Một số ứng dụng của tích phân trong đại số và lượng giác

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC VI THỊ NGỌC YẾN MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG ĐẠI SỐ VÀ LƯỢNG GIÁC LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - NĂM 2014 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC VI THỊ NGỌC YẾN MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG ĐẠI SỐ VÀ LƯỢNG GIÁC LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số 60.46.01.13 Người hướng dẫn khoa học GS TSKH NGUYỄN VĂN MẬU THÁI NGUYÊN - NĂM 2014 Mục lục Mở đầu Chương Tính chất tích phân 1.1 Tính chất chung nguyên hàm 1.2 Tính chất tích phân xác định Chương Một số ứng dụng tích phân đại số 2.1 Khảo sát phương trình, bất phương trình Đại số 2.1.1 Chứng minh tồn nghiệm phương trình 2.1.2 Giải phương trình sinh số dạng nguyên hàm 13 2.2 Phương pháp tích phân bất đẳng thức đại số 19 2.3 Phương pháp tích phân tốn cực trị đại số 28 Chương Một số ứng dụng tích phân lượng giác 3.1 32 Tích phân hàm lượng giác hàm tuần hoàn 32 3.1.1 Tích phân hàm chẵn lẻ 32 3.1.2 Tích phân hàm đặc trưng đặc biệt 36 3.1.3 Tích phân hàm tuần hồn 42 3.1.4 Sử dụng hệ thức truy hồi 45 3.2 Tích phân toán bất đẳng thức lượng giác 48 3.3 Tích phân toán cực trị lượng giác 51 3.4 Ứng dụng tích phân vào phương trình lượng giác 56 Kết luận 63 Tài liệu tham khảo 64 MỞ ĐẦU Chuyên đề phép tính tích phân có vị trí đặc biệt tốn học, khơng đối tượng nghiên cứu trọng tâm Giải tích mà cịn cơng cụ đắc lực nhiều lĩnh vực lý thuyết hàm số ứng dụng liên quan Bản thân phép tính tích phân thường sử dụng nghiên cứu Vật lý, Thiên văn học, Cơ học, Y học, giải pháp hữu hiệu mơ hình tốn học cụ thể hoạt động thực tiễn Trong kỳ thi học sinh giỏi Toán quốc gia, Olympic Tốn sinh viên tốn liên quan đến tính tốn tích phân hay đề cập xem dạng toán thuộc loại khó Hiện nay, tốn liên quan đến phép tính tích phân nằm chương trình thức Tốn giải tích bậc trung học phổ thơng Lý thuyết tốn phép tính tích phân đề cập giáo trình Giải tích tốn học Tuy nhiên, tài liệu có tính hệ thống ứng dụng phép tính tích phân chuyên đề chọn lọc cho giáo viên học sinh cuối bậc trung học phổ thông sinh viên trường kỹ thuật chưa có nhiều Để đáp ứng cho nhu cầu bồi dưỡng giáo viên bồi dưỡng học sinh giỏi chuyên đề phép tính tích phân ứng dụng, luận văn "Một số ứng dụng tích phân Đại số Lượng giác" nhằm cung cấp số tính chất tích phân hàm biến cho phân loại dạng toán ứng dụng khảo sát phương trình, bất phương trình, bất đẳng thức toán cực trị liên quan Đại số Lượng giác Ngoài phần Mở đầu Kết luận, luận văn chia thành ba chương đề cập đến vấn đề sau đây: Chương trình bày tính chất nguyên hàm tích phân