Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 59 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
59
Dung lượng
611,98 KB
Nội dung
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ HƯƠNG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VỚI HỆ SỐ TUẦN HOÀN CHUYÊN NGÀNH: TOÁN ỨNG DỤNG 2012 MC LC Trang Mc lc…………………………………………………………… 1 M u…………… …………………………………………… 2 Li cm n…………………………………………………………. 4 Chng 1 Lý thuyt Floquet cho h phng trình vi phân thng 5 1.1 Các khái nim c bn ca phng trình vi phân thng………… 5 1.2 Lý thuyt Floquet cho h phng trình vi phân thng 13 Chng 2 Lý thuyt Floquet trên thang thi gian … 17 2.1 Mt s nh ngha và tính cht c bn v thang thi gian……… 17 2.2 H ng lc tuyn tính trên thang thi gian 27 2.3 Lý thuyt Floquet trên thang thi gian … 29 2.4 Nhân t Floquet, m Floquet … 42 2.5 Áp d ng ca lý thuyt Floquet… 50 Kt lun…………………………………………………………… 57 Tài liu tham kho………………………………………………… 58 2 M U Nhiu bài toán thc t nh các h c hc, các h thng in, h sinh thái, h ng lc,…, thng c mô t bi các phng trình vi phân. Mt lp quan trng ca phng trình vi phân là lp các phng trình vi phân vi h s tun hoàn. nh lý Floquet là mt nh lý c bn nht trong lý thuyt phng trình vi phân vi h s tun hoàn. Nghiên cu các phng trình vi phân vi h s tun hoàn nói chung và lý thuyt Floquet nói riêng là mt ch c các nhà nghiên cu quan tâm, vì ây là mô hình hay gp trong thc t, thí d, h thng các hành tinh trong h mt tri, các dao ng vt lý, , là các h tun hoàn. Song hành vi phng trình vi phân, lý thuyt phng trình sai phân cng c nghiên cu và phát trin, c bit trong nhng nm gn ây (xem [5]). Phng trình sai phân không ch là mt mô hình ri r c ca phng trình vi phân, mà còn là mt mô hình toán hc c lp, rt nhiu bài toán thc t (trong kinh t, trong k thut, ) cng có th mô t c bi h phng trình sai phân. Nm 1988, nh!m thng nht nghiên cu các h ri r c và liên tc, Hilger [8] ã a ra khái nim thang thi gian. Khái nim thang thi gian ca Hilger không nhng ch có ý ngha toán hc, mà còn có ý ngha trit hc sâu s"c. Nó cho phép thng nht hai bn cht ca chuyn ng, ó là tính liên tc và tính ri r c. Sau khi Hilger a ra khái nim thang thi gian và nghiên cu h ng lc trên thang thi gian, mt s nhà toán hc ã quan tâm nghiên cu và xây dng lý thuyt Floquet i vi h ng lc tun hoàn trên thang thi gian. Lun vn Phng trình vi phân vi h s tun hoàn có mc ích trình bày lý thuyt Floquet cho h phng trình vi phân thng tuyn tính vi h s tun hoàn và h ng lc tuyn tính tun hoàn trên thang thi gian tun hoàn. Ngoài phn m u, kt lun, lun vn g#m hai chng. 3 Chng 1: Lý thuyt Floquet cho phng trình vi phân thng. Chng này