g) Một tứ giác là hình thoi khi và chỉ khi nó có hai đường chéo vuông góc với nhau. h) Một tứ giác nội tiếp được đường tròn khi và chỉ khi nó có hai góc vuông.. c) Tứ giác T có hai cạnh [r]
(1)1 Mệnh đề
Mệnh đề câu khẳng định câu khẳng định sai Một mệnh đề vừa đúng, vừa sai
2 Mệnh đề phủ định Cho mệnh đề P
Mệnh đề "Không phải P" đgl mệnh đề phủ định P kí hiệu P Nếu P P sai, P sai P
3 Mệnh đề kéo theo
Cho hai mệnh đề P Q
Mệnh đề "Nếu P Q" đgl mệnh đề kéo theo kí hiệu P Q Mệnh đề P Q sai P Q sai
Chú ý: Các định lí tốn học thường có dạng P Q
Khi đó: – P giả thiết, Q kết luận; – P điều kiện đủ để có Q;
– Q điều kiện cần để có P. 4 Mệnh đề đảo
Cho mệnh đề kéo theo P Q Mệnh đề Q P đgl mệnh đề đảo mệnh đề P Q 5 Mệnh đề tương đương
Cho hai mệnh đề P Q
Mệnh đề "P Q" đgl mệnh đề tương đương kí hiệu P Q Mệnh đề P Q hai mệnh để P Q Q P Chú ý: Nếu mệnh đề P Q định lí ta nói P điều kiện cần đủ để có Q. 6 Mệnh đề chứa biến
Mệnh đề chứa biến câu khẳng định chứa biến nhận giá trị tập X mà với giá trị biến thuộc X ta mệnh đề
7 Kí hiệu "x X, P(x)"
"x X, P(x)"
Mệnh đề phủ định mệnh đề "x X, P(x)" "x X, P(x)" Mệnh đề phủ định mệnh đề "x X, P(x)" "x X, P(x)" 8 Phép chứng minh phản chứng
Giả sử ta cần chứng minh định lí: A B
Cách 1: Ta giả thiết A Dùng suy luận kiến thức toán học biết chứng minh B
Cách 2: (Chứng minh phản chứng) Ta giả thiết B sai, từ chứng minh A sai Do A vừa vừa sai nên kết B phải
9 Bổ sung
Cho hai mệnh đề P Q
Mệnh đề "P Q" đgl giao hai mệnh đề P Q kí hiệu P Q Mệnh đề "P Q" đgl hợp hai mệnh đề P Q kí hiệu P Q
CHƯƠNG I
(2) Phủ định giao, hợp hai mệnh đề:P Q P Q , P Q P Q
Baøi 1.Trong câu đây, câu mệnh đề, câu mệnh đề chứa biến: a) Số 11 số chẵn b) Bạn có chăm học khơng ? c) Huế thành phố Việt Nam d) 2x + số nguyên dương e) 2 0 . f) + x = 3.
g) Hãy trả lời câu hỏi này! h) Paris thủ đô nước Ý i) Phương trình x2 x 1 0 có nghiệm. k) 13 số nguyên tố.
Baøi 2.Trong mệnh đề sau, mệnh đề ? Giải thích ?
a) Nếu a chia hết cho a chia hết cho b) Nếu a b a2 b2.
c) Nếu a chia hết cho a chia hết cho d) Số lớn nhỏ 4.
e) hai số nguyên tố f) 81 số phương g) > < h) Số 15 chia hết cho cho Baøi 3.Trong mệnh đề sau, mệnh đề ? Giải thích ?
a) Hai tam giác chúng có diện tích
b) Hai tam giác chúng đồng dạng có cạnh c) Một tam giác tam giác chúng có hai đường trung tuyến có góc 600
d) Một tam giác tam giác vng có góc tổng hai góc cịn lại
e) Đường trịn có tâm đối xứng trục đối xứng f) Hình chữ nhật có hai trục đối xứng
g) Một tứ giác hình thoi có hai đường chéo vng góc với h) Một tứ giác nội tiếp đường tròn có hai góc vng
Baøi 4.Trong mệnh đề sau, mệnh đề ? Giải thích ? Phát biểu mệnh đề đó thành lời:
a) x R x, 0 b) x R x x, c)
x Q,4x2
.