hàm biến thực Chương trình bày ứng dụng tích phân đại số Chương trình bày số ứng dụng tích phân lượng giác CHƯƠNG Tính chất tích phân 1.1 Tính chất chung nguyên hàm Kí hiệu K khoảng, đoạn hay nửa khoảng trục thực Định nghĩa 1.1 (xem [3]) Cho hàm số f (x) xác định K Hàm số F (x) gọi nguyên hàm hàm f (x) K hàm số F (x) liên tục K , có đạo hàm điểm x thuộc K F (x) = f (x), ∀x ∈ K Chú ý 1.1 Trong trường hợp K = [a; b], đẳng thức F (a) = f (a), F (b) = f (b) hiểu giá trị đạo hàm phía F (x) − F (a) x→a x−a F (x) − F (b) F (b) = lim− x→b x−b F (a) = lim+ Định lý 1.1 ([3], [5], Về tồn nguyên hàm) Mọi hàm số liên tục K có nguyên hàm K Định lý 1.2 (xem [3]) 1) Nếu hàm số f (x) có nguyên hàm F (x) K K có vơ số ngun hàm 2) Hai nguyên hàm hàm cho K sai khác số cộng Từ Định lí 1.2 ta thấy F (x) nguyên hàm hàm số f (x) K nguyên hàm f (x) K có dạng F (x) + C , với C ∈ R Vậy F (x) + C, C ∈ R họ tất nguyên hàm f (x) K Họ tất nguyên hàm f (x) K kí hiệu f (x)dx Để đơn giản cách trình bày, ta sử dụng cách viết sách giáo khoa: f (x)dx = F (x) + C, C ∈ R Định lý 1.3 (Tính chất nguyên hàm) i) ii) d iii) f (x)dx = f (x) f (x)dx = f (x)dx df (x) = f (x) + C Định lý 1.4 (Quy tắc tìm nguyên hàm) i) ii) kf (x)dx = k f (x)dx (k = 0) f (x)dx+ g(x)dx = [f (x) + g(x)]dx iii) Quy tắc đổi biến f (x)dx = f [ϕ(t)]ϕ (t)dt, x = ϕ(t) có đạo hàm liên tục iv) Quy tắc lấy nguyên hàm phần udv = uv − vdu, u = u(x), v = v(x) hàm số có đạo hàm liên tục 1.2 Tính chất tích phân xác định Ta nhắc lại định nghĩa tích phân xác định hàm số Định nghĩa 1.2 Cho hàm số y = f (x) xác định đoạn [a; b] Chia đoạn [a; b] thành n đoạn nhỏ điểm chia xi (i = 0, , n): a = x0 < x1 < x2 < x3 < < xn−1 < xn = b (Mỗi phép chia gọi phép phân hoạch đoạn [a; b], kí hiệu Π.) Đặt ∆xi = xi − xi−1 d(Π) = max ∆xi , ≤ i ≤ n Trên đoạn [xi−1 ; xi ], ta lấy điểm tùy ý ξi (i = 1, , n) lập tổng n σΠ = f (ξi )∆xi (1.1) i=1 Tổng (1.1) gọi tổng tích phân hàm số f (x) ứng với phép phân hoạch Π Nếu giới hạn n I = lim σΠ = lim d(Π) →0 f (ξi )∆xi d(Π) →0 i=1 tồn tại, không phụ thuộc vào phép phân hoạch đoạn [a; b] cách chọn điểm ξi giới hạn gọi tích phân xác định f (x) [a; b] kí hiệu b n f (x)dx = lim d(Π) →0 a f (ξi )∆xi i=1 Khi hàm f (x) gọi khả tích đoạn [a; b] Chú ý 1.2 Tích phân xác định khơng phụ thuộc vào việc lựa chọn biến lấy tích phân: b b f (x)dx = a f (t)dt a Ta ln có b b f (x)dx = − f (x)dx = 0, b a a f (x)dx b Như thấy, để tính diện tích "hình thang cong", ta xấp xỉ phần giới hạn đường cong cho trước nhờ tổng xác định tìm diện tích xác cách thiết lập giới hạn tổng Sau đó, tìm giá trị số giới hạn cở sở sử dụng định lí phép tính giới hạn Để ý rằng, f (x) liên tục [a; b] b n lim max ∆xk →0 f (xk )∆xk = k=1 f (x)dx = F (x) b a = F (b) − F (a) (1.2) a F (x) nguyên hàm f (x) Có nhiều đại lượng khác Hình học, Vật lí, khảo sát phương pháp thể tích, độ dài, diện tích mặt đại lượng vật lí cơng sinh lực biến đổi tác động từ khoảng cách cho trước, lực thủy tĩnh, Trong trường hợp vậy, trình thực phép chia khoảng biến thiên độc lập thành khoảng nhỏ đại lượng xét tính gần tổng tương ứng, giới hạn tổng cho ta giá trị xác đại lượng cần tính dạng tích phân xác định - tính tốn nhờ phép tính Ta thấy chi tiết q trình tính giới hạn tổng tích phân phức tạp lặp lặp lại nhiều lần việc chọn điểm tùy ý Điều gây trở ngại cho nhận thức trực quan tích phân xác định Cách thức khảo sát việc xây dựng tích phân xác định (1.2) phương pháp trực quan dễ hiểu (xem [5]) Ta hình dung diện tích đường cong (giới hạn phần đường cong trục x) tổng nhiều hình chữ nhật xếp thẳng đứng hình có độ cao y chiều rộng dx, diện tích dS = ydx = f (x)dx (1.3) Diện tích gọi phần tử tích phân diện tích hay đơn giản phần tử diện tích, nằm vị trí tùy ý miền đánh dấu giá trị x a b Bây giờ, ta xem diện tích tồn S hợp tất phần tử diện tích dS diện tích hình chữ nhật thẳng đứng qt lấp đầy miền Thực hợp cách lấy tổng kí hiệu S = dS Bởi vì, phần tử diện tích dS qt tồn miền cần tính tốn x chạy từ a đến b, nên ta biểu diễn S cách xác dạng S= dS = ydx = f (x)dx (1.4) Ta có tích phân xác định xác bước cuối (1.4) biến lấy tích phân cận xuất cách tường minh Bằng cách này, ta bỏ qua bước lập luận rườm rà thiết lập tích phân xác định tìm diện tích mà khơng cần tìm đến việc thiết lập giới hạn tổng tích phân Từ cách nhìn đó, ta thấy phép lấy tích phân cách thực tính tốn đại lượng nhờ cắt nhỏ thành nhiều phần sau lấy tổng chúng Đó cách tiếp cận trực quan Leibnitz cho trình lấy tích phân mà ta minh họa làm rõ chương sau CHƯƠNG Một số ứng dụng tích phân đại số 2.1 Khảo sát phương trình, bất phương trình Đại số Ta nhắc lại số tính chất quan trọng nguyên hàm tích phân cần thiết cho việc khảo sát phương trình Định lý 2.1 Giả sử hàm số y = f (x) xác định liên tục [a; b] giả sử F (x) nguyên hàm Khi đó, tồn số thực x1 , x2 ∈ [a; b] với x1 < x2 , cho F (x1 ) = F (x2 ), phương trình f (x) = có nghiệm [x1 ; x2 ] Chứng minh Giả sử phương trình f (x) = khơng có nghiệm thuộc [x1 ; x2 ] Vì f (x) liên tục nên suy ra: f (x) > 0, ∀x ∈ [x1 ; x2 ], f (x) < 0, ∀x ∈ [x1 ; x2 ] Nếu f (x) > 0, ∀x ∈ [x1 ; x2 ] hàm số F (x) đồng biến đoạn [x1 ; x2 ] Suy F (x1 ) < F (x2 ), trái với giả thiết Nếu f (x) < 0, ∀x ∈ [x1 ; x2 ] hàm số F (x) nghịch biến đoạn [x1 ; x2 ] Suy F (x1 ) > F (x2 ), trái với giả thiết Như vậy, hai trường hợp, ta có F (x1 ) = F (x2 ), điều trái với giả thiết F (x1 ) = F (x2 ) Vậy