6i; d) = 15, = - 2i.
(19)a) (3 - 2i)(2 - 3i); b) (-1 + i)(3 + 7i);
c) 5(4 + 3i); d) (-2 - 5i).4i.
Bài 4: Tính:
a) (2 + 3i)2; b) (2 + 3i)3; c) (1 - 3i)3.
Bài 5: Tính i3, i4, i5 Nêu cách tính in với n số tự nhiên tùy ý. 2 Bài tập nâng cao:
Bài 1: Tính giá trị biểu thức Q = (2 + √5 i)2 + (2 - √5 i)2.
Bài 2: Tìm phần thực phần ảo số phức sau:
a) z = i + (2 – 4i) – (3 – 2i); b) z = i(2 – i)(3 + i); c) z = (5 + 2i) + (3 – i) + (1 + 2i); d) z = (1 + i)2 – (1 – i)2; e) z = 2i12i13; f) z = (2 + i)3 – (3 – i)3
CÂU HỎI CHUẨN BỊ BÀI
(20)§3 PHÉP CHIA SỐ PHỨC 1 Tổng tích hai số phức liên hợp:
Cho số phức z = a + bi z+z = 2a z.z = a2+b2=|z|2 .
Tổng số phức với số phức liên hợp hai lần phần thực số phức đó. Tích số phức với số phức liên hợp bình phương mơđun số phức đó. 2 Phép chia hai số phức:
Cho số phức c + di a + bi Ta có z=a+bi c+di=
ac+bd c2+d2 +
ad−bc
c2+d2 i .
* Chú ý: Để tính ca++dibi , ta nhân tử mẫu với số phức liên hợp mẫu (a + bi). Ví dụ 1: Thực phép chia sau:
a) 21−+3ii ; b) 6+53i i .
Giaûi:
Ví dụ 2: Giải phương trình (1 + 3i)z - (2 + 5i) = (2 + i)z. Giaûi:
Ghi chuù:
BÀI TẬP RÈN LUYỆN 1 Bài tập bản:
Bài 1: Thực phép chia:
a) 32−+2ii ; b) 1+i√2
2+i√3 ; c)
5i
2−3i ; d)
5−2i
i .
Bài 2: Tìm nghịch đảo 1z của số phức z, biết:
a) z = + 2i; b) z = √2 - 3i; c) z = i; d) z = +
i√3 .
Bài 3: Thực phép tính sau:
a) 2i(3 + i)(2 + 4i); b)
2i¿3 ¿
1+i¿2¿ ¿ ¿
(21)c) + 2i + (6 + i)(5 + i); d) - 3i + 53+4i +6i . Baøi 4: Giải phương trình sau:
a) (3 - 2i)z + (4 + 5i) = + 3i; b) 4−z3i+(2−3i)=5−2i . 2 Bài tập nâng cao:
Bài 1: Tìm phần thực phần ảo số phức sau : a) z=3−i −4+2i
i ; b) z = - 2i - (3 - 2i)2; c) z =
7− i
2− i + - 4i; d) z = 71++i3i−−1+5i
3−2i ; e) √
3−i
1+i −√
2−i
i ;
Bài 2: Cho z 2 3i Tìm phần thực, phần ảo modun số phức ¯z+7i
z+5 .
Bài 3: Giải phương trình 12−i+i z=−1+3i
2+i
CAÂU HỎI CHUẨN BỊ BÀI
(22)§4 PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC 1 Căn bậc hai số thực âm:
Số thực a (a < 0) có hai bậc hai i √|a| .
Ví dụ: số -2 có hai bậc hai i √2
2 Phương trình bậc hai với hệ số thực:
Giải phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = (*) (a, b, c R, a 0) Tính: = b2 - 4ac (' = b'2 - ac)
Nếu > (*) có 2 nghiệm thực x1,2 = − b ±√Δ
2a .
Nếu = (*) có 1 nghiệm thực x = − b
2a .
Nếu < (*) có nghiệm phức x1,2 = − b ±i√|Δ|
2a .
* Chú ý: Mọi phương trình bậc n (n 1) có n nghiệm phức (khơng thiết phân biệt). Ví dụ 1: Giải phương trình x2 - x + = tập số phức.
