Ôn tập Chương III. Nguyên hàm. Tích phân và ứng dụng

Baøi 2: Tính theå tích caùc hình troøn xoay taïo neân do hình phaúng giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng (C): y = x 2 + 1, truïc tung vaø tieáp tuyeán cuûa (C) taïi ñieåm (1; 2) khi quay quanh [r]

CHƯƠNG III NGUN HÀM - TÍCH PHÂN VAØ ỨNG DỤNG

 CHUẨN BỊ KIẾN THỨC:

1) Đạo hàm hàm số sơ cấp:

Đạo hàm số sơ cấp bản Đạo hàm hàm số hợp (u = u(x)) (C)' = 0

(x)' = x-1(  R, x > 0)

(√x)'= 1

2√x (x > 0) (1

x)'=−

1

x2 (x  0)

(u)' = u-1.u'(  R, u > 0)

(√u)'= u '

2√u (u > 0) (1

u)'=− u '

u2 (u  0) (sinx)' = cosx

(cosx)' = -sinx (tanx)' = 1

cos2x (x  π

2+kπ , k  Z)

(cotx)' = - 1

sin2x (x  k, k  Z).

(sinu)' = cosu.u' (cosu)' = -sinu.u' (tanu)' = u '

cos2u (u  π

2+kπ , k  Z)

(cotu)' = - u '

sin2u (u  k, k  Z). (ex)' = ex

(ax)' = ax.lna

(eu)' = u'.eu (au)' = u'.au (ln|x|)'=1

x (x ≠ 0) (loga|x|)' = 1

xlna (x ≠ 0)

(ln|u|)'=u '

u (u ≠ 0) (loga|u|)' = u '

ulna (u ≠ 0) 2) Vi phân: Cho hàm số y = f(x) xác định (a; b) có đạo hàm x  (a; b)

dy = f'(x)dx 3) Một số công thức lượng giác thường sử dụng:

 tanx = sincosxx  cotx = cossinxx  tanx.cotx = 1

 sin2a = 2sinacosa  cos2a=1+cos 22 a  sin2a=1−cos22 a  1

cos2x=1+tan

x  1

sin2x=1+cot

x  cosacosb = 1

2 [cos(a + b) + cos(a - b)]

 sinasinb = - 12 [cos(a + b) - cos(a - b)]  sinacosb = 12 [sin(a + b) + sin(a - b)] §1 NGUYÊN HÀM

I- NGUYÊN HÀM VÀ TÍNH CHẤT Nguyên hàm:

Kí hiệu K khoảng đoạn nửa khoảng R.

Cho hàm số f(x) xác định K Hàm số F(x) gọi nguyên hàm hàm số f(x) K nếu F'(x) = f(x) với x  K.

* Chú ý:

1) Nếu F(x) nguyên hàm hàm số f(x) K F(x) + C, C  R họ tất nguyên hàm f(x) K Kí hiệu f(x)dx = F(x) + C.

2) Trong kí hiệu f(x)dx "d " gắn với biến tương ứng hàm f Ví dụ: 1sds , cos tdt

,

Tính chất 1: f '(x)dx=f(x)+C Ví dụ: Với x  (0; +), 1

xdx=(lnx)'dx = lnx. Tính chất 2: kf(x)dx=kf(x)dx ; (k số khác 0)

Tính chất 3: [f(x)± g(x)]dx=f(x)dx±g(x)dx

Ví dụ: Tìm ngun hàm hàm số f(x) = cosx + 2x khoảng (0; +). Sự tồn nguyên hàm:

Định lí: Mọi hàm số f(x) liên tục K có ngun hàm K. Ví dụ: Hàm số f(x) = x32 có nguyên hàm (0; +) x 3dx

=3

5x

5 + C. Bảng nguyên hàm số hàm số thường gặp:

0 dx=C dx=x+C xαdx=x

α+1

α+1+C(α ≠−1) dxx =ln|x|+C(x ≠0)

exdx=ex+C axdx= a

x

lna+C(0<a ≠1)

cos xdx=sinx+C sin xdx=−cosx+C dxcos2x=tgx+C dx

sin2x=−cot gx+C Ví dụ 1:

a)  x3+2x −1

x2 dx b)

2s

+3s¿2ds ¿ ¿

c) tan2tdt

Ví dụ 2: Tìm nguyên hàm F(x) hàm soá y = f(x) = x2 + 2x - 1, biết F(1) = 0.

Bài tập

Dạng Tìm ngun hàm định nghĩa tính chất 1/ Tìm nguyên hàm hàm số.

1 f(x) = x2 – 3x + 1

x f(x) =

2x4 +3

x2 f(x) =

x2−1 ¿2 ¿ ¿ ¿

f(x) = √x+3

√x+√4x f(x) = 1 √x−

2

3

√x f(x) = 2 sin 2x

2 f(x) = tan2x

f(x) = cos2x

9 f(x) = (tanx – cotx)2 10 f(x) = 1

sin2x cos2x 11 f(x) =

cos 2x

sin2x cos2x 12 f(x) = sin3x 13 f(x) = 2sin3xcos2x 14 f(x) = ex(ex – 1) 15 f(x) = ex(2 + e

− x

cos2x ¿ 16 f(x) = 2ax + 3x 2/ Tìm hàm số f(x) biết

1 f’(x) = 2x + f(1) = f’(x) = – x2 f(2) = 7/3

3 f’(x) = 4 √x − x f(4) = f’(x) = x - 1

x2+2 f(1) = 5 f’(x) = 4x3 – 3x2 + f(-1) = 6 f’(x) = ax + b

x2, f '(1)=0, f(1)=4, f(−1)=2 II- PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM

Phương pháp đổi biến số:

Định lí: Nếu f(u)du=F(u)+C u = u(x) hàm số có đạo hàm liên tục f[u(x)]u '(x)dx=F[u(x)]+C

Ví dụ 1: Tìm a) lnxx dx b) sin2x cos xdx c) 3 x

√x2 +1

Hệ quả: Nếu f(x)dx=F(x)+C f(ax+b)dx=1

aF(ax+b)+C

Ví dụ 1: Ta có x2dx =x

3

3 +C neân

2x+1¿3 ¿ ¿

2x+1¿2dx=1

2¿

¿ ¿

+ C

Ví dụ 2: Tìm họ nguyên hàm hàm số sau: a) cos(2x+1)dx b) sin(1−4x)dx c)

3x −1 1dx

d) e− xdx e) √1− xdx f) 2

1 2xdx Ví dụ 3: Tính  x+1

x2−5x+6dx Bài tập: Tìm nguyên hàm hàm số sau: 1 √5−2xdx dx

√2x −1

2x2+1¿7xdx ¿ ¿

x

+5¿4x2dx ¿ ¿

5.

√x2

+1 xdx  x x2

+5dx 7 

3x2

√5+2x3dx

1+√x¿2 ¿ √x¿

dx

¿ ¿

ln

x

x dx 10 x.ex2+1dx

11 sin

4xcos xdx

12 

sinx

cos5x dx 13 cotxdx 14 tan

cos2 xdx

x



15 tanxdx

16  e√x

√xdx 17 

exdx

√ex−3 18 tan cos

x 2 e

dx x



19 cos

3xsin2xdx

20. x√x −1 dx 21 dx

ex+1 22 x

√x2+1 dx 2 Phương pháp tính nguyên hàm phần:

Định lí: Nếu hai hàm số u = u(x) v = v(x) có đạo hàm liên tục K u(x)v '(x)dx=u(x).v(x)−u '(x)v(x)dx * Chú ý: Ta có v'(x)dx = dv, u'(x)dx = du nên udv=uv−vdu Phương pháp: Tính u(x)v '(x)dx

Đặt udv== dx⇒du⇒=v dx= . Khi ta có u(x)v '(x)dx = uv−vdu .

Ví dụ: Tính

a) xexdx ; b) xcosxdx ; c) ln xdx .

Tìm nguyên hàm hàm số sau:

Lấy vi phân: lấy đạo hàm nhân thêm d biến tương ứng

vi phaân hai veá

1 x sin xdx xcosxdx (x2+5)sin xdx 4 (x2+2x+3)cos xdx 5 xsin2 xdx xcos xdx x.exdx

ln xdx

9 xln xdx 10 ln2xdx 11 ln xdx

√x 12 e

√xdx

13  x

cos2x dx 14 xtg

xdx 15 sin√xdx 16 ln(x2+1)dx 17 ex cos xdx

18 x3ex2

dx 19 xln(1+x2)dx 20 2xxdx 21 xlg xdx 22 2xln(1+x)dx 23 ln(1+x)

x2 dx 24 x

2cos xdx BÀI TẬP RÈN LUYỆN

1 Bài tập bản:

Bài 1: Tìm nguyên haøm sau: a) sin2x

2dx ; b)

1+2x¿3dx ¿ ¿

; c)  1

√3x+1dx ; d)  x3 x+2dx .

Baøi 2: Tìm nguyên hàm hàm số sau: a) f(x) = x+√3 x+1

√x ; b) f(x) =

2x−1

ex ; c) f(x) =

1

sin2x cos2x ;

d) f(x) = sin5x.cos3x; e) f(x) = tan2x; f) f(x) = 1

(1+x)(1−2x) . Bài 3: Sử dụng phương pháp đổi biến số, tính:

a) 1− x¿

dx

¿ ¿

(đặt t = - x); b) 1+x

2 ¿

3 2dx x¿ ¿

(đặt t = + x2);

c) cos3xsin xdx (đặt t = cosx); d) dxex+e− x

+2 (đặt t = e x + 1). Bài 4: Tìm:

a) e2x

¿ ¿ ¿

; b) sin2xcos xdx ; c)  x+1

x2+2x+2dx . Bài 5: Sử dụng phương pháp tính nguyên hàm phần, tính:

a) (1− x)cos xdx ; b) xsin2 xdx ; c) xln(1+x)dx ; d)

(x2

+2x −1)exdx ;

e) xsin(2x+1)dx ; g) (1+x)e3xdx ; h) xln(1+2x)dx . Bài 6: Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số sau:

a) f(x) = 3x2−1 x+4 e

x

biết F(0) = 1; b) f(x) = sin2x.cos3x + 3tan2x bieát F() = 0.

2 Bài tập nâng cao:

Bài 1: Tìm nguyên hàm hàm số sau:

a) y = (2tanx + cotx)2; b) y = cos2x

2 ; c) y = sinx √2cosx −1 .

a) 2x√x2

+1 dx ; b) 3x2√x3+1dx ; c)

3x2+9¿4 ¿ ¿ x ¿ ¿

; d)  2x+4

x2+4x −5dx ;

e)  e

tanx

cos2x dx ; f) 

e− x

1+e− xdx ; g) 

1

xlnxdx ; h)

2 xex2+4

dx .

Bài 3: Tìm:

a) x2exdx ; b) 3x2cos(2x)dx ; c)

x3ln(2x)dx ;

d) x2cos(3x)dx ; e) √xln xdx ; f) xsinx

3dx

.

