Tìm một phân số tối giản, biết rằng khi cộng mẫu số vào tử số và cộng mẫu số vào mẫu số của phân số ấy thì được một phân số mới, lớn gấp 2 lần phân số ban đầu.. Gọi phân số tối giản lúc[r]
(1)15 chuyên đề Số học Bồi dưỡng học sinh lớp Phiên V 1.0 CHUYÊN ĐỀ7 PHÂN SỐ- phân số tối giản
Dạng Tìm điều kiện để phân số phân số tối giản VD1 Cho phân số A
1 n n
( nz; n3) Tìm n để A phân số tối giản.
Giải.Muốn cho n n
phân số tối giản ƯCLN ( n+1; n-3) phải Ta có : ( n+1; n-3) = 1 ( n-3; ) = n-3 n số chẵn
VD2 Tìm số tự nhiên n để 193 n n A
a Có giá trị số tự nhiên ; b Là phân số tối giản c Với giá trị n khoảng từ 150 đến 170 phân số A rút gọn
Giải a
187 187 ) ( 193 n n n n n A
Để A N 187 4n + => 4n +3 17;11;187 + 4n + = 11 -> n = ; + 4n +3 = 187 > n = 46
+ 4n + = 17 -> 4n = 14 -> khơng có n N Vậy n = 2; 46 b.A tối giản 187 4n + có UCLN
-> n 11k + (k N) -> n 17m + 12 (m N) c) n = 156 -> 19;
77 A
n = 165 -> 39 89 A
; n = 167 -> 61 139 A
VD3 Cho a, b hai số nguyên tố Chứng minh
8 a b a b
phân số tối giản
Giải. Gọi d ước chung lớn 8a + 3b 5a + 2b Ta có:
8
a b d a b d
5
8 5 40 16 40 15
8 a b d
a b a b d a b a b d
a b d
b d (1)
Ta lại có:
8
a b d a b d
2
2 3 16 15
3 a b d
a b a b d a b a b d
a b d
a d
(2) Từ (1) (2) dƯC(a,b) Mà a, b hai số nguyên tố nhau, nên (a,b) = d =
8 a b a b
phân số tối giản.
* Bài tập.1 Cmr phân số sau tối giản với số tự nhiên n
1 n n
2 Tìm tất giá trị số tự nhiên n để phân số sau tối giản: , n N, n >3 3 Chứng tỏ với số tự nhiên n phân số sau tối giản:
16 12 n n
4 Chứng minh : 1230nn+1
+2 (n ∈ Z) tối giản
5 Chứng minh với n phân số
7 10
n n
phân số tối giản
Dạng Bài tốn có cách giải đặc biệt phân số
Mọi góp ý bạn đọc xin gửi địa chỉ: Lenhanvinh@gmail.com để tác giả hoàn thiện chương trình Xin trân trọng cảm ơn!
(2)15 chuyên đề Số học Bồi dưỡng học sinh lớp Phiên V 1.0
1 Tìm phân số có tử 5, biết phân số lớn
11 12
nhỏ
11 15
1 Gọi mẫu phân số cần tìm x
Ta có:
11 11 55 55 55
75 11x 60
12 x 15 60 11x 75 x
Vậy phân số cần tìm
5
2 Hãy viết phân số 15 11
dạng tổng phân số có tử số có mẫu số khác
2
11 44
(60) 1;2;3;4;5;6;10;1215;20;30;60
15 60 U ;
44 10 30 11 1 30 10 44
60 60 60 60 15 15
3 Tìm phân số tối giản
a
b nhỏ (với a
b 0) biết chia a b cho
7 15và
12
25 thương các
số nguyên 3 Ta có
7 15 12 25
: ; :
15 25 12
a a a a
b b b b Vì
a
btối giản nên ƯCLN(a;b) =1
.15 25 ; 12
a a
b b là số nguyên
nên a chia hết cho 12 15 25 chia hết cho b Do a BC(7;12) bƯC(15;25) Vì
a
blà phân số tối giản nhỏ lớn nên
a=BCNN(7;12) b = ƯCLN(15;25) nên a=84 ; b= Phân số cần tìm
84
4 Cho phân số
35 396
28
297 Tìm phân số nhỏ mà chia cho phân số ta được
một số nguyên ?
4 Gọi phân số phải tìm
x
y (x, y (x, y) = 1) Ta có:
35 396 :
396 35
x x
y y ;
28 297 :
297 28
x x
y y
Vì kết số nguyên nên 396x 35y 297x 28y
Mà (396; 35) = ; (297; 28) = (x; y) = 396 y 297 y; x35 x 28
Để
x
y nhỏ x nhỏ y lớn Do đó:
x = BCNN(35; 28) = 140 ; y = ƯCLN(396; 297) = 99 Vậy phân số phải tìm
140 99 .
5 Tìm phân số phân số
20
39, biết ƯCLN tử mẫu phân số 36.
5 Ta thấy ƯCLN(20,39)=1=> phân số
20
39 phân số tối giản Mà ƯCLN tử mẫu của
phân số cần tìm 36 Nên phân số cần tìm rút gọn thành
20
39 cách chia tử mẫu
cho 36 Vậy phân số cần tìm là:
20.36 720 39.36 1404
Mọi góp ý bạn đọc xin gửi địa chỉ: Lenhanvinh@gmail.com để tác giả hồn thiện chương trình Xin trân trọng cảm ơn!
(3)15 chuyên đề Số học Bồi dưỡng học sinh lớp Phiên V 1.0 6 Tìm phân số phân số 200520 biết tổng tử mẫu 306
6 Ta có 200520=
13 phân số tối giản nên phân số 200
520 có dạng tổng quát 5m 13m ( m ∈ Z , m 0) => 5m + 13m = 306 = > m = 17=> phân số cần tìm 85221
7 Tìm phân số tối giản, biết cộng mẫu số vào tử số cộng mẫu số vào mẫu số phân số phân số mới, lớn gấp lần phân số ban đầu ?
7 Gọi phân số tối giản lúc đầu ab Nếu cộng mẫu số vào mẫu số ta phân số a
b+b=
a
2b ; phân số nhỏ phân số a
b lần Để a2+bb gấp lần phân số lúc đầu a + b phải lần a
Mẫu số b phải gấp lần tử số a Phân số tối giản thoả mãn điều kiện 13 8. Tìm phân số ab thoả mãn điều kiện: 47<a
b<
3 7a+4b=1994 8 Ta có:
1994 1994 4 1994 1994 14
7 1994
7 7 3
b a b b b
a b a
b b b b
1994 1994 1994
4 249
8 231 249
1994 14 1994 26
4 230
3 13
b b
b b b
b
b b
7 1994 ; 2( )
4 k
a b b k k N b b N k l l N b l
33 236 150
226 244
231 249
34 243 146
7
l b a
l l
l b a
9 Tìm phân số b a
thoả mãn điều kiện: 21 10
4
b a
5a - 2b =
9 Từ 5a - 2b =3 a=( 3+ 2b )/5
Có a, b N 2b : dư 2b = 5k +2 k k=2n => b= 5n +1 nên a= 2n + ta có
4 10 21
n n
Với
1
n n
20n + <18n + 9 2n < n 0;1;2
Với 21
10
1
n n
42n+12 < 50n+10 9n >11 n=2 Vậy n = 11
5 b a
10 Tìm tất số tự nhiên n để phân số 1821nn++37 rút gọn
10 Giả sử 18n + 21n + chia hết cho số nguyên tố d => 18 n + d, 21n + d
=> 6( 21n + 7) – 7(18n + 3) d => 21 d => d ∈ Ư(21) = { ; 7}
Mà 21n + Không chia hết cho => d ≠ 3
Ta lại có 21n + 7 => 18n + => 18n + – 21
=> 18(n - 1) mà (18; 7) = => n – 1 = > n = 7k + 1(k ∈ N)
Mọi góp ý bạn đọc xin gửi địa chỉ: Lenhanvinh@gmail.com để tác giả hoàn thiện chương trình Xin trân trọng cảm ơn!
(4)15 chuyên đề Số học Bồi dưỡng học sinh lớp Phiên V 1.0 Vậy để phân số 1821nn+3
+7 rút gọn n = 7k + 1(k ∈ N)
11 Tìm số nguyên n để phân số 2 1
3 2
n n
rút gọn được.
11 Gọi d ước chung 2n-1 3n+2 Ta có: 3( 2n-1 ) - 2( 3n+2 ) d nên -7 d Để phân số
2 1
3 2
n n
rút gọn được, ta phải có 2n - 17 2n-1+77 2(n+3)7 n+37 Vậy với n = 7k - ( k Z ) phân số
2 1
3 2
n n
rút gọn được
Mọi góp ý bạn đọc xin gửi địa chỉ: Lenhanvinh@gmail.com để tác giả hồn thiện chương trình Xin trân trọng cảm ơn!