Vấn đề nhận giá trị của hàm hữu tỷ trên trường đóng đại số đặc trưng không và áp dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC VŨ THỊ THÙY DUNG VẤN ĐỀ NHẬN GIÁ TRỊ CỦA HÀM HỮU TỶ TRÊN TRƯỜNG ĐĨNG ĐẠI SỐ, ĐẶC TRƯNG KHƠNG VÀ ÁP DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - Năm 2014 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC VŨ THỊ THÙY DUNG VẤN ĐỀ NHẬN GIÁ TRỊ CỦA HÀM HỮU TỶ TRÊN TRƯỜNG ĐÓNG ĐẠI SỐ, ĐẶC TRƯNG KHÔNG VÀ ÁP DỤNG Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60460113 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS VŨ HOÀI AN Thái Nguyên - Năm 2014 i Mục lục Mục lục i Lời cam đoan ii Lời cảm ơn iii Bảng ký hiệu iv Mở đầu v Về vấn đề nhận giá trị hàm phân hình p-adic 1.1 1.2 Về vấn đề nhận giá trị hàm số thực toán học trung học phổ thông 1.1.1 Các định lý xác định tập giá trị hàm số liên tục 1.1.2 Các phương pháp tìm tập giá trị Về vấn đề nhận giá trị hàm phân hình p-adic 18 1.2.1 Hàm đặc trưng hàm phân hình p-adic 18 1.2.2 Một số kết lý thuyết Nevanlinna p-adic 21 Vấn đề nhận giá trị hàm hữu tỷ trường đóng đại số, đặc trưng không áp dụng 2.1 Vấn đề nhận giá trị hàm hữu tỷ trường đóng đại số, đặc trưng không 2.2 25 26 Một số áp dụng Định lý nhận giá trị hàm hữu tỷ trường đóng đại số, đặc số khơng 34 Kết luận 36 Tài liệu tham khảo 37 ii Lời cam đoan Tôi xin cam đoan luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Phương pháp toán sơ cấp với đề tài “Vấn đề nhận giá trị Hàm hữu tỷ trường đóng đại số, đặc trưng khơng áp dụng” tơi Các tài liệu trích dẫn đầy đủ Tác giả Vũ Thị Thùy Dung iii Lời cảm ơn Trước hết, xin gửi lời biết ơn chân thành sâu sắc tới TS Vũ Hoài An Sau trình nhận đề tài nghiên cứu hướng dẫn khoa học Thầy, luận văn “Vấn đề nhận giá trị Hàm hữu tỷ trường đóng đại số, đặc trưng không áp dụng” hồn thành Tơi xin cảm ơn GS.TSKH Hà Huy Khoái, GS.TSKH Nguyễn Tự Cường, PGS TS Lê Thị Thanh Nhàn, PGS TS Đàm Văn Nhỉ, PGS.TS Trịnh Thanh Hải có nhiều ý kiến quý báu để tác giả hồn thành luận văn Tơi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban Giám hiệu, Phòng Đào tạo - Khoa học - Quan hệ quốc tế Khoa Toán - Tin Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên tạo điều kiện thuận lợi suốt trình học tập trường thời gian tơi hồn thành đề tài Sự giúp đỡ nhiệt tình thái độ thân thiện cán thuộc Phịng Đào tạo Khoa Tốn - Tin để lại lịng chúng tơi ấn tượng tốt đẹp Tôi xin cảm ơn Sở Giáo dục Đào tạo Hải Phòng Trường trung học phổ thông