§2 TÍCH PHÂN I- KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN:

Diện tích hình thang cong:

Cho hàm số y = f(x) liên tục, không đổi dấu đoạn [a; b] Hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành hai đường thẳng x = a, x = b gọi hình thang cong.

b a

O

y = f(x)

x y

B

A

Diện tích hình thang cong aABb: S = F(b) - F(a), trong đó F(x) nguyên hàm hàm số y = f(x).

Với hình phẳng D giới hạn đường cong kín ta chia nhỏ thành những hình thang cong cách kẻ đường song song với trục tọa độ.

Định nghóa tích phân:

Cho y = f(x) hàm số liên tục đoạn [a; b] Giả sử F(x) nguyên hàm f(x) trên đoạn [a; b] Hiệu số F(b) - F(a) gọi tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định đoạn [a; b]) của hàm số f(x), kí hiệu 

a b

f(x)dx Dùng kí hiệu F(x)¿ab để hiệu số F(b) - F(a), ta có:

) ( ) ( ) ( )

(x dx F x F b F a

f ba

b

a

  



(NewTon - Lebniz) Ví dụ: Tính tích phaân sau:

Cận trên

a) 

x2dx

=¿ b) 

1

e

dx

x =

* Chú ý: i) Ta quy ước 

a a

f(x)dx=0 (a = b), 

a b

f(x)dx=−

b a

f(x)dx (a > b).

ii) Tích phân hàm số f từ a đến b không phụ thuộc vào biến số, phụ thuộc vào hàm số cận a, b nên ta kí hiệu 

a b

f(x)dx 

a b

f(t)dt .

iii) Ý nghĩa hình học tích phân: Nếu hàm số y = f(x) liên tục không âm đoạn [a; b], tích phân 

a b

f(x)dx diện tích S hình thang cong giới hạn đồ thị hàm số f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b Vậy S = 

a b

f(x)dx . II- TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN:

* Tính chất 1:    b a b a dx x f k dx x

kf( ) ( )

(k số)

* Tính chất 2:     

b a b a b a dx x g dx x f dx x g x

f( ) ( ) ( ) ( ) . Ví dụ: Tính tích phân sau: 

0

(x2−3x)dx =

* Tính chất 3:   

  b a c a b c dx x f dx x f dx x

f( ) ( ) ( )

(a < c < b) Ví dụ: Tính tích phân sau:

a) I = 

−2

|x −1|dx ; b) J = 

0 2π

√1−cos 2xdx .

BÀI TẬP: TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG CÁCH SỬ DỤNG TÍNH CHẤT VÀ NGUYÊN HÀM CƠ BẢN:

1.

1

(x  x 1)dx  2. 2 1 1 ( ) e

x x dx

x x     2

x dx



4

2

1

x dx 

2

3

(2sinx 3cosx x dx)      6

(ex x dx)  

(x x x dx)



8.

2

( x1)(x x1)dx  1 (3sinx 2cosx )dx

x      10

(ex x 1)dx

   11 e

7x x 5 dx x

 



12 x 2

5

2

dx x2  

III- PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN: Phương pháp đổi biến số:

Định lí: Cho hàm số f(x) liên tục đoạn a;b Giả sử hàm số x = (t) có đạo hàm liên tục trên đoạn ; cho ()a,() = b a(t)b, t;ta có: 

 b a dt t t f dx x f    ( )) '( ) . ( ) ( a) Đổi biến số dạng 1: Tính I = 

b

Ví dụ: Tính tích phân 

1 1+x2dx b) Đổi biến số dạng 2: Tính I = 

a b

f(x)dx cách đặt t = (x) Đặt t = (x)  dt = '(x)dx

Đổi cận: x = a  t1 = (a) x = b  t2 = (b)

Biến đổi f(x)dx = C.f[(x)].'(x)dx (với C số) Khi ta có: I = 

a b

f(x)dx=

t1

t2

C.f[ϕ(x)].ϕ'(x)dx=

t1

t2

C.f (t)dt Ví dụ: Tính tích phân sau:

a) 

0

π

2

sin2xcos xdx ; b) 

−1

x√x2+1 dx

; c)

( )

1

2017 0

x x 1



dx.

BÀI TẬP: Tính tích phân:

1

2

3

3

sin xcos xdx

   2 3

sin xcos xdx

  sin 1 3 x dx cosx    tanxdx   cotxdx    6

1 4sinxcosxdx

   7 1

x x  dx

 1

x x  dx

 1 x dx x   10 1

x  x dx

 11. 1 1dx

x x 

 12 1 1x dx  13 sin x e cosxdx    14 sin cosx e xdx    15 2 x

e  xdx

 16 2 3

sin xcos xdx

   17 sin 1 3 x dx cosx   

18 1

1 ln e x dx x   19  π π

sinx −cosx √1+sin 2x dx

20. 

0

π

2

sin 2x+sinx

√1+3 cosx dx

Phương pháp tính tích phân phần:

Định lí: Nếu u = u(x) v = v(x) hai hàm số có đạo hàm liên tục đoạn a;b :

    b a b a b

a u x v x dx

x v x u dx x v x

u( ) '( ) ( ( ) ( )) '( ) ( )

hay 

  b a b a b a vdu uv udv .

* Chú ý: Tính I = 

a b

u(x)v '(x)dx Đặt u= ⇒du= dx

dv= dx⇒v= . , đó: I = (uv)∨ b a−a

b

vdu .