trình bày các nh ngha và tính cht c bn ca h phng trình vi phân thng, phát biu và chng minh nh lý Floquet i vi phng trình vi phân thng. Các kin thc trình bày trong Chng này ch yu da vào các tài liu [2], [3], [4]. Chng 2: Lý thuyt Floquet trên thang thi gian. Chng 2 trình bày mt s nh ngha và tính cht v thang thi gian, h ng lc tuyn tính trên thang thi gian, lý thuyt Floquet i vi h ng lc tuyn tính tun hoàn trên thang thi gian tun hoàn và mt s ví d áp dng. Ni dung ca Chng c trình bày theo các tài liu [6], [7], có tham kho thêm tài liu [1]. Do thi gian và kh nng còn nhiu h n ch nên lun vn này không th tránh kh$i nhng thiu sót. Rt mong nhn c nhng ý kin óng góp quí báu ca các thy cô và các b n #ng nghip. 4 LI CM N Tác gi trân trng cm n Ban Giám hiu, Phòng ào t o sau i hc, Trng i hc khoa hc, i hc Thái Nguyên ã quan tâm và t o iu kin tt nht cho tác gi hoàn thành khóa hc sau i hc. Tác gi xin trân trng cm n cô giáo TS Nguy%n Th Thu Thy cùng các thy cô giáo tham gia ging d y lp cao hc K4B khóa 2010-2012 ã em ht nhit tình và tâm huyt ca mình trang b cho tác gi nhng kin thc c s. Tác gi xin trân trng cm n trng Ph& thông Hermann Gmeiner, Hi Phòng ã t o nhiu iu kin tác gi có thi gian v'a hoàn thành nhim v ging d y t i trng, #ng thi hoàn thành tt khóa hc Th c s. Lun vn này c hoàn thành di s hng d(n tn tình ca thy giáo PGS TS T Duy Phng, Vin Toán hc. Tác gi xin trân trng bày t$ lòng bit n sâu s"c ti Thy. Tác gi cng xin gi li cm n chân thành n các thành viên lp cao hc K4B ã luôn quan tâm, giúp ) tác gi trong sut quá trình hc tp. Xin chân thành cm n gia ình, b n bè ã ng h, ng viên và giúp ) tác gi trong sut quá trình hc cao hc và thc hin tài lun vn. Thái Nguyên, tháng 10 nm 2012. 5 CHNG 1 LÝ THUYT FLOQUET CHO H PHNG TRÌNH VI PHÂN THNG 1.1 Các khái nim c bn ca phng trình vi phân thng 1.1.1 H phng trình vi phân thng H phng trình vi phân thng là h phng trình d ng ( ) 1 2 , , , , , i i n dx f t x x x dt = 1,2, , , i n = , t I + ∈ (1.1.1) trong ó t là bin c lp (ch thi gian), { } :I t t t + = < < ∞ v i t ∈ ho c . t = −∞ Các hàm s : i f G → , 1, , i n = cho tr c, xác nh trong n a hình tr . n G I D + = × ⊂ × D là t p m trong không gian véc t n chi u th c n ho c ph c . n Các hàm kh vi 1 2 , , , n x x x là các hàm s c n tìm, Kí hi u ( ) 1 2 1 , , ; n n x x x column x x x = = ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 , , ( , ) ( , ), , ( , ) . , n n f t x f t x f t x column f t x f t x f t x = = Khi ó (1.1.1) c vi t d i d ng ph ng trình vi phân vect : ( ) , , dx f t x dt = , t I + ∈ (1.1.2) Thông th ng, ta òi h $ i nghi m c a ph ng trình vi phân (1.1.2) ph i th $ a mãn i u ki n ban u 0 0 ( ) x t x = (1.1.3) v i ( ) 0 0 , t x G ∈ cho tr c. nh ngha 1.1.1 Hàm véc t th c ho c ph c ( ) x x t = thu c l p hàm kh vi 1 C xác nh trong kho ng ( ) , a b I + ⊂ và th $ a mãn ph ng trình (1.1.2)-(1.1.3) v i 6 m i , a t b < < trong ó ( ) ( ) 0 0 , , , t x a b D ∈ × c g i là nghi m c a ph ng trình vi phân (1.1.2), th $ a mãn i u ki n ban u (1.1.3). D i ây nh " c l i nh lý c b n v t # n t i và duy nh t nghi m, là c s nghiên c u tính ch t & n nh nghi m c a h ph ng trình vi phân th ng. Hàm s Lipschitz Cho t p . n G ⊂ × Hàm s : n f G → c g i là Lipschitz i v i x u theo t n u t # n t i s th c d ng L sao cho 1 2 1 2 ( , ) ( , ) f t x f t x L x x − ≤ − v i m i 1 2 ( , ) , ( , ) t x G t x G ∈ ∈ . Hàm : n f G → , ( ) , n G a b D = × ⊂ × c gi là hàm Lipschitz a phng i vi x u theo t nu vi mi im x D ∈ t#n t i mt lân cn ( ) V x D ⊂ ca x sao cho f là Lipschitz i vi x u theo t trong lân cn y, tc là 1 2 1 2 ( , ) ( , ) f t x f t x L x x − ≤ − vi mi 1 2 , ( ) x x V x ∈ và ( ) , . t a b ∈ nh lý 1.1.1 (nh lý Picard-Lindelöp v s t#n t i và duy nht nghim ca phng trình vi phân) Gi s hàm : n f G → xác nh và liên tc trên tp m , n G ⊂ × tha mãn iu kin Lipschitz theo x u theo t trên : G 1 2 1 2 ( , ) ( , ) f t x f t x L x x − ≤ − vi mi 1 2 ( , ) , ( , ) . t x G t x G ∈ ∈ Khi y vi mi 0 0 ( , ) t x G ∈ tìm c mt s 0 d > sao cho trên khong ( ) 0 0 , , t d t d − + nghim ca phng trình vi phân (1.1.2) tho mãn iu kin ban u (1.1.3) là tn ti và duy nht. Chúng ta có khái nim &n nh nghim do Lyapunov a ra nm 1892 di ây. 7 nh ngha 1.1.2 Nghim ( ) 0 ( ),t t t η < < +∞ ca h phng trình (1.1.2)-(1.1.3) c gi là n nh theo Lyapunov khi , t → +∞ nu vi mi s dng ε cho trc và vi mi ( ) 0 ; , t t ∈ +∞ t#n t i s dng ( ) 0 , 0 t δ δ ε = > sao cho 1. Mi nghim ( ) x t ca phng trình (1.1.2)-(1.1.3), k c nghim ( ), t η th$a mãn iu kin ( ) 0 0 ( ) , x t t η δ − < (1.1.4) phi kéo dài c ti vô cùng, tc là mi nghim ( ) x t có iu kin ban u th$a mãn (1.1.4) u xác nh trong khong 0 , t t ≤ < +∞ hay ( ) x t D ∈ vi mi [ ) 0 ; . t t ∈ +∞ 2. Các nghim ó th$a mãn bt *ng thc: ( ) ( )x t t η ε − < vi mi [ ) 0 ; . t t ∈ +∞ (1.1.5) iu kin (1.1.5) nói r!ng, các nghim có iu kin ban u ( ) 0 x t gn ( ) 0 t η t i im 0 t phi mãi mãi (vi mi 0 t t ≥ ) trong ε − ng có trc là ( ) . t η nh ngha 1.1.3 Nghim ( ) 0 ( ),t t t η < < +∞ ca phng trình (1.1.2) c gi là n nh u theo 0 t khi t → +∞ nu vi mi s dng ε cho trc, t#n t i s dng ( ) δ δ ε = không ph thuc vào 0 , t sao cho vi mi ( ) 0 ; , t a ∈ +∞ mi nghim ( ) x t ca phng trình (1.1.2) th$a mãn iu kin ban u ( ) 0 0 ( )x t t