Hồng Bàng nơi cơng tác tạo điều kiện cho tơi hồn thành khóa học Tơi xin cảm ơn gia đình, bạn bè đồng nghiệp thành viên lớp cao học Tốn K6B (khóa 2012 - 2014) quan tâm, tạo điều kiện, động viên cổ vũ để tơi hồn thành nhiệm vụ Thái Ngun, tháng năm 2014 Tác giả Vũ Thị Thùy Dung iv Bảng ký hiệu f n(f, a) T (f ) K Hàm hữu tỷ Hàm đếm f điểm a Hàm đặc trưng f Trường đóng đại số, đặc trưng không v Mở đầu Lý chọn đề tài Năm 1983, R C Mason chứng minh định lý đẹp sau cho đa thức (xem [2]): Định lý A Giả sử a(t), b(t), c(t) đa thức với hệ số phức, nguyên tố cặp thỏa mãn hệ thức a(t)+b(t) = c(t) Khi đó, ký hiệu n0 (f ) số nghiệm phân biệt đa thức f , ta có max{dega, degb, degc} n0 (abc) − Mặt khác, [5], Hà Huy Khoái Mai Văn Tư chứng minh kết sau đây: Định lý B Giả sử f hàm phân hình Cp , a1 , , aq ∈ Cp ∪ {∞} Khi q (q − 2)Tf (r) N1,f (ai , r) − log r + O(1) i=1 Xét đa thức f (x) ∈ Cp [x], degf = d Viết f (x) = (x − z1 )m1 (x − zk )mk Ta có Tf (r) = d log r, N1,f (0, r) = k log r Từ quan sát hai định lý trên, thấy có tương tự bậc đa thức f : degf với Hàm đặc trưng hàm phân hình p-adic: Tf (r); Số nghiệm đa thức f : n0 (f ) với Hàm đếm không điểm f tính với bội 1: N1,f (0, r) Nhận xét gợi ý cho việc tương tự Định lý B Hàm hữu tỷ trường đóng đại số, đặc trưng khơng Từ nhận lại Định lý A hệ Theo hướng nghiên cứu này, xem xét Vấn đề nhận giá trị Hàm hữu tỷ trường đóng đại số, đặc trưng không áp dụng vi Mục tiêu nghiên cứu 2.1 Tổng hợp, trình bày kết [1] Các kết tương tự Định lý B cho hàm hữu tỷ trường đóng đại số, đặc trưng không (Định lý 2.1.11, Định lý 2.1.12) 2.2 Trình bày lại áp dụng Định lý 2.1.11, Định lý 2.1.12, có cách chứng minh khác cho Định lý Mason(xem [1]) Nội dung nghiên cứu Vấn đề Xét vấn đề nhận giá trị hàm số thực toán học trung học phổ thông Xét vấn đề nhận giá trị hàm phân hình p-adic Vấn đề Xét vấn đề nhận giá trị hàm hữu tỷ trường đóng đại số, đặc trưng khơng Kết nghiên cứu 4.1 Tổng hợp trình bày ví dụ vấn đề nhận giá trị hàm số thực tốn học trung học phổ thơng.Tổng hợp trình bày tổng quan số kết có liên quan Lý thuyết Nevanlinna p-adic 4.2 Tổng hợp trình bày lại định lý nhận giá trị [1] áp dụng Trong luận văn này, chúng tơi trình bày kết [1], kết tương tự hai định lý Lý thuyết Nevalinna cho hàm hữu tỷ trường đóng đại số, đặc trưng khơng Từ trình bày lại hai áp dụng, có chứng minh khác Định lý Mason Cụ thể là: • Định lý 2.1.11, Định lý 2.1.12 • Từ Định lý 2.1.11 nhận Định lý 2.2.1 Định lý 2.2.1 điều