Tích phân các hàm số dễ phát hiện u và dv

vi phân hai vế

Dạng 1

sin ( )

ax

ax f x cosax dx

e              Đặt: ( ) '( ) sin sin cos ax ax

u f x du f x dx

ax ax

dv ax dx v cosax dx

e e                                         Dạng 2:

( ) ln( )

f x ax dx



 Đặt

ln( ) ( ) ( ) dx du u ax x

dv f x dx

v f x dx

              Dạng 3: sin .   

eax cosaxax dx





Ví dụ 1: Tính tích phân: a) I = 

lnx

x5 dx ; b) J = 

π

2

xcos xdx ; c) K = 

0

xexdx ; d) L =



π

2

exsin xdx .

Ví du 2: Tính các tích phân sau

a/

1

2 0( 1)

x x e dx x  đặt 2 ( 1) x

u x e dx dv x       

 b/

3

4

2( 1)

x dx x   đặt ( 1) u x x dx dv x         c/

1 2 1

1

2 2 2 2

0 0

1

(1 ) (1 ) 1 (1 )

dx x x dx x dx

dx I I

x x x x

 

    

   

   

Tính I1

1 01 dx x   

bằng phương pháp đổi biến sô

Tính I2 =

1

2

0(1 )

x dx x





bằng phương pháp từng phần : đặt (1 2) u x x dv dx x         Bài tập

1 1

ln



e

x dx

x 1 ln

e x xdx  3 ln( 1)

x x  dx

 ln e x xdx  5 3 ln e x dx x 

6 1

ln e x xdx  7 ln( 1)

x x  dx

 ln e x xdx  9

(x cosx)sinxdx 





10 1

1 ( ) ln

e x xdx x   11 2

ln(x x dx)

 12 tan x xdx    13  

2 3

 x e dxx

15)

2

x cos xdx   16) sin xdx   17)

x sin xdx cos x    18)

xsin x cos xdx   19)

x(2 cos x 1)dx    20) 2 ln(1 x)dx x  

21) 1

e

lnx

√x dx 22) 

π

2

(x+cos3x)sin xdx 23) 

ln(x2− x)dx

BÀI TẬP RÈN LUYỆN

1 Bài tập bản:

Bài 1: Tính tích phân sau:

a)

1− x¿2 ¿ ¿ √¿  −1 2 ¿

; b) 

0

x3−1

x2−1dx ; c) 0 ln

e2x+1+1 ex dx ;

d) 

−1

2

(x −2)(x+3)dx ; e) 1 2

1

x(x+1)dx ; g) 

−1

dx

x2−3x+2 . Bài 2: Tính tích phân sau:

a) 

0

π

2

sin(π

4− x)dx ; b) −π

2

π

2

sin 3xcos 5xdx ; c) 

−π

2

π

2

sin 2x sin xdx ;

d) 

0

π

2

sin2xdx .

Bài 3: Tính tích phân sau:

a) 

0

|1− x|dx ; b) 

1

√x2

+2x+1 dx ; c) 

0

|x2− x −2|dx ; d) 

0

|x2−3x+2|dx .

Bài 4: Sử dụng phương pháp đổi biến số, tính:

a) 

1

√x+2dx ; b) 

0

x3√1− xdx ; c) 

ex22 xdx ; d) 

0

π

sin 2xcos2xdx ;

e)

1+x¿ ¿ ¿ x2 ¿  ¿

; f) 

ex

(1+x)

1+xex dx ; g) 0

√1− x2dx .

Bài 5: Sử dụng phương pháp tích phân phần, tính:

a) 

0

π

2

(x+1)sin xdx ; b) 

1

e

x2ln xdx ; c)



ln(1+x)dx ; d)



2 Bài tập nâng cao:

Bài 1: Tính tích phân sau:

a) x −2

x+3¿

2dx ¿  −2 ¿

; b) 

−4

(|x+3|−|x −4|)dx ; c) 

x√31− xdx ;

d) 

−1

2x+1 √x2+x+1

dx ; e) 

0

π

2

cosx

1+4 sinxdx

; f) 

1

x9 x10

+4x5+4dx . Bài 2: Tính tích phân sau:

a) 

dx

√4− x2 ; b) 

√3

dx

x2+3 ; c) −1

dx

x2+2x+2 ; d) 

a

2

1

√a2− x2dx(a>0)

. Bài 3: Tính tích phân sau:

a) 

0

π

2

(x2−2x+3)sin xdx ; b) 

e

x2ln2xdx ; c)



(x2+1)e2xdx ; d) 

xcos xdx . IV MỘT SỐ TÍCH PHÂN ĐẶC BIỆT:

Bài tốn mở đầu: Hàm số f(x) liên tục [-a; a], đó: 

− a a

f(x)dx=

a

[f(x)+f(− x)]dx

VÝ dơ: +) Cho f(x) liªn tơc trªn [- 3π

2 ;

3π

2 ] tháa m·n f(x) + f(-x) = √2−2cos 2x ,

TÝnh: 

−32π

3π

2

f(x)dx +) TÝnh 

−1

x4 +sinx

1+x2 dx

Bài toán 1: Hàm số y = f(x) liên tục lẻ [-a, a], đó: 

− a a

f(x)dx = 0.