η δ − < u kéo dài c ti vô cùng (xác nh trong khong 0 t t ≤ < +∞ ) và th$a mãn iu kin (1.1.5). nh ngha 1.1.4 Nghim ( ) 0 ( ),t t t η < < +∞ ca phng trình (1.1.2) c gi là không n nh theo Lyapunov khi t → +∞ nu t#n t i mt s 0 0 ε > và mt thi im 0 t I + ∈ sao cho, vi mi s 0, δ > t#n t i ít nht mt nghim ( ) x t ca 8 phng trình (1.1.2) và t#n t i mt thi im 1 0 t t > sao cho ( ) 0 0 ( )x t t η δ − < nhng ( ) 1 1 0 ( ) . x t t η ε − ≥ iu này có ngha là, t#n t i mt thi im 1 0 t t > nghim ( ) x t vt ra kh$i ε − ng có trc là ( ) . t η nh ngha 1.1.5 Nghim ( ) 0 ( ),t t t η < < +∞ ca phng trình (1.1.2) c gi là n nh tim cn khi t → +∞ nu: 1. Nghim ( ) 0 ( ),t t t η < < +∞ là &n nh theo Lyapunov khi t → +∞ và 2. Vi m+i 0 t I + ∈ t#n t i 0 ( ) 0 t ∆ = ∆ > sao cho tt c các nghim 0 ( ), ( ) x t t t ≤ < +∞ th$a mãn iu kin ( ) 0 0 ( )x t t η − < ∆ u có tính cht: lim ( ) ( ) 0. t x t t η →+∞ − = (1.1.6) B!ng phép &i bin ( ) ( ) ( ), y t x t t η = − ta có th a h phng trình (1.1.2) v phng trình d ng ( ) ( ) , , y t f t y = vi ( ,0) 0. f t ≡ Do ó ta luôn có th gi thit ( ,0) 0. f t ≡ Khi y (1.1.2) có nghim tm thng (nghim cân b!ng) ( ) 0. t η ≡ Các nh ngha (1.1.2)-(1.1.5) có th phát biu gn gàng hn cho nghim ( ) 0. t η ≡ Thí d, ta nói nghim tm thng ( ) 0 t η ≡ ca phng trình (1.1.2) vi ( ,0) 0 f t ≡ là n nh tim cn nu nó &n nh theo Lyapunov và vi m+i 0 t I + ∈ t#n t i 0 ( ) 0 t ∆ = ∆ > sao cho tt c các nghim 0 ( ),( ) x t t t ≤ < +∞ th$a mãn iu kin 0 ( )x t < ∆ ta u có lim ( ) 0. t x t →+∞ = Vi m+i 0 t cho trc, hình cu 0 ( )x t < ∆ c gi là min hút v v trí cân b!ng ( ) 0 t η ≡ ca h (1.1.2). nh ngha 1.1.6 Gi s phng trình (1.1.2) xác nh trong na không gian . n G I + = × Khi ó nu nghim ( ) ( ),t t t η < < +∞ ca phng trình (1.1.2) &n 9 nh tim cn khi t → +∞ và mi nghim 0 ( ), ( ) x t t t ≤ < +∞ u th$a mãn iu kin lim ( ) ( ) 0 t x t t η →+∞ − = thì ( ) t η c gi là n nh tim cn trong toàn th. Nh vy nghim ( ) t η &n nh tim cn trong toàn th nu t i thi im ban u 0 t tùy ý, min hút ca nghim ó là toàn th không gian . n Cùng vi h (1.1.2) ta xét h có nhi%u tác ng thng xuyên: ( ) , ( , ), dx f t x t x dt ϕ = + (1.1.7) trong ó ta luôn gi thit ( ) ( ) 0,1 0,1 ( , ) , ( , ) f t x C G t x C G ϕ ∈ ∈ là các hàm liên tc theo bin t và kh vi theo bin . x nh ngha 1.1.7 Nghim ( ) ( ),t t t η < < +∞ ca phng trình (1.1.2) c gi là n nh vi nhiu tác ng thng xuyên ( , ), t x ϕ nu vi mi 0 ε > và vi mi 0 , t I + ∈ t#n t i s ( ) 0 , 0 t δ δ ε = > sao cho khi ( ) , , t x ϕ δ < mi nghim ( ) x t ca h (1.1.7) th$a mãn iu kin ( ) 0 0 ( )x t t η δ − < cng u xác nh trên khong ( 0 t t ≤ < +∞ ) và th$a