Đang tải... (xem toàn văn)
Tính các cạnh BD, AD ; các góc B, D, A của tam giác ABD ; bán kính đường tròn ngoại tiếp và diện tích của tam giác này. Bài 9 : Cho hình vuông ABCD có cạnh 6cm, E là trung điểm của CD.[r]
(1)TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG §1: GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GĨC BẤT KỲ( TỪ 00 đến 1800)
1/ Định nghĩa:
Trên nửa đường tròn đơn vị lấy điểm M thỏa góc xOM = M(x0;y0) Khi ta
định nghĩa:
sin góc y0; ký hiệu sin = y0
côsin của góc x0; ký hiệu cos = x0
tan góc
0
y x ( x
0 0); ký hiệu tan = 0
y x
cot góc
0
x y ( y
0 0); ký hiệu cot = 0
x y * Dấu tỉ số lượng giác:
00≤
≤900 900< <1800
sin + +
cos +
tan +
cot +
* Chú ý: + tan xác định 900
+ cot xác định 00 1800
2 Tính chất : Hai góc bù nhau (tổng hai góc 1800)
sin( 1800 ) = sin cos ( 1800) = cos
tan (1800) = tan ( 900) cot ( 1800
) = Cot ( < < 1800)
3. Bảng giá trị lượng giác góc đặc biệt
Góc
00 300 450 600 900 1200 1350 1500 1800
0 π
sin 0
2 2 1 2 2 0
cos 1
2
2
1
2 0 –
1
2 –
2
2 –
3
2 1
tan 0
3 1 || 1 –
1
3 0
cot || 1
3 0
1
(2)A B O
b a
Cho hai véctơ
a,bđều 0
Từ điểm O tuỳ ý dựng
OA=a,OB = b Góc 00≤AOB ≤ 1800 gọi góc hai véctơ a,b
Kí hiệu là: (a,
b).
Nếu (a,
b)= 900 ta nói a vng góc b Kí hiệu: ab
* Chú ý: : + (a,
b)= (b,a)
+ (a,
b)= 00 acùng hướngb + (a,
b)= 1800
angược hướng
b
* Quy ước: Nếu hai véc tơ avà b véctơ 0 ta xem góc
Các hệ thức bản: a) Nếu cos 0
tan sin
cos
b) Nếu sin 0
cos cot
sin
c) sin2 +cos2 = d) tan.cot =
e) + tan2 =
1
cos
f) + cot2=
sin
* Góc phụ nhau
Sin(900-) = Cos Cos(900-) = Sin tan(900-) = Cot cot(900-) = tan
* Góc đối nhau
(3)* Chú ý: sin2
= (sin)2 sin2
Dạng toán : Sử dụng máy tính để tính giá trị lượng giác góc.
Bài 1: Tính giá trị sau :
a) sin65049’35” b) cos92071’42” c) tan(63050’53”) d) cot(23012’) Bài 2: Tìm x biết :
a) sinx= 0,233 b) cosx = 0,235 c) tanx = d) cotx = 1,43
Dạng tốn 2: Tính giá trị lượng giác góc
Bài 1 : Tính giá trị lượng giác góc: a.45 b.1200 c 1350 Bài 2: Cho hình vng ABCD Tính :
cos(AC ,BA) ; sin(AC ,BD) ; cos(AB ,CD)
Bài 3: Cho hình vng ABCD, tính giá trị lượng giác góc cặp vectơ sau : ( AC ,BC¿ ; ( CA ,DC¿
Bài 4: Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 4cm, AD = 3cm Tính góc : ( AC ,AD¿ ; (CA ,CB)
Bài 5: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho M(3;4) Tìm sin α , cos α , tan α , cot α
với α = ^xOM
Bài 6: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho M(x;4) Và ^xOM=1200 Tìm x
Bài : Tính giá trị biểu thức:
a) A = Cos 200 + cos 800+ cos 1000+ cos1600 b) B = Sin 1000 - sin 800 + cos 160 + cos 1640
c) C = cos 00 + cos100 + cos200 + + cos 1700 Bài 8: Biết cosx=
1
, tính P = 3sin 2x + 4cos2x
Bài 9: Cho biết giá trị lượng giác góc, tính giá trị lượng giác cịn lại: a) sinα=1
4, α nh nọ
b) tanβ=2√2
c) cosγ=−1
3
Bài 10: Cho biết giá trị lượng giác góc, tính giác trị biểu thức: a) Biết sinx=1
3,90
0
<x<1800 Tính A=tanx+3cotx+1
tanx+cotx b) Biết tanx=√2, Tính B=3sinx−cosx
sinx+cosx c) Biết tanx=√2, TínhC= sinx−cosx
sin3x+3 cos3x+2sinx Bài 11: Cho sinx+cosx = 43 Tìm:
(4)c) C = cos2x−cot2x
sin2x
−tan2x
Dạng toán : Chứng minh :
Bài : Chứng minh ;
a) sin1150 = sin650 b) cos1450 = - cos350 c) tan1230 = - tan570 Bài : Chứng minh :
a) (sinx+cosx)2=1+2sinxcosx
b) tan2x
−sin2x=tan2x sin2x
Bài : Cho tam giác ABC , Chứng minh rằng:
a) sin(A + B)sin(B + C)sin(C + A) = sinAsinBsinC b) cos(A + C) + cos B =
c) tan( A – C) + tan(B+2C) = d) sinA = sin(B + C)
e) cosA = cos(B + C)
f) sin B A
= cos C
g) sin A
= cos C B
h) sin C B A
(5)
§2 TÍCH VƠ HƯỚNG VÉCTƠ
1/ Định nghĩa:
Tích vơ hướng hai véctơ a b số, kí hiệu a b , xác định bởi:
a b=|a||b|cos(a ,b)
Bình phương vơ hướng : a2=|a|2
* Chú ý: + a b=|a|.|b| a hướng b
+ a b=−|a|.|b| a ngược hướng b
2/ Các tính chất: Cho a b c ; k R
+ a.b = b.a ( Tính giao hốn) + a.b = <=> a b
+ (ka)b = k (a b)
+ a (bc) = a b a c (Tính chất phân phối phép cộng trừ )
+ ( a
→
± b
→
)2= | a →
|2 ± 2 a →
b
→
+ | b
→
|2
+ ( a
→
+ b
→
)( a
→
- b
→
) = | a
→
|2 - | b →
|2 3/ Cơng thức hình chiếu
Tích vơ hướng hai véctơ a vàb tích vố hướng véctơ a với hình chiếub'
của véctơ b đường thẳng chứa véctơ a
a.b= a.b'
4/ Biểu thức toạ độ tích vơ hướng
Cho →a = (x, y) , →b= (x', y') ; M(xM, yM), N(xN, yN); ta có
→
a.→b= x.x' + y.y' |→a| = x2+ y2
Cos (→a,→b) = + '2+ '2
' + '
y x y x
yy xx
→
a→b xx' + yy' = 0
MN = | →
MN| = (xM _xN)2+(yM _yN)2
(6)luôn qua điểm M cắt đường trịn (O,R) A, B
Phương tích điểm M, đường trịn (O,R): kí hiệu: P M/(O)
P M/(O) = MO2 – R2 = MA MB
Nếu M ngồi đường trịn (O,R), MT tiếp tuyến P M/(O) = MT2 * Bất đẳng thức vectơ
| a
→
b
→
| ¿ | a
→
|.| b
→
| | a
→
+ b
→
| ¿ | a
→
| + | b
→
|
Bài tập : Tính tích vơ hướng – Tính góc – Chứng minh thiết lập vng góc
1 Tính tích vơ hướng
Ta lựa chọn hướng sau :
- Sử dụng định nghĩa cách đưa vectơ a ,b gốc để xác định chính
xác góc α=( a ,b) Từ : a b=|a|.|b|.cosα
- Sử dụng tính chất đẳng thức tích vơ hướng vectơ. - Nếu đề cho dạng tọa độ a =(x;y), b =(x’;y’) => a b = xx’ +yy’
2 Tính góc
- cos(a ,b)= a b
|a||b|=
x x'+yy ' √x2+y2√x'2+y'2 3 Chứng minh vng góc
Ta lựa chọn hướng sau :
- Nếu đề khơng cho tọa độ, ta sử dụng tính chất tích vơ hướng.