VÝ dô: TÝnh: 

−1

ln(x+√1+x2)dx 

−π

2

π

2

cosxln(x+√1+x2)dx

Bài toán 2: Hàm số y = f(x) liên tục chẵn [-a, a], đó: 

− a a

f(x)dx = 2 

0

a

f(x)dx

VÝ dô: TÝnh



−1

|x|dx

x4− x2+1

2 2 cos 4 sin   

x x dx x

 

Bài toán 3: Cho hàm số y = f(x) liên tục, chẵn [-a, a], đó: 

− a a

f(x)

1+bxdx=0

a

f(x)dx (1 b>0, ∀ a)

VÝ dô: TÝnh: 

−3

x2+1

1+2xdx 

−π

2

π

2

sinxsin3xcos 5x

1+ex dx

Bài toán 4: Nếu y = f(x) liªn tơc trªn [0; π

2 ], th× 

0

π

2

f(sinx)=

π

2

VÝ dô: TÝnh



π

2

sin2009x

sin2009x

+cos2009x dx 0

π

2

√sinx

√sinx+√cosxdx

Bài toán 5: Cho f(x) xác định [-1; 1], đó: 

0

π

xf(sinx)dx=π

20

π

f(sinx)dx

VÝ dô: TÝnh 

0

π

x

1+sinxdx 0

xsinx

2+cosxdx

Bài toán 6: 

a b

f(a+b − x)dx=

a b

f(x)dx ⇒ 

0

b

f(b − x)dx=

b

f(x)dx

VÝ dô: TÝnh 

0

π

xsinx

1+cos2xdx 

0

π

4

sin 4xln(1+tgx)dx

Bài toán 7: Nếu f(x) liên tục R tuần hoàn với chu kì T th×:



a a+T

f(x)dx=

T

f(x)dx ⇒ 

0 nT

f(x)dx=n

T

f(x)dx

VÝ dô: TÝnh 

0 2008π

√1−cos 2xdx

Các tập áp dụng:

1

−1

√1− x2

1+2x dx 2 

−π

4

π

4

x7− x5+x3− x+1

cos4x dx 3 

−1

dx

(1+ex)(1+x2) 4 

−π

2

π

2

x+cosx

4−sin2xdx

5 

−12

1

cos 2xln(1− x

1+x)dx 6.

sinx+nx sin(¿)dx

 2π

¿

7 

− π2

π2

sin5x

√1+cosxdx 8 1

e

tga

xdx 1+x2+ 1

e

cot ga

dx

x(1+x2)=1 (tga>0)

V TÍCH PHÂN HÀM GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI:

1 

−3

|x2

−1|dx 2 

0

|x2

−4x+3|dx 3. 

0

x|x − m|dx 4.



−π

2

π

2

|sinx|dx

5 

− π π

√1−sinxdx 6 

π

6

π

3

√tg2x+cotg2x −2 dx 7 

π

4 3π

4

|sin 2x|dx 8 

0 2π

√1+cosxdx

§2 ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC I- TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG:

Hình phẳng giới hạn giới hạn đường cong trục hồnh:

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi: đồ thị hàm số f(x) liên tục, trục hoành (y = 0) hai đường thẳng x = a, x = b tính theo cơng thức:

S=

a b

|f(x)|dx

Ví dụ: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = x3, trục hoành hai đường thẳng x = -1, x = 2.

Hình phẳng giới hạn hai đường cong:

y

Cho hai hàm số y = f1(x) y = f2(x) liên tục đoạn [a; b] Gọi D hình phẳng giới hạn đồ thị hai hàm số đường thẳng x = a, x = b Khi diện tích hình phẳng D là:

S=

a b

|f1(x)− f2(x)|dx

* Chú ý: Nếu phương trình hồnh độ giao điểm f1(x) = f2(x) có hai nghiệm x1, x2  (a; b) với (x1 < x2)

thì

|f1(x)−f2(x)|dx=¿|

a x1

[f1(x)− f2(x)]dx| 

a x1

¿

Khi đó:

S= a b

|f1(x)− f2(x)|dx=| a x1

[f1(x)− f2(x)]dx|+| x1

x2

[f1(x)− f2(x)]dx|+| x2

b

[f1(x)− f2(x)]dx| Ví dụ 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn hai đường y = x2 - 3x + y = x + 1.

Ví dụ 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường: y = x3 - x, y = x - x2, x = -1, x = 2. Ví dụ 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường: y = sinx, y = cosx, x = 0, x = . II- TÍNH THỂ TÍCH:

Thể tích vật theå:

Cắt vật thể (T) hai mặt phẳng (P) (Q) vng góc trục Ox x = a, x = b Một mặt phẳng tùy ý vng góc với Ox x  [a; b] cắt (T) theo thiết diện có diện tích S(x) Giả sử S(x) liên tục đoạn [a; b] Khi thể tích vật thể (T) là:

V = 

a b

S(x)dx Thể tích khối chóp cụt:

Cho khối chóp cụt tạo khối chóp đỉnh S có diện tích hai đáy B, B' có chiều cao bằng h Khi thể tích khối chóp cụt V = 3h(B+√BB'+B ') .

III- THỂ TÍCH KHỐI TRÒN XOAY:

Hình thang cong giới hạn đồ thị hàm số y = f(x), trục Ox hai đường thẳng x = a, x = b (a < b) quay xung quanh trục Ox tạo thành khối tròn xoay.

Thể tích khối tròn xoay là:

f(x)¿2dx ¿ V=π

a b

¿

Ví dụ 1: Cho hình phẳng giới hạn đường cong y = cosx, trục hoành hai đường thẳng x = 0, x = . Tính thể tích khối trịn xoay thu quay hình xung quanh trục Ox.

Ví dụ 2: Tính thể tích khối trịn xoay hình phẳng giới hạn đường y = -x2 - 2x + 3, y = quay quanh trục Ox.

BÀI TẬP RÈN LUYỆN 1 Bài tập bản:

Bài 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn parabol y = - x2, y = đường thẳng y = -x. Bài 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường:

a) x = -1, x = 3, y = 0, y = x4 + 2x2 + 3; b) y = x2 - 2, y = -3x + 2;

Bài 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường:

a) y = x2, y = x + 2; b) y = |lnx|, y = 1; c) y = (x - 6)2, y = 6x - x2.