d) n N n, n e) x R x, 2 x 1 f) x R x, 9 x3 g) x R x, 3 x2 9 h) x R x, 2 5 x i) x R x,5 3x21 k) x N x, 22x5 hợp số l) n N n, 21 không chia hết cho m) n N n n*, ( 1) số lẻ n) n N n n*, ( 1)(n2) chia hết cho Baøi 5.Điền vào chỗ trống từ nối "và" hay "hoặc" để mệnh đề đúng:
a) 4 5. b) ab0khi a0 b0
c) ab0 khi a0 b0 d) ab0 khi a0 b0 a0 b0 e) Một số chia hết cho chia hết cho … cho
f) Một số chia hết cho chữ số tận … Bài 6.Cho mệnh đề chứa biến P(x), với x R Tìm x để P(x) mệnh đề đúng:
a) P x( ) :"x2 5x 0" b) P x( ) :"x2 5x 0" c) P x( ) :"x2 3x0" d) P x( ) :" x x " e) P x( ) :"2x 3 7" f) P x( ) :"x2 x 0" Baøi 7.Nêu mệnh đề phủ định mệnh đề sau:
(3)b) Số tự nhiên n có chữ số tận c) Tứ giác T có hai cạnh đối vừa song song vừa d) Số tự nhiên n có ước số n
Baøi 8.Nêu mệnh đề phủ định mệnh đề sau:
a) x R x: 0 . b) x R x x: 2
c) x Q x: 2 0 d) x R x: 2 x 7 0.
e) x R x: 2 x 0 . f) x R x: 23.
g) n N n, 21 không chia hết cho h) n N n, 22n5 số nguyên tố. i) n N n, 2n chia hết cho k) n N n, 21 số lẻ
Baøi 9.Phát biểu mệnh đề sau, cách sử dụng khái niệm "điều kiện cần", "điều kiện đủ":
a) Nếu số tự nhiên có chữ số tận chữ số chia hết cho b) Nếu a b 0 hai số a b phải dương
c) Nếu số tự nhiên chia hết cho chia hết cho d) Nếu a b a2 b2.
e) Nếu a và b chia hết cho c a + b chia hết cho c
Baøi 10. Phát biểu mệnh đề sau, cách sử dụng khái niệm "điều kiện cần", "điều kiện đủ":
a) Trong mặt phẳng, hai đường thẳng phân biệt vng góc với đường thẳng thứ ba hai đường thẳng song song với
b) Nếu hai tam giác chúng có diện tích
c) Nếu tứ giác T hình thoi có hai đường chéo vng góc với d) Nếu tứ giác H hình chữ nhật có ba góc vng
e) Nếu tam giác K có hai góc
Bài 11. Phát biểu mệnh đề sau, cách sử dụng khái niệm "điều kiện cần đủ": a) Một tam giác vng có góc tổng hai góc cịn lại
b) Một tứ giác hình chữ nhật có ba góc vng
c) Một tứ giác nội tiếp đường tròn có hai góc đối bù d) Một số chia hết cho chia hết cho cho
e) Số tự nhiên n số lẻ n2 số lẻ
Baøi 12. Chứng minh mệnh đề sau phương pháp phản chứng: a) Nếu a b 2 hai số a b nhỏ 1.
b) Một tam giác khơng phải tam giác có góc nhỏ 600 c) Nếu x1 y1 x y xy 1.
d) Nếu bình phương số tự nhiên n số chẵn n số chẵn e) Nếu tích hai số tự nhiên số lẻ tổng chúng số chẵn
f) Nếu tứ giác có tổng góc đối diện hai góc vng tứ giác nội tiếp đường tròn
(4)1 Tập hợp
Tập hợp khái niệm tốn học, khơng định nghĩa Cách xác định tập hợp:
+ Liệt kê phần tử: viết phần tử tập hợp hai dấu móc { … } + Chỉ tính chất đăc trưng cho phần tử tập hợp
Tập rỗng: tập hợp không chứa phần tử nào, kí hiệu 2 Tập hợp – Tập hợp nhau
A B
x A x B
+ A A A ,+ A A, + A B B C , A C
A B
A B vaø B A
3 Một số tập tập hợp số thực
N*N Z Q R
Khoảng: ( ; )a b
x R a x b
; ( ;a )
x R a x
;
b x R x b
( ; ) Đoạn: [ ; ]a b
x R a x b
Nửa khoảng: [ ; )a b
x R a x b
;
a b x R a x b
( ; ] ;
a x R a x
[ ; ) ; ( ; ] b
x R x b
4 Các phép toán tập hợp Giao hai tập hợp: A B
x x A x B
Hợp hai tập hợp: A B
x x A x B
Hiệu hai tập hợp: A B\
x x A x B
Phần bù: Cho B A C B A BA \ .Bài 1.Viết tập hợp sau cách liệt kê phần tử nó:
A =
x R x (2 2 5x3)(x2 4x3) 0