kiện đủ để xác định hữu tỷ hàm • Từ Định lý 2.1.12 nhận Định lý 2.2.2 - Định lý Mason vii Luận văn tài liệu tham khảo có ích cho giáo viên Tốn trung học phổ thơng, học viên Cao học chuyên ngành Phương pháp toán sơ cấp Bố cục luận văn Luận văn chia làm hai chương với phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo Chương Trong chương tổng hợp trình bày nội dung vấn đề nhận giá trị đối hàm số thực toán học trung học phổ thông vấn đề nhận giá trị đối hàm phân hình p-adic Chương Trong chương chúng tơi tổng hợp trình bày lại vấn đề nhận giá trị hàm hữu tỷ trường đóng đại số, đặc trưng khơng áp dụng (xem [1]) Chương Về vấn đề nhận giá trị hàm phân hình p-adic Trong chương 1, chúng tơi trình bày vấn đề nhận giá trị hàm số thực tốn học phổ thơng hàm phân hình p-adic[5-6] 1.1 Về vấn đề nhận giá trị hàm số thực toán học trung học phổ thông Vấn đề nhận giá trị hàm số thực toán học trung học phổ thông sau: Cho f hàm số thực sơ cấp với tập xác định D, a ∈ R ∪ {∞} Hãy xét f có nhận a ? Cơng cụ để giải vấn đề định lý hàm liên tục khả vi [3], điều kiện có nghiệm số kiểu phương trình tốn học trung học phổ thơng 1.1.1 Các định lý xác định tập giá trị hàm số liên tục Ở chúng tơi trình bày lại kiến thức [3] Định nghĩa 1.1.1 Cho hàm f : A → R; x0 ∈ A Nếu ∀ε > 0, ∃δ(ε) > cho ∀x ∈ A : |x − x0 | < δ, |f (x) − f (x0 )| < ε ta nói f liên tục điểm x0 • Nếu f liên tục điểm x0 ∈ A ta nói f liên tục A 23 mf (X; r) = max (Tfi (r) + TF (r)), i Tf (X; r) = Nf (X; r) + mf (X; r), Tf (X; r) = TF (r) Định nghĩa 1.2.5 Đường cong chỉnh hình p-adic f : Cp → Pn (Cp ) gọi khơng suy biến tuyến tính ảnh f không chứa siêu phẳng Pn (Cp ) Đường cong chỉnh hình p-adic f : Cp → P1 (Cp ) gọi khác ảnh f không điểm P1 (Cp ) Bổ đề 1.2.6 Giả sử f = (f1 , f2 ) : Cp → P1 (Cp ) đường cong chỉnh hình p-adic khác số Khi Wronskian W = W (f1 , f2 ) = det f1 f2 f1 f2 không đồng không Định lý 1.2.7 (Định lý Nevanlinna p-adic thứ nhất) Giả sử f = (f1 , f2 ) : Cp → P1 (Cp ) đường cong chỉnh hình p-adic X điểm P1 (Cp ) cho ảnh f không chứa X Khi ta có Tf (X, r) = Tf (r) + O(1), O(1) đại lượng bị chặn r → ∞ Định lý 1.2.8 (Định lý Nevanlinna Cartan p-adic cho đường cong chỉnh hình từ Cp vào P1 (Cp )) Giả sử f = (f1 , f2 ) đường cong chỉnh hình p-adic khác từ Cp vào P1 (Cp ); Xi = (ai1 , ai2 ), i = 1, 2, , q q điểm phân biệt P1 (Cp ) Khi q (q − 2)Tf (r) N1,f (Xi ; r) − logr + O(1) i=1 24 Bổ đề 1.2.9 Với q > 2, giả sử X1 , X2 , , Xq q điểm phân biệt P1 (Cp ) Khi F đường cong chỉnh hình p-adic khác số từ Cp đến Pk−1 (Cp ), k = Cqq−2 Bổ đề 1.2.10 (q − 2)Tf (r) + O(1) TF (r) Định lý 1.2.11 (Định lý Nevanlinna-Cartan p-adic cho hàm phân hình padic) Cho f hàm phân hình khác Cp a1 , , aq ∈ Cp Khi q (q − 1)Tf (r) N1,f (ai , r) − logr + O(1) N1,f (∞, r) + i=1 Định lý 1.2.12 Cho f đường cong chỉnh hình khơng suy biến tuyến tính từ Cp đến Pn (Cp ), H1 , , Hq siêu phẳng vị trí tổng quát Khi q (q − n − 1)Tf (r) Nk,f (Hi , r) − i=1 n(n + 1) logr + O(1) Cách chứng minh định lý gồm: Bước Đưa đẳng thức bất đẳng thức môđun hàm Bước Áp dụng công thức Poisson p-adic để chuyển đẳng thức, bất đẳng thức Bước thành đẳng thức, bất đẳng thức hàm đặc trưng hàm đếm Bước Xét ảnh hưởng đạo hàm đến không điểm hàm Phương pháp chứng minh Định lý tương tự cho Hàm hữu tỷ K (xem [1].) 25 Chương Vấn đề nhận giá trị hàm hữu tỷ trường đóng đại số, đặc trưng không áp dụng Vấn đề nhận giá trị hàm hữu tỷ trường đóng đại số, đặc trưng không sau: Cho f hàm hữu tỷ trường đóng đại số K, đặc trưng không, a1 , , aq ∈ K ∪ {∞} Hãy xét: Mối quan hệ hàm độ cao với hàm đếm f q = Mối quan hệ hàm độ cao hàm đếm f trường hợp khơng tính đến yếu tố rẽ nhánh Mối quan hệ gữa hàm độ cao hàm đếm f trường hợp tính đến yếu tố rẽ nhánh Chúng ý rằng, khái niệm độ cao, hàm đếm hàm hữu tỷ f định nghĩa thông qua bậc, không điểm đa thức xác định f Vấn đề nghiên cứu tương tự vấn đề nghiên cứu Hà Huy Khoái - Mai Văn Tư [5] Hu, P.C Yang, C.C Tuy nhiên cách giải vấn đề nêu [1] có khác Lúc này, K khơng trường đầy đủ nên ta không dùng khái niệm giới hạn xây dựng khái niệm chứng minh định lý Chẳng hạn, khơng dùng tích phân, khơng dùng 26 hoàn toàn chứng minh định lý liên quan môđun không điểm tiến vô hạn Cũng mà xét vấn đề hàm hữu tỷ Giả thiết K trường đóng đại số cần thiết Các ví dụ sau minh họa cho điều Ví dụ C Xét đa thức f (x) = (x − 1)(x − 2)(x − 4) ∈ R[x], R trường số thực Khi đó, bậc f d(f ) = số không điểm f (x) n(f ) = Ta có d(f ) = n(f ) Ví dụ D Xét g(x) = f (x)f1 (x) ∈ R[x], f1 (x) = x2k + ∈ R[x], k số ngun dương Chú ý f1 (x) khơng có nghiệm R Khi bậc g(x) d(g) = 2k + số không điểm g R n(g) = Ta có d(g) > n(g) Ví dụ E Xét f1 (x) = x2k + ∈ R[x], k số nguyên dương Khi bậc f1 (x) d(f1 ) = 2k số không điểm f1 R n(f1 ) = Ta có d(f1 ) > Để ý R trường khơng đóng đại số Vì ví dụ C ví dụ D, mối quan hệ bậc không điểm đa thức tầm thường Ngoài ra, giả thiết K trường đóng đại số cịn cần thiết để định nghĩa khái niệm độ cao đường cong