Phương trình đa thức trên trường các hàm hữu tỷ và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN THỊ NGỌC DIỆP PHƯƠNG TRÌNH ĐA THỨC TRÊN TRƯỜNG CÁC HÀM HỮU TỶ VÀ ỨNG DỤNG LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Nghệ An - 2014 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN THỊ NGỌC DIỆP PHƯƠNG TRÌNH ĐA THỨC TRÊN TRƯỜNG CÁC HÀM HỮU TỶ VÀ ỨNG DỤNG LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Đại số Lý thuyết số Mã số: 62 46 01 04 TẬP THỂ HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS TẠ THỊ HOÀI AN GS TSKH HÀ HUY KHOÁI Nghệ An - 2014 i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan công trình nghiên cứu tơi Các kết trình bày luận án hoàn toàn trung thực, đồng tác giả cho phép sử dụng chưa cơng bố cơng trình khác Tác giả Nguyễn Thị Ngọc Diệp ii LỜI CẢM ƠN Luận án hoàn thành trường Đại học Vinh hướng dẫn PGS TS Tạ Thị Hồi An GS TSKH Hà Huy Khối Lời đầu tiên, tác giả xin bày tỏ kính trọng lòng biết ơn sâu sắc tới PGS TS Tạ Thị Hồi An, người Cơ nghiêm khắc mẫu mực, định hướng nghiên cứu, đặt toán hướng dẫn tác giả tận tình, chu đáo suốt trình tác giả thực luận án Tác giả xin bày tỏ kính trọng gửi lời cảm ơn sâu sắc tới GS TSKH Hà Huy Khoái, người thường xuyên quan tâm, tạo điều kiện thuận lợi, với lời động viên, khích lệ tác giả suốt trình học tập nghiên cứu Tác giả xin cảm ơn Ban chủ nhiệm Khoa Tốn, Phịng Sau đại học, Ban Giám hiệu, phịng ban chức Trường Đại học Vinh tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành nhiệm vụ nghiên cứu sinh Tác giả xin chân thành cảm ơn đồng nghiệp Khoa Toán, Tổ Đại số tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả tập trung học tập nghiên cứu Tác giả xin cảm ơn Viện Tốn học, phịng Lý thuyết số, phòng Đại số, nhà khoa học Viện Tốn giúp đỡ tác giả, tạo mơi trường học tập tham gia buổi sinh hoạt khoa học Viện để tác giả hồn thành luận án Nhân dịp tác giả xin cảm ơn đến TS Chu Trọng Thanh quan tâm giúp đỡ tác giả trình học tập Xin cảm ơn thầy cô, bạn bè trao đổi, chia sẻ công iii việc sống Xin cảm ơn anh chị em nghiên cứu sinh Viện Toán, Trường Đại học Vinh chia sẻ, động viên trình học tập nghiên cứu Cuối cùng, tác giả xin kính dâng luận án đến hương hồn Bố, kính tặng Mẹ, tặng em Ngọc Bảo Chính Mẹ em chấp nhận khó khăn dành hết tình thương yêu cho tác giả suốt năm tháng qua để tác giả hồn thành luận án Nghệ An, 2014 Nguyễn Thị Ngọc Diệp MỤC LỤC Lời cảm ơn ii Một số ký hiệu Mở đầu Kiến thức chuẩn bị 11 1.1 Đa tạp đại số 11 1.2 Cấu xạ đa tạp 13 1.3 Đường cong phẳng 15 1.4 Không gian Hyperbolic 18 Các nhân tử bất khả quy có giống thấp đường cong trường số phức 20 2.1 Phương pháp xây dựng 1-dạng quy kiểu Wronskian 20 2.2 Một số bổ đề 2.3 Một số điều kiện đủ để thành phần bất khả quy 22 đường cong P (x) = Q(y) có giống lớn 28 