Bài giảng dao động và điều khiển đại học thủy lợi

CHƯƠNG III: DAO ĐỘNG CỦA HỆ NHIỀU BẬC TỰ DO Mục tiêu: • Trình bày dao động hệ hai bậc tự (phương trình chuyển động dao động cưỡng bức; phân tích dao động tự hệ khơng tắt dần (hệ khối lượng – lị xo, hệ xoắn); ràng buộc tọa độ tọa độ chính; phương trình dao động cưỡng bức; hệ bán xác định) • Nghiên cứu hệ nhiều bậc tự (phương trình chuyển động; hệ số ảnh hưởng; tốn giá trị riêng) Nội dung: § 3.1 Hệ hai bậc tự Ta xét hệ hai bậc tự trước nghiên cứu hệ với số bậc tự lớn 3.1.1 Phương trình chuyển động dao động cưỡng • Khái niệm: Hệ hai bậc tự - quy tắc xác định số bậc tự – tọa độ suy rộng – tọa độ • Phương trình chuyển động: Xét hệ khối lượng – lị xo giảm chấn (tắt dần nhớt) hai bậc tự do, chịu tác dụng (H.3.1.a) Gọi tọa độ xác định vị trí hệ x1 x2 từ vị trí cân thời điểm t Sơ đồ vật rắn tự khối lượng biểu diễn (H.3.1b) Hình 3.1 Hệ giảm chấn- khối lượng – lò xo hai bậc tự Áp dụng định luật II New tơn, ta có phương trình chuyển động: m1&& x1 + (c1 + c2 ) x&1 − c2 x&2 + (k1 + k2 ) x1 − k2 x2 = F1 (3.1) m2 && x2 − c2 x&1 + (c2 + c3 ) x&2 + (k2 + k3 ) x2 − k2 x1 = F2 (3.2) Hệ (3.1) (3.2) viết dạng ma trận: r r& r r && [ m] x + [c ] x + [ k ] x = F (3.3) [m], [c], [k] ma trận khối lượng; ma trận tắt dần, ma trận độ cứng bằng: c1 + c2 − c2   k1 + k2  m1  ;[c ] =  ; [k ] =  [ m] =    c2 + c3  0 m2   −c2  − k2 → → x F véctơ chuyển dịch, véctơ lực bằng:  k2 + k3  − k2  x1  →  F1  x =  ; F =    x2   F2  → Các ma trận [m], [c], [k] ma trận x 2, phần tử khối lượng, hệ số tắt dần, độ cứng biết hệ ma trận đối xứng: T [ m] T T = [ m];[c ] = [c ];[ k ] = [ k ] Chú ý: a) Nghiệm hệ (3.1) (3.2) với F1, F2 tùy ý khó tìm x1 x2 ràng buộc Chúng bao gồm số tích phân Các số xác định từ điều kiện ban đầu: x1 (t = 0) = x10 ; x&1 (t = 0) = x&10 ; x2 (t = 0) = x20 ; x&2 (t = 0) = x&20 b) Hệ (3.1) (3.2) không ràng buộc (độc lập với nhau) c2 = k2 = 3.1.2 Dao động tự hệ khơng tắt dần • Phương trình: Phương trình (3.1) (3.2) trở thành: m1&& x1 + ( k1 + k2 ) x1 − k2 x2 = (3.4) m2 && x2 − k2 x1 + ( k2 + k3 ) x2 = (3.5) Vấn đề quan tâm là: Có hay khơng khối lượng m1, m2 thực dao động điều hịa tần số góc pha, với biên độ khác nhau? Do đó, giả sử lấy nghiệm (3.4) (3.5) dạng: (3.6) x1 = X cos(ωt + φ); x2 = X cos(ωt + φ) Thay (3.6) vào (3.4) (3.5) hệ phương trình nhận phải thỏa mãn với t, ta được: − m ω { + (k1 + k2 } X1 − k2 X = (3.7) −k2 X + {−m2ω + (k2 + k3 )} X = Để hệ dao động X1 X2 nghiệm tầm thường Điều kiện là: Định thức hệ số X1 X2 không det Hay: −m1ω2 + (k1 + k2 ) − k2 − k2 − m2ω + (k2 + k3 ) =0 ( m1m2 ) ω4 − {(k1 + k2 )m2 + (k2 + k3 )m1} ω2 + {(k1 + k2 )(k2 + k3 ) − k2 } = (3.8) Phương trình (3.8) gọi phương trình tần số hay phương trình đặc trưng nghiệm phương trình cho giá trị tần số hay giá trị đặc trưng hệ là:  (k1 + k2 )m2 + (k2 + k3 )m1   (k1 + k2 )m2 + (k2 + k3 )m1  ω ,ω =  m   2 m1m2 m m    2 1/  (k1 + k2 ) + (k2 + k3 ) − k22  −4   m1m2   (3.9) Vậy, hệ (3.1) (3.2) có nghiệm điều hòa dạng (3.6) ω ω1; ω2 cho phương trình (3.9) Ta gọi ω1, ω2 tần số tự nhiên (tần số riêng) hệ • Xác định giá trị X1, X2 thiết lập biểu thức nghiệm: Các giá trị phụ thuộc vào ω1; ω2 Ta ký hiệu giá trị X1, X2 tương ứng với ω1; ω2 X1(1); X1(2) X2(1); X2(2) Do phương trình (3.7) nhất, ta thiết lập tỷ số: X 2(1) −m1ω12 + (k1 + k2 ) k2 = r1 = (1) = X1 k2 −m2ω12 + ( k2 + k3 ) r2 = X X (2) (2) = 2 −m1ω + (k1 + k2 ) k2 = k2 −m2ω22 + (k2 + k3 ) (3.10) Với tần số tự nhiên biết, ta xác định dạng dao động riêng véc tơ riêng cách sử dụng phương trình (6.66) r (i ) r λ i [ I ] − [ D ] X = 0, i = 1, 2, (E.12) Trong đó:  X1  r ( i )  ( i )  X = X2   (i)   X  kí hiệu dạng dao động riêng thứ i Các bước thực sau: m Dạng riêng thứ nhất: Thay giá trị ω1 ( i.e., λ1 = 5.0489 ) k vào phương trình (E.12), ta có: (i)  1 m  5.0489 k 0  0    X  0   (1)        X  = 0      X (1)  0    (1) 0 1 m  −  k  1 Biến đổi ta thu được: (1) − 1.0   X  0   4.0489 − 1.0    (1)    3.0489 − 2.0   X  = 0   −1.0    (1)  0  − 2.0 2.0489   X     −1.0   (E.13) Phương trình (E.13) biểu diễn hệ gồm ba phương trình tuyến tính (1) (1) (1) theo ba ẩn số X , X , X Bất kỳ hai ẩn số biểu diễn theo ẩn số lại Nếu ta chọn tùy ý (1) (1) (1) để biểu diễn X , X theo số hạng X , ta thu từ hai hàng đầu phương trình ( E.13) (1) (1) (1) X + X = 4.0489 X (1) (1) (1) (E.14) 3.0489 X − 2.0 X = X Các phương trình (E.14) thoả mãn, hàng thứ ba phương trình (E.13) tự thoả mãn Giải phương trình (E.14) ta : (1) (1) (1) (1) X = 1.8019 X X = 2.2470 X Vậy dạng dao động riêng thứ là: (E.15) r (1) X  1.0  (1)   = X 1.8019  2.2470    (E.16) (1) Trong giá trị X chọn tùy ý m k Dạng riêng thứ hai: Thay giá trị ω2 ( i.e., λ2 = 0.6430 ) vào phương trình (E.12), ta có:  1 m  0.6430  k  0 Biến đổi ta thu được:    X  0   ( )        X  = 0      X ( )  0    (2) 0 1 m  − 1  k  1 − 1.0   X  0   −0.3570 − 1.0    ( )    − 1.3570 − 2.0   X  = 0   −1.0    ( )  0  − 2.0 − 2.3570   X     −1.0   (2) (E.17) Như trên, hai hàng đầu phương trình ( E.17) sử dụng để thu (2) (2) (2) − X − X = 0.3570 X (2) (2) (2) (E.18) −1.3570 X − 2.0 X = X Giải hệ phương trình (E.18) ta thu kết sau: (2) (2) X = 0.4450 X (2) (2) X = −0.8020 X Vậy dạng dao động riêng thứ hai là: (E.19) r (2) X  1.0  (2)   = X  0.4450  −0.8020    (E.20) (2) Trong giá trị X chọn tùy ý Dạng riêng thứ ba: Để xác định dạng thứ 3, thay giá trị ω3 m ) vào phương trình (E.12), ta có: k ( 3)    1 0  1 1    X  0  m m    ( 3)      0.3078 k 0  − k 1 2    X  = 0   0  1    X ( 3)  0    (i.e., λ3 = 0.3078 Biến đổi ta có: − 1.0   X  0   −0.6922 − 1.0    ( 3)    − 1.6922 − 2.0   X  = 0   −1.0    ( 3)  0  − 2.0 − 2.6922   X     −1.0   ( 3) (E.21) Hai hàng thứ phương trình từ ( E.21) viết ( 3) ( 3) ( 3) − X − X = 0.6922 X ( 3) ( 3) ( 3) (E.22) −1.6922 X − 2.0 X = X Giải hệ phương trình (E.22) ta thu kết sau: ( 3) ( 3) X = −1.2468 X ( 3) ( 2) X = 0.5544 X Vậy dạng dao động riêng thứ ba là: (E.23) r (3) X  1.0  ( 3)   = X  − