Rèn luyện kĩ năng vận dụng hằng đẳng thức để giải phương trình bậc ba

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC NGUYỄN THU HÀ RÈN LUYỆN KĨ NĂNG VẬN DỤNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐỂ GIẢI PHƢƠNG TRÌNH BẬC BA LUẬN VĂN THẠC SĨ SƢ PHẠM TOÁN HÀ NỘI – 2020 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC NGUYỄN THU HÀ RÈN LUYỆN KĨ NĂNG VẬN DỤNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐỂ GIẢI PHƢƠNG TRÌNH BẬC BA LUẬN VĂN THẠC SĨ SƢ PHẠM TOÁN Chuyên ngành: Lý luận Phƣơng pháp dạy học mơn Tốn Mã số: 8140111 Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu HÀ NỘI – 2020 LỜI CẢM ƠN Sau thời gian dài nghiên cứu, học tập làm việc nghiêm túc, em hoàn thành luận văn tốt nghiệp Trƣớc trình bày nội dung luận văn, em xin bày tỏ lòng biết ơn đến ngƣời giúp đỡ, bên cạnh em suốt thời gian qua Điều đầu tiên, em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến tồn thể thầy giáo trƣờng Đại học Giáo Dục – Đại học Quốc gia Hà Nội truyền đạt cho em bao kiến thức quý báu hoài bão suốt thời gian học tập nghiên cứu Nhân dịp em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu – Trƣờng Đại học Khoa học Tự nhiên – ĐH Quốc Gia Hà Nội, thầy quan tâm, giúp đỡ, tận tình bảo, hƣớng dẫn em suốt trình thực luận văn tốt nghiệp Không đƣợc giúp đỡ mặt chuyên môn, q trình làm việc, em cịn học hỏi đƣợc tinh thần làm việc khoa học đầy trách nhiệm từ thầy, từ tích lũy đƣợc kiến thức kinh nghiệm quý báu cho thân Dù cố gắng song luận văn em tránh khỏi thiếu sót Em mong nhận đƣợc nhận xét lời góp ý từ phía thầy cô bạn đọc để luận văn em đƣợc hoàn thiện Em xin chân thành cảm ơn Hà Nội, tháng 11 năm 2020 Tác giả Nguyễn Thu Hà i DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT ĐC Đối chứng HS Học sinh Nxb Nhà xuất TN Thực nghiệm THCS Trung học sở VP Vế phải VT Vế trái ii DANH MỤC CÁC BẢNG Bảng 3.1 So sánh kết kiểm tra 45 phút lớp thực nghiệm lớp đối chứng sau trình thực nghiệm 68 Bảng 3.2 Tỷ lệ số dƣới trung bình lớp thực nghiệm lớp đối chứng 69 iii MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN i DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT ii DANH MỤC CÁC BẢNG iii MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu đề tài Nhiệm vụ nghiên cứu Câu hỏi nghiên cứu Đối tƣợng, khách thể nghiên cứu Giả thuyết nghiên cứu Phạm vi nghiên cứu Phƣơng pháp nghiên cứu Những đóng góp đề tài 10 Cấu trúc luận văn CHƢƠNG CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ CƠ SỞ THỰC TIỄN 1.1 Kĩ giải toán 1.1.1 Kĩ gì? 1.1.2 Kĩ giải toán 10 1.1.3 Kĩ giải phƣơng trình bậc ba 15 1.2 Phƣơng pháp dạy học giải tập toán học 15 1.2.1 Vị trí, chức vai trị tập toán học 15 1.2.2 Quy trình giải tốn theo bốn bƣớc Polya 15 1.3 Vấn đề rèn luyện kĩ giải toán cho học sinh dạy học “Phƣơng trình bậc hai ẩn” – Đại số trung học sở 16 1.3.1 Việc rèn luyện kĩ giải toán cho học sinh dạy học “Phƣơng trình bậc hai ẩn” – Đại số trung học sở 