hữu tỷ từ K vào Pn (K) mà chúng tơi trình bày sau 2.1 Vấn đề nhận giá trị hàm hữu tỷ trường đóng đại số, đặc trưng khơng Cho K trường, K trường đóng đại số đa thức ẩn, có bậc khác khơng, với hệ số K có nghiệm K Định nghĩa đặc trưng trường: Số gọi đặc trưng trường K ∀n ∈ N : n1 = Nếu có số tự nhiên n thỏa mãn n1 = số tự nhiên n nhỏ thỏa mãn tính chất gọi đặc trưng trường K Từ trở đi, ta ký hiệu K trường đóng đại số, đặc trưng khơng Giả sử f đa thức khác có bậc n K a không điểm f Khi 27 viết f = (z − a)m p(z) với p(a) = Ta gọi m bội không điểm a f Giả sử d ∈ K l số nguyên dương Ta ký hiệu: n(f ) số không điểm f tính bội; n(f, d) = n(f − d), q min{mi , l} f = (z − a1 )m1 (z − aq )mq , nl (f ) = i=1 nl (f, d) = nl (f − d), n0 (f ) = q, n0 (f, d) = n0 (f − d) f1 hàm hữu tỷ K, f1 , f2 ∈ K[x] khơng có khơng f2 điểm chung, d ∈ K, ta ký hiệu Giả sử f = n(f ) = n(f1 ), nl (f ) = nl (f1 ), n(f, d) = n(f1 − df2 ), nl (f, d) = nl (f1 − df2 ), n0 (f, d) = n0 (f1 − df2 ), nl (f, ∞) = nl (f2 ), n(f, ∞) = n(f2 ) n0 (f, ∞) = n0 (f2 ), degf = degf1 − degf2 Định nghĩa 2.1.1 Đường cong hữu tỷ f : K → Pn (K) lớp tương đương (n + 1) đa thức (f1 , , fn+1 ) cho f1 , , fn+1 khơng có khơng điểm chung K Hai (n + 1) đa thức (f1 , , fn+1 ) (g1 , , gn+1 ) tương đương với tồn c ∈ K∗ cho gi = cfi với i = 1, , n + Ký hiệu f˜ = (f1 : f2 : : fn+1 ) biểu diễn f Khi ta viết f :K z → Pn (K) → f˜(z) = f1 (z) : : fn+1 (z) Giả sử f g hai đường cong hữu tỷ từ K vào Pn (K) với hai biểu diễn f˜ = (f1 : f2 : : fn+1 ), g˜ = (g1 : g2 : : gn+1 ) tương ứng 28 Ta nói f đồng g viết f ≡ g tồn c ∈ K∗ cho fi = cgi với ∀ i = 1, , n + Định nghĩa 2.1.2 Độ cao đường cong hữu tỷ f từ K vào Pn (K) với biểu diễn f˜ = (f1 : f2 : : fn+1 ) xác định T (f ) = max degfi i n+1 degfi bậc đa thức fi (i = 1, , n + 1) Nhận xét 2.1.3 Độ cao đường cong hữu tỷ f xác định Thật vậy, f đường cong hữu tỷ với f˜ = (f1 , , fn+1 ), g˜ = (g1 , , gn+1 ) hai biểu diễn f fi = cgi , c ∈ K∗ , i = 1, , n + Khi degfi = deggi , i = 1, , n + max degfi = max deggi ; i n+1 i n+1 tức T (f ) xác định Giả thiết tính đóng đại số trường K cần thiết để định nghĩa độ cao đường cong hữu tỷ từ K vào Pn (K) Thật vậy, xét trường số thực R đa thức sau f1 = x2 , f2 = x2 + 1, , fn+1 = x2 + n; g1 = x2 (x2 + n), g2 = (x2 + 1)(x2 + n), , gn+1 = (x2 + n)2 Xét hai đường cong hữu tỷ f g từ R vào Pn (R) xác định từ hai biểu diễn tương ứng sau f = (f1 : f2 : : fn+1 ), g = (g1 : g2 : : gn+1 ) Ta có f (z) = g(z) T (f ) = 2, T (g) = T (f ) = T (g) Giả sử X = (a1 : a2 ) thuộc P1 (K) f đường cong hữu tỷ từ K vào P1 (K) với biểu diễn f˜ = (f1 : f2 ) cho ảnh f không chứa X 29 Đặt F = a1 f1 + a2 f2 , n(f, X) = n(F ), T (f, X) = n(f, X) + m(f, X), m(f, X) = max (degfi − degF ) i Định nghĩa 2.1.4 Đường cong hữu tỷ f từ K vào Pn (K) gọi không suy biến tuyến tính ảnh f khơng chứa siêu phẳng Pn (K) Đường cong hữu tỷ f gọi khác ảnh f không điểm Pn (K) Bổ đề 2.1.5 Giả sử f đường cong hữu tỷ khác từ K vào P1 (K) với biểu diễn f˜ = (f1 , f2 ) Khi Wronskian W = W (f1 , f2 ) = f1 f2 f1 f2 không đồng không Định lý 2.1.6 Giả sử f đường cong hữu tỷ từ K vào P1 (K) với biểu diễn f˜ = (f1 , f2 ) X điểm P1 (K) cho ảnh f không chứa X Khi T (f, X) = T (f ) Chứng minh Đặt X = (a1 : a2 ), F = a1 f1 + a2 f2 Ta có T (f, X) = n(f, X) + m(f, X) = n(f, X) + max (degfi − degF ) i = max degfi + (n(f, X) − degF ) i = max degfi = T (f ) i Định lý chứng minh 30 Định lý 2.1.7 Giả sử f đường cong hữu tỷ khác từ K vào P1 (K) với biểu diễn f˜ = (f1 : f2 ), X1 , , Xq điểm phân biệt P1 (K) Khi q (q − 1)T (f ) n(f, Xi ) i=1 Chứng minh Giả sử Xi = (ai1 : ai2 ), i = 1, , q Đặt Fi = ai1 f1 + ai2 f2 Khi đó, khơng giảm tính tổng qt, bất đẳng thức sau T (F1 ) T (F2 ) T (Fq ) (2.1) Ta có  F1 = a11 f1 + a12 f2 F = a f + a f 21 22 Do X1 = X2 nên det a11 a12 = a21 a22 Từ (2.2) suy fi = bi1 F1 + bi2 F2 , i = 1, Do T (fi ) = T (bi1 F1 + bi2 F2 ) T (fi ) max T (F1 ), T (F2 ) T (fi ) T (F2 ) max T (bi1 F1 ), T (bi2 F2 ) Từ (2.1) ta có T (f ) T (Fi ), i = 2, , q Cộng vế với vế q − bất đẳng thức ta nhận q (q − 1)T (f ) T (Fi ) i=2 Vậy q (q − 1)T (f ) T (Fi ) i=1 (2.2) 31 Do T (Fi ) = n(f, Xi ) nên q (q − 1)T (f ) n(f, Xi ) i=1 Định lý 2.1.8 Giả sử f đường cong hữu tỷ khác từ K vào P1 (K) với biểu diễn f˜ = (f1 : f2 ), X1 , , Xq điểm phân biệt P1 (K) Khi q (q − 2)T (f ) n0 (f, Xi ) i=1 Chứng minh Trước tiên, ta xét q > Giả sử F = ( , Fβ1 , Fβq−2 , ), (β1 , , βq−2 ) lấy với cách chọn khác q − số {1, , q} Ta cần hai bổ đề sau Bổ đề 2.1.9 Với q > F đường cong hữu tỷ từ K vào Pk−1 (K), k = Cqq−2 Chứng minh Giả sử ngược lại, F không đường cong hữu tỷ từ K vào q−3 Pk−1 (K) Khi đó, q > nên Cqq−2 > Cq−2 Do tồn Fα1 , Fα2 z ∈ K cho Fα1 (z) = 0, Fα2 (z) = Do Xα1 = Xα2 nên f1 (z) = f2 (z) = Mâu thuẫn f đường cong hữu tỷ từ K vào P1 (K) Bổ đề 2.1.10 T (F ) (q − 2)T (f ) Chứng minh Từ định nghĩa độ cao đường cong hữu tỷ ta có T (F ) = max T (Fβ1 , , Fβq−2 ) β1 , ,βq−2 = max β1 , ,βq−2 T (Fβj ) i q−2 Khơng giảm tính tổng qt, giả sử T (Fβq ) T (Fβq−1 ) ··· T (Fβ1 ) Khi T (F ) = T (Fβ3 ) + T (Fβ4 ) + + T (Fβq ) (2.3) 32 Do X1 , , Xq điểm phân biệt P1 (K) nên fi = bi1 Fβ1 + bi2 Fβ2 , i = 1, 2, bi1 , bi2 số Suy T (fi ) max T (bi1 Fβ1 ), T (bi2 Fβ2 ) , T (Fβj ) với j = 3, , q i = 1, T (fi ) Vậy T (f ) = max T (fi ) T (Fβj ), (2.4) với j = 3, , q Cộng (q − 2) bất đẳng thức (2.3) (2.4) ta nhận T (F ) (q − 2)T (f ) Bây ta chứng minh Định lý 2.1.8 Do f khác nên W (f1 , f2 ) ≡ Giả sử (α1 , α2 ) hai số khác {1, 2, , q} {β1 , , βq−2 } số lại Để ý fi tổ hợp tuyến tính Fα1 , Fα2 Khi W (Fα1 , Fα2 ) = C(α1 ,α2 ) W (f1 , f2 ), C(α1 ,α2 ) = C số, phụ thuộc vào (α1 , α2 ) Ta ký hiệu   1 W (Fα1 , Fα2 )   A = A(α1 , α2 ) = = det  Fα1 Fα2  Fα1 , Fα2 Fα1 Fα2 Vậy cFβ1 Fβq−2 F Fq = W (f1 , f2 ) A Đặt Li = Fαi , i = 1, Ta có degA Fαi (2.5) max degLi i Mặt khác degLi −1 Từ (2.5) ta có deg cFβ1 Fβq−2 F1 Fq = deg W (f1 , f2 ) A (2.6) 33 degF1 Fq − degW (f1 , f2 ) = degFβ1 Fβq−2 − degA q degFi − degW (f1 , f2 ) + degA = degFβ1 Fβq−2 i=1 Từ đây, (2.6) Bổ đề 2.1.10 ta có (q − 2)T (f ) T (F ) = max T (Fβ1 , Fβq−2 ) β1 , ,βq−2 q degFi − degW (f1 , f2 ) − i=1 q n(Fi ) − (q − 2)T (f ) + n(W (f1 , f2 )) i=1 q n(f, Xi ) − (q − 2)T (f ) + n(W (f1 , f2 )) (2.7) i=1 F F2 C = W (f1 , f2 ) A Theo (2.6) ta có Nếu q = degFi − degW (f1 , f2 ) i=1 n(f, Xi ) − n(W (f1 , f2 )) i=1 Từ (2.7) ta có q (q − 2)T (f ) + n(W ) n(f, Xi ) − i=1 Vậy q (q − 2)T (f ) n(f, Xi ) − i=1 Từ Định lý 2.1.7, 2.1.8, ta có Định lý 2.1.11 Giả sử f hàm hữu tỷ khác K a1 , a2 , , aq ∈ K ∪ {∞} Khi q (q − 1)T (f ) n(f, ) i=1 34 Từ định lý 2.1.11 ta thấy : Nếu f hàm hữu tỷ khác K q > f ln nhận giá trị , i = 1, , q Định lý 2.1.12 Giả sử f hàm hữu tỷ khác K a1 , a2 , , aq ∈ K ∪ {∞} Khi q (q − 1)T (f ) n0 (f, ∞) + n0 (f, ) i=1 q n0 (f, ) − (q − 2)T (f ) i=1 2.2 Một số áp dụng Định lý nhận giá trị hàm hữu tỷ trường đóng đại số, đặc số khơng Trong mục này, đưa hai áp dụng Định lý 2.1.7 2.1.8 đưa [1] Định lý 2.2.1 Giả sử f hàm hữu tỷ K q số nguyên dương Khi f khơng nhận q giá trị K f Chứng minh Giả sử f khác a1 , a2 , , aq q giá trị K mà f khơng nhận Khi theo Định lý 2.1.11 ta có q (q − 1)T (f ) n(f, ) (2.8) i=1 Do f không nhận nên n(f, ) = 0, i = 1, , q Mặt khác f khác q nên T (f ) > (q − 1)T (f ) > Từ (2.8) ta nhận mâu thuẫn Vậy f Bây giờ, dùng Định lý 2.1.12 ta đưa chứng minh khác Định lý Mason Trước tiên ta phát biểu Định lý Mason K Định lý 2.2.2 Giả sử a, b, c đa thức