Phương trình vi phân với hệ số tuần hoàn

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ HƯƠNG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VỚI HỆ SỐ TUẦN HỒN CHUN NGÀNH: TỐN ỨNG DỤNG 2012 M CL C Trang M c l c…………………………………………………………… M u…………… …………………………………………… L i c m n………………………………………………………… Ch th ng Lý thuy t Floquet cho h ph ng trình vi phân ng 1.1 Các khái ni m c b n c a ph ng trình vi phân th ng………… 1.2 Lý thuy t Floquet cho h ph ng trình vi phân th ng 13 ng Lý thuy t Floquet thang th i gian … 17 Ch 2.1 M t s nh ngh a tính ch t c b n v thang th i gian……… 17 ng l c n tính thang th i gian 27 2.3 Lý thuy t Floquet thang th i gian … 29 2.4 Nhân t Floquet, m Floquet … 42 2.5 Áp d ng c a lý thuy t Floquet… 50 K t lu n…………………………………………………………… 57 Tài li u tham kh o………………………………………………… 58 2.2 H M U Nhi u toán th c t nh h c h c, h th ng i n, h sinh thái, h ng l c,…, th tr ng c a ph hồn ng c mơ t b i ph ng trình vi phân M t l p quan ng trình vi phân l p ph ng trình vi phân v i h s tu n nh lý Floquet m t nh lý c b n nh t lý thuy t ph ng trình vi phân v i h s tu n hồn Nghiên c u ph ng trình vi phân v i h s tu n hồn nói chung lý thuy t Floquet nói riêng m t ch c nhà nghiên c u quan tâm, ây mơ hình hay g p th c t , thí d , h th ng hành tinh h m t tr i, dao ng v t lý, , h tu n hoàn Song hành v i ph ng trình vi phân, lý thuy t ph c nghiên c u phát tri n, Ph ng trình sai phân c ng c bi t nh ng n m g n ây (xem [5]) ng trình sai phân khơng ch m t mơ hình r i r c c a ph phân, mà cịn m t mơ hình tốn h c ng trình vi c l p, r t nhi u toán th c t (trong kinh t , k thu t, ) c ng có th mơ t c b i h ph ng trình sai phân N m 1988, nh!m th ng nh t nghiên c u h r i r c liên t c, Hilger [8] ã a khái ni m thang th i gian Khái ni m thang th i gian c a Hilger khơng nh ng ch có ý ngh a tốn h c, mà cịn có ý ngh a tri t h c sâu s"c Nó cho phép th ng nh t hai b n ch t c a chuy n r c Sau Hilger ng, ó tính liên t c tính r i a khái ni m thang th i gian nghiên c u h ng l c thang th i gian, m t s nhà toán h c ã quan tâm nghiên c u xây d ng lý thuy t Floquet Lu n v n Ph iv ih ng trình vi phân v i h s tu n hồn có m c ích trình bày lý thuy t Floquet cho h ph hoàn h ng l c tu n hoàn thang th i gian ng trình vi phân th ng n tính v i h s tu n ng l c n tính tu n hồn thang th i gian tu n hoàn Ngoài ph n m u, k t lu n, lu n v n g#m hai ch ng Ch ng 1: Lý thuy t Floquet cho ph Ch ng trình bày ng trình vi phân th ng nh ngh a tính ch t c b n c a h ph trình vi phân th ng, phát bi u ch ng minh nh lý Floquet trình vi phân th ng Các ki n th c trình bày Ch i v i ph ng ng ng ch y u d a vào tài li u [2], [3], [4] Ch ng 2: Lý thuy t Floquet thang th i gian Ch ng trình bày m t s nh ngh a tính ch t v thang th i gian, h ng l c n tính thang th i gian, lý thuy t Floquet iv ih ng l c n tính tu n hồn thang th i gian tu n hoàn m t s ví d áp d ng N i dung c a Ch ng c trình bày theo tài li u [6], [7], có tham kh o thêm tài li u [1] Do th i gian kh n ng nhi u h n ch nên lu n v n không th tránh kh$i nh ng thi u sót R t mong nh n c a th y cô b n #ng nghi p c nh ng ý ki n óng góp q báu L IC M Tác gi trân tr ng c m Tr ng i h c khoa h c, N n Ban Giám hi u, Phòng t o sau i h c, i h c Thái Nguyên ã quan tâm t o i u ki n t t nh t cho tác gi hồn thành khóa h c sau i h c Tác gi xin trân tr ng c m n cô giáo TS Nguy%n Th Thu Th y th y cô giáo tham gia gi ng d y l p cao h c K4B khóa 2010-2012 ã em h t nhi t tình tâm huy t c a trang b cho tác gi nh ng ki n th c c s Tác gi xin trân tr ng c m n tr Phòng ã t o nhi u i u ki n gi ng d y t i tr ng Ph& thông Hermann Gmeiner, H i tác gi có th i gian v'a hoàn thành nhi m v ng, #ng th i hoàn thành t t khóa h c Th c s Lu n v n PGS TS T Duy Ph c hoàn thành d is h ng d(n t n tình c a th y giáo ng, Vi n Tốn h c Tác gi xin trân tr ng bày t$ lòng bi t n sâu s"c t i Th y Tác gi c ng xin g i l i c m n chân thành n thành viên l p cao h c K4B ã quan tâm, giúp ) tác gi su t trình h c t p Xin chân thành c m n gia ình, b n bè ã ng h , tác gi su t trình h c cao h c th c hi n ng viên giúp ) tài lu n v n Thái Nguyên, tháng 10 n m 2012 CH NG LÝ THUY T FLOQUET CHO H PH NG TRÌNH VI PHÂN TH 1.1 Các khái ni m c b n c a ph ng trình vi phân th 1.1.1 H ph ng H ph ng trình vi phân th ng trình vi phân th ng h ph NG ng ng trình d ng dxi = f i ( t , x1 , x2 , , xn ) , i = 1, 2, , n, t ∈ I + , dt c l p (ch th i gian), I + = {t : t < t < ∞} v i t ∈ ó t bi n t = −∞ Các hàm s G = I+ × D ⊂ ho c ph c n × (1.1.1) fi : G → n , i = 1, , n cho tr c, xác ho c nh n a hình tr D t p m không gian véc t n chi u th c n Các hàm kh vi x1 , x2 , , xn hàm s c n tìm, Kí hi u f1 ( t , x ) x1 x= x2 = column ( x1 , , xn ) ; f (t , x) = f2 (t, x ) = column ( f1 (t , x), , f n (t , x) ) fn (t, x ) xn Khi ó (1.1.1) c vi t d i d ng ph ng trình vi phân vect : dx = f (t, x ) , t ∈ I + , dt Thông th ng, ta òi h$i nghi m c a ph i u ki n ban (1.1.2) ng trình vi phân (1.1.2) ph i th$a mãn u x(t0 ) = x0 v i ( t0 , x0 ) ∈ G cho tr (1.1.3) c nh ngh a 1.1.1 Hàm véc t th c ho c ph c x = x(t ) thu c l p hàm kh vi C xác nh kho ng ( a, b ) ⊂ I + th$a mãn ph ng trình (1.1.2)-(1.1.3) v i m i a < t < b, ó ( t0 , x0 ) ∈ ( a, b ) × D, vi phân (1.1.2), th$a mãn i u ki n ban D i ây nh"c l i Lipschitz ng trình u (1.1.3) nh lý c b n v t#n t i nh t nghi m, c s nghiên c u tính ch t &n Hàm s c g i nghi m c a ph nh nghi m c a h ph Lipschitz Cho t p G ⊂ iv i x × n ng trình vi phân th f :G → Hàm s u theo t n u t#n t i s th c d ng c g i n ng L cho f (t , x1 ) − f (t , x2 ) ≤ L x1 − x2 v i m i (t , x1 ) ∈ G, (t , x2 ) ∈ G Hàm f : G → iv i x n , G = ( a, b ) × D ⊂ × n c g i hàm Lipschitz a ph ng u theo t n u v i m i i m x ∈ D t#n t i m t lân c n V ( x) ⊂ D c a x cho f Lipschitz iv i x u theo t lân c n y, t c f (t , x1 ) − f (t , x2 ) ≤ L x1 − x2 v i m i x1 , x2 ∈V ( x) t ∈ ( a, b ) nh lý 1.1.1 ( ph nh lý Picard-Lindelöp v s t#n t i nh t nghi m c a ng trình vi phân) Gi s hàm f : G → n xác i u ki n Lipschitz theo x nh liên t c t p m G⊂ × n , th a mãn u theo t G : f (t , x1 ) − f (t , x2 ) ≤ L x1 − x2 v i m i (t , x1 ) ∈ G, (t , x2 ) ∈ G Khi (t y v i m i (t0 , x0 ) ∈ G tìm − d , t0 + d ) , nghi m c a ph c m t s d > cho kho ng ng trình vi phân (1.1.2) tho mãn i u ki n ban u (1.1.3) t n t i nh t Chúng ta có khái ni m &n nh nghi m Lyapunov a n m 1892 d i ây nh ngh a 1.1.2 Nghi m η (t ), ( t0 < t < +∞ ) c a h ph ng ε cho nh theo Lyapunov t → +∞, n u v i m i s d c g i n tr ng trình (1.1.2)-(1.1.3) c v i m i t0 ∈ ( t ; +∞ ) , t#n t i s d M i nghi m x(t ) c a ph ng δ = δ (ε , t0 ) > cho ng trình (1.1.2)-(1.1.3), k c nghi m η (t ), th$a mãn i u ki n x(t0 ) − η ( t0 ) < δ , ph i kéo dài mãn (1.1.4) (1.1.4) c t i vô cùng, t c m i nghi m x(t ) có i u ki n ban u xác u th$a nh kho ng t0 ≤ t < +∞, hay x(t ) ∈ D v i m i t ∈ [t0 ; +∞ ) Các nghi m ó th$a mãn b t *ng th c: x(t ) − η (t ) < ε v i m i t ∈ [t0 ; +∞ ) (1.1.5) i u ki n (1.1.5) nói r!ng, nghi m có i u ki n ban t i i m t0 ph i mãi (v i m i t ≥ t0 ) d nh g n η ( t0 ) ε − ng có tr c η ( t ) nh ngh a 1.1.3 Nghi m η (t ), ( t0 < t < +∞ ) c a ph n u x ( t0 ) u theo t0 t → +∞ n u v i m i s d ng trình (1.1.2) ng ε cho tr cg i c, t#n t i s ng δ = δ ( ε ) không ph thu c vào t0 , cho v i m i t0 ∈ ( a; +∞ ) , m i nghi m x(t ) c a ph x(t0 ) − η ( t0 ) < δ ng trình (1.1.2) th$a mãn u kéo dài c t i vô (xác i u ki n ban u nh kho ng t0 ≤ t < +∞ ) th$a mãn i u ki n (1.1.5) nh ngh a 1.1.4 Nghi m η (t ), ( t0 < t < +∞ ) c a ph khơng n ng trình (1.1.2) cg i nh theo Lyapunov t → +∞ n u t#n t i m t s ε > m t th i i m t0 ∈ I + cho, v i m i s δ > 0, t#n t i nh t m t nghi m x(t ) c a ph ng trình (1.1.2) t#n t i m t th i i m t1 > t0 cho x(t0 ) − η ( t0 ) < δ nh ng x(t1 ) − η ( t1 ) ≥ ε i u có ngh a là, t#n t i m t th i i m t1 > t0 nghi m x(t ) v t kh$i ε − ng có tr c η ( t ) nh ngh a 1.1.5 Nghi m η (t ), ( t0 < t < +∞ ) c a ph n ng trình (1.1.2) nh ti m c n t → +∞ n u: Nghi m η (t ), ( t0 < t < +∞ ) &n nh theo Lyapunov t → +∞ V i m+i t0 ∈ I + t#n t i ∆ = ∆ (t0 ) > cho t t c x(t ), (t0 ≤ t < +∞) th$a mãn i u ki n x(t0 ) − η ( t0 ) < ∆ lim x(t ) − η (t ) = (1.1.6) B!ng phép &i bi n y (t ) = x(t ) − η (t ), ta có th a h ph ng trình (1.1.2) v ng trình d ng y (t ) = f ( t , y ) , v i f (t ,0) ≡ Do ó ta ln có th gi thi t f (t ,0) ≡ Khi y (1.1.2) có nghi m t m th Các nghi m u có tính ch t: t →+∞ ph cg i ng (nghi m cân b!ng) η (t ) ≡ nh ngh a (1.1.2)-(1.1.5) có th phát bi u g n gàng h n cho nghi m η (t ) ≡ Thí d , ta nói nghi m t m th f (t ,0) ≡ n ng η (t ) ≡ c a ph nh ti m c n n u &n ng trình (1.1.2) v i nh theo Lyapunov v i m+i t0 ∈ I + t#n t i ∆ = ∆ (t0 ) > cho t t c nghi m x(t ),(t0 ≤ t < +∞) th$a mãn i u ki n x(t0 ) < ∆ ta u có lim x(t ) = V i m+i t0 cho tr c, hình c u x(t0 ) < ∆ t →+∞ c g i mi n hút v v trí cân b!ng η (t ) ≡ c a h (1.1.2) nh ngh a 1.1.6 Gi s ph G = I+ × n ng trình (1.1.2) xác nh n a khơng gian Khi ó n u nghi m η (t ), ( t < t < +∞ ) c a ph ng trình (1.1.2) &n nh ti m c n t → +∞ m i nghi m x(t ), (t0 ≤ t < +∞) ki n lim x(t ) − η (t ) = η (t ) c g i n t →+∞ Nh v y nghi m η (t ) &n u th$a mãn i u nh ti m c n toàn th nh ti m c n toàn th n u t i th i i m ban t0 tùy ý, mi n hút c a nghi m ó tồn th khơng gian Cùng v i h (1.1.2) ta xét h có nhi%u tác ng th n u ng xuyên: dx = f ( t , x ) + ϕ (t , x), dt (1.1.7) ó ta gi thi t f (t , x) ∈ C 0,1 ( G ) , ϕ (t , x) ∈ C 0,1 ( G ) hàm liên t c theo bi n t kh vi theo bi n x nh ngh a 1.1.7 Nghi m η (t ), ( t < t < +∞ ) c a ph n nh v i nhi u tác m i t ∈ I + , t #n t i s ng th ng trình (1.1.2) cg i ng xuyên ϕ (t , x), n u v i m i ε > v i δ = δ ( t0 , ε ) > cho ϕ ( t , x ) < δ , m i nghi m x(t ) c a h (1.1.7) th$a mãn i u ki n x(t0 ) − η ( t0 ) < δ c ng u xác nh kho ng ( t0 ≤ t < +∞ ) th$a mãn i u ki n x(t ) − η (t ) < ε v i m i t ∈ [t0 ; +∞ ) 1.1.2 H ph Xét h ph ng trình vi phân th ng trình vi phân th dxi = dt n k =1 ng n tính ng n tính d ng aik ( t )xk + f i ( t ) , i = 1, n, (1.1.8) ó aik (.) , f i (.) ∈ C ( I + ), t c h s aik (.) c a xk s h ng t f i (.) c a h (1.1.8) hàm s liên t c kho ng I + = ( t ; +∞ ) N u khơng có thích khác, ta gi thi t hàm s aik ( t ) , f i ( t ) nh n giá tr th c xi (t ), i = 1, , n ,n hàm c n tìm c ng nh n giá tr th c N u a vào kí hi u: 44 S d ng, m t m t d ng Floquet Φ A ( t , t0 ) = Ψ1 ( t0 ) Ψ1−1 ( t0 ) = L ( t ) eR ( t , t0 ) L−1 ( t0 ) c a ma tr n chuy n c a h (2.3.1), m t khác, s d ng phép bi u di%n toán t n o M ( x ) = Φ A ( t0 + p, t0 ) x0 = Ψ1 ( t0 + p ) Ψ −1 ( t0 ) x0 ta có Φ A ( t0 + p, t0 ) = Ψ1 ( t0 + p ) Ψ1−1 ( t0 ) = L ( t ) eR ( t0 + p, t0 ) L−1 ( t0 ) Do ó, nhân t c a h giá tr riêng c a ma tr n eR ( t0 + p, t0 ) S γ ∈ m t m (m t c tr ng) Floquet c a (2.3.1) n u ) m t nhân t Floquet eγ (t0 + p, t0 ) = λ 2.4.1 Cho A m t n × n ma tr n h#ng T n × n ma tr n khơng suy B bi n Khi ó eTAT −1 (t , t0 ) = TeA (t , t0 )T −1 Ch ng minh Theo thu t toán Putzer, gi s λ1 , λ2 , λn giá tr riêng c a A , ó eA (t , t0 ) = toán giá tr ban n −1 i =0 r (t ) Pi , ó r ( t ) := ( r1 ( t ) , r2 ( t ) , , rn ( t ) ) nghi m c a i +1 