2.3.1 Các đa thức thoả mãn Giả thiết I 28 2.3.2 Các đa thức không thoả mãn Giả thiết I 33 2.4 Điều kiện cần đủ để đường cong P (x) = Q(y) có thành phần bất khả quy có giống iv 34 2.4.1 Bội giao 34 2.4.2 Phép biến đổi toàn phương 37 2.4.3 Điều kiện cần đủ để đường cong P (x) = Q(y) có thành 2.5 phần bất khả quy có giống 39 Một số ứng dụng ví dụ 49 Độ cao hàm hữu tỷ thoả mãn phương trình biến tách 56 3.1 Một số kết bổ trợ 57 3.2 Chặn độ cao hàm hữu tỷ thoả mãn phương trình biến tách 3.3 Phương trình biến tách P (x) = Q(y) với P, Q thoả mãn Giả thiết I 3.4 62 66 Điều kiện để phương trình biến tách có nghiệm hàm hữu tỷ khác 70 Kết luận kiến nghị 78 Danh mục cơng trình NCS liên quan đến luận án 80 Tài liệu tham khảo 81 MỘT SỐ KÝ HIỆU C : Trường số phức k : Trường An (k) : Không gian afin n chiều trường k Pn (k) : Không gian xạ ảnh n chiều trường k k[x1 , , xn ] : Vành đa thức n biến trường k degf : Bậc đa thức f V (S) : Tập nghiệm hệ đa thức S ∅ : Tập rỗng A ⊂ B : A tập B A ⊂ B : A không tập B A ∩ B : A giao B A ∪ B : A hợp B idX : Ánh xạ đồng từ tập X vào I(X) : Iđêan X Γ(X) : Vành toạ độ X J (V, k) : Tập hợp tất hàm từ tập V vào k gcd(a, b) : Ước chung lớn a b MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Một toán Lý thuyết số nhiều nhà toán học đặc biệt quan tâm tốn giải phương trình Diophant Ban đầu người ta nghiên cứu nghiệm nguyên phương trình Diophant với hệ số số nguyên Sau đó, việc xem xét nghiệm phương trình Diophant mở rộng tập số hữu tỷ trường hàm hàm phân hình phức, hàm phân hình khơng Acsimet, hàm hữu tỷ Cho P Q đa thức biến trường đóng đại số k Bài tốn tồn hay khơng hàm f g khác thoả mãn phương trình P (f ) = Q(g) từ lâu thu hút quan tâm nhiều nhà toán học Bên cạnh đó, tốn phân tích đa thức P (x) − Q(y) thành nhân tử bất khả quy tính hữu hạn nghiệm nguyên đa thức k trường số nhiều nhà toán học nghiên cứu Theo Định lý Faltings Định lý Picard, hai toán liên quan chặt chẽ với Ngay từ năm đầu kỷ XX, số kết toán đưa cơng trình J F Ritt [36], sau A Ehrenfeucht [19], H Davenport, D J Lewis A Schinzel [16], M Fried [22], Khi Q = cP , C C Yang P Li [44] giới thiệu khái niệm đa thức mạnh Cụ thể, đa thức P (x) trường đóng đại số k gọi đa thức mạnh họ hàm F với hàm f, g ∈ F số c khác khơng mà P (f ) = cP (g) c = f = g Cho đến tốn tìm điều kiện để đa thức đa thức mạnh họ hàm giải trọn vẹn trường hợp phức trường hợp p-adic cho họ hàm phân hình, hàm nguyên hay hàm hữu tỷ ([2], [3], [4], [5], [8], [24], [30], [43]) Thời gian gần đây, nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu mở rộng tự nhiên vấn đề đa thức mạnh, nghiên cứu tồn nghiệm phương trình P (x) = Q(y) Theo Định lý Picard, phương trình P (f ) = Q(g) khơng có nghiệm hàm phân hình (f, g) khác đường cong P (x) − Q(y) = không chứa thành phần có giống Một số điều kiện cần để đường cong P (x) − Q(y) = khơng có nhân tử có giống đưa J F Ritt ([36]) U M Zannier ([46]) R M Avanzi U M Zannier ([11]) đưa điều kiện cần để đường cong P (x) − Q(y) = khơng có nhân tử có giống Trong trường số phức, số điều kiện bậc P Q để phương trình P (x) = Q(y) khơng có nghiệm hàm phân hình khác xem xét tác giả H H Khoái C C Yang [31], C C Yang P Li [45] Gần đây, [7], T T H An A Escassut xem xét vấn đề trường không Acsimet Họ đưa điều kiện đủ P Q thoả mãn Giả thiết I, giả thiết giới thiệu lần Fujimoto [24], điều kiện cần đủ degP = degQ Cho đến nay, vấn đề thiết lập đặc trưng đầy đủ đường cong khơng có nhân tử có giống bé vấn đề mở Đồng thời, vấn đề xem xét phương trình P (x) = Q(y) trường hàm hữu tỷ đề tài thời nhiều nhà toán học ngồi nước quan tâm Để góp phần làm sáng tỏ vấn đề nêu trên, chọn đề tài nghiên 71 Chứng minh Nếu P (x) Q(y) thoả mãn điều kiện (A), giả sử ax + by + c, ab = 0, nhân tử tuyến tính P (x) − Q(y) Ta có P (x) − Q(y) = c a (ax + by + c)R(x, y), R(x, y) ∈ k[x, y] Lấy f = θ, g = − θ − với θ b b hàm hữu tỷ khác K Rõ ràng f g hàm hữu tỷ khác P (f ) = Q(g) Nếu P (x) Q(y) thoả mãn điều kiện (B), P (x) có dạng P (α1 ) + u(x − α1 )p1 +1 Q(y) có dạng Q(β1 ) + s(y − β1 )p1 + t(y − β1 )p1 +1 với ust = Vì vậy, P (x) − Q(y) có dạng u(x − α1 )p1 +1 − s(y − β1 )p1 − t(y − β1 )p1 +1 Ta có đường cong xác định phương trình P (x) − Q(y) = bất khả quy, có bậc p1 + có điểm kỳ dị bội p1 Do đó, đường cong có 1 δ = p1 (p1 − 1) − p1 (p1 − 1) = Như đường cong P (x) − Q(y) = có 2 giống Nếu P (x) Q(y) thoả mãn điều kiện (C), P (x) có dạng P (α1 ) + u(x − α1 )p1 +1 + v(x − α1 )p1 +2 Q(y) có dạng Q(β1 ) + s(y − β1 )p1 +1 + t(y − β1 )p1 +2 với uvst = Do đó, P (x) − Q(y) có dạng u(x − α1 )p1 +1 + v(x − α1 )p1 +2 − s(y − β1 )p1 +1 − t(y − β1 )p1 +2 Vì vậy, đường cong P (x) − Q(y) = có bậc p1 + có điểm kỳ dị bội p1 + 1, điểm kỳ dị kỳ dị tắc Áp dụng Định lý Bezout ta có đường cong P (x) − Q(y) = bất khả quy có giống Nếu P (x) Q(y) thoả mãn điều kiện (D), P (x) có dạng P (α1 ) + u(x − α1 ) +v(x−α1 )3 +w(x−α1 )4 Q(y) có dạng Q(β1 )+s(y−β1 )2 +t(y−β1 )3 +r(y−β1 )4 với uvwstr = Từ đó, P (x) − Q(y) có dạng u(x − α1 )2 + v(x − α1 )3 + w(x − α1 )4 − s(y − β1 )2 − t(y − β1 )3 − r(y − β1 )4 Do đó, đường cong P (x) − Q(y) = có bậc có ba điểm kỳ dị tắc bội 2, đường cong bất khả quy có giống đường cong có nhân tử tuyến tính Như vậy, trường hợp, đường cong P (x) − Q(y) = có thành phần bất khả quy giống 0, tồn hai hàm hữu tỷ f g khác K thoả mãn P (f ) = Q(g) Chứng minh Định lý 3.4.1 Theo Bổ đề 3.4.2, P (x) Q(y) thoả mãn điều kiện (A), (B), (C) (D) đường cong P (x) − Q(y) có nhân tử tuyến tính bất khả quy có giống Nếu điều kiện (E) đúng, n = m = P (x) − Q(y) = (x − α1 )2 − (y − β1 )2 + c với số 72 c Vì vậy, đường cong P (x) − Q(y) có nhân tử tuyến tính bất khả quy có giống Như vậy, tất trường hợp, tồn hai hàm hữu tỷ khác f g K cho P (f ) = Q(g) Bây giờ, ta giả sử f g hai hàm hữu tỷ khác K cho P (f ) = Q(g) Khi đa thức P Q thoả mãn Giả thiết I, theo Bổ đề 3.1.6, khơng tính tổng quát ta giả sử A0 có dạng {(1, j(1)), , (l0 , j(l0 ))} cho pi khơng tăng, có nghĩa p1 ≥ p2 ≥ ≥ pl0 Theo Định lý 3.3.1, với giả thiết g = 0, n = m, ta có vế phải bất đẳng thức Định lý 3.3.1 đại lượng âm, l (pi − qj(i) ) + pi − < 0, (3.13) i=l0 +1 (i,j(i))∈A1 đồng thời (qj(i) − pi ) + (i,j(i))∈A2 qj − < (3.14) j ∈{j(1), ,j(l / )} Từ bất đẳng thức (3.13) (3.14), ta có pi = với i ≥ l0 + 1; qj = với j ∈ / {j(1), , j(l0 )}, |pi − qj(i) | ≤ với i ≤ l0 ; (H) |l − h| ≤ l0 ≥ max{l, h} − Ta xét trường hợp sau Trường hợp l0 = Theo điều kiện (H), ta có max{l, h} ≤ l0 + = Nếu l = 0, P (x) có dạng ux + v với uv = 0, tức n = Vì n = m nên m = Q(y) có dạng sy + t với st = Do đó, P (x) − Q(y) có nhân tử tuyến tính Đây trường hợp ngoại lệ tương ứng với điều kiện (A) Nếu l = 1, theo giả thiết n = m điều kiện (H), ta có h = l = q1 = p1 = Đây trường hợp ngoại lệ (E) Trường hợp l0 = Khi đó, theo điều kiện (H), ta có max{l, h} ≤ l0 + = 73 Đầu tiên ta giả sử l = Theo điều kiện n = m điều kiện (H), trường hợp p1 < qj(1) khơng thể xẩy Ta phải xét khả sau Nếu p1 = qj(1) thì, n = m điều kiện (H), ta có h = Vì l0 = nên P (α1 ) = Q(βj(1) ), P (x) − Q(y) có dạng u(x − α1 )p1 +1 − v(y − βj(1) )p1 +1 với uv = Vì vậy, P (x) − Q(y) có nhân tử tuyến tính Đây trường hợp ngoại lệ (A) Nếu p1 > qj(1) p1 = qj(1) + 1, h = q2 = Đây trường hợp ngoại lệ (B) Giả sử l = Khi đó, p2 = điều kiện pi ≤ với i ≥ l0 + (H) Mặt khác, trường hợp p1 > qj(1) xẩy Do đó, ta xét khả sau Nếu p1 = qj(1) h = q2 = Đây trường hợp ngoại lệ (C) Nếu p1 < qj(1) qj(1) = p1 + h = Đây trường hợp ngoại lệ (B) Trường hợp l0 ≥ Với cặp số (i1 , j(i1 )) (i2 , j(i2 )) A0 , ta xác định Li1 ,i2 (f, g) = Li1 ,i2 sau Li1 ,i2 := (g − βj(i1 ) ) − βj(i1 ) − βj(i2 ) (f − αi1 ), αi1 − αi2 (3.15) Li1 ,i2 biểu thị sau Li1 ,i2 := (g − βj(i2 ) ) − βj(i1 ) − βj(i2 ) (f − αi2 ) αi1 − αi2 (3.16) Bây ta lấy G := p1 +p2 −2+ L1,2 l i=l0 +1 pi l0 (f − αi )pi i=3 Ta có h(P (f ), Q (g)) = h P (f ) Q (g) , G G =− vp vp (f ) vp (g − βj(i) ) > với i = i = Trước tiên ta xét i = Theo Bổ đề 3.1.7, ta có (p1 + 1)vp (f − α1 ) = (qj(1) + 1)vp (g − βj(1) ) (3.19) Nếu p1 ≥ qj(1) vp (f − α1 ) ≤ vp (g − βj(1) ) vp (L1,2 ) ≥ min{vp (f − α1 ), vp (g − βj(1) } = vp (f − α1 ) Do vp P (f ) ≤ − p2 − + G i=l l pi vp (f − α1 ), +1 không đại lượng dương p2 ≥ ta đồng thời có p2 = l0 + ≤ l Từ vp ( P (f ) Q (g) ), vp ( ) ≤0 vp (g − βj(1) ) ≥ p1 + 1, bất đẳng thức cuối suy nhờ p1 + p1 + nguyên tố Như vp (L1,2 ) = vp (g − βj(1) ) 76 Từ vp P (f ) p1 (p1 + 2) ≤ − p1 − p2 + − G p1 + i=l l pi vp (g − βj(1) ) +1 ≤ vp (g − βj(1) ) − vp (g − βj(1) ), p1 + p2 ≥ p2 = l0 + ≤ l Vì vp (g − βj(1) ) ≥ p1 + , suy vp P (f ) ≤ vp (g − βj(1) ) − = vp (dp g) G Do P (f ) Q (g) P (f ) , vp ≤ vp ≤ vp (dp g) G G G = min{vp0 (dp f ), vp0 (dp g)}, vp vp (f )≥0 điều chứng tỏ (3.18) Bằng cách lập luận tương tự cho trường hợp i = 2, ta nhận mâu thuẫn p2 ≥ p2 = l0 + ≤ l Như vậy, f g phải hàm Trường hợp lại p2 = l0 = l Khả p2 = l0 = l = Khi P (x) có dạng (x − α1 )p1 (x − α2 ) n = p1 + Ta có h ≥ l0 = Vì n = m nên theo điều kiện (H), suy Q (y) dạng sau (y − βj(1) )p1 (y − βj(2) ), tức h = 2, qj(1) = p1 , qj(2) = 1; (y − βj(1) )p1 −1 (y − βj(2) )2 , tức h = 2, qj(1) = p1 − 1, qj(2) = 2; (y − βj(1) )p1 −1 (y − βj(2) )(y − β3 ), tức h = 3, qj(1) = p1 − 1, qj(2) = 1, q3 = Dạng ứng với trường hợp ngoại lệ (C) Với hai dạng lại, ta lấy G := L1,2 (g − βj(1) )p1 −2 Bằng lập luận tương tự trên, ta nhận f g hàm Khả p2 = l0 = l ≥ 77 Nếu p1 = l0 = l = thì, p1 ≥ p2 ≥ p3 , nên P (x) có dạng (x − α1 )(x − α2 )(x − α3 ) n = Do n = m l0 = l = 3, nên h = q1 = q2 = q3 = Vì vậy, Q (y) có dạng (y − βj(1) )(y − βj(2) )(y − βj(3) ) P (αi ) = Q(βj(i) ) với i = 1, 2, Đây trường hợp ngoại lệ (D) Nếu p1 = l0 = l ≥ 4, ta lấy l0 (f − αi )pi G := L1,2 L3,4 i=4 Nếu p1 ≥ 2, ta lấy l0 G := −1 Lp1,2 L1,3 (f − αi )pi i=4 Với hai trường hợp trên, cách lập luận tương tự Trường hợp 1, ta nhận f g hàm Định lý 3.4.1 chứng minh Kết luận Chương Trong chương này, thu kết sau • Đưa số điều kiện để có cận độ cao h(f ) h(g), đồng thời đưa điều kiện đủ để phương trình P (x) = Q(y) khơng có nghiệm hàm hữu tỷ khác với P, Q đa thức biến trường đóng đại số đặc số (Định lý 3.2.1, Hệ 3.2.2) • Đưa điều kiện đa thức P Q thoả mãn Giả thiết I để độ cao h(f ) h(g) bị chặn với f, g hàm hữu tỷ thoả mãn P (f ) = Q(g) Từ thu điều kiện đủ để phương trình P (x) = Q(y) khơng có nghiệm hàm hữu tỷ khác trường hợp P, Q thoả mãn Giả thiết I (Định lý 3.3.1, Hệ 3.3.2) • Thiết lập điều kiện cần đủ để phương trình P (x) = Q(y) có nghiệm hàm hữu tỷ khác trường hợp đường cong C có giống g = đa thức P, Q bậc, thoả mãn Giả thiết I (Định lý 3.4.1) 78 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Kết luận Trong luận án này, nghiên cứu nhân tử bất khả quy có giống thấp đường cong xác định đa thức biến tách độ cao hàm hữu tỷ thoả mãn phương trình biến tách Các kết luận án là: Đưa điều kiện đủ để phương trình P (x) = Q(y) khơng có nghiệm hàm phân hình khác hằng, P Q đa thức biến trường số phức Thiết lập điều kiện cần đủ để đường cong P (x) − Q(y) có thành phần bất khả quy có giống hai đa thức P Q thoả mãn Giả thiết I Fujimoto có bậc Chỉ số điều kiện để có cận độ cao h(f ) h(g), f, g hàm hữu tỷ thoả mãn P (f ) = Q(g); đồng thời đưa điều kiện đủ để phương trình P (x) = Q(y) khơng có nghiệm hàm hữu tỷ khác với P, Q đa thức biến trường đóng đại số đặc số Đưa điều kiện đa thức P Q thoả mãn Giả thiết I Fujimoto để độ cao h(f ) h(g) bị chặn với f, g hàm hữu tỷ thoả mãn P (f ) = Q(g) Từ thu điều kiện đủ để phương trình P (x) = Q(y) khơng có nghiệm hàm hữu tỷ khác với 79 P, Q thoả mãn Giả thiết I Fujimoto Thiết lập điều kiện cần đủ để phương trình P (x) = Q(y) có nghiệm hàm hữu tỷ khác trường hợp đường cong C có giống g = đa thức P, Q bậc, thoả mãn Giả thiết I Fujimoto Kiến nghị Trong thời gian tới tiếp tục nghiên cứu vấn đề sau: Tìm điều kiện cần đủ để đường cong P (x) − Q(y) có thành phần bất khả quy có giống đa thức P Q không thiết thoả mãn Giả thiết I Fujimoto điều kiện bậc Nghiên cứu tồn nghiệm hàm hữu tỷ phương trình P (x) = Q(y) trường hợp đường cong C có giống g = đa thức P, Q không thoả mãn Giả thiết I Fujimoto điều kiện bậc 80 DANH MỤC CƠNG TRÌNH CỦA NGHIÊN CỨU SINH LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN [1] T T H An and N T N Diep (2012), Heights of function field points on curves given by equations with separated variables, International Journal of Mathematics, 23 (9), 1250089 (18 pages) DOI: 10.1142/SO129167X12500899 [2] T T H An and N T N Diep (2013), Genus one factors of curves defined by separated variable polynomials, Journal of Number Theory, 133, 2616–2634 [3] N T N Diep (2012), A method of constructing regular 1-forms of Wronskian type, Vinh University Journal of Science , 41 (3A), 26–30 [4] N T N Diep (2012), A special case of functional equation, Vinh University Journal of Science, 41 (4A), 33–36 81 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Nguyễn Trọng Hồ (2006), Phương trình P (f ) = Q(g) bi-URS cho hàm phân hình trường khơng Acsimet, Luận án tiến sĩ tốn học, Trường Đại học Vinh Tiếng Anh [2] T T H An and J T.-Y Wang (2002), Uniqueness polynomials for complex meromorphic functions, Inter J Math., 13(10), 1095–1115 [3] T T H An, J T.-Y Wang and P.-M Wong (2003), Unique range sets and uniqueness polynomials in positive characteristic, Acta Arith., 109, 259–280 [4] T T H An, J T.-Y Wang and P.-M Wong (2004), Strong uniqueness polynomials: the complex case, J Compl Var and it’s Appl., 49(1), 25–54 [5] T T H An, J T.-Y Wang and P.-M Wong (2005), Unique range sets and uniqueness polynomials in positive characteristic II, Acta Arith., 116, 115–143 [6] T T H An and J T.-Y Wang (2007), Unique range sets and Uniqueness polynomials for algebraic curves, Trans Amer Math Soc., 359, 937–964 [7] T T H An and A Escassut (2008), Meromorphic solutions of equations over non-Archimedean field, Journal of Ramanujan, 15, 415– 433 82 [8] T T H An and J T.