Một số thuật toán nội suy để xác định các nguyên hàm sơ cấp của hàm hữu tỷ

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THÚY VÂN MỘT SỐ THUẬT TOÁN NỘI SUY ĐỂ XÁC ĐỊNH CÁC NGUYÊN HÀM SƠ CẤP CỦA HÀM HỮU TỶ LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - NĂM 2014 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC Nguyễn Thúy Vân MỘT SỐ THUẬT TOÁN NỘI SUY ĐỂ XÁC ĐỊNH CÁC NGUYÊN HÀM SƠ CẤP CỦA HÀM HỮU TỶ LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG Mã số: 60.46.01.12 Người hướng dẫn khoa học GS TSKH NGUYỄN VĂN MẬU THÁI NGUYÊN - NĂM 2014 Mục lục Mở đầu Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Định nghĩa tính chất hàm sơ cấp 1.1.1 Nguyên hàm hàm số hữu tỉ 10 1.1.2 Nguyên hàm hàm số đại số 11 1.1.3 Tích phân elliptic 12 1.1.4 Định lý Liouville tồn nguyên hàm sơ cấp 15 Công thức nội suy Lagrange Hermite 23 1.2.1 Công thức nội suy Lagrange 23 1.2.2 Công thức nội suy Hermite 24 Chương Một số thuật tốn tìm ngun hàm hàm hữu tỉ 28 1.2 2.1 Thuật toán Lagrange 28 2.2 Thuật toán Hermite 31 2.3 Thuật toán Horowitz 43 Chương Nguyên hàm hàm số ngược hàm hữu tỉ số ví dụ liên quan 48 3.1 Nguyên hàm số lớp hàm tổng quát 48 3.2 Một số hàm số khơng có ngun hàm sơ cấp 55 3.3 Nguyên hàm hàm số ngược hàm số hữu tỉ 62 Kết luận 66 Tài liệu tham khảo 68 MỞ ĐẦU Trong chương trình Tốn Giải tích, ta biết rằng: “Những hàm số sin x √ e−x , , + x4 , hàm số sơ cấp có nguyên hàm, ngun x hàm khơng thể biểu diễn dạng hàm số sơ cấp.” Do hai câu hỏi tự nhiên đặt “(A): Những hàm số có nguyên hàm biểu diễn dạng hàm số sơ cấp?” “(B): Nếu hàm số có nguyên hàm hàm sơ cấp làm cách để tìm nguyên hàm sơ cấp đó?” Hiện biết có nhiều cách để tính nguyên hàm hàm số sử dụng bảng nguyên hàm bản, phép đổi biến số, phép lấy nguyên hàm (tích phân) phần Tuy nhiên, số trường hợp hàm số dạng phức tạp khó nhận biết nên áp dụng phương pháp để tính ngun hàm Thơng thường, người ta tìm thuật tốn để đưa hàm số cho hàm số có dạng đơn giản nhờ phép toán nội suy cổ điển biết Mục đích luận văn tìm hiểu trình bày thuật toán để xác định nguyên hàm hàm phân thức hữu tỷ (tử số mẫu số đa thức đại số), tìm hiểu tiêu chuẩn để nhận biết hàm số quen thuộc sin x √ e−x , , + x4 số dạng hàm số sơ cấp khác nguyên x hàm sơ cấp Nội dung luận văn gồm chương: *Chương Một số kiến thức chuẩn bị Chương trình bày định nghĩa tính chất hàm số sơ cấp, định lí tồn nguyên hàm hàm số sơ cấp với định lí Liouville cơng thức nội suy Lagrange Hermite *Chương Một số phương pháp tìm nguyên hàm hàm hữu tỷ Nội dung chương dành để trình bày số thuật tốn để tính nguyên hàm hàm hữu tỷ tổng quát việc áp dụng nội suy Lagrange, nội suy Hermite phương pháp Horowitz cách cải biên phương pháp nội suy Hermite trường hợp cụ thể Tiếp theo trình bày ví dụ minh họa *Chương Một số ví dụ áp dụng Chương đưa số lớp hàm số tổng quát tính ngun hàm chứng minh khơng tồn nguyên hàm sơ cấp, cách tính tích phân số hàm số ngược Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến NGND GS TSKH Nguyễn Văn Mậu, người Thầy giúp cho tác giả có niềm say mê nghiên cứu Tốn học, tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tác giả suốt q trình học tập hồn thành luận văn Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Phịng Đào tạo, Khoa Tốn Ứng Dụng, thầy tham gia giảng dạy cho lớp Cao học Toán niên khố 2012 - 2014, thầy anh chị đồng nghiệp lớp Toán K6D trường Đại học Khoa học Thái Nguyên, Đại học Thái Nguyên giúp đỡ góp ý để luận văn hồn chỉnh Tác giả xin chân thành cảm ơn UBND tỉnh Sở GDĐT Phú Thọ, Ban giám hiệu trường THPT Hương Cần, Huyện Thanh Sơn, bạn bè đồng nghiệp gia đình động viên, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả thời gian học tập nghiên cứu Hệ thống ký hiệu sử dụng luận văn - deg f (x) bậc đa thức f (x) - F0 (x) nguyên hàm (cấp 1) đa thức f (x) ứng với số c = 0, tức F0 (x) thoả mãn F0 (0) = - Fc (x) nguyên hàm (cấp 1) đa thức f (x) ứng với số c, tức Fc (x) = F0 (x) + c với c ∈ R - F0,k (x) nguyên hàm cấp k đa thức f (x) ứng với số c = 0, tức F0,k (x) thoả mãn F0,k (0) = - Fc,k (x) nguyên hàm cấp k đa thức f (x) ứng với số c, tức Fc,k (x) = F0,k (x) + c với c ∈ R - Hn tập hợp đa thức với hệ số thực Pn (x) bậc n (n > 0) với hệ số tự (Pn (0) = 1) có nghiệm thực - Mk (f ) tập hợp nguyên hàm cấp k đa thức f (x) - R[x] tập hợp đa thức với hệ số thực -sign a dấu số thực a, tức  + a > sign a := a =  − a < CHƯƠNG Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Định nghĩa tính chất hàm sơ cấp Chúng ta bắt đầu mục với định nghĩa hàm số đại số Định nghĩa 1.1 ([5]) Hàm số f (x) gọi hàm số đại số tường minh (hiển) x f (x) tổ hợp hữu hạn phép toán số học (cộng, trừ, nhân, chia) hữu hạn phép lấy thức phần tử đa thức Chẳng hạn, hàm số f (x) = √ x+ x+ √ (1 + x) − f (x) = 2 x, f (x) = (1 − x) √ x −i √ x 2−e , , , hàm đại số tường minh (1 + x) + (1 − x) Nếu y hàm số đại số tường minh x y ln thỏa mãn phương trình dạng y m + R1 y m−1 + · · · + Rm = 0, Ri hàm số hữu tỉ Định nghĩa 1.2 ([5]) Hàm số y gọi hàm số đại số x y thỏa mãn phương trình y m + R1 y m−1 + · · · + Rm = với Ri hàm số hữu tỉ x Định nghĩa 1.3 ([1]-[5]) Một hàm số sơ cấp hàm số cho dạng sau: Là đa thức đại số, Là hàm số hữu tỉ, Là hàm số mũ ex , Là hàm số logarit loga x, Là hàm số xác định tổ hợp hữu hạn phép toán cộng, trừ, nhân, chia, lấy căn, luỹ thừa, hàm ngược hàm hợp hàm số thuộc lớp hàm liệt kê √ x−1 eix − e−ix Chẳng hạn, hàm số f (x) = + x + 1+ ix −ln (3x − ex ) −ix x − 3x − e +e hàm số sơ cấp Tiếp sau định nghĩa hàm số sơ cấp theo ngôn ngữ mở rộng trường Định nghĩa 1.4 ([4]) Hàm số sơ cấp hàm số thuộc mở rộng trường sơ cấp trường hàm hữu tỉ C(x) Ví dụ 1.1 Hàm số f (x) = eix − i ln(x + eix ) hàm số sơ cấp f (x) ∈ C(x)(eix )(ln(x + eix )) C(x)(eix )(ln(x + eix )) mở rộng sơ cấp C(x) Từ định nghĩa hàm số sơ cấp theo ngôn ngữ mở rộng trường, ta có kết luận quan trọng sau Mệnh đề 1.1 ([4]) Nếu f, g hàm số sơ cấp hàm hợp g(f ) hàm số sơ cấp Chứng minh Vì f hàm số sơ cấp nên f thuộc mở rộng sơ cấp C(x)(y) ⊃ C(x) với y sơ cấp C(x) Khi đó, g(f ) ∈ C(x)(y)(g(z)) Vì C(x)(y)(g(z)) mở rộng sơ cấp C(x) nên hàm số g(f ) sơ cấp