a b ab a b=0 |a|.|b| cosα=0 {
a=0
b=0
cos(a ,b)=0
- Nếu đề cho tọa độ a =(x;y), b =(x’;y’) ab a b=0 xx’ +
yy’=0 Bài tập :
Bài : Cho tam giác ABC cạnh 3a M,N điểm thuộc cạnh AB cho AM=MN=NB Tính tích vô hướng sau :
AB AC ; AC CB ; CM CN
Bài : Cho hình vng ABCD cạnh a ; M,N trung điểm BC CD Tính : AB AM ; AM AN
Bài : Cho tam giác vuông A, có AB=a, BC = 2a Tính tích vơ hướng : a) AB AC b) AC CB
Bài : Cho tam giác ABC, trọng tâm G, M điểm nằm đường thẳng (d) qua G vng góc với BC Chứng minh : (MA+MB+MC)BC=0
Bài : Cho tam giác ABC vng cân có AB = AC = a, có đường cao AH Tính :
(7)Bài : Cho tam giác ABC vng A, có AB CB=4 AC BC=9
a) Tính cạnh tam giác ABC
b) Gọi I, J điểm thỏa mãn : IA+2IB=0 , 2JB−JC=0 Tính IJ theo BA ,BC .
Bài : Cho tam giác ABC vuông A, có BC = a √3 , M trung điểm BC Biết : AM BC=a
2
2 Tính AB AC
Bài : Cho tam giác ABC cạnh a, đường trung tuyến AM Tính tích vơ hướng sau :
a) AC (AC−AB) b) AM AB c) ( AB−AC¿(AB+AC) Bài :Cho tam giác ABC có A(1 ;2) ; B(-2 ;6) ; C(9 ;8)
a) Tính AB AC Chứng minh tam giác ABC vuông A
b) Tìm tâm bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC c) Tìm tọa độ trọng tâm G trực tâm H tam giác ABC d) Tính chu vi, diện tích tam giác ABC
e) Tìm tọa độ điểm M Oy để B,M,A thẳng hàng f) Tìm tọa độ điểm N Ox để tam giác ANC cân N g) Tìm tọa độ D để ABDC hình chữ nhật
h) Tìm tọa độ đỉnh K Ox để AOKB hình thang đáy AO i) Tìm tọa độ điểm E đối xứng với A qua B
Bài 10 : Xác định hình dạng tam giác ABC biết : a) A(1;0) ; B(5;0) ; C(3 ;4)
b) A(1;2) ; B(-2;6) ; C(9;8)
Bài 11 : Trong mặt phẳng Oxy, cho a(1;3);b=(6;−2);c(x ;1) a) Chứng minh ab
b) Tìm x để ac
c) Tìm tọa độ vectơ d cho ad b d=20 Bài 12 : Cho tam giác ABC có A(4 ;3) ; B(0 ;-5) ; C(-6 ;-2)
a) Chứng minh tam giác ABC vng B b) Tìm tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC
Bài 13 : Cho điểm A(7 ;4) ; B(0 ;3) ; C(4 ;0) Tìm tọa độ hình chiếu vng góc H A lên BC Từ suy tọa độ điểm A1 điểm đối xứng với A qua BC
Bài 14 : Cho A(0;2) ; B(6;9) ; C(4;1) ; D(2 ;10) a) Chứng minh tam giác ABC vuông
b) Chứng minh ABCD hình chữ nhật
c) Gọi C’ thỏa CC '=AB Tìm tọa độ C’ suy D đối xứng với C’ qua B
Bài 15 : Cho tam giác ABC, có AB = a, AC = 2a Gọi D trung điểm cạnh AC, M điểm thỏa mãn : BM=1
(8)§3: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC 1 Các kí hiệu tam giác
BC = a; AC = b; AB = c = AH1; hb = BH2; hc = CH3 ma = AM1; mb = BM2; mc= CM3
R : bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác r : bán kính đường trịn nội tiếp tam giác p =
c b a
nửa chu vi
* Các góc đỉnh A,B,C kí hiệu A, B, C * ma đường trung tuyến nối từ đỉnh A
2 Định lý cosin tam giác Với tam giác ABC ta có:
a2 = b2+ c2 - 2bcCosA ; b2 = a2 + c2 - 2acCosB ; c2 = a2 + b2 - 2abCosC
3 Định lý sin tam giác
Trong tam giác ABC ta có: a=2RsinA; b= 2RsinB;c= 2RsinC
hay SinC R
c SinB b SinA a 4 Định lý trung tuyến
2 4
2
2
2 b c a
ma
2 4
2
2
2 a c b
mb
2 4
2
2
2 a b c
mc
5 Các cơng thức tính diện tích tam giác
Cho tam giác ABC diện tíchS tính theo cơng thức sau:
SABC = a
ah
2
= bhb chc
2
1
SABC =
B ac C ab sin sin
= 2bcsin A
A
B MH1 C
(9). SABC = R
abc
4 . SABC = pr
. SABC = p(p a)(p b)(p c)
6) Hệ thức tam giác vuông ( bổ sung).
BC2 = AB2 + AC2 AB2 =BC BH AC2 =BC CH AH2 = BH.CH
AB.AC = BC.AH
A H2=
1
A B2+
1
A C2
Bài tập áp dụng :
Bài : Cho ∆ ABC vuông A, B^=580 cạnh a = 72cm Tính C^ , cạnh b, cạnh c
và đường cao
Bài : Cho ∆ ABC biết cạnh a = 5cm, b = 9cm c = 6cm Tính góc
∆ ABC
Bài : Tính diện tích tam giác có số đo cạnh 7, 12 Bài : Cho ∆ ABC có ^A=1200 Tính cạnh BC biết cạnh AC = m AB = n.
Bài : Cho ∆ ABC biết cạnh a = 137,5cm ; B^=830 C^
=570 Tính góc A, bán
kính R đường trịn ngoại tiếp, cạnh b c tam giác
Bài : Cho hình bình hành ABCD có AB = a, BC = b, BD = m AC = n Chứng minh m2 + n2 = 2(a2+b2)
Bài : Cho ∆ ABC có BC = 40cm, CA = 13cm, AB = 37cm Tính góc nhỏ
∆ ABC
Bài : Cho ∆ ABC vuông A, AB = 3, AC = Trên cạnh BC lấy điểm D cho
CD=CB Tính cạnh BD, AD ; góc B, D, A tam giác ABD ; bán kính đường trịn ngoại tiếp diện tích tam giác
Bài : Cho hình vng ABCD có cạnh 6cm, E trung điểm CD Tính bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ACE góc tam giác
Bài 10 : Cho tam giác ABC có AB = c = 45 ; AC = b = 32 ; BAC^ = 870
Tính cạnh góc cịn lại
Bài 11 : Chứng minh tam giác, ta có : a) a=b cosC+c cosB
b) = 2RsinBsinC
c) sinA = sinBcosC + sinC.cosB
Bài 12 : Cho ∆ ABC vuông A, BC = a, đường cao AH.
(10)a) c = 14, ^A=600 , ^
B=400 c) b = 4,5, ^A=300 , C^=750
b) c = 35, ^A=400 , C^
=1200 d) a = 137, C^=570 , B^=830
Bài 14 : Giải tam giác, biết :
a) a = 6,3 ; b = 6,3 ; C^=540 , c) a = 7, b = 23, C^
=1300 ,
b) b = 32 ; c = 45 ; ^A=870 , d) b = 14, c = 10, ^A
=1450 ,
Bài 15 : Giải tam giác, biết :
a) a= 14 ; b=18 ; c= 20 c) a= ; b= 7,3 ; c= 4,8