phương trình f (x) = có nghiệm [x1 ; x2 ] Nhận xét 2.1 Cũng phát biểu định lí 2.1 dạng sau Nếu hàm số y = f (x) xác định liên tục [a; b] tồn số thực phân biệt x1 , x2 ∈ [a; b] cho x2 f (x)dx = 0, x1 phương trình f (x) = có nghiệm thuộc [x1 ; x2 ] Nhận xét 2.2 Ta thấy định lí 2.1 hệ trực tiếp định lí Rolle (xem 50 dx Bài toán 3.23 Chứng minh < < e + x2 e−x 2e Lời giải Vì ≤ x ≤ ⇒ ≤ x2 ≤ < e−x ≤ ⇒ ≤ x2 e−x < u ≤ − Dựa vào nhận Ta nhận xét, ≤ u ≤ − u ≤ 1+u 2 −x xét với u = x e ∈ [0, 1) Ta suy − x2 e−x ≤ Do 1 −x ≤ − x e , ∀x ∈ [0; 1] + x2 e−x 1 (1 − x2 e−x )dx < dx < + x2 e−x 0 1 1 −x x e dx dx − = 2, suy < e dx < + x2 e−x 2e Bài tập áp dụng π Cho In = x tann xdx 51 a) Tính In với n = π n+1 ( ) n + √ ex sin xdx π Chứng minh < + x 12e π cos x sin x π Chứng minh In = dx > 4 x) 12 (1 + sin x)(1 + cos Chứng minh √ e−x sin xdx π a) In = | dx| < 2+1 x 12 √ π dx π b) < √ < − x2 − x3 b) Chứng minh In > 3.3 Tích phân toán cực trị lượng giác Bài toán 3.24 Tính giá trị nhỏ 3π In = π sinn+2 x cosn+2 x ( + )dx, cosn x sinn x n ∈ N π 3π Lời giải Nhận xét đoạn [ , ] sin x , cos x = Ta có sinn+2 x cosn+2 x + − (sin2 x + cos2 x) f (x) = n n cos x sin x sinn+2 x cosn+2 x =( − sin x) + ( − cos2 x) n n cos x sin x cos2 x = (tann x − 1)(tann+2 x − 1) n tan x π 3π Với x ∈ [ , ] tan x > tank x > ∀k ∈ N Do cos2 x ≥ , tann x − > , tann+2 x − ≥ 0, n tan x nên f (x) ≥ 52 Vậy, ta có sinn+2 x cosn+2 x π 3π + ≥ , x ∈ [ , ] cosn x sinn x Tích phân hai vế , ta thu 3π n+2 ( π n+2 sin x cos x + )dx ≥ cosn x sinn x Vậy giá trị nhỏ In 3π dx = π π π n = Bài tốn 3.25 Tìm giá trị nhỏ tích phân x ( I(x) = π sinn+2 t cosn+2 t + )dt − x cosn t sinn t Lời giải Ta có x π sinn+2 t cosn+2 t ( + )dt ≥ cosn t sinn t Suy x π x x dt = t π π π =x− sinn+2 t cosn+2 t π ( + )dt − x ≥ − n cosn t sin t Vậy giá trị nhỏ I(x) − π π x = 4 Bài toán 3.26 Cho trước n ∈ N∗ Tìm giá trị nhỏ hàm số x xn+2 t tan tdt − , x ≥ n+2 n f (x) = Lời giải Ta có t tan t ≥ t nên t tann t ≥ tn+1 Suy x x t tann tdt ≥ tn+1 dt = tn+2 n+2 x = xn+2 n+2 53 Do x xn+2 t tan tdt − ≥ n+2 n Vậy giá trị nhỏ hàm số x = Nhận xét 3.2 Nếu ta cố định cận x = π đặt π x tann xdx , n ∈ N∗ , In = In > π ( )n+2 n+2 Bài tốn 3.27 Tìm giá trị lớn hàm số √ f (x) = sin3 x + sin x − sin x , 2kπ ≤ x ≤ (2k + 1)π , k ∈ C Lời giải Đặt √ sin x = t ≤ t ≤ Xét hàm số h(t) = t6 + 3t2 − 4t Ta có g(u) = u5 + u hàm liên tục đồng biến [0, 1] Khi đó, ∀t ∈ [0, 1] , t (u5 + u)du ≤ t (u5 + u)du hay 1 t6 t2 + ≤ t( + ) ⇒ t6 + 3t2 − 4t ≤ 6 √ Vậy ta có sin3 x + sin x − sin x ≤ giá trị lớn f (x) = π x = kπ x = + 2kπ Bài tốn 3.28 Tìm giá trị lớn biểu thức A= 1 1 1 π + 2 + − − − , x, y, z ∈ 0, y z sin x sin y sin z x 54 Lời giải Từ bất đẳng thức cos t x ∀t ∈ R, ∀x > 0, ta có x dt ⇒ sin x < x (3.15) x2 tdt ⇒ cos x > − (3.16) cos tdt < 0 Tiếp theo, từ (3.15), x > 0, x x sin tdt < 0 Tiếp theo, từ (3.16), với x > 0, x x cos tdt > x3 (1 − )dt ⇒ sin x > x − t 3! Tiếp theo, từ (3.17), với x > 0, x x (t − sin tdt > t3 x2 x4 )dt ⇒ cos x < − + 3! 