-Y Wang (2009), A note on uniqueness polynomials for complex entire functions, Vietnam J Math., 37(2-3), 225–236 [9] T T H An and N T N Diep (2012), Heights of function field points on curves given by equations with separated variables, Inter J Math., 23(9), 1250089 (18 pages) DOI: 10.1142/SO129167X12500899 [10] T T H An and N T N Diep (2013), Genus one factors of curves defined by separated variable polynomials, J Number Theory, 133, 2616–2634 [11] R M Avanzi and U M Zannier (2001), Genus one curves defined by separated variable polynomials and a polynomial Pell equation, Acta Arith., 99, 227–256 [12] R M Avanzi and U M Zannier (2003), The equation f (X) = f (Y ) in rational functions X = X(t), Y = Y (t), Compositio Math., 139, 263–295 [13] Y F Bilu (1999), Quadratic factors of f (x) − g(y), Acta Arith., 90(4), 341–355 [14] Y F Bilu and R F Tichy (2000), The Diophantine equation f (x) = g(y), Acta Arith., 95(3), 261–288 [15] W Cherry and J T.-Y Wang (2002), Uniqueness polynomials for entire functions, Inter J Math., 13(3), 323–332 [16] H Davenport, D J Lewis and A Schinzel (1961), Equations of the form f (x) = g(y), Quart J Math Oxford (2), 12, 304–312 [17] N T N Diep (2012), A method of constructing regular 1-forms of Wronskian type, Vinh University Journal of Science, 41(3A), 26–30 [18] N T N Diep (2012), A special case of functional equation, Vinh University Journal of Science, 41(4A), 33–36 83 [19] A Ehrenfeucht (1958), A criterion of absolute irreducibility of polynomials, Prace Mat., 2, 167–169 (in Polish) [20] A Escassut and E Mayerhofer (2004), Rational decompositions of complex meromorphic functions, Complex Variables, Theory Appl., 49(14), 991–996 [21] A Escassut (2007), Meromorphic functions of uniqueness, Bull Sci Math., 131(3), 219–241 [22] M Fried (1973), On a theorem of Ritt and related diophantine problems, J Reine Angew Math., 264, 40–55 [23] M Fried (1973), The field of definition of function fields and a problem in the reducibility of polynomials in two variables, Ill J Math., 17, 128–146 [24] H Fujimoto (2000), On uniqueness of meromorphic functions sharing finite sets, Amer J Math., 122, 1175–1203 [25] H Fujimoto (2003), On uniqueness polynomials for meromorphic functions, Nagoya Math J., 170, 33–46 [26] H Fujimoto (2007), Finiteness of entire functions sharing finite sets, Nagoya Math J., 185, 111–122 [27] W Fulton (1989), Algebraic Curves: An Introduction to Algebraic Geometry, Math Lecture Note Series, University of Chicago [28] R Hartshorne (1977), Algebraic Geometry, Springer - Verlag New York Heidelberg Berlin [29] P C Hu and C C Yang (2000), Meromorphic functions over nonArchimedean fields, Kluwer Academic Publishers [30] H H Khoai and T T H An (2001), On uniqueness polynomials and bi-urs for p-adic meromorphic functions, J Number Theory, 87, 211–221 84 [31] H H Khoai and C C Yang (2004), On the functional equation P (f ) = Q(g), Value Distribution Theory and Related Topics, Kluwer Academic Publishers, Boston, 201–207 [32] S Lang (1987), Introduction to complex hyperbolic spaces, Springer Verlag New York Berlin Heidelberg [33] D Mumford (1976), Algebraic Geometry I: Complex Projective Varieties, Springer - Verlag Berlin Heidelberg New York [34] F Pakovich (2008), On analogues of Ritt theorems for rational functions with at most two poles, Russ Math Surv., 63(2), 181–182 [35] F Pakovich (2010), On the equation P(f) = Q(g), where P,Q are polynomials and f, g are entire functions, Amer J Math., 132(6), 1591–1607 [36] J F Ritt (1922), Prime and composite polynomials, Trans Amer Math Soc., 23, 51–66 [37] A Sauer (2001), Uniqueness theorems for holomorphic functions on compact Riemann surfaces, New Zealand J Math., 30, 177–181 [38] A Schweizer (2005), Shared values of meromorphic functions on compact Riemann surfaces, Arch Math (Basel) 84, 71–78 [39] A Schinzel (1982), Selected Topics on Polynomials, Ann Arbor [40] I R Shafarevich (1974), Basic Algebraic Geometry, Springer - Verlag Berlin Heidelberg New York [41] B Shiffman (2001), Uniqueness of entire and meromorphic functions sharing finite sets, Complex Variables, Theory Appl., 43(3-4), 433– 449 [42] H Tverberg (1968), A Study in Irreducibility of Polynomials, PhD Thesis, Univ Bergen [43] J T Y Wang (2002), Uniqueness polynomials and Bi-Unique range sets for rational functions and non-Archimedean meromorphic functions, Acta Arith., 104, 183–200 85 [44] C C Yang and P Li (1996), On the unique range sets of meromorphic functions, Proc Amer Math Soc., 124, 177–195 [45] C C Yang and P Li (2004), Some further results on the functional equation P (f ) = Q(g), Value Distribution Theory and Related Topics, Kluwer Academic Publishers, Boston, 219–231 [46] U M Zannier (1993), Ritt’s second theorem in arbitrary characteristic, J Reine Angew Math., 445, 175–203 Tiếng Pháp [47] E Picard, Démonstration d un théorème général sur les fonctions uniformes liées par une équation algébrique, Acta Math., 11(18871888), 1–12 Tiếng Đức [48] G Faltings (1983), Endlichkeitssăatze fă ur abelsche Varietăaten u ¨ber Zahlk¨orpern, Inventiones Mathematicae, 73(3), 349–366 ... thức trường hàm hữu tỷ ứng dụng Mục đích nghiên cứu Mục đích luận án nghiên cứu tồn nghiệm hàm hữu tỷ phương trình đa thức hai biến trường đóng đại số, đồng thời xem xét điều kiện để đa thức. ..BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN THỊ NGỌC DIỆP PHƯƠNG TRÌNH ĐA THỨC TRÊN TRƯỜNG CÁC HÀM HỮU TỶ VÀ ỨNG DỤNG LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành:... Diophant trường hàm trường hàm phân hình phức, trường hàm phân hình khơng Acsimet, trường hàm hữu tỷ Cho phương trình P (x) = Q(y), P Q đa thức biến trường đóng đại số k Có hai vấn đề đặt cách tự nhiên: