Giải gần đúng phương trình phi tuyến

Giải gần đúng phương trình phi tuyến

CHƯƠNG GIẢI GẦN ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN I ĐẶT BÀI TOÁN : Bài toán : tìm nghiệm gần phương trình f(x) = với f(x) hàm liên tục khoảng đóng [a, b] hay khoảng mở (a,b) Khoảng cách ly nghiệm Khoảng đóng hay mở tồn nghiệm phương trình gọi khoảng cách ly nghiệm Định lý : Nếu hàm f liên tục đoạn [a,b] thoả điều kiện f(a) f(b) < phương trình f(x) = có nghiệm [a,b] Nếu hàm f đơn điệu nghiệm ĐK đủ: [a, b] KCLN pt  f(a) f(b) <  Đạo hàm f’ không đổi dấu đoạn [a,b] Ví dụ : Tìm khoảng cách ly nghiệm cuûa pt f(x) = x5 + x - 12 = Giải : Ta có f(1) = -10, f(2) = 22 ⇒ f(1) f(2) < Mặt khác f’(x) = 5x4 +1 > ∀x f hàm đơn điệu tăng nên pt có nghiệm Vây khoảng cách ly nghiệm (1,2) Ví dụ : Tìm khoảng cách ly nghiệm pt f(x) = x3 - 3x + = giải : Ta lập bảng giá trị điểm đặc biệt x f(x) - -2 -1 -1 1 -1 + Nhìn vào bảng ta thấy pt có nghiệm khoảng (-2, -1) (0, 1) (1,2) Vì pt bậc có tối đa nghiệm, nên khoảng cách ly nghiệm : (-2,-1) (0,1) (1,2) Bài tập : Tìm khoảng cách ly nghiệm pt f(x) =ex –x2 + 3x -2 Tìm khoảng cách ly nghiệm pt f(x) =xcosx – 2x2 + 3x+1 Giải f(x) =ex –x2 + 3x -2 f’(x) = ex - 2x + Ta lập bảng giá trị điểm đặc biệt x f(x) - -2 - -1 - - + Nhận xét : f’(x) > 0, ∀x∈[0,1] Vây khoảng cách ly nghiêm (0,1) + + f(x) =xcosx – 2x2 + 3x+1 f’(x) = cosx –xsinx -4x +3 Ta lập bảng giá trị điểm đặc biệt x f(x) - -2 - -1 - + + - Nhận xét : f’(x) < ∀x∈[1,2], f’(x) > ∀x∈[-1,0] Vây khoảng cách ly nghiệm : (-1 0), (1,2) - Cách giải gần pt f(x) =  B1: tìm tất khoảng cách ly nghiệm  B2: khoảng cách ly nghiệm, tìm nghiệm gần phương trình Định lý : Giả sử hàm f(x) có đạo hàm đến cấp liên tục đạo hàm f’(x) f”(x) không đổi dấu đoạn [a,b] Khi chọn giá trị ban đầu xo thỏa điều kiện Fourier f(xo)f”(xo) > Thì dãy lặp {xn} xác định theo công thức Newton hội tụ nghiệm x pt Chú ý :  Điều kiện Fourier điều kiện đủ điều kiện cần  Từ điều kiện Fourier ta đưa qui tắc chọn giá trị ban đầu xo sau : đạo hàm cấp dấu, chọn xo = b Ngược lại trái dấu chọn xo = a  Điều kiện Fourier f(xo)f”(xo) = điểm biên  Trong pp Newton, đạo hàm f’(x) phải ≠ Nếu ∃ c∈[a,b] : f’(c) = ta phải thu hẹp khoảng cách ly nghiệm để loại bỏ điểm c  Để đánh giá sai số pp Newton ta dùng công thức sai số tổng quát |x* - x| ≤ |f(x*)| / m m = |f’(x)| x∈[a,b] Ví dụ : Tìm nghiệm gần pt f(x) = x-cos x =0 Trên khoảng cách ly nghiệm [0,1] với sai số 10-8 Giải 2.Kiểm tra điều kiện hội tu f(x) = x – cos x có đạo hàm cấp liên tục [0,1] f’(x) = 1+sinx > 0, ∀x∈[0,1] f”(x) = cosx > f’(x) f”(x) dấu, chọn xo = ta có pp lặp Newton hội tụ Xây dựng dãy lặp Newton x0 = xn −1 − cos xn −1 xn = xn −1 − + sin xn −1 ∀n = 1, 2, Công thức sai số m = | f '( x ) |= 0≤ X ≤1 | xn − x |≤| f ( xn ) | / m =| xn − cos xn | ∆n n xn 1 0.750363867 0.02 0.739112890 0.47x10-4 0.739085133 0.29x10-9 Nghieäm gần x = 0.739085133 Ví dụ : Cho phương trình f(x) = x3-3x+1= Trên khoảng cách ly nghiệm [0,1] Dùng pp Newton tính nghiệm x3 đánh giá sai số ∆3 theo công thức sai số tổng quát Giải 2.Kiểm tra điều kiện hội tu Ta thấy f’(x) = 3x2-3= x = 1, ta chia đôi để thu hẹp khoảng