2! 4! Mặt khác, từ (3.17), ta có sin x x mà x2 > 1− x2 x4 x6 =1− + − , 12 216 x2 x4 x6 x4 1− + − >1−x + , 12 216 24 nên sin x x > cos x cos x π > , x ∈ 0, x3 sin x Do π π dt > t3 x cos t dt sin t3 x Suy 1 − sin2 x x2 1− π , x ∈ 0, π2 (3.17) 55 Từ đây, ta có 1 1 1 + 2 + − − − y z sin x sin y sin z x Vậy, giá trị lớn A − 3− 12 · π2 12 π x = y = z = · π2 Bài tốn 3.29 Tìm giá trị nhỏ hàm số f (x) = (x − b) tan x + ln | cos x|, x ≥ Lời giải Xét hai hàm số g(t) = tan t h(t) = t Ta thấy g(t) h(t) hàm liên tục, không âm đồng biến ∀t ≥ Ta có b x t dt + cos2 t b tan x tan t dt Từ đẳng thức x x t dt = t tan t + ln cos x cos2 t x 0 = x tan x + ln cos x b tan t dt = − ln cos t b = − ln cos b , 0 ta thu b tan x x tan x + ln cos x − ln cos b , hay x tan x − b tan x + ln cos x ≥ ln cos b Vậy, giá trị nhỏ f (x) ln cos b x = b 56 Bài tập áp dụng Cho n ∈ N∗ Tìm giá trị nhỏ biểu thức x xn+3 n I(x) = t arctan tdt − , x ≥ n+3 Tìm giá trị nhỏ hàm số π π2 π π h(x) = x − ( + 1)x − cos x, x ∈ [0, ] 2 Tìm giá trị nhỏ hàm số √ √ ] f (x) = πx − 2 arcsin x, x ∈ [0, Tìm giá trị nhỏ biểu thức f (x, y) = x cos y − y cos x + (x − y)( xy − 1), ≤ x ≤ y 3.4 Ứng dụng tích phân vào phương trình lượng giác Ta định nghĩa cách vắn tắt phương trình, bất phương trình tích phân phương trình , bất phương trình có chứa hay nhiều biểu thức chứa tích phân Bài tốn 3.30 Chứng minh phương trình a cos x + b cos 2x + c cos 3x = có nghiệm với a, b, c Lời giải Xét hàm số f (x) = a cos x + b cos 2x + c cos 3x Ta có π π f (x)dx = (a cos x + b cos 2x + c cos 3x)dx π b c sin 2x + sin 3x) = 0 Khi phương trình f (x) = có nghiệm khoảng (0, π) với a, b, c = (a sin x + Mở rộng 57 i) Phương trình n ak cos(kx) = k=1 ln có nghiệm với ak ∈ R, i = 1, 2, , n π n π n ak cos(kx)dx = k=1 n ak cos(kx)dx = [ k=1 k=1 ak sin(kx)] k π = 0 ii) Phương trình n ak sin(kx) = k=1 ln có nghiệm với ak ∈ R, i = 1, 2, , n 2π n n 2π ak sin(kx)dx = k=1 n ak sin(kx)dx = [ k=1 k=1 ak cos(kx)] k 2π = 0 Bài toán 3.31 Chứng minh phương trình 2(x2 − x − 2) cos 2x = (1 − 2x) sin 2x có ba nghiệm phân biệt (−1, 2) Lời giải Viết phương trình cho dạng 2(x2 − x − 2) cos 2x − (1 − 2x) sin 2x = Ta thấy, hàm số f (x) = 2(x2 − x − 2) cos 2x − (1 − 2x) sin 2x = hàm liên tục R có nguyên hàm F (x) = (x2 − x − 2) sin 2x π Ta có F (−1) = 0, F (0) = 0, F (2) = 0, F = Theo định lí 3.1, π π khoảng (−1, 0), 0, , , , phương trình cho có 2 