Bây chứng tỏ hàm số lượng giác lượng giác ngược hàm số sơ cấp theo hai định nghĩa Ví dụ 1.2 Áp dụng Cơng thức Euler (eix = cos x + i sin x) ta có ix e − e−ix , sin x = 2i ix cos x = e + e−ix , ix e − e−ix tan x = i (eix + e−ix ) , i eix + e−ix cot x = eix − e−ix Theo Định nghĩa 1.3 ta suy hàm số lượng giác hàm số sơ cấp Ta dễ dàng kết luận hàm số sơ cấp theo Định nghĩa 1.4 ix Chẳng hạn, với hàm số sin x ta có sin x = e − e−ix ∈ C(x)(eix )(e−ix ) 2i Sau đây, ta chứng tỏ hàm số lượng giác ngược hàm số sơ ix ix cấp Ta có sin x = e − e−ix Từ suy x = arcsin e − e−ix 2i 2i ix e − e−ix Từ đây, ta có biểu diễn x theo u Đặt u = 2i √ x = ln iu + − u2 i √ √ 1 Do arcsin u = ln(iu + − u2 ) Hay arcsin x = ln ix + − x2 i i Tương tự, ta có √ arccos x = ln x + x2 − , i 1 + ix , arctan x = ln 2i − ix ix − arccotx = ln 2i ix + Từ suy hàm số arcsin x, arccos x, arctan x arccotx hàm số sơ cấp theo định nghĩa Định nghĩa 1.5 ([4]) Cho G mở rộng sơ cấp trường F Với f ∈ F ta nói f có nguyên hàm hàm số sơ cấp (hay nguyên hàm sơ cấp) có phần tử g ∈ G cho g = f Ví dụ 1.3 Ta có trường Q(ln x)(x) mở rộng sơ cấp trường Q(x) 1 Khi ln x ∈ Q(ln x)(x) (ln x) = ∈ Q(x) nên ta nói hàm số có x x nguyên hàm sơ cấp Nhận xét 1.1 Nếu g nguyên hàm sơ cấp f g + C với C số tùy ý nguyên hàm sơ cấp f Ta ký hiệu tập tất nguyên hàm f f dx Định nghĩa 1.6 Một đa thức bậc n ẩn x biểu thức có dạng Pn (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 , hệ số an , an−1 , , a0 số thực (hoặc phức) an = 0, n ∈ N Ta kí hiệu i Bậc đa thức Pn (x) deg Pn (x) Do deg Pn (x) = n ii an - hệ số bậc cao (chính) đa thức Chú ý 1.1 Trong luận văn ta chủ yếu xét đa thức Pn (x) với hệ số thực gọi tắt đa thức thực Ký hiệu tập hợp đa thức với hệ số thực R[x] Định nghĩa 1.7 ([1]-[2]) Cho đa thức Pn (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 (an = 0), số α ∈ C gọi nghiệm đa thức Pn (x) Pn (α) = Nếu tồn k ∈ N, k > 1, cho Pn (x) (x − α)k Pn (x) không chia hết cho (x − α)k+1 α gọi nghiệm bội bậc k đa thức f (x) Đặc biệt, k = α gọi nghiệm đơn, k = α gọi nghiệm kép Chú ý 1.2 Nghiệm đa thức thực cịn gọi khơng điểm đa thức Định lý 1.1 (Gauss) Mọi đa thức bậc n trường C có n nghiệm nghiệm tính số lần bội Bổ đề 1.1 Các nghiệm phức thực (khác thực) đa thức thực Pn (x) xuất theo cặp nghiệm liên hợp Chứng minh Thật vậy, a ∈ C nghiệm phương trình Pn (x) = Pn (a) = Khi ta có = Pn (a) = Pn (a) Suy a nghiệm phương trình Pn (x) = Định lý 1.2 Mọi đa thức f (x) ∈ R[x] bậc n, với hệ số an = 0, phân tích thành nhân tử dạng m s (x − di ) f (x) = an j=1 (x2 + bk x + ck ) k=1 với di , bk , ck ∈ R, 2s + m = n, b2k − 4ck < 0, m, n ∈ N∗ 54 Để P ( )ex dx hàm sơ cấp cần x a2 a3 a4 an a1 + + + + ··· + = 1! 2! 