1. Trang chủ
  2. » Giáo Dục - Đào Tạo

Chuỗi và phương trình vi phân

16 2,2K 9
Tài liệu đã được kiểm tra trùng lặp

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 16
Dung lượng 129,31 KB

Nội dung

Chuỗi và phương trình vi phân

BỘ MÔN TOÁN ỨNG DỤNG - ĐHBK -------------------------------------------------------------------------------------TOÁN 4 – HK2 0607 CHUỖI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN• BÀI 4: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1 (SINH VIÊN)• TS. NGUYỄN QUỐC LÂN (05/2007) NỘI DUNG ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------1 – KHÁI NIỆM CƠ BẢN2 – PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHÂN LY BIẾN SỐ3 – PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TOÀN PHẦN4 – PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1 TUYẾN TÍNH5 – PT BERNULLITỰ ĐỌC: PT VI PHÂN KHÔNG GIẢI ĐƯC VỚI ĐẠO HÀM & PT RICATTI (SGK, TRANG 135 → 139) Phương trình vi phân (thường): hàm ẩn y = y(x), biến x & các đạo hàm (hoặc vi phân) y(k), k = 0, 1 … nVD: 03' =+ xy( )xexyyy =++ 3'4''( ) ( )0=−−+ dyyxdxyx1. KHÁI NIỆM CƠ BẢN --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Cấp 1 Cấp 2 Cấp 1Phương trình vi phân cấp n: chứa đạo hàm cao nhất cấp nDạng tổng quát PT vi phân cấp 1:( )() ( )( )( )( )0,,'',',, =xyxyxyxyxFnKDạng tổng quát cấp n:( ) ( )( )0',, =xyxyxF NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------VD: ydx + xdy = 0: 2 dạng nghiệm hiện, ẩnVD: 21' yy −=Nghiệm PTVP cấp n THÔNG THƯỜNG chứa n hằng số: Đồ thò nghiệm: đường cong tích phân().,,,1 nCCxyKϕ=(c) Dạng tham số(a) Dạng hiện: y = f(x)(b) Dạng ẩn: H(x, y) = 0( )()⎩⎨⎧==tyytxxNghiệm PTVP: Hàm số y = y(x), x ∈ khoảng I ⊂ RVD:xeydxdy2=−Nghiệm riêng:xey2=Nghiệm:xxeCey2+=nghiệm tổng quát 2. PHƯƠNG TRÌNH PHÂN LY BIẾN SỐ -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Phương pháp: Phân ly x & dx một vế, y & dy một vế. Tích phân 2 vế ⇒Nghiệm (nói chung dạng ẩn)VD: Kiểm tra dạng phân ly của các ptrình xyya ='/() ( )011/22=−++ dyxydxyxb( )04/ =++ dxxyxdyc( ) ( )() ()() () () ()⎢⎢⎢⎣⎡=+=+===00',)('),('2211dyygxfdxygxfdyygdxxfygxfyygyxfy3 dạng (hay gặp) phương trình vi phân phân ly biến sốNhận dạng: Biến x y phân ly (separable) →Có thể tách rời mỗi vế 1 biến! VD:02=− dxyxdy 2. GIẢI PT VI PHÂN PHÂN LY BIẾN SỐ -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------VD (SGK, 23/tr190): Vận tốc nguội đi của vật tỷ lệ thuận với hiệu nhiệt độ của vật nhiệt độ không khí. Biết nhiệt độ không khí là 20°C vật giảm nhiệt độ từ 100°C xuống 60°C sau 20 phút. Hỏi sau bao lâu kể từ thời điểm đầu, nhiệt độ của vật sẽ là 30°C? VD:xya3sin'/ =yeyb ='/xyyc2'/=VD:()05cos2/4=++ dyydxxxa( ) ( )0/2222=−++ dyyxxdxxyybxyxyyc 2'/2=− 2. ĐỔI BIẾN ĐƯA VỀ PHÂN LY -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------VD: (x2 + y2)dx – xydy = 0: Chú ý P(x, y) = (x2 + y2), Q = xy!Chứa tổng: y’ = f(ax + by + c) →Đổi biến: u = ax + by + cVD: y’ = (2x + 3y + 1)2 – 2(2x + 3y + 1)Tỷ số:→Đổi biến:⎟⎠⎞⎜⎝⎛=xyfy'uxuyuxyxyu +=⇒=⇒= ''Đặc biệt: P(x, y), Q(x, y) – tổng xαyβ, α + β = n ⇒ Phương trình đẳng cấp Pdx + Qdy = 0: Dạng y’ = f(y/x)!VD:xyxyyyb2'/2+=xyya +=1'/ 3. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TOÀN PHẦN -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Ph/trình vi phân cấp 1:() ( )0,, =+ dyyxQdxyxP( )()()⎩⎨⎧==2,'1),('yxQuyxPuyx1/ T/phân (1) theo x( ) ( )3yCPdxu +=⇒∫2/ Đ/hàm (3) theo y, phối hợp (2) ⇒C(y)Tìm u:PT vi phân Pdx + Qdy = 0: toàn phần ⇔Thứ tự: Đạo hàm chéo: P(x, y)dx + Q(x, y)dy()*yP∂∂xQ∂∂=yxxQyP,∀∂∂=∂∂Thoả ĐK (*) ⇒∃u(x,y): du = Pdx + Qdy ⇒Nghiệm u = C 3. THỪA SỐ TÍCH PHÂN --------------------------------------------------------------------------------------------------------------Pdx + Qdy = 0: không thoả đ/kiện vi phân toàn phần ⇒Tìm μ(x, y) để (μPdx+μQdy) vi phân tphần ⇔∂(μP)/∂y = ∂(μP)/∂yVD: Tìm thừa số tích phân & Giải ptrình vphân (x2 + y2 +x)dx + xydy = 0 ()∫=⇒=⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂−∂∂dxxfexxfQxQyP)()(μ()∫=⇒=⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂−∂∂−dyygeyygPxQyP)()(μVD: Giải ptrình vi phân y(1 + xy)dx – xdy = 0 VD: Giải (3e3xy – 2x)dx + (e3x + siny) dy = 0 SGK, trang 194: Ch/minh (tìm) μ = μ(x2 + y2): dạng cho trước! 4. PT VI PHÂN CẤP 1 TUYẾN TÍNH -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------y’ = a(x)y + b(x) (E): không thuần nhất (có vế phải) ⇒PT thuần nhất (không vế phải) tương ứng: y’ = a(x)y (E0 )Nhận dạng: y’ = f(x, y): Vế phải chỉ chứa y bậc 1 (ở tử số)y’ = f(x, y) = a(x)y + b(x): tuyến tính (bậc 1) theo yTuyến tính theo x = x(y)!VD: Xác đònh phương trình tuyến tính:xexyyc =+3'/32'/ xyxya =−( )022/2=−+ dyxyydxd32'/ xyeybx=+Không tuyến tính: Chứa y2, (y’)3 [...]...BỘ MÔN TOÁN ỨNG DỤNG - ĐHBK TOÁN 4 – HK2 0607 CHUỖI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN • BÀI 4: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1 (SINH VI N) • TS. NGUYỄN QUỐC LÂN (05/2007) TỔNG KẾT PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1 Phân ly: f 1 (x)g 1 (y)dx + f 2 (x)g 2 (y)dy = 0 ⇒ 1 vế: x, 1 vế: y () cbyaxuxbyaxfy x y u x y fy ++=⇒++==⇒ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ =... PHƯƠNG TRÌNH PHÂN LY BIẾN SỐ Phương pháp: Phân ly x & dx một vế, y & dy một vế. Tích phân 2 vế ⇒ Nghiệm (nói chung dạng ẩn) VD: Kiểm tra dạng phân ly của các ptrình xyya = '/ () ( ) 011/ 22 =−++ dyxydxyxb ( ) 04/ =++ dxxyxdyc ( ) ( ) () () () () () () ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ =+ =+ === 0 0 ',)('),(' 2211 dyygxfdxygxf dyygdxxf ygxfyygyxfy 3 dạng (hay gặp) phương trình vi phân phân... Giải các phương trình x x y x ya sin1 '/ =+ ( ) yyxyb =+ 2 '/ VD: Tính y(2) với hàm y thoả: () 11,3' ==+ yx x y y () 3 1 1 2 ' += + −⇒ xy x y 3. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TOÀN PHẦN Ph /trình vi phân cấp 1: () ( ) 0,, =+ dyyxQdxyxP ( ) ()() ⎩ ⎨ ⎧ = = 2,' 1),(' yxQu yxPu y x 1/ T /phân (1) theo x ( ) ( ) 3yCPdxu +=⇒ ∫ 2/ Đ/hàm (3) theo y, phối hợp (2) ⇒ C(y) Tìm u: PT vi phân. .. phương trình vi phân phân ly biến số Nhận dạng: Biến x và y phân ly (separable) → Có thể tách rời mỗi vế 1 bieán! VD: 0 2 =− dxyxdy 3. THỪA SỐ TÍCH PHÂN Pdx + Qdy = 0: không thoả đ/kiện vi phân toàn phần ⇒ Tìm μ (x, y) để ( μ Pdx+ μ Qdy) vi phân tphần ⇔∂ ( μ P)/ ∂ y = ∂ ( μ P)/ ∂ y VD: Tìm thừa số tích phân & Giải ptrình vphân (x 2 + y 2 +x)dx + xydy = 0 () ∫ =⇒= ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ dxxf exxf Q x Q y P )( )( μ () ∫ =⇒= ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ − dyyg eyyg P x Q y P )( )( μ VD:... Thuần nhất 2/ Biến thieân C = C(x) Bernulli: y’ = a(x)y + b(x)y α ⇒ Chia y α Vi phân toàn phần P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0. ĐK: Nghiệm u(x, y) = C với u: x Q y P ∂ ∂ = ∂ ∂ ⎩ ⎨ ⎧ = = Qu Pu y x ' ' Thừa số tphân μ = μ (x) … PTVPC1: y’ = f(x, y) 4. DỤ VD: Giải () ( ) 4 12'1 +=−+ xyyx 1/ Phương trình thuần nhất: () xCyyy x y 0 0 1 2 ' =⇒= + − 2/ Biến thiên hằng số: (... () ∫ =⇒= ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ dxxf exxf Q x Q y P )( )( μ () ∫ =⇒= ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ − dyyg eyyg P x Q y P )( )( μ VD: Giải ptrình vi phân y(1 + xy)dx – xdy = 0 VD: Giải (3e 3x y – 2x)dx + (e 3x + siny) dy = 0 SGK, trang 194: Ch/minh (tìm) μ = μ (x 2 + y 2 ): dạng cho trước! 4. PT VI PHÂN CẤP 1 TUYẾN TÍNH y’ = a(x)y + b(x) (E): không thuần nhất (có vế phải) ⇒ PT thuần nhất (không vế phải)... tương ứng: y’ = a(x)y (E 0 ) Nhận dạng: y’ = f(x, y): Vế phải chỉ chứa y bậc 1 (ở tử số) y’ = f(x, y) = a(x)y + b(x): tuyến tính (bậc 1) theo y Tuyến tính theo x = x(y)! VD: Xác định phương trình tuyến tính: x exyyc =+ 3 '/ 3 2 '/ xy x ya =− ( ) 022/ 2 =−+ dyxyydxd 32 '/ xyeyb x =+ Không tuyến tính: Chứa y 2 , (y’) 3 . BẢN2 – PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHÂN LY BIẾN SỐ3 – PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TOÀN PHẦN4 – PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1 TUYẾN TÍNH5 – PT BERNULLITỰ ĐỌC: PT VI PHÂN KHÔNG. -------------------------------------------------------------------------------------TOÁN 4 – HK2 0607 CHUỖI VÀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN• BÀI 4: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1 (SINH VI N)• TS. NGUYỄN QUỐC LÂN (05/2007) NỘI

Ngày đăng: 24/08/2012, 16:37

TỪ KHÓA LIÊN QUAN

TÀI LIỆU CÙNG NGƯỜI DÙNG

TÀI LIỆU LIÊN QUAN

w