nghiệm Vậy phương trình cho có ba nghiệm phân biệt (−1; 2) 58 Nhận xét 3.3 Để giải phương trình, bất phương trình tích phân thơng thường trước tiên ta cần xác định tích phân phương trình, bất phương trình thu phương trình, bất phương trình đại số quen thuộc Ta nhắc lại số tính chất quen biết tích phân để sử dụng vào việc xác định nghiệm phương trình Định lý 3.1 Cho hai số thực a, b trái dấu (a < < b) cho f (x) hàm số liên tục không âm (có thể số hữu hạn điểm) đoạn [a, b] Khi đó, đoạn [a, b] phương trình x f (t)dt = F (x) = có nghiệm x = x f (t)dt nguyên hàm f (x) Chứng minh Ta thấy F (x) = [a, b] - Nếu x = F (0) = F (x) = f (t)dt = Vậy x = nghiệm phương trình F (x) = - Nếu x = x ∈ [a, b], từ giả thiết f (x) ≥ 0, ta suy F (x) đồng biến [a, b] F (x) = F (0) = 0, tức phương trình F (0) = khơng thể có nghiệm x = [a, b] Vậy phương trình F (x) = có nghiệm x = Định lý 3.2 Cho hai số thực a, b trái dấu (a < < b) cho f (x) hàm số liên tục khơng dương (có thể số hữu hạn điểm x f (t)dt = có nghiệm [a, b]) đoạn [a, b] Khi phương trình F (x) := x = [a, b] Chứng minh hoàn toàn tương tự Định lý 3.3 Cho ba số thực a, b, c(a ≤ c ≤ b, a < b) cho f (x) hàm số liên tục không dương (có thể số hữu hạn điểm 59 x [a, b]) đoạn [a, b] Khi phương trình F (x) := f (t)dt = có nghiệm c x = c [a, b] Chứng minh hồn tồn tương tự Bài tốn 3.32 Giải phương trình √ 2x − = √ Lời giải Đặt F (x) = sin x + cos x + 2x − F (0) = Ta có x x √ √ F (x) := (sin t + cos t + 2t − 1) dt = (sin t + cos t + 2)dt 0 √ Nhận thất rằng, hàm số f (t) = sin t + cos t + liên tục khơng âm ∀t ∈ R, nên theo định lÍ 3.2, phương trình √ sin x + cos x + 2x − = sin x + cos x + có nghiệm x = Bài tốn 3.33 Chứng minh phương trình e−x − sin(e−x ) cos(e−x ) − π = có nghiệm x = − ln π Lời giải Xét hàm số F (x) = e−x − sin(e−x ) cos(e−x ) Ta có F (− ln π) = π Phương trình cho tương đương với F (x) − F (− ln π) = x F (t)dt = 0, − ln π hay x e−t − sin(e−t ) cos(e−t ) = − ln π 60 Suy x −2e−t sin2 e−t dt = − ln π Hàm số f (t) = −2e−t sin2 e−t hàm liên tục, khơng dương ∀t ∈ R, nên theo Định lí phương trình có nghiệm nhấtx = − ln π Bài tốn 3.34 Giải phương trình ẩn x x sin4 t − dt = (3.18) Lời giải Trước hết ta xác định x x sin4 t − dt = cos 4t − cos 2t dt = ( sin 4t − sin 2t) Thay (3.19) vào (3.18), ta x = sin 4x − sin 2x (3.19) 1 kπ sin 4x − sin 2x = ⇔ ( cos 2x − 1) sin 2x = ⇔ x = , k ∈ C Bài toán 3.35 Giải bất phương trình 4x3 + 12x − − cos 3x + cos x = [0, ∞) Lời giải Đặt F (x) = 4x3 + 12x − − cos 3x + cos x Ta có F (0) = x x (4t3 + 12t − − cos 3t + cos t) dt = (12t2 + 12 + sin 3t − sin t)dt x = 12 x sin 3t − sin t (t2 + + )dt = 12 (t2 + + sin3 t)dt 61 Ta thấy hàm số f (t) = (t2 + + sin3 