Giaûi:
Ví dụ 2: Giải phương trình z4 + z2 - = tập số phức. Giải:
3 Định lí Viète đối phương trình bậc hai nghiệm phức:
a) Cho z1, z2 hai nghiệm phức phương trình az2 + bz + c = (a, b, c R, a 0) Hãy tính z1 + z2 và z1.z2 theo a, b, c.
b) Cho z = a + bi số phức Hãy tìm phương trình bậc hai với hệ số thực nhận z ¯z làm nghiệm.
c) Cho hai số phức z1, z2 Biết z1 + z2 z1.z2 hai số thực Chứng tỏ z1, z2 hai nghiệm của một phương trình bậc hai với hệ số thực.
Giaûi:
Ghi chuù:
(23)
Bài 1: Tìm bậc hai phức số sau: -7; -8; -12; -20; -121. Bài 2: Giải phương trình sau tập số phức:
a) -3z2 + 2z - = 0; b) 7z2 + 3z + = 0; c) 5z2 - 7z + 11 = 0. Bài 3: Giải phương trình sau tập số phức:
a) x2 + x + = 0; b) 3x2 - x + = 0; c)
3x2√2−2x√3+√2=0 Bài 4: Giải phương trình sau tập số phức:
a) z4 + z2 - = 0; b) z4 + 7z2 + 10 = 0.
Bài 5: Cho phương trình: x2 - 3x + = Gọi z z' nghiệm phương trình cho Hãy tính giá trị của biểu thức sau:
a) z + z'; b) z2z' + zz'2.
2 Bài tập nâng cao:
Bài 1: Giải phương trình sau treân C:
a) x2−√3 x+1=0 ; b) 3√2 x2−2√3.x+√2=0 ; c)
2
3x 2 2 x 3 2 0 .
Bài 2: Giải phương trình sau tập số phức:
a)z3 8 0 ; b)x380; c) z3 – = 0; d)z32z210z0.
CÂU HỎI CHUẨN BỊ BÀI
(24)(25)1 Bài tập bản:
Bài 1: Số phức thỏa mãn điều kiện có điểm biểu diễn phần gạch chéo hình sau đây?
c) b)
a)
x 2 1 0 -1 -2 x
y
-1 0 2 y y
x 1 0
Bài 2: Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện:
a) Phần thực z 1; b) Phần ảo z -2;
c) Phần thực z thuộc [-1; 2], phần ảo thuộc [0; 1]; d) |z| 2. Bài 3: Tìm số thực x, y cho:
a) 3x + yi = 2y + + (2 - x)i; b) 2x + y - = (x + 2y - 5)i.
Bài 4: Thực phép tính sau:
a) (3 + 2i)[(2 - i) + (3 - 2i)]; b) (4 - 3i) + 12+i
+i ;
c) (1 + i)2 - (1 - i)2; d) 3+i
2+i −
4−3i
2−i .
Bài 5: Giải phương trình sau tập số phức:
a) (3 + 4i)z + (1 - 3i) = + 5i; b) (4 + 7i)z - (5 - 2i) = 6iz. Bài 6: Giải phương trình sau tập số phức:
a) 3z2 + 7z + = 0; b) z4 - = 0; c) z4 - = 0.
Bài 7: Tìm hai số phức, biết tổng chúng tích chúng 4. 2 Bài tập nâng cao:
Bài 1: Tìm số thực a, b để z=1+√3i nghiệm phương trình z4 + bz2 + c = 0. Bài 2: Tìm số phức z cho tích z(2 - 3i)(2 + i)(3 - 2i) số thực.
Bài 3: Tìm phần thực phần ảo số phức z = (1 - i)2009. Bài 4: Cho f(z) = z3 - 2z2 - 7z - Tính f(1 - 3i).
Bài 5: Cho f(z) = z3 - 2z2 - 7z - Chứng minh f(1 + i) + f(1 - i) R. Bài 6: Tính z6 biết 3z -
¯z = -4 + 8i. Bài 7: Chứng minh z=−1
2+
√3
2 i nghiệm phương trình z
3 = 1. Bài 8: Tìm nghiệm phức phương trình 9z4 - 24z3 - 2z2 - 24z + = 0.
Bài 9: a) Tìm số thực a, b để có phân tích 2z3 - 9z2 + 14z - = (2z - 1)(z2 + az + b) giải phương trình 2z3 - 9z2 + 14z - = C.
b) Tìm số thực a, b để có phân tích z4 - 4z2 - 16z - 16 = (z2 - 2z - 4)(z2 + az + b) giải phương trình z4 - 4z2 - 16z - 16 = C.
Bài 10: Giải hệ phương trình sau: a) {zz1+z2=4+i
1
+z22=5−2i ; b) {
z1z2=−5−5i z12
+z22=−5+2i ; c) {
2z1−(2−i)z2=4−6i