3! (n − 1)! Bài tốn 3.10 Tính tích phân In = lnn xdx xm Bài giải Bằng cách lập luận tương tự tốn ta tính In = lnn xdx = ; m, n ∈ N, n ≥ xm xm−1 Pn (ln x) + C Bài toán 3.11 Tính tích phân I= a1 ex + b1 e−x + c1 dx aex + be−x + c Bài giải Phân tích aex + be−x + c = A(a1 ex + b1 e−x + c1 ) + B(a1 ex − b1 e−x ) + C, A, B, C xác định từ hệ (A + B)a1 = a (A − B)b1 = b Ac1 + C = c Khi a1 ex + b1 e−x + c1 I= dx aex + be−x + c d(a1 ex + b1 e−x + c1 ) = A dx + B +C a1 ex + b1 e−x + c1 = Ax + B ln a1 ex + b1 e−x + c1 + C dx a1 ex + b1 e−x + c1 dx a1 ex + b1 e−x + c1 dx ta đặt t = ex chuyển tích phân có x −x a1 e + b1 e + c1 mẫu tam thức bậc hai Đối với tích phân 55 3.2 Một số hàm số khơng có ngun hàm sơ cấp Sau đây, ta xét số toán áp dụng hệ việc chứng tỏ hàm số khơng có nguyên hàm hàm số sơ cấp Bài toán 3.12 Chứng minh hàm số ex khơng có ngun hàm sơ cấp trường hàm số hữu tỉ C(x) Bài giải Thật vậy, theo Hệ 3.2 hàm số ex có nguyên hàm sơ cấp có hàm số hữu tỉ R(x) cho = R(x) + 2R(x)x Ta chứng minh hàm số cho không thỏa điều kiện phương pháp chứng minh phản chứng sau p(x) với p(x), q(x) đa thức thỏa q(x) mãn phương trình Khơng tính tổng qt, ta giả sử p, q đa thức nguyên tố Do đó, ta viết lại = R(x) + 2R(x)x dạng pq−qp p 1= + x q2 q Giả sử tồn hàm số hữu tỉ R(x) = Đẳng thức tương đương với q − 2px − p = qp q Từ suy q ước q p Mặt khác, (p, q) = nên tồn s, r ∈ R[x] cho ps + qt = Từ suy q ps + q qt = q Vì q ước q ps q ước q qt nên từ phương trình ta suy q ước q Do q đa thức Khơng tính tổng qt ta giả sử q = Từ suy = p + 2px Khi đó, p = từ điều kiện ta suy điều vơ lý, cịn p = với việc so sánh bậc hai vế ta suy điều vô lý Vậy ex dx không hàm số sơ cấp Tổng qt tốn này, ta có tốn sau Bài toán 3.13 Hàm số x2n eαx với n ∈ N khơng có ngun hàm sơ cấp trường hàm số hữu tỉ C(x) 56 Bài giải Thật vậy, ta chứng tỏ phương trình x2n = R (x) + 2αxR (x) khơng có nghiệm R(x) hữu tỉ trường hàm số hữu tỉ C(x) phương pháp phản chứng sau p(x) với p(x) q(x) q(x) p (x)q(x) − p(x)q (x) hai đa thức nguyên tố Khi R (x) = Từ q (x) suy Giả sử x2n = R (x) + 2αxR (x) , R(x) = x2n q (x) = p (x)q(x) − p(x)q (x) + 2αxp(x)q(x) (3.1) Ta viết lại phương trình (3.1) dạng sau [x2n q(x) − p (x) − 2αxp(x)]q(x) = −p(x)q (x) (3.2) Nếu x0 nghiệm bội k ≥ q(x) x0 nghiệm vế trái (3.2) với bội lớn k Mặt khác, p(x) q(x) hai đa thức nguyên tố nên x0 nghiệm bội k − vế phải (3.2) Điều mâu thuẫn Do q (x) = 0, suy q(x) số Khơng tính tổng quát ta giả sử q(x) = Khi (3.1) trở thành x2n = p (x)+2αxp(x) (3.3) Chúng ta (3.3) khơng có nghiệm cách so sánh hệ số Vì p đa thức x nên n ≥ bậc p(x) phải 2n − 2n−1 Gọi p(x) = cj xj Thay vào (3.3) ta j=1 x2n = 2n−1 j=0 2n−2 = jcj xj−1 + 2n−1 2αcj xj+1 j=0 (j + 1)cj+1 xj + 2n 2αcj−1 xj j=1 j=0 2n−2 = c1 + j=1 [(j + 1)cj+1 + 2αcj−1 ]xj + 2αc2n−2 x2n−1 + 2αc2n−1 x2n 57 Thực phép đồng thức ta  =   c1 (j + 1) cj+1 + 2αcj−1 = =   c2n−2 2αc2n−1 = hệ phương trình 0, j = 1, 2, , 2n − 1 vô lý) Do khơng 2α có đa thức p(x) thỏa mãn (3.3) với n ≥ Còn n ≤ rõ ràng (3.3) khơng có nghiệm đa thức Từ suy khơng có hàm số hữu tỉ R(x) thỏa mãn phương trình vi phân cho Như trường hợp đặc biệt toán trên, với n = 0, α = ta thấy hàm số ex khơng có ngun hàm sơ cấp Hệ phương trình vơ nghiệm (vì = c2n−1 = ex Bài tốn 3.14 Hàm số khơng có nguyên hàm sơ cấp trường hàm x số hữu tỉ C(x) Bài giải Thật vậy, tương tự phép chứng minh toán(3.12) ta chứng minh phương trình = R(x) + R(x) khơng có nghiệm R(x) hữu tỉ x trường hàm số hữu tỉ C(x) phương pháp phản chứng sau p(x) Giả sử R(x) = p(x), q(x) đa thức thỏa mãn phương trình q(x) Khơng tính tổng quát ta giả sử p(x), q(x) hai đa thức nguyên tố 1 p q − pq p + Ta viết lại = R(x) +R(x) dạng = x x q2 q Đẳng thức tương đương với (p x + px − q)q = pq x Giả sử p(x) có bậc dương Gọi x0 nghiệm bội k p(x) Nếu x0 = đa thức (p x+px−q)q có bậc lớn k (p, q) = nên đa thức pq x có bậc nhỏ k Điều vơ lý (p x + px − q)q = pq x Còn x0 = đa thức (p x + px − q)q có bậc lớn hặc k + (p, q) = nên đa thức pq x có bậc nhỏ hặc k Điều vô lý (p x + px − q)q = pq x Do đa thức q có bậc hay q đa thức Khơng tính tổng qt ta giả sử q = Từ ta suy = R(x) + 2R(x)x hay = p + 2px Nếu p = từ phương trình ta suy điều vơ lý, cịn p = 58 việc so sánh bậc hai vế phương trình ta suy điều vơ lý ex Vậy hàm số khơng có ngun hàm sơ cấp x Bài toán 3.15 Hàm số x−n ecx với n ∈ N∗ c số khác khơng có ngun hàm sơ cấp trường hàm số hữu tỉ C(x) Bài giải Thật vậy, tương tự phép chứng minh toán (3.12) ta chứng minh x−n = R (x) + cR (x) khơng có nghiệm R(x) hữu tỉ trường hàm số hữu tỉ C(x) phương pháp phản chứng sau Giả sử có hàm số p(x) R (x) = , với p(x) q(x) hai đa thức nguyên tố nhau, thỏa q(x) p q − q p cp mãn x−n = R (x) + cR (x) Khi đó, ta có n = + Từ đây, ta x q2 q viết q (−q + xn p + cxn p) = xn pq (3.4) Giả sử bậc q dương, lấy x0 nghiệm q(x) với bội r, x0 = x0 nghiệm vế trái (3.4) với bội nhỏ r; x0 nghiệm với bội r − phải (3.4), mâu thuẫn Do x0 = phải nghiệm q(x) hay q(x) = kxr với k số khác Thay q(x) = kxr vào phương trình (3.4) ta xr (−kxr + p xn + cpxn ) = rpxn+r−1 (3.5) Nếu n < r nghiệm với bội nhỏ r + n vế trái (3.5) nghiệm bội n + r − vế phải (3.5), điều vơ lí Nếu n ≥ r n = r = nghiệm bội 2r vế trái (3.5) nghiệm bội n + r − vế phải (3.5) Do 2r = n + r − 1, điều vơ lí Nếu n = r + rút gọn (3.5) ta xp = k + rp − cxp Nhưng hai vế phương trình đa thức có bậc khác nhau, điều vơ lý Do vậy, điều giả sử p(x) có bậc dương khơng Từ suy q phải số Khơng tính tổng qt, lấy q(x) = 1, (3.4) trở thành xn p + cxn p = (3.6) 59 Khơng có đa thức thỏa mãn (3.6) n số dương Do phương trình x−n = R (x) + cR (x) khơng có nghiệm hữu tỉ Ở tốn(3.12) toán(3.13), ta xét hai trường hợp riêng m hàm số có dạng f (x) = xn eax a số khác m, n số nguyên Một câu hỏi đặt cho với điều kiện m n m xn eax dx (3.7) khơng hàm số sơ cấp Điều tương đương với điều kiện m n phương trình xn = R (x) + m.a.xm−1 R (x) khơng có nghiệm trường C(x) Để trả lời câu hỏi này, ta xét trường hợp cụ thể n m p(x) Giả sử có hàm số R (x) = với p(x) q(x) hai đa thức nguyên tố q(x) thỏa mãn xn = R (x) + m.a.xm−1 R (x) pq−qp m−1 p Khi đó, ta có xn = + m.a.x Biến đổi phương trình này, ta q2 q q p + m.a.xm−1 p − qxn = pq (3.8) Ta xét trường hợp cụ thể n m sau Trường hợp n < Khi đó, m < khơng tính tổng qt ta giả sử m ≤ n Biến đổi phương trình (3.8), ta phương trình q x1−m p + m.a.p − qx1+n−m = x1−m pq Tương tự toán(3.14) ta suy q phải số Khơng tính tổng quát ta lấy q(x) = Biến đổi phương trình (3.8) ta