tất K, nguyên tố cặp thỏa mãn hệ thức a + b = c Khi max{dega, degb, degc} n0 (abc) − 35 Chứng minh Từ a + b = c c ≡ ta có a b + = c c (2.9) hay a b −1=− c c a b Theo giả thiết ta có , hàm hữu tỷ khác Áp dụng Định lý 2.1.12 c c a cho hàm với giá trị 0, ∞, ý c n0 a a a a b = n0 (a), n0 , ∞ = n0 (c); n0 , = n0 − = n0 − = n0 (b) c c c c c n0 (a) + n0 (b) + n0 (c) = n0 (abc) Ta có T a c a a a + n0 , ∞ + n0 , − c c c = n0 (a) + n0 (b) + n0 (c) − n0 = n0 (abc) − (2.10) b a −1=− c c b Lại áp dụng Định lý 2.1.12 cho hàm tương tự (2.10) ta có c Từ (pt2.9) ta có T b c n0 (abc) − Theo định nghĩa a = max{dega, degc} c b T = max{degb, degc} c T Từ (2.11) ta có max{dega, degb, degc} n0 (abc) − (2.11) 36 Kết luận Trong luận văn này, chúng tơi trình bày lại kết [1].Các kết tương tự hai định lý Lý thuyết Nevanlinna p-adic cho hàm hữu tỷ trường đóng đại số, đặc trưng khơng Từ đưa chứng minh khác Định lý Mason Cụ thể • Định lý 2.1.11, Định lý 2.1.12 • Từ Định lý 2.1.11 nhận Định lý 2.2.1 Định lý 2.2.1 điều kiện đủ để xác định hàm hữu tỷ hàm • Từ Định lý 2.1.12 nhận Định lý 2.2.2- Định lý Mason 37 Tài liệu tham khảo [A] Tiếng Việt [1] Vũ Hoài An, Tương tự lý thuyết Nevanlinna cho hàm hữu tỷ trường đóng đại số, đặc trưng khơng, thảo [2] Hà Huy Khoái, Phạm Huy Điển: Số học Thuật toán Cơ sở lý thuyết & Tính tốn thực hành, NXB ĐHQG Hà Nội, 2003 [3] Nguyễn Văn Khuê, Phạm Ngọc Thao, Lê Mậu Hải, Nguyễn Đình Sang, Tốn cao cấp - Tập I (A1 ) - Giải tích biến, NXB Giáo dục, 1997 [4] Hồng Xn Sính - Trần Phương Dung, Đại số đại cương, Nhà xuất Giáo dục, 2003 [B] Tiếng Anh [5] Ha Huy Khoai and Mai Van Tu, p-adic Nevanlinna - Cartan Theorem, Internat J Math 6(1995), 719 - 731 [6] Hu, P.C and Yang, C.C., Meromorphic functions over non-Archimedean fields, Kluwer, 2000 [7] Micheal Waldshmide, On the abc Conjecture and some of its consequences, http://www.math.jussieu.fr/∼miw/, 7-2013 ... cho Hàm hữu tỷ K (xem [1].) 25 Chương Vấn đề nhận giá trị hàm hữu tỷ trường đóng đại số, đặc trưng không áp dụng Vấn đề nhận giá trị hàm hữu tỷ trường đóng đại số, đặc trưng không sau: Cho f hàm. .. Vấn đề nhận giá trị hàm hữu tỷ trường đóng đại số, đặc trưng khơng áp dụng 2.1 Vấn đề nhận giá trị hàm hữu tỷ trường đóng đại số, đặc trưng khơng 2.2 25 26 Một số áp dụng. .. cứu Vấn đề Xét vấn đề nhận giá trị hàm số thực tốn học trung học phổ thơng Xét vấn đề nhận giá trị hàm phân hình p-adic Vấn đề Xét vấn đề nhận giá trị hàm hữu tỷ trường đóng đại số, đặc trưng