16 iv 1.3.2 Những khó khăn sai lầm học sinh thƣờng gặp giải tốn “Phƣơng trình bậc ẩn” – Đại số trung học sở 20 1.4 Thực trạng việc rèn luyện kĩ giải phƣơng trình bậc ba trƣờng trung học sở 22 1.4.1 Về phía học sinh 22 1.4.2 Về phía giáo viên 23 Kết luận chƣơng 25 CHƢƠNG RÈN LUYỆN KĨ NĂNG VẬN DỤNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐỂ GIẢI PHƢƠNG TRÌNH BẬC BA 26 2.1 Một số đẳng thức đại số lƣợng giác 26 2.2 Rèn luyện kĩ dùng đẳng thức để giải phƣơng trình bậc ba 27 2.2.1 Dạng Phƣơng trình nhẩm đƣợc nghiệm 28 2.2.2 Dạng Phƣơng trình khơng nhẩm đƣợc nghiệm 37 Kết luận chƣơng 62 CHƢƠNG 63 THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM 63 3.1 Mục đích nhiệm vụ thực nghiệm sƣ phạm 63 3.1.1 Mục đích thực nghiệm sƣ phạm 63 3.1.2 Nhiệm vụ thực nghiệm sƣ phạm 63 3.2 Hoạt động thực nghiệm sƣ phạm 63 3.2.1.Chọn đối tƣợng thực nghiệm 63 3.2.2 Bố trí thực nghiệm 64 3.2.3 Nội dung thực nghiệm 64 3.2.4 Giáo án đề kiểm tra thực nghiệm 66 3.3 Phân tích kết thực nghiệm 66 3.3.1 Đánh giá định tính 66 3.3.2 Đánh giá định lƣợng 67 Kết luận chƣơng 71 v KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ 72 Kết luận 72 Khuyến nghị 73 TÀI LIỆU THAM KHẢO 74 PHỤ LỤC vi MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Trong mơn Tốn, khả tiếp thu kiến thức vận dụng kiến thức, thơng minh, tính sáng tạo học sinh đƣợc đánh giá thông qua việc giải tập Từ việc giải tập, học sinh rút phƣơng pháp giải, cách biến đổi hay nhận dạng nhanh dạng để từ có cách giải nhanh Tuy nhiên, q trình nhận thức địi hỏi nhiều thời gian lực học sinh Chính vậy, việc hệ thống kiến thức thông qua phƣơng pháp giải, dạng tập giúp học sinh định hƣớng làm tốt Để làm đƣợc điều địi hỏi giáo viên trƣớc hết phải có trình độ kiến thức chuyên môn vững vàng, học sinh cần có kĩ học tập tốt Giải phƣơng trình bậc ba dạng tập trọng điểm chƣơng trình Trung học sở, thƣờng xun có mặt đề Olympic, thi vào trƣờng chuyên hay thi học sinh giỏi cấp Đây dạng tập gây khơng khó khăn cho học sinh làm cơng cụ giải tốn cịn hạn chế Để vận dụng đƣợc đẳng thức vào việc giải phƣơng trình bậc ba địi hỏi ngƣời học phải có tƣ nhanh nhạy, sử dụng đẳng thức cách linh hoạt Không vậy, dạng tập phƣơng trình bậc ba đa dạng khơng địi hỏi nhiều kỹ thuật phức tạp “Dùng đẳng thức” phƣơng pháp thƣờng gặp tốn đại số nói chung tập phƣơng trình bậc ba nói riêng Đây phƣơng pháp có tính ứng dụng cao, dễ sử dụng tập mức độ bản, nhiên đòi hỏi khéo léo, sáng tạo, tự logic ngƣời dùng áp dụng tốn kinh điển Vì lý trên, định chọn đề tài: “Rèn luyện kĩ vận dụng đẳng thức để giải phương trình bậc ba” Đề tài tơi tập trung nói giải phƣơng trình bậc ba thơng qua ví dụ tập, đề xuất phƣơng án giải tốn để học sinh có cách nhìn nhận tổng qt dạng này, từ có cách giải nhanh hợp lý cho phƣơng trình, đồng thời phục vụ tốt cho học sinh dự thi vào 10, thi vào trƣờng chuyên hay thi học sinh giỏi qua năm Mục đích nghiên cứu đề tài Qua việc phân tích số