Bài 4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường cong y = x2 + 1, tiếp tuyến với đường điểm M(2; 5) trục Oy.

Bài 5: Tính thể tích vật thể trịn xoay hình phẳng giới hạn trục hoành parabol y = x(4 - x) quay quanh trục hồnh.

Bài 6: Tính thể tích khối trịn xoay hình phẳng giới hạn đường sau quay quanh trục Ox: a) y = -x2 + 1, y = 0; b) y = sin x

2 , y = 0, x = 0, x =

π

4 ; c) y = lnx, y = 0, x = e.

Bài 7: Tính thể tích khối trịn xoay hình phẳng giới hạn đường sau quay quanh trục Ox: a) y = - x2, y = 0; b) y = cosx, y = 0, x = 0, x = π

4 ; c) y = tanx, y = 0, x = 0, x =

π

4 .

2 Bài tập nâng cao:

Bài 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường: y = x2, x - y + = 0, y = 0.

Bài 2: Tính thể tích khối trịn xoay quay hình phẳng xác định y = 2x - x2, y = x, quanh trục Ox * ÔÂN TẬP CHƯƠNG III *

1 Bài tập bản:

Bài 1: Tìm nguyên hàm hàm số sau:

a) f(x) = (x - 1)(1 - 2x)(1 - 3x); b) f(x) = sin4xcos22x;

c) f(x) = 1

1− x2 ; d) f(x) = (e

x - 1)3. Bài 2: Tính

a) (2− x)sin xdx ; b)

x+1¿2 ¿ ¿ ¿ ¿

; c) e

3x

+1 ex+1 dx ;

d)

sinx+cosx¿2 ¿ ¿

1

¿ ¿

; e)  1

√1+x+√xdx ; f) 

1

(1+x)(2− x)dx . Baøi 3: Tính:

a) 

0

x

√1+xdx ; b) 1

64

1+√x

√x dx ; c) 0

2

x2e3xdx ; d)



π

√1+sin 2xdx . Bài 4: Tính:

a) 

0

π

2

cos 2xsin2xdx ; b) 

−1

|2x−2− x|dx ; c)



(x+1)(x+2)(x+3)

d) 

1

x2−2x −3dx ; e)

sinx+cosx¿2dx ¿



π

2 ¿

; f)

x+sinx¿2dx ¿ 

π

¿

.

2 Bài tập nâng cao:

Bài 1: Xét hình phẳng D giới hạn y = 2 √1− x2 y = 2(1 - x). a) Tính diện tích hình D;

b) Quay hình D xung quanh trục Ox Tính thể tích khối trịn xoay thành.

CHƯƠNG IV SỐ PHỨC oOo §1 SỐ PHỨC 1 Số i:

Phương trình x2 + = có nghiệm số kí hiệu "i" với i2 = -1

2 Định nghĩa số phức:

 Mỗi biểu thức dạng a + bi, a, b  R, i2

= -1 gọi số phức.  Đối với số phức z = a + bi, ta nói alà phần thực, blà phần ảo z.

 Tập hợp số phức kí hiệu C (Complex) * Chú ý:

 Số thực a = a + 0i Mỗi số thực a số phức R  C.  Số ảo: bi = + bi

 i = + 1i (số i gọi đơn vị ảo)

 Số phức + (-3)i viết - 3i, số phức + √3 i cịn viết + i √3 . 3 Số phức nhau:

Hai số phức phần thực phần ảo chúng tương ứng nhau. a + bi = c + di  a = c b = d

Ví dụ: Tìm x, y để hai số phức z = (2x+1) + (3y-2)i, z’ = (x – 2) +(4y -3)i nhau. Giải:

4 Biểu diễn hình học số phức:

Điểm M(a; b) hệ tọa độ vuông góc mặt phẳng gọi điểm biểu diễn số phức z = a + bi. Ví dụ 1: Biểu diễn hình học số phức: + 2i, 2 - i, -2 - 3i, 3i, 4.

Giaûi:

Ví dụ 2: Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện phần ảo bằng -5 phần thực thuộc khoảng (-4; 4).

Giaûi:

y

x

O 1 2 3 4 5

6

-1 -2 -3 -4

-5

-6 -5 -4

-3 -2 -1

5 4 3 2 1

5 Môđun số phức:

Giả sử số phức z = a + bi biểu diễn điểm M(a; b) mặt phẳng tọa độ Độ dài vectơ ⃗OM được gọi môđun số phức z kí hiệu z .Vậy:

|z|=|a+bi|=|⃗OM| = √a2+b2

M b

a x y

O

6 Số phức liên hợp:

Cho số phức z = a + bi Ta gọi a - bi số phức liên hợp z

và kí hiệu là ¯z = a - bi. Ví dụ:

Số phức liên hợp z = -3 + 2i là:

Số phức liên hợp z = - 3i là:

* Chú ý: Trên mặt phẳng tọa độ, điểm biểu diễn z và ¯z đối xứng qua trục Ox, ¯¯z=z ,|¯z|=|z|

z = a - bi z = a + bi

-b M' M b

a x y

O



Ghi chuù:

BÀI TẬP RÈN LUYỆN 1 Bài tập bản:

Bài 1: Tìm phần thực phần ảo số phức z, biết:

a) z = - i; b) z = √2 - i; c) z = 2√2 ; d) z =

-7i.

Bài 2: Tìm số thực x y, biết:

a) (3x - 2) + (2y + 1)i = (x + 1) - (y - 5)i; b) (1 - 2x) - i√3 = √5 + (1 - 3y)i;

c) (2x + y) + (2y - x)i = (x - 2y + 3) + (y + 2x + 1)i. Bài 3: Tính |z| với:

a) z = -2 + i √3 ; b) z = √2 - 3i; c) z = -5; d) z = i √3 .