t) liên tục không âm với t ≥ 0, nên theo định lý 3.2, bất phương trình 4x3 + 12x − − cos 3x + cos x = có nghiệm x = Bài toán 3.36 Giải bất phương trình x2 arctan x + arctan x − cos 3x + 2x + = [0, +∞) Lời giải Xét hàm số F (x) = x2 arctan x + arctan x − cos 3x + 2x + = [0, +∞) Ta có F (0) = x (t2 arctan t + arctan t − cos 3t + 2t + 1) dt F (x) = x = t2 (2t arctan t + + + sin 3t + 2)dt + t2 + t2 x = (2t arctan t + sin 3t + 3)dt Ta thấy, hàm số f (t) = 2t arctan t + 3(sin 3t + 1) liên tục không âm với t, nên F (x) đồng biến [0, +∞) bất phương trình cho có nghiệm x = Bài tập áp dụng Giải bất phương trình sau: x (5t2 − 16t + 20)dt i) ≤ 2 (t − 4)(t − 5t + 4) ii) cos2 x +2 sin2 x x ≤ (cos t − sin t)dt + 62 Chứng minh phương trình ex − sin(e−x ) cos(e−x ) − π = có nghiệm x = − ln π 63 Kết luận Luận văn “Một số ứng dụng tích phân đại số lượng giác” trình bày vấn đề sau: Hệ thống kiến thức nguyên hàm, tích phân xác định Tiếp theo, xét số ứng dụng tích phân đại số: Bất đẳng thức tích phân; phương pháp tích phân chứng minh bất đẳng thức; phương pháp tích phân tốn cực trị; phương pháp tích phân giải phương trình Cuối cùng, luận văn trình bày xét số ứng dụng tích phân lượng giác: Bất đẳng thức tích phân hàm lượng giác; phương pháp tích phân chứng minh bất đẳng thức lượng giác; phương pháp tích phân tốn cực trị; phương pháp tích phân giải phương trình bất phương trình lượng giác Phương pháp tích phân phương pháp giải khác giải toán đặt ra.Tuy nhiên, phương pháp tích phân cho ta hướng tư việc tìm kiếm lời giải phù hợp cho số dạng tốn đặc thù liên quan đến tính chất đạo hàm nguyên hàm hàm sơ cấp 64 Tài liệu tham khảo Nguyễn Văn Mậu, 1993, Phương pháp giải phương trình bất phương trình NXB Giáo Dục Nguyễn Văn Mậu, 2006, Bất đẳng thức, định lí áp dụng, NXB Giáo Dục Nguyễn Văn Mậu, Lê Ngọc Lăng, Phạm Thế Long, Nguyễn MInh Tuấn, 2006 Các đề thi olympic tốn sinh viên tồn quốc, NXB Giáo Dục Nguyễn Văn Mậu, Nguyễn Thủy Thanh, Đặng Huy Ruận, 2002 Phép tính vi phân tích phân hàm biến, NXB ĐHQG Hà Nội J Steward, 2009, Calculus - Early transcendentals, 6th edition, Thomson-Brooks/Cole ... pháp tích phân bất đẳng thức đại số 19 2.3 Phương pháp tích phân tốn cực trị đại số 28 Chương Một số ứng dụng tích phân lượng giác 3.1 32 Tích phân hàm lượng giác. .. đáp ứng cho nhu cầu bồi dưỡng giáo viên bồi dưỡng học sinh giỏi chuyên đề phép tính tích phân ứng dụng, luận văn "Một số ứng dụng tích phân Đại số Lượng giác" nhằm cung cấp số tính chất tích phân. .. trình bày tính chất ngun hàm tích phân hàm biến thực Chương trình bày ứng dụng tích phân đại số Chương trình bày số ứng dụng tích phân lượng giác 2 CHƯƠNG Tính chất tích phân 1.1 Tính chất chung