tốn phƣơng trình bậc hai, phƣơng trình bậc ba, đề tài đƣa số kỹ thuật giúp học sinh giải đƣợc tốn phƣơng trình bậc ba nhanh hiệu Từ nghiên cứu tổ chức dạy học nội dung “Vận dụng đẳng thức để giải phƣơng trình bậc ba” cho học sinh giỏi lớp 9, góp phần nâng cao chất lƣợng dạy học mơn Tốn Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu tổng hợp sở lý luận hình thành rèn luyện kĩ giảng dạy nội dung “Vận dụng đẳng thức để giải phƣơng trình bậc ba” Phân tích hệ thống lại số đẳng thức, phƣơng trình bậc hai hay gặp số phƣơng pháp giải dạng phƣơng trình bậc ba chƣơng trình Tốn THCS; trọng, nghiên cứu sâu phƣơng pháp “dùng đẳng thức” Xác định sở hệ thống hƣớng tƣ cần rèn luyện cho học sinh dạy học nội dung “Vận dụng đẳng thức để giải phƣơng trình bậc ba” Nghiên cứu cách tổ chức dạy học nội dung “Rèn luyện kĩ vận dụng đẳng thức để giải phƣơng trình bậc ba” nhằm rèn luyện kĩ cho học sinh Thiết kế số giáo án giảng dạy nội dung “Rèn luyện kĩ vận dụng đẳng thức để giải phƣơng trình bậc ba” Thực nghiệm sƣ phạm Câu hỏi nghiên cứu Năng lực gì? Đặc điểm vai trị lực gì? Kĩ gì? Những yếu tố ảnh hƣởng hình thành kĩ năng? nghiệm phƣơng trình d c c 4) Nếu     x   nghiệm a b b phƣơng trình Phƣơng trình dạng x3  3x  m II Bài tập Bài Giải phƣơng trình a) 3x3  x2  27 x   (1a) Lời giải Phƣơng trình (1a) tƣơng đƣơng với x2  3x  1   3x  1  - Bài tốn - Bài tốn nhẩm nhẩm đƣợc nghiệm gì? - Có thể dùng cách để tìm đƣợc nghiệm?   3x  1  x    đƣợc   3x  1 x  3 x  3   x  3 x      x    x    x  3  x    - Dùng phƣơng  pháp phân tích Vậy phƣơng trình (1a) có nghiệm đa thức thành 1  nhân tử học x   ;3; 3 3  lớp b) x3  3x2  x   nghiệm x  Lời giải Phƣơng trình (1b) tƣơng đƣơng với x2  x  1  x  x  1   x  1  - Bài tốn   x  1  x  x  8  (1b) nhẩm đƣợc   x  1 x   x    - Bài toán nghiệm x  nhẩm x    x  2   x  đƣợc - Bài tốn Vậy phƣơng trình (1b) có nghiệm nghiệm dạng đặc biệt x  1; 2;4 abcd 0 gì? - Phát dạng đặc biệt nào?   Bài Giải phƣơng trình x3  3x  (2) Lời giải Phƣơng trình (2) có nghiệm 1 1 Đặt   a3   với a   17 2 a  Khi phƣơng trình (2) trở thành - Nhận xét dạng tốn nào? - Cách giải dạng gì? 1  - Bài toán thuộc x  3x   a   2 a  dạng  1  1      x  3x    a       a    x  3x  m a  a  2 2 Với m 1 1  x  a   - Cách giải: 2 a Đặt  x   17   17 1   a   2 a  Vậy phƣơng trình có nghiệm dùng đẳng x   17   17 thức chứng minh    Bài Giải phƣơng trình  x3  3x  (3) Lời giải - Bài toán thuộc Đặt  cos  dạng x  3x  m Với m  - Nhận xét - Cách giải: Đặt  cos  dạng toán dùng đẳng nào? Áp dụng đẳng thức: cos  4cos3  3cos  x3  3x  4cos3   3cos  Nên nghiệm phƣơng trình (3) là: cos    2  ; x2,3  cos   (với cos     Cách minh ) giải dạng gì? Bài Giải phƣơng trình x3  3x  (4) Lời giải 1  - Bài toán thuộc Đặt   a  a3  với a   24 dạng x  3x  m Với m  - Cách giải: - Nhận xét Đặt Phƣơng trình (3) trở thành thức chứng x1  -  Khi (2) trở thành 1 1 x3  3x   a   2 a  1   1    x  3x    a       a    a  a  2 2 1  1 1 dạng toán   