Baøi 4: Tìm ¯z , biết:

a) z = - i√2 ; b) z = - √2 + i√3 ; c) z = 5; d) z = 7i.

Bài 5: Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện:

c) Phần thực z thuộc khoảng (-1; 2); d) Phần ảo z thuộc đoạn [1; 3]; e) Phần thực phần ảo z thuộc đoạn [-2; 2].

2 Bài tập nâng cao:

Bài 1: Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện:

a) |z| = 1; b) |z|  1; c) < |z|  2; d) |z| = phần ảo z

bằng 1.

Bài 2: Trên mặt phẳng Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn đẳng thức z 3. Bài 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa z i 2.

CAÂU HỎI CHUẨN BỊ BÀI

§2 CỘNG, TRỪ VAØ NHÂN SỐ PHỨC 1 Phép cộng phép trừ hai số phức:

Phép cộng phép trừ số phức thực theo quy tắc cộng, trừ đa thức. (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i;

(a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i. Ví dụ: Cho số phức z1 = + 5i; z2 = -2i Tính z1 + z2, z1- z2.

Giaûi:

2 Phép nhân hai số phức:

Phép nhân hai số phức thực theo quy tắc nhân đa thức thay i2 = -1 kết nhận

được.

(a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad +bc)i.

* Chú ý: Phép cộng phép nhân số phức có tất tính chất phép cộng phép nhân số thực.

Ví dụ: Cho số phức z = - 2i, z1 = -2 + 3i Thực phép tính:

a) z.z1; b) z2; c) z3 - 3z1.

Giaûi:



Ghi chuù:

BÀI TẬP RÈN LUYỆN 1 Bài tập bản:

Bài 1: Thực phép tính sau:

a) (2 - 3i) + (-4 + i); b) 4i - (-7 + 3i); c) (2 - 3i)(5 + 7i);

d) (3 - 5i) + (2 + 4i); e) (-2 - 3i) + (-1 - 7i); f) (4 + 3i) - (5 - 7i).

Bài 2: Tính  + ,  -  với:

a)  = 3,  = 2i; b)  = 5i,  = -7i;

c)  = 1- 2i,  = 6i; d)  = 15,  = - 2i.

a) (3 - 2i)(2 - 3i); b) (-1 + i)(3 + 7i);

c) 5(4 + 3i); d) (-2 - 5i).4i.

Bài 4: Tính:

a) (2 + 3i)2; b) (2 + 3i)3; c) (1 - 3i)3.

Bài 5: Tính i3, i4, i5 Nêu cách tính in với n số tự nhiên tùy ý. 2 Bài tập nâng cao:

Bài 1: Tính giá trị biểu thức Q = (2 + √5 i)2 + (2 - √5 i)2.

Bài 2: Tìm phần thực phần ảo số phức sau:

a) z = i + (2 – 4i) – (3 – 2i); b) z = i(2 – i)(3 + i); c) z = (5 + 2i) + (3 – i) + (1 + 2i); d) z = (1 + i)2 – (1 – i)2; e) z = 2i12i13; f) z = (2 + i)3 – (3 – i)3

CÂU HỎI CHUẨN BỊ BÀI

§3 PHÉP CHIA SỐ PHỨC 1 Tổng tích hai số phức liên hợp:

Cho số phức z = a + bi z+z = 2a z.z = a2+b2=|z|2 .

 Tổng số phức với số phức liên hợp hai lần phần thực số phức đó.  Tích số phức với số phức liên hợp bình phương mơđun số phức đó. 2 Phép chia hai số phức:

Cho số phức c + di a + bi Ta có z=a+bi c+di=

ac+bd c2+d2 +

ad−bc

c2+d2 i .

* Chú ý: Để tính ca++dibi , ta nhân tử mẫu với số phức liên hợp mẫu (a + bi). Ví dụ 1: Thực phép chia sau:

a) 21−+3ii ; b) 6+53i i .

Giaûi:

Ví dụ 2: Giải phương trình (1 + 3i)z - (2 + 5i) = (2 + i)z. Giaûi:



Ghi chuù:

BÀI TẬP RÈN LUYỆN 1 Bài tập bản:

Bài 1: Thực phép chia:

a) 32−+2ii ; b) 1+i√2

2+i√3 ; c)

5i

2−3i ; d)

5−2i

i .

Bài 2: Tìm nghịch đảo 1z của số phức z, biết:

a) z = + 2i; b) z = √2 - 3i; c) z = i; d) z = +

i√3 .

Bài 3: Thực phép tính sau:

a) 2i(3 + i)(2 + 4i); b)

2i¿3 ¿

1+i¿2¿ ¿ ¿

c) + 2i + (6 + i)(5 + i); d) - 3i + 53+4i +6i . Baøi 4: Giải phương trình sau:

a) (3 - 2i)z + (4 + 5i) = + 3i; b) 4−z3i+(2−3i)=5−2i . 2 Bài tập nâng cao:

Bài 1: Tìm phần thực phần ảo số phức sau : a) z=3−i −4+2i

i ; b) z = - 2i - (3 - 2i)2; c) z =

7− i

2− i + - 4i; d) z = 71++i3i−−1+5i

3−2i ; e) √

3−i

1+i −√

2−i

i ;

Bài 2: Cho z 2 3i Tìm phần thực, phần ảo modun số phức ¯z+7i

z+5 .

Bài 3: Giải phương trình 12−i+i z=−1+3i

2+i

CAÂU HỎI CHUẨN BỊ BÀI

§4 PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC 1 Căn bậc hai số thực âm:

Số thực a (a < 0) có hai bậc hai  i √|a| .

Ví dụ: số -2 có hai bậc hai  i √2

2 Phương trình bậc hai với hệ số thực:

Giải phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = (*) (a, b, c  R, a  0) Tính:  = b2 - 4ac (' = b'2 - ac)

Nếu  > (*) có 2 nghiệm thực x1,2 = − b ±√Δ

2a .

Nếu  = (*) có 1 nghiệm thực x = − b

2a .

Nếu  < (*) có nghiệm phức x1,2 = − b ±i√|Δ|

2a .

* Chú ý: Mọi phương trình bậc n (n  1) có n nghiệm phức (khơng thiết phân biệt). Ví dụ 1: Giải phương trình x2 - x + = tập số phức.

Giaûi:

Ví dụ 2: Giải phương trình z4 + z2 - = tập số phức. Giải:

3 Định lí Viète đối phương trình bậc hai nghiệm phức:

a) Cho z1, z2 hai nghiệm phức phương trình az2 + bz + c = (a, b, c  R, a  0) Hãy tính z1 + z2 và z1.z2 theo a, b, c.

b) Cho z = a + bi số phức Hãy tìm phương trình bậc hai với hệ số thực nhận z ¯z làm nghiệm.

c) Cho hai số phức z1, z2 Biết z1 + z2 z1.z2 hai số thực Chứng tỏ z1, z2 hai nghiệm của một phương trình bậc hai với hệ số thực.

Giaûi:



Ghi chuù:

Bài 1: Tìm bậc hai phức số sau: -7; -8; -12; -20; -121. Bài 2: Giải phương trình sau tập số phức:

a) -3z2 + 2z - = 0; b) 7z2 + 3z + = 0; c) 5z2 - 7z + 11 = 0. Bài 3: Giải phương trình sau tập số phức:

a) x2 + x + = 0; b) 3x2 - x + = 0; c)

3x2√2−2x√3+√2=0 Bài 4: Giải phương trình sau tập số phức:

a) z4 + z2 - = 0; b) z4 + 7z2 + 10 = 0.

Bài 5: Cho phương trình: x2 - 3x + = Gọi z z' nghiệm phương trình cho Hãy tính giá trị của biểu thức sau:

a) z + z'; b) z2z' + zz'2.

2 Bài tập nâng cao:

Bài 1: Giải phương trình sau treân C:

a) x2−√3 x+1=0 ; b) 3√2 x2−2√3.x+√2=0 ; c)

2

3x 2 2 x 3 2 0 .

Bài 2: Giải phương trình sau tập số phức:

a)z3 8 0 ; b)x380; c) z3 – = 0; d)z32z210z0.

CÂU HỎI CHUẨN BỊ BÀI

1 Bài tập bản:

Bài 1: Số phức thỏa mãn điều kiện có điểm biểu diễn phần gạch chéo hình sau đây?

c) b)

a)

x 2 1 0 -1 -2 x

y

-1 0 2 y y

x 1 0

Bài 2: Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện:

a) Phần thực z 1; b) Phần ảo z -2;

c) Phần thực z thuộc [-1; 2], phần ảo thuộc [0; 1]; d) |z|  2. Bài 3: Tìm số thực x, y cho:

a) 3x + yi = 2y + + (2 - x)i; b) 2x + y - = (x + 2y - 5)i.

Bài 4: Thực phép tính sau:

a) (3 + 2i)[(2 - i) + (3 - 2i)]; b) (4 - 3i) + 12+i

+i ;

c) (1 + i)2 - (1 - i)2; d) 3+i

2+i −

4−3i

2−i .

Bài 5: Giải phương trình sau tập số phức:

a) (3 + 4i)z + (1 - 3i) = + 5i; b) (4 + 7i)z - (5 - 2i) = 6iz. Bài 6: Giải phương trình sau tập số phức:

a) 3z2 + 7z + = 0; b) z4 - = 0; c) z4 - = 0.

Bài 7: Tìm hai số phức, biết tổng chúng tích chúng 4. 2 Bài tập nâng cao:

Bài 1: Tìm số thực a, b để z=1+√3i nghiệm phương trình z4 + bz2 + c = 0. Bài 2: Tìm số phức z cho tích z(2 - 3i)(2 + i)(3 - 2i) số thực.

Bài 3: Tìm phần thực phần ảo số phức z = (1 - i)2009. Bài 4: Cho f(z) = z3 - 2z2 - 7z - Tính f(1 - 3i).

Bài 5: Cho f(z) = z3 - 2z2 - 7z - Chứng minh f(1 + i) + f(1 - i)  R. Bài 6: Tính z6 biết 3z -

¯z = -4 + 8i. Bài 7: Chứng minh z=−1

2+

√3

2 i nghiệm phương trình z

3 = 1. Bài 8: Tìm nghiệm phức phương trình 9z4 - 24z3 - 2z2 - 24z + = 0.

Bài 9: a) Tìm số thực a, b để có phân tích 2z3 - 9z2 + 14z - = (2z - 1)(z2 + az + b) giải phương trình 2z3 - 9z2 + 14z - = C.

b) Tìm số thực a, b để có phân tích z4 - 4z2 - 16z - 16 = (z2 - 2z - 4)(z2 + az + b) giải phương trình z4 - 4z2 - 16z - 16 = C.

Bài 10: Giải hệ phương trình sau: a) {zz1+z2=4+i

1

+z22=5−2i ; b) {

z1z2=−5−5i z12

+z22=−5+2i ; c) {

2z1−(2−i)z2=4−6i