phương trình x1+n−m = p x1−m + m.a.p Vì m ≤ n < nên khơng có đa thức p thỏa phương trình Do phương trình xn = R (x) + m.a.xm−1 R (x) khơng có nghiệm trường C(x) m Nếu m = xn eax dx = ea xn dx hàm số sơ cấp 60 Nếu m = theo tốn(3.14), ta suy m xn eax dx không hàm số sơ cấp Nếu m > từ phương trình (3.8), sử dụng phép biến đổi đơn giản ta phương trình q x−n p + m.a.pxm−1−n − q = x−n pq Lập luận tương tự toán(3.14) ta suy q phải số Khơng tính tổng qt, ta lấy q(x) = Biến đổi phương trình (3.8) dạng = p x−n + m.a.pxm−1−n Vì m > 1, n < nên khơng có đa thức p thỏa phương trình Do phương trình xn = R (x) + m.a.xm−1 R (x) khơng có nghiệm trường C(x) m Trường hợp n = Khi đó, tích phân (3.7) có dạng eax dx Khi đó, m < biến đổi phương trình (3.8) ta phương trình q x1−m p + m.a.p − qx1−m = x1−m pq Tương tự toán(3.14) ta suy q phải số Khơng tính tổng qt ta lấy q(x) = Biến đổi phương trình (3.8) dạng = p + m.a.px1−m Vì m < nên khơng có đa thức p thỏa phương trình Do phương trình xn = R (x) + m.a.xm−1 R (x) khơng có nghiệm trường C(x) m xn eax dx = ea dx hàm số sơ cấp m Nếu m = xn eax dx = eax dx hàm số sơ cấp Nếu m > biến đổi phương trình (3.8) ta phương trình q p + m.a.pxm−1 − q = pq Tương tự toán(3.14) ta suy q phải số Khơng tính tổng qt ta lấy q(x) = Biến đổi phương trình (3.8) ta phương trình = p + m.a.pxm−1 Vì m > nên khơng có đa thức p thỏa phương trình Do phương trình xn = R (x) + m.a.xm−1 R (x) khơng có nghiệm trường C(x) m Trường hợp n = Khi đó, tích phân (3.7) trở thành xeax dx Nếu m < từ phương trình (3.8), ta Nếu m = q x1−m p + m.a.p − qx2−m = x1−m pq 61 Tương tự toán(3.14) ta suy q phải số Khơng tính tổng qt lấy q(x) = Biến đổi phương trình (3.8) ta phương trình x = p + m.a.pxm−1 Vì m < nên khơng có đa thức p thỏa phương trình Do phương trình xn = R (x) + m.a.xm−1 R (x) khơng có nghiệm trường C(x) m Nếu m = xn eax dx = x.ea dx hàm số sơ cấp m Nếu m = xn eax dx = x.eax dx hàm số sơ cấp (theo phương pháp tích phân phần) Nếu m > rút gọn phương trình (3.8), ta q p + m.a.pxm−1 − qx = pq Tương tự toán(3.14) ta suy q phải số Khơng tính tổng quát lấy q(x) = Biến đổi phương trình (3.8) ta thu x = p + m.a.pxm−1 Vì m > nên khơng có đa thức p thỏa phương trình Do phương trình xn = R (x) + m.a.xm−1 R (x) khơng có nghiệm trường C(x) Trường hợp n > Khi đó, m < từ phương trình (3.8), ta q x1−m p + m.a.p − qxn+1−m = x1−m pq Tương tự toán (3.14) ta suy q phải số Khơng tính tổng qt ta lấy q(x) = Biến đổi phương trình (3.8) ta phương trình xn+1−m = p x1−m + m.a.p Vì n > m < nên phương trình vi phân m−1 m−1 tuyến tính cấp có nghiệm p = e− m.a.x dx [ xn e m.a.x dx dx + C], với C số Vậy khơng có đa thức p thỏa phương trình Do phương trình xn = R (x) + m.a.xm−1 R (x) khơng có nghiệm trường C(x) m Nếu m = xn eax dx = xn ea dx hàm số sơ cấp m Nếu m = xn eax dx = xn eax dx hàm số sơ cấp Nếu m > biến đổi phương trình (3.8), ta thu phương trình q p + m.a.pxm−1 − qx = pq Tương tự toán(3.14) ta suy q phải số Khơng tính tổng qt ta lấy q(x) = Biến đổi phương trình 62 (3.8) ta thu phương trình x = p + m.a.pxm−1 Vì m > nên khơng có đa thức p thỏa phương trình Do phương trình xn = R (x) + m.a.xm−1 R (x) khơng có nghiệm trường C(x) m Như vậy, để hàm số xn eax khơng có ngun hàm sơ cấp n 1, m < ∨ m > 1, n=1 n>1 m < ∨ m > 1, m < ∨ m > Nhận xét 3.2 Bằng cách áp dụng hệ thức Euler hay đồng thức, xn cos(axm )dx; xn cosh(axm )dx; xn sin(axm )dx, biểu diễn thành tổng tích phân dạng (3.7) Thật vậy, ta có tích phân m xn cos(axm )dx = Re xn eiax dx , 1 m m xn cosh(axm )dx = xn eax dx + xn e−ax dx, 2 m k n iaxm n m (x e − xn e−iax )dx x sin (ax )dx = 2i Nhận xét 3.3 Dùng phép biến đổi sơ cấp đổi biến, tích phân phần hay tách riêng phần thực phần ảo hàm số biến số phức, ta chuyển tích phân dạng đặc biệt biết từ kết luận nguyên hàm hàm số sơ cấp hay không hàm số sơ cấp 3.3 Nguyên hàm hàm số ngược hàm số hữu tỉ Định lý 3.1 (tichphanhamsonguoc) Giả sử f (x) hàm khả vi đơn điệu, f −1 (x) hàm ngược f (x)dx = F (x) + C Khi f −1 (x)dx = xf −1 (x) − F (f −1 (x)) + C 63 Chứng minh Trước hết ta có nhận xét: Từf (f −1 (x)) = x suy [f (f −1 (x))] = ⇔ f (f −1 ).(f −1 ) = 1 f (f −1 ) Áp dụng nhận xét , ta có nên (f −1 ) = x −1 [xf −1 (x) − F (f −1(x))] = f −1 (x) + − f (f ) f (f −1 ) f (f −1 ) x x − = f −1 (x) = f −1 (x) + −1 −1 f (f ) f (f ) Hay f −1 (x)dx = xf −1 (x) − F (f −1 (x)) + C Bài toán 3.16 Tính tích phân I= 1− √ − x2 dx, x với x ∈ [−1; 1] Bài giải 2x khả vi, đơn điệu [-1;1] x2 + 2x dx = ln |x2 + 1| + C, x +1 √ − − x2 Áp dụng định lý ta có: với f −1 (x) = x √ √ √ − − x2 − − x2 − − x2 I= dx = x − ln | x x x Ta có hàm số y = + 1| + C Bài tốn 3.17 Tính tích phân I= √ ( x + x2 + + x− √ x2 + 1)dx Bài giải Ta có hàm số y = 4x3 +3x hàm khả vi, liên tục R (4x3 +3x)dx = 64 x4 + x2 + C, với √ f −1 (x) = ( x + x2 + + x− √ x2 + 1) Áp dụng định lý ta có: √ √ 3 ( x + x2 + + x − x2 + 1)dx √ √ √ 3 = x ( x + x2 + + x − x2 + 1) − ( x + x2 + + 16 √ √ 3 − ( x + x2 + + x − x2 + 1)2 + C I= x− √ x2 + 1)4 Bài tốn 3.18 Tính tích phân I= √ −(x − 1) − −3x2 + 10x − dx 2(x − 1) Bài giải x2 − x + Ta có hàm số y = hàm khả vi, liên tục [1; +∞) và: x +x+1 x2 − x + dx = x2 + x + (1 − 2x + 1 + )dx x2 + x + x2 + x + 2x + = x − ln|x2 + x + 1| + √ arctan √ + C, 3 với √ −3x2 + 10x − −(x − 1) − f −1 (x) = 2(x − 1) Áp dụng định lý ta có: √ −(x − 1) − −3x2 + 10x − dx I= 2(x − 1) √ √ −(x − 1) − −3x2 + 10x − −(x − 1) − −3x2 + 10x − = x − + 2(x − 1) 2(x − 1) √ √ −(x − 1) − −3x2 + 10x − −(x − 1) − −3x2 + 10x − + ln| + + 1| 2(x − 1) 2(x − 1) 65 √ −(x − 1) − −3x2 + 10x − +1 2 2(x − 1) √ − √ arctan +C 3 √ −(x − 1) − −3x2 + 10x − = 2√ √ −(x − 1) − −3x2 + 10x − −(x − 1) − −3x2 + 10x − + ln| + + 1| 2(x − 1) 2(x − 1) √ − −3x2 + 10x − √ − √ arctan + C, 3(x − 1) C số 66 Kết luận Dưới hướng dẫn khoa học NGND GS TSKH Nguyễn Văn Mậu với nỗ lực học tập nghiêm túc nghiên cứu thân, kết luận văn "Một số thuật toán nội suy để xác định nguyên hàm sơ cấp hàm hữu tỷ" trình bày theo hệ thống sau 1- Trình bày định nghĩa tính chất hàm số đại số Trình bày định nghĩa hàm đại số tường minh, định nghĩa hàm sơ cấp đĩnh nghĩa nguyên hàm sơ cấp