GIẢI gần ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN (PHƯƠNG PHÁP TÍNH SLIDE)

CHƯƠNG GIẢI GẦN ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN I ĐẶT BÀI TỐN : Bài tốn : tìm nghiệm gần phương trình f(x) = với f(x) hàm liên tục khoảng đóng [a, b] hay khoảng mở (a,b) Khoảng cách ly nghiệm Khoảng đóng hay mở tồn nghiệm phương trình gọi khoảng cách ly nghiệm Định lý : Nếu hàm f liên tục đoạn [a,b] thoả điều kiện f(a) f(b) < phương trình f(x) = có nghiệm [a,b] Nếu hàm f đơn điệu ngặt nghiệm [a, b] KCLN pt  f(a) f(b) <  Đạo hàm f’ không đổi dấu đoạn [a,b] a b Ví dụ : Tìm khoảng cách ly nghiệm pt f(x) = 3x2 + lnx= Giải : f’(x) = 6x +1/x >0 ∀x>0 f hàm tăng ngặt nên pt có tối đa nghiệm f(0.3)= -0.93, f(0.4)=-0.44, f(0.5)=0.057 Vây khoảng cách ly nghiệm (0.4,0.5) Ví dụ : Tìm khoảng cách ly nghiệm pt f(x) = x3 - 3x + = giải : Ta lập bảng giá trị điểm đặc biệt x f(x) - -3 -2 -1 - -1 -1 + + Nhìn vào bảng ta thấy pt có nghiệm khoảng (-2, -1) (0, 1) (1,2) Vì pt bậc có tối đa nghiệm, nên khoảng cách ly nghiệm : (-2,-1) (0,1) (1,2) Bài tập : Tìm khoảng cách ly nghiệm pt f(x) =ex –x2 + 3x -2 Giải f’(x) = ex - 2x + Ta lập bảng giá trị điểm đặc biệt x f(x) - -3 -2 -1 - - - - + + + Nhận xét : f’(x) > 0, ∀x∈[0,1] Vây khoảng cách ly nghiêm (0,1) + Tìm khoảng cách ly nghiệm pt f(x) =xcosx – 2x2 + 3x+1 f’(x) = cosx –xsinx -4x +3 Ta lập bảng giá trị điểm đặc biệt x f(x) - -3 -2 -1 - - - + + - - Nhận xét : f’(x) < ∀x∈[1,2], f’(x) > ∀x∈[-1,0] Vây khoảng cách ly nghiệm : (-1 0), (1,2) - Cách giải gần pt f(x) =  B1: tìm tất khoảng cách ly nghiệm  B2: khoảng cách ly nghiệm, tìm nghiệm gần phương trình Các phương pháp giải gần  Phương pháp chia đôi  Phương pháp lặp đơn  Phương pháp lặp Newton b Sai số (dùng công thức hậu nghiệm) Ta lập bảng n xn 10 9.966554934 0.12x10-3 9.966667166 0.38x10-6 9.966666789 0.13x10-8 Δn Nghiệm gần x3 = 9.966666789 Ví dụ : Xét phương trình x = cosx khoảng cách ly nghiệm [0,1] Giả sử chọn giá trị ban đầu xo = Xác định số lần lặp n xấp xỉ nghiệm pt với sai số 10-8 (dùng công thức tiên nghiệm) Giải a g(x)=cosx g’(x)=-sinx g(x) hàm co với hệ số co q = sin1≈0.8415 < Mặt khác g(x) =cos x ∈[0,1] nên pp lặp hội tụ xây dựng dãy lặp xo = xn = cos xn-1 Xác định số lần lặp công thức tiền nghiệm Vậy số lần lặp n = 113 Nhận xét : Tốc độ hội tụ pp lặp đơn phụ thuộc vào giá trị hệ số co q  q nhỏ (gần với 0) pp lặp hội tụ nhanh  q lớn (gần với 1) pp lặp hội tụ chậm IV Phương Pháp Lặp Newton Một phương pháp lặp khác pp lặp Newton, hội tụ cho tốc độ hội tụ nhanh Giả sử hàm f khả vi khoảng cách ly nghiệm [a,b] với f(a)f(b) < f’(x) ≠ 0, ∀x∈[a,b] Phương trình f(x) = tương đương với pt Để tìm nghiệm gần ta chọn giá trị ban đầu xo∈[a,b] tùy ý Xây dựng dãy lặp {xn} theo công thức Công thức gọi cơng thức lặp Newton Tổng qt, dãy {xn} hội tụ phân kỳ Ý nghĩa hình học y = f(x) x2 x1 xo Định lý : Giả sử hàm f(x) có đạo hàm đến cấp liên tục đạo hàm f’(x) f”(x) không đổi dấu đoạn [a,b] Khi chọn giá trị ban đầu xo thỏa điều kiện Fourier f(xo)f”(xo) > Thì dãy lặp {xn} xác định theo cơng thức Newton hội tụ nghiệm pt Chú ý :  Điều kiện Fourier điều kiện đủ điều kiện cần  Qui tắc đơn giản chọn x0 thỏa điều kiện Fourier : đạo hàm cấp dấu, chọn xo = b Ngược lại trái dấu chọn xo = a  Để đánh giá sai số pp Newton ta dùng công thức sai số tổng quát |xn - x| ≤ |f(xn)| / m m = |f’(x)| x∈[a,b] Bai tap : Cho phương trình khoảng cách ly nghiệm [0,2] Dùng pp Newton tính nghiệm x3 đánh giá sai số Δ3 theo công thức sai số tổng quát Giải 1.Kiểm tra điều kiện hội tu f’(x)=3x2-18x-4+3sin(3x/4)/4 f’(x) f”(x) dấu, chọn xo = ta có pp lặp Newton hội tụ Xây dựng dãy lặp Newton Công thức sai số n xn 1 0.750363867 0.02 0.739112890 0.47x10-4 0.739085133 0.29x10-9 Δn Nghiệm gần x3 = 0.739085133 ... Cách giải gần pt f(x) =  B1: tìm tất khoảng cách ly nghiệm  B2: khoảng cách ly nghiệm, tìm nghiệm gần phương trình Các phương pháp giải gần  Phương pháp chia đôi  Phương pháp lặp đơn  Phương. .. Xét phương trình f(x) = 5x+ -24 = khoảng [4,5] Tính sai số chọn nghiệm x* = 4.9 Giải f’(x) = + => |f’(x)| ≥ + = m, ∀x∈[4,5] Sai số |x*-x| ≤|f(x*)|/m ≈ 0.3485 II Phương Pháp Chia Đơi Xét phương trình. .. phụ thuộc vào giá trị hệ số co q  q nhỏ (gần với 0) pp lặp hội tụ nhanh  q lớn (gần với 1) pp lặp hội tụ chậm IV Phương Pháp Lặp Newton Một phương pháp lặp khác pp lặp Newton, hội tụ cho tốc