mãn iu kin ( ) ( )x t t η ε − < vi mi [ ) 0 ; . t t ∈ +∞ 1.1.2 H phng trình vi phân thng tuyn tính Xét h phng trình vi phân thng tuyn tính d ng ( ) ( ) 1 , 1, , n i ik k i k dx a t x f t i n dt = = + = (1.1.8) trong ó ( ) ( ) . , . ( ), ik i a f C I + ∈ tc là các h s ( ) . ik a ca k x và các s h ng t do ( ) . i f ca h (1.1.8) là các hàm s liên tc trên khong ( ) ; . I t + = +∞ Nu không có chú thích gì khác, ta luôn gi thit các hàm s ( ) ( ) , ik i a t f t nhn giá tr thc và ( ), 1, , i x t i n = là các ,n hàm cn tìm cng nhn các giá tr thc. Nu a vào các kí hiu: [...]... trình vi phân tuy n tính ng trình vi phân tuy n tính 11 dx = A(t ) x + f (t ) , dt (1.1.9) trong ó A ( t ) , f ( t ) ∈ C ( I + ) và gi s dx = A(t ) x dt là h thu n nh t t (1.1.10) ng ng Tính ch t 1 T t c các nghi m c a h ph ng trình vi phân tuy n tính nh theo Lyapunov khi t → +∞ nh ho c không n T' tính ch t này, thay vì nói m t nghi m c th c a h ph &n nh, ta có th nói h ph không n u n ng trình vi phân. .. trình vi phân (1.1.9) x(t ), ( t0 ≤ t < +∞ ) c a h H qu 1.1.5 N u h ph n nh khi và ch! khi m i nghi m u gi i n i trên n a tr c t0 ≤ t < +∞ ng trình vi phân tuy n tính không thu n nh t n nh thì m i nghi m c a nó ho c b ch n ho c không b ch n khi t → +∞ 1.1.4 H kh quy Lý thuy t v h ph d ng t ph ng ng trình vi phân tuy n tính v i h s h!ng ã i tr n v-n M t câu h$i t nhiên t ra là: Li u có th ng trình vi. .. (1.1.10) t nh c ng t ng ng ng ng dáng i u c a 12 Vì v y, sau này ta gi i h n vi c nghiên c u tính &n nh ch i v i h vi phân tuy n tính thu n nh t Tính ch t 3 H ph ng trình vi phân tuy n tính (1.1.9) là n khi nghi m t m th ng η ( t ) ≡ 0 c a h thu n nh t t nh u khi và ch! ng "ng (1.1.10) là n u khi t → +∞ nh Tính ch t 4 H ph ng trình vi phân tuy n tính (1.1.9) là n ng x ( t ) ≡ 0 c a h thu n nh t t nghi m t... nh ti m c n khi t → +∞ H qu 1.1.3 H ph ng trình vi phân tuy n tính (1.1.9) n ch! khi h tuy n tính thu n nh t t Tính ch t 5 H ph ng "ng (1.1.10) n ng trình vi phân tuy n tính (1.1.9) ch! khi m i nghi m x(t ), ( t0 ≤ t < +∞ ) c a h ud n nh ti m c n khi và nh ti m c n n nh ti m c n khi và n 0 khi t → +∞, t"c là ta có lim x(t ) = 0 t →∞ H qu 1.1.4 H ph ng trình vi phân tuy n tính n nh ti m c n thì n nh ti... nói m t nghi m c th c a h ph &n nh, ta có th nói h ph không n u n ng trình vi phân là ng trình vi phân tuy n tính (1.1.9) là n nh hay nh Chú ý 1.1.1 Tính ch t trên không úng cho h ph ng trình vi phân phi tuy n vì có ví d ch ra r!ng, h phi tuy n có th v'a có nghi m &n nghi m không &n nh Tính ch t 2 H ph ng trình vi phân (1.1.9) n t do f (t ) khi và ch! khi nghi