a  a3   x   a     2 a nào? dùng đẳng thức chứng - x Cách minh   24   24  giải dạng gì? Vậy phƣơng trình (4) có nghiệm x   24   24  Tiết Giáo viên Học sinh lắng I Lý thuyết tóm tắt lý nghe, ghi chép, Phƣơng trình dạng A3  B3   A  B 3 thuyết thực A3  B3  A3  B3  AB( A  B) đƣa hệ nhiệm vụ  AB( A  B)  thống A  tập, hƣớng  B   dẫn học  A   B sinh nhận Phƣơng trình dạng x3  px  q  dạng, phân II Bài tập tích giải Bài Giải phƣơng trình toán 3 (5) 125 x3   x  1   3x  1  giống nhƣ tiết   5x    x  1   3x  1 3 (*) Đặt A  x  1; B  3x  Phƣơng trình (*) trở thành:  A  B   A3  B3  AB( A  B)   x   A  2 x     B   3 x     x      A  B  5 x  x    Vậy phƣơng trình (5) có nghiệm  1 x   ;0;   3 Bài Giải phƣơng trình a) x3  x   (6) Đặt x  2t Phƣơng trình (6) trở thành 16 2t  12 2t   (7)  4t  3t   Đặt  1    a3    a    a  2 Phƣơng trình (7) trở thành: 1 1 4t  3t   a3   2 a  1   1    4t  3t    a       a    a  a  2 2 1 1  t  a   2 a 1 3 3  t  3      2 2 2    3 3   x  2        2 2   Vậy phƣơng trình (6) có nghiệm  3 3   x       2 2   b) x3  x  30  (8) Đặt x  3t  24 3t  18 3t  30   4t  3t  1 1 Đặt   a3    a   2 a  1 1 Phƣơng trình trở thành 4t  3t   a3   2 a  1   1    4t 3t    a       a    a  a  2 2 1 1  t  a   2 a t  13 5  52 x  5  52  c) x3  3x   Đặt x  2t 8t  6t   4t  3t   Đặt   cos  Áp dụng đẳng thức cos  4cos3   3cos phƣơng trình trở thành 4t  3t  cos  4t  3t  4cos3   3cos      2   t1  cos ; t2,3  cos   (với   cos    )     2   x1  2cos ; x2,3  2cos   (với   cos    ) Tiết Giáo viên Học sinh lắng I Lý thuyết tóm tắt lý nghe, thuyết chép, đƣa hệ thống vụ ghi Phƣơng trình bậc ba dạng tổng quát thực ax3  bx  cx  d  , a  nhiệm Phƣơng pháp: Đƣa dạng học II Bài tập  , tập, Bài Giải phƣơng trình hƣớng x  x  3x   dẫn học (1.1) Đặt x  y  sinh nhận Phƣơng trình (1.1) trở thành dạng,  y  2 phân tích giải   y    3 y      y3  15 y  24  (1.2) toán Đặt y  5t giống nhƣ Phƣơng trình (1.2) trở thành: tiết 40 5t  30 5t  24  tiết  4t  3t   Đặt  12 (1.3) 5 12   12 19  a    a    a  5 2 5 5 Phƣơng (1.3) trở thành 1 1 4t  3t   a3   2 a  1   1    4t  3t    a       a    a  a  2 2 1 1  t  a   2 a 1 12 19 12 19 t  3      2 5 5 5 5       12 19 12 19  t  5       5 5 5 5       12 19 12 19  y  5       5 5 5 5       12 19 12 19  x  5       5 5 5 5   2   Vậy phƣơng trình (1.1) có nghiệm là:  12 19 12 19 x  5       5 5 5 5   2   Bài Giải phƣơng trình 2 x3  18x2  x   (2.1) Đặt x  y  Phƣơng trình (2.1) trở thành 2  y  3  18  y  3   y  3    y3  48 y  91  (2.2) Đặt y  2t Phƣơng trình (2.2) trở thành 256 2t  192 2t  91   4t  3t   Đặt  91 64 91  cos 64 Áp dụng đẳng thức cos  4cos3 có: (2.3)   3cos  , ta 4t  3t  4cos3   3cos      2   t1  cos ; t2,3  cos   (với   cos    91 ) 64     2   y1  cos ; y2,3  cos   (với   cos    91 ) 64  x1  cos (với cos        2  3; x2,3  cos    3  91 ) 64 Vậy phƣơng trình (2.1) có nghiệm phân biệt x1  cos     2  3; x2,3  cos   (với cos    91 ) 64 Bài Giải phƣơng trình x3  3x2  x  20  (3.1) Đặt