cách ly nghiệm Vì f(0) = 1, f(0.5) = -0.375 Thu hẹp khoảng cách ly nghiệm [0, 0.5] f(x) có đạo hàm cấp liên tục [0, 0.5] f’(x) = 3x2-3 < f”(x) = 6x ≥ 0, ∀x ∈[0, 0.5] f’(x) f”(x) trái dấu, nên chọn xo = pp lặp Newton hội tụ Xây dựng dãy laëp Newton x0 = xn = xn −1 − − xn −1 + xn −1 − 3 n −1 x Công thức sai số m = | f '( x ) |= 2.25 0≤ X ≤0.5 | xn − x |≤| f ( xn ) | / m =| xn − 3xn + | /2.25 n xn 0.333333333 0.347222222 0.347296353 ∆n 0.0165 0.8693x10-4 0.2545x10-8 Nghiệm gần x = 0.347296353 Sai số 0.2545x10-8 V Giải gần hệ pt phi tuyến pp Newton Raphson Hệ phương trình phi tuyến  f1 ( x1 , x2 , , xn ) =  f ( x , x , , x ) =  2 n    f n ( x1 , x2 , , xn ) =  Trong fi(x1, x2, …, xn) hàm liên tục có đạo hàm riêng theo biến xi liên tục lân cận nghiệm Phương trình tương đương f(x) = Với f = (f1, f2, …, fn), x = (x1, x2, …, xn) Chọn giá trị ban đầu x(0) tùy ý thuộc lân cận nghiệm Ký hiệu x(k) nghiệm gần bước thứ k Công thức Newton x(k) = x(k-1) –f(x(k-1))/f’(x(k-1)), ∀k = 1, … Ta đưa giải hệ phương trình tuyến tính Ah = b với b = -f(x(k)) A ma trân Jacobi ∂ f1 / ∂x1 A = f '( x ) = ∂ f1 / ∂ x2 ∂ f1 / ∂ xn ∂ f / ∂ x1 ∂ f / ∂x2 ∂f / ∂xn ∂ f n / ∂ x1 ∂ f n / ∂ x2 ∂ f n / ∂ xn Nghiệm gần : x(k+1) = x(k) + h Xét trường hợp hệ gồm phương trình với ẩn  F ( x, y ) =  G ( x , y ) = Với F(x,y), G(x,y) hàm liên tục có đạo hàm riêng theo biến x, y liên tục lân cân nghiệm Chọn (xo, yo) tùy ý thuộc lc nghiệm, công thức Newton gồm daõy {xn}, {yn} J y ( xn −1 , yn −1 )   xn = xn −1 − J ( xn −1 , yn −1 )    y = y − J x ( xn −1 , yn −1 ) n −1  n J ( xn −1 , yn −1 )  Fy' ≠ 0, ∀( x, y ) lc cua nghiem ' Gy Fx' Jx = ' Gx Trong Fx' J= ' Gx F G F Fy' Jy = ' G Gy Neáu dãy (xn,yn) hội tụ hội tụ nghiệm (x,y) pt Ví dụ : Tìm nghiệm gần với n = hệ pt  F ( x, y )= x + 3ln x − y  G ( x, y ) = x − xy − x +  Neáu chọn xo = 1.5, yo = -1.5 Giải  F   0.4664   Fx'   +   =  x  G  =  0.25   '  =    2.5  Gx       4x − y − 5    Fx' Fy' Fx' F J= ' = −12 J x = ' = −0.416 ' Gx G y Gx G Jy   x1 = x0 − J = 1.3792    y = y − J x = −1.5347  J   Fy'   − y    =  ' =  G   − x   − 1.5      y Jy = F Fy' G G ' y = −1.4496 Ví dụ : Tìm nghiệm gần với n = hệ pt  F ( x, y )= x + xy − 10  G ( x, y ) = y + 3xy − 57  Nếu chọn xo = 1.5, yo = 3.5 Giaûi '  F   − 2.5   Fx'   x + y   6.5   Fy   x   1.5   G  =  1.625   '  =  y  =  36.75   G '  =  + xy  =  32.5       Gx       y       Fx' Fy' F Fy' Fx' F J= ' = 156.125 J x = ' = 102.4375 J y = = − 83.6875 ' ' Gx G y G Gy Gx G Jy   x1 = x0 − J = 2.0360    y = y − J x = 2.8439  J  ... 0.347296353 ∆n 0.0165 0.8693x10-4 0.2545x10-8 Nghiệm gần x = 0.347296353 Sai số 0.2545x10-8 V Giải gần hệ pt phi tuyến pp Newton Raphson Hệ phương trình phi tuyến  f1 ( x1 , x2 , , xn ) =  f ( x , x... phương trình f(x) = 5x+ x -24 = khoảng [4,5] Tính sai số chọn nghiệm x* = 4.9 Giải f’(x) = + => 7 x6 |f’(x)| ≥ + 7 56 = m, ∀x∈[4,5] Sai soá |x*-x| ≤|f(x*)|/m ≈ 0.3485 Các phương pháp giải gần  Phương. .. khả vi (a,b) Nếu x* , x nghiệm gần nghiệm xác phương trình |f’(x)| ≥ m > 0, ∀x ∈(a,b) sai số đánh giá theo công thức : |x* - x| ≤ |f(x*)| / m Ví dụ : Xét phương trình f(x) = x3-5x2+12 khoảng [-2,