m t m th H qu 1.1.1 H ph n nh Lyapunov v... ( n × 1) − véc t , là phép bi n cg i i Liapunov nh ngh a 1.1.10 H ph ng trình vi phân tuy n tính thu n nh t (1.1.10) g i là kh quy theo Lyapunov n u nó th a c v h ph c ng trình vi phân tuy n tính v i ma tr n h!ng dy = By dt (1.1.12) nh m t phép bi n &i Lyapunov y = L ( t ) x nh lý 1.1.3 (Erugin, xem [2], [4]) H ph ng trình vi phân tuy n tính (1.1.10) là kh quy khi và ch! khi m t ma tr n c b n X (t... ng trình vi phân th ng trình vi phân tuy n tính ng 14 dx = A ( t ) x, t ≥ 0 dt (1.2.1) v i ma tr n A ( t ) có các h s là các hàm s liên t c (ho c liên t c t'ng khúc), và tu n hoàn, t c là A ( t + ω ) = A ( t ) Ta có (1.2.2) nh lý Floquet n&i ti ng sau ây nh lý 1.2.1 ( nh lý Floquet, xem [2], [4]) Ma tr n nghi m c b n, chu n hóa t i t = 0 c a h tuy n tính (1.2.1) v i ma tr n A ( t ) là ω - tu n hoàn. .. 1.1.1 H ph n nh Lyapunov v i m i s h ng ng η ( t ) ≡ 0 c a h thu n nh t t ng nh Lyapunov khi t → +∞ "ng (1.1.10) là n nghi m c a h nh v'a có ng trình vi phân tuy n tính n nh, không n H qu 1.1.2 H ph nh n u ít nh t m t nh n u có m t nghi m không n nh ng trình vi phân tuy n tính không thu n nh t n và ch! khi h tuy n tính thu n nh t t ng "ng n V i h qu trên, nghiên c u tính &n nghiên c u tính &n nh c a nghi... u ( t ) phân ti n thông th 2.1.4 Tính kh tích nh ngh a 2.1.7 M t hàm f : → g i là ti n kh vi (pre-differentiable) v i mi n kh vi D n u các i u ki n sau #ng th i a) D ⊂ b) k k c th$a mãn: , \ D là không quá m c và không ch a i m cô l p ph i nào c a , c) f kh vi t i m+i t ∈ D nh lý 2.1.3 ( nh lý giá tr trung bình) Cho f và g là các hàm nh n giá tr th c, xác nh trên và là ti n kh vi v i mi n kh vi D Khi... nh t và m r ng trình vi phân sang cho h nh lý 2.3.1 ( Gi s t n 0 ng c a p nh lý Floquet trong lý thuy t ph ng ng l c tuy n tính p − tu n hoàn trên thang th i gian nh lý Floquet cho h t i và k ∈ n × n − ma tr n ng l c trên thang th i gian) h#ng R h i quy eR ( p + t0 , t0 ) = Φ A ( p + t0 , t0 ) , trong ó Φ A là ma tr n chuy n c a h hoàn (2.3.1) Khi ó ma tr n chuy n c a (2.3.1) có th c vi t d sao cho . trình vi phân. Mt lp quan trng ca phng trình vi phân là lp các phng trình vi phân vi h s tun hoàn. nh lý Floquet là mt nh lý c bn nht trong lý thuyt phng trình vi phân. CHO H PHNG TRÌNH VI PHÂN THNG 1.1 Các khái nim c bn ca phng trình vi phân thng 1.1.1 H phng trình vi phân thng H phng trình vi phân thng là h phng trình d ng (. tun hoàn trên thang thi gian. Lun vn Phng trình vi phân vi h s tun hoàn có mc ích trình bày lý thuyt Floquet cho h phng trình vi phân thng tuyn tính vi h s tun hoàn