x  y  Phƣơng trình (2.1) trở thành  y  1  3 y  1   y  1  20   y3  y  16  Đặt y  2t (3.2)  3  Phƣơng trình (3.2) trở thành 8t  6t  16   4t  3t  1 1 Đặt   a3    a   65 2 a  1   1    4t  3t    a       a    a  a  2 2 1 1  t  a   2 a t   8 65   65   y   65   65  x   65   65  Vậy phƣơng trình (3.1) có nghiệm là: x   65   65  Hoạt động Tổng kết Giáo viên: yêu cầu học sinh nêu “con đƣờng” thực để tìm phƣơng pháp giải dạng tốn từ việc giải tập cụ thể Hoạt động Hƣớng dẫn nhà Học sinh viết báo cáo học sau sáng tạo thêm số toán toán tƣơng tự theo dạng vừa tìm đƣợc ĐỀ KIỂM TRA Thời gian làm bài: 45 phút Bài (3 điểm) Giải phƣơng trình x3  3x2  x  54  (1.1) Bài (4 điểm) Giải phƣơng trình a) x3  3x  4 (2.1) b) 12 x3  x   (3.1) Bài (3 điểm) Giải phƣơng trình x3  x2  12 x   (4.1) ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM Bài Điểm Nội dung GIải phƣơng trình x3  3x2  x  54  điểm (1.1) điểm   x3  54    3x  x   0,5   x3  27   3x  x  3  0,25   x  3  x  x    x  x    0,25   x  3  x  x  18  3x   0,25   x  3  x  3x  18  0,25 * TH1: x   0,5  x3 * TH2: x2  3x  18  Xét: (1.2) 0,5   32  9.4.18   639   Phƣơng trình (1.2) vơ nghiệm Vậy phƣơng trình (1.1) có nghiệm x = Giải phƣơng trình a) x3  3x  4 0,5 điểm (2.1) điểm 1 1 Đặt   a3    a  4  15 2 a  0,5 Phƣơng trình (2.1) trở thành 0,5 1 1 x3  3x   a   2 a  1   1    x  3x    a       a    a  a  2 2 1 1  x  a   2 a x  0,5 4  15  4  15  Vậy phƣơng trình (2.1) có nghiệm x b)  4  15  4  15 0,5  12 x3  x   (3.1) Phƣơng trình (3.1)  12 x3  x   x3  3x  điểm 0,25 0,5 Đặt  cos  Áp dụng đẳng thức cos  4cos3   3cos  , ta có: Phƣơng trình (3.1) trở thành: x3  3x  4cos3   3cos   x1  cos ; x2,3  cos  với cos     2 3 (với cos   0,75 ) Vậy phƣơng trình (3.1) có nghiệm phân biệt  x1  cos ; x2,3  cos 3   2 (với cos   0,5 ) Giải phƣơng trình điểm x3  x2  12 x   Đặt x  y  phƣơng trình (4.1) trở thành: (4.1) điểm 0,25  y  1   y  1  12  y  1    y3  y    y3  y   0,25 (4.2) Đặt y  2t phƣơng trình (4.2) trở thành: 8t  6t   0,25  4t  3t   0,25 (4.3) 1 Đặt    a3    a    2 a  4 0,5  a  ; a  2 Phƣơng trình (4.3) trở thành: 0,25 1 1 4t  3t   a3   2 a  1  1   1    4t  3t   a3      a       a    2 a  a  a  2 2 1 1  t  a   2 a 0,5  1  t    2  2  y3  2 0,25 x 3  2  0,25 Vậy phƣơng trình (4.1) có nghiệm x 3  2  0,25 ... cho giải pháp rèn luyện kĩ giải toán giải phƣơng trình bậc ba cho học sinh THCS đƣợc trình bày chƣơng 25 CHƢƠNG RÈN LUYỆN KĨ NĂNG VẬN DỤNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐỂ GIẢI PHƢƠNG TRÌNH BẬC BA 2.1 Một số đẳng. .. luyện kĩ vận dụng đẳng thức để giải phƣơng trình bậc ba? ?? nhằm rèn luyện kĩ cho học sinh Thiết kế số giáo án giảng dạy nội dung ? ?Rèn luyện kĩ vận dụng đẳng thức để giải phƣơng trình bậc ba? ?? Thực nghiệm... ? ?Vận dụng đẳng thức để giải phƣơng trình bậc ba? ?? theo hƣớng rèn luyện kĩ có điểm cần quan tâm? Đối tƣợng, khách thể nghiên cứu Đối tƣợng nghiên cứu: Rèn luyện kĩ vận dụng đẳng thức để giải phương