hàm số 2- Định nghĩa nghiệm bội, nghiệm đơn hàm đa thức, định lí Gauss Nguyên hàm hàm số hữu tỉ với định lí Laplace chứng minh Tiếp sau nguyên hàm hàm số đại số với định lí Abel (1829 ) định lí Chebyshev(1853)và số hệ 3- Tiếp đến luận văn phát biểu chứng minh định lí Liouville tồn nguyên hàm sơ cấp chứng minh định lí L iouville Một số ví dụ chứng tỏ nguyên hàm sơ cấp số hàm số theo định lí Liouville - Trình bày cơng thức nội suy Lagrange, cơng thức nội suy Hermite khai triển hàm số theo nút nội suy nghiệm đơn nghiệm bội -Đưa số thuật tốn tìm ngun hàm hàm hữu tỉ thuật toán Lagrange, thuật toán Hermite, thuật tốn Horowitz cách đưa sở lí thuyết, phương pháp số ví dụ minh họa 6- Trong phần áp dụng luận văn trình bày cách tìm nguyên hàm số lớp hàm tổng quát Cũng chứng minh số hàm số khơng có nguyên hàm sơ cấp đưa cách tính nguyên hàm hàm số ngược Tác giả nhận thấy số vấn đề đặt luận văn cần có thêm nhiều thời gian để tiếp tục hoàn chỉnh việc xây dựng tiêu chuẩn nhận biết đa thức thực ban đầu để tồn dãy nguyên hàm tương ứng có số nghiệm thực tăng lên theo bậc đa thức nguyên hàm hay tìm thêm số phương pháp tính ngun hàm cho số lớp hàm tổng quát chương Đặc biệt, hệ thống tập áp dụng cho chuyên đề 67 cần sáng tác theo nhiều nhóm đặc trưng phong phú Tác giả hy vọng thời gian tới tiếp tục nghiên cứu để giải vấn đề nêu Mặc dù cố gắng nghiêm túc trình học tập nghiên cứu khoa học thời gian khả có hạn chắn luận văn cịn có thiếu sót Tác giả mong nhận ý kiến đóng góp q thày giáo, giáo bạn đồng nghiệp để luận văn hoàn thiện 68 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Văn Mậu, Các toán nội suy áp dụng, NXB Giáo Dục, 2006 [2] Nguyễn Văn Mậu, Đa thức đại số phân thức hữu tỷ, NXB Giáo Dục, 2004 [3] Nguyễn Văn Mậu, Generalized Algebraic Elements and Linear Singular Integral Equations with Transformed Argument, Wydawnictwa Politechniki Warszawskiej, Warszawa 1989 [4] R C Churchill Liouville’s Theorem on Integration in Terms of Elementary Functions Lecture Notes, CUNY, 2006 [5] J Stewart Calculus - Early transcental Mc Master Univ., Sixth Edition 2008 [6] G H Hardy The Integration of Functions of a Single Variable Cambridge University Press, 1905 [7] E A Marchisotto and G A Zakeri An Invitation to Integration in Finite Terms College Math J., Vol 25, No 4, pp 295-308, 1994 [8] J F Ritt Integration in Finite Terms: Liouville’s Theory of Elementary Methods Columbia University Press, 1948 ... dạng hàm số sơ cấp? ” “(B): Nếu hàm số có ngun hàm hàm sơ cấp làm cách để tìm ngun hàm sơ cấp đó?” Hiện biết có nhiều cách để tính nguyên hàm hàm số sử dụng bảng nguyên hàm bản, phép đổi biến số, ... biểu chứng minh định lý Định lý 1.4 (Laplace, 1812) Nguyên hàm hàm số hữu tỉ hàm sơ cấp Nguyên hàm hàm số hữu tỉ, tổng hàm số hữu tỉ số hữu hạn logarit hàm số hữu tỉ Trước chứng minh định lý ta xét... chất hàm số sơ cấp, định lí tồn nguyên hàm hàm số sơ cấp với định lí Liouville cơng thức nội suy Lagrange Hermite *Chương Một số phương pháp tìm nguyên hàm hàm hữu tỷ Nội dung chương dành để trình