B =
x R x ( 210x21)(x3 x) 0
C =
x R x (6 2 7x1)(x2 5x6) 0
D =
x Z x 2 5x 3 0
(5)E =
x N x 3 2x vaø x5 4 x1
F =
x Z x 2 1
G =
x N x 5
H =
x R x 2 x 0
Baøi 2.Viết tập hợp sau cách rõ tính chất đặc trưng cho phần tử nó: A =
0; 1; 2; 3; 4
B =
0; 4; 8; 12; 16
C =
3 ; 9; 27; 81
D =
9; 36; 81; 144
E =
2,3,5,7,11
F =
3,6,9,12,15
G = Tập tất điểm thuộc đường trung trực đoạn thẳng ABH = Tập tất điểm thuộc đường tròn tâm I cho trước có bán kính Bài 3.Trong tập hợp sau đây, tập tập rỗng:
A =
x Z x 1
B =
x R x 2 x 1 0
C =
x Q x 2 4x 2 0
D =
x Q x 2 0
E =
x N x 27x12 0
F =
x R x 2 4x 2 0
Bài 4.Tìm tất tập con, tập gồm hai phần tử tập hợp sau:A =
1, 2
B =
1, 2, 3
C =
a b c d, , ,
D =
x R x 2 5x 2 0
E =
x Q x 2 4x 2 0
Baøi 5.Trong tập hợp sau, tập tập tập nào?a) A =
1, 2, 3
, B =
x N x 4
, C = (0; ), D =
x R x 2 7x 3 0
b) A = Tập ước số tự nhiên ; B = Tập ước số tự nhiên 12c) A = Tập hình bình hành; B = Tập hình chữ nhật; C = Tập hình thoi; D = Tập hình vng d) A = Tập tam giác cân; B = Tập tam giác đều; C = Tập tam giác vuông; D = Tập tam giác vuông cân Bài 6.Tìm A B, A B, A \ B, B \ A với:
a) A = {2, 4, 7, 8, 9, 12}, B = {2, 8, 9, 12} b) A = {2, 4, 6, 9}, B = {1, 2, 3, 4}
c) A =
x R x 2 3x 1 0
, B =
x R x 1 1
d) A = Tập ước số 12, B = Tập ước số 18e) A =
x R x ( 1)(x 2)(x2 8x15) 0
, B = Tập số nguyên tố có chữ số f) A =
x Z x 24
, B =
x Z x (5 )(x2 x2 2x 3) 0
g) A =
x N x ( 2 9)(x2 5x 6) 0
, B =
x N x số nguyên tố x , 5
Bài 7.Tìm tất tập hợp X cho:a) {1, 2} X {1, 2, 3, 4, 5} b) {1, 2} X = {1, 2, 3, 4} c) X {1, 2, 3, 4}, X {0, 2, 4, 6, 8} d)
Bài 8.Tìm tập hợp A, B cho:
a) AB = {0;1;2;3;4}, A\B = {–3; –2}, B\A = {6; 9; 10} b) AB = {1;2;3}, A\B = {4; 5}, B\A = {6; 9}
Bài 9.Tìm A B, A B, A \ B, B \ A với:
a) A = [–4; 4], B = [1; 7] b) A = [–4; –2], B = (3; 7] c) A = [–4; –2], B = (3; 7) d) A = (–; –2], B = [3; +) e) A = [3; +), B = (0; 4) f) A = (1; 4), B = (2; 6) Baøi 10. Tìm A B C, A B C với:
(6)Baøi 11. Chứng minh rằng:
a) Nếu A B A B = A b) Nếu A C B C (A B) C
c) Nếu A B = A B A = B d) Nếu A B A C A (B C)
1 Số gần đúng
Trong đo đạc, tính tốn ta thường nhận số gần 2 Sai số tuyệt đối
Nếu a số gần số a a a a đgl sai số tuyệt đối số gần đúng
a
3 Độ xác số gần đúng
Nếu a a a d a d a a d Ta nói a ssố gần a với độ chính
xác d, qui ước viết gọn a a d . 4 Sai số tương đối
Sai số tương đối số gần a tỉ số sai số tuyệt đối a , kí hiệu
a
a a
a nhỏ độ xác phép đo đạc tính tốn lớn
Ta thường viết a dạng phần trăm 5 Qui tròn số gần đúng
Nếu chữ số sau hàng qui tròn nhỏ ta việc thay chữ số chữ số bên phải số
Nếu chữ số sau hàng qui tròn lớn hay ta thay chữ số chữ số bên phải số cộng thêm đơn vị vào chữ số hàng qui tròn
Nhận xét: Khi thay số số qui trịn đến hàng sai sơ tuyệt đối của số qui trịn khơng vượt nửa đơn vị hàng qui tròn Như vậy, độ xác số qui trịn nửa đơn vị hàng qui tròn.
6 Chữ số chắc
Cho số gần a số a với độ xác d Trong số a, chữ số đgl chữ số (hay đáng tin) d khơng vượt q nửa đơn vị hàng có chữ số
Nhận xét: Tất chữ số đứng bên trái chữ số chữ số Tất các chữ số đứng bên phải chữ số không chữ số không
(7)