u λ1 r (t ) = λ2 0 λ3 ∆ 0 , r (t0 ) = 0 Và P − ma tr n P0 , P1 , , Pn c λn nh ngh a m t cách quy b i công th c P0 = I Pk +1 = ( A − λk +1 I ) Pk v i ≤ k ≤ n − Vì ma tr n A TAT −1 có giá tr riêng t h ng) ri (t ) #ng nh t Gi s ng ng, nên hàm (vô 45 eA (t , t0 ) = n −1 i =0 r (t ) Pi , i +1 eTAT (t , t0 ) = n −1 −1 i =0 r (t )Qi i +1 k t thúc ch ng minh, ta ch r!ng TPk +1T −1 = Qk +1 v i m i ≤ k ≤ n − Cho b t kì ≤ k ≤ n − 1, ta có TPk +1T −1 = T ( A − λk +1 )( A − λk I ) ( A − λ1 I )T −1 = T ( A − λk +1 I )T −1T ( A − λk I )T −1 T ( A − λ1 I )T −1 = (TA − λk +1T )T −1T ( A − λk I )T −1 T ( At −1 − λ1T −1 ) = (TAT −1 − λk +1 I )(TAT −1 − λk I ) (TAT −1 − λ1 I ) = Qk +1 Vì th , TeA (t , t0 )T −1 = T = n −1 n −1 i =0 ri +1 (t ) Pi T −1 = n −1 i =0 −1 ri +1 (t )TPT i ri +1 (t )Qi = eTAT (t , t0 ) −1 i =0 K t qu ti p theo nh lý ánh x ph& cho thang th i gian Kí hi u spec ( A ) ph& c a A , t c t p t t c λ ∈ cho λ I − A suy bi n Khi ó, tính h u h n chi u c a ma tr n A , ph& c a A trùng v i t p h p t t c giá tr riêng c a A T' nh lý 2.4.2 ( Gi s nh lý 2.4.2 d i ây suy espec( A) = spec ( eA ) nh lý ánh x ph& cho thang th i gian) A ma tr n n × n v i giá tr riêng λ1 , λ2 , , λn c tính l p l i theo b i Khi ó λ1k , λ2k , , λnk giá tr riêng c a Ak giá tr riêng c a eA eλ , eλ , , eλ n Ch ng minh B!ng phép quy n p theo s chi u n c a ma tr n, tr ta nh n xét r!ng nh lý úng cho ma tr n × c tiên chúng 46 i u ó úng cho m i ma tr n ( n − 1) × ( n − 1) L y λ1 gi s v ≠ Gi s véc t riêng t ng ng cho Aν = λ1v L y e1 , en c s n T#n t i m t ma tr n không suy bi n S cho Sv = e1 Nh v y có SAS −1e1 = λ1e1 , ma tr n SAS −1 có d ng kh i SAS −1 = λ1 * A ng chéo kh i thay cho λ1 Ma tr n SAk S −1 có d ng kh i, v i ph n t A λ1k Ak Rõ ràng, giá tr riêng c a kh i λ1k v i giá tr riêng c a Ak Theo quy n p, giá tr riêng c a Ak l y th'a b c k c a giá tr riêng c a A Kh*ng nh th hai c a Ta l u ý r!ng, c u trúc m+i Pi B& nh lý 2.4.1 ph thu c vào hai ma tr n A I T' ó l a ch n ma tr n S cho SAS −1 kh i cách xây d ng, ma tr n eSAS c ng kh i ng chéo Theo ng chéo, v i ph n t −1 kh i eλ eA c ch ng minh ng chéo i u ó có th th l i b!ng thu t toán Putzer phép l y tích phân t'ng ph n thang th i gian Dùng phép quy n p, ta có giá tr riêng c a eA eλ , , eλ Do ó, giá tr riêng c a eSAS eλ , eλ , , eλ n −1 n Chúng ta bi t r!ng giá tr riêng c a ma tr n eR ( t0 + p, t0 ) nhân t Floquet nh lý 2.4.2 c ng giúp tr l i kh*ng nh câu h$i: giá tr riêng c a ma tr n R phân tích Floquet Φ A ( t , t0 ) = L ( t ) eR ( t , t0 ) có ph i m Floquet hay khơng Tuy nhiên, nh lý 2.4.3, s th y m c dù giá tr riêng c a ma tr n R m Floquet nh ng chúng không nh t u tiên a vào nh ngh a s thu n o Hilger nh sau 47 − nh ngh a 2.4.2 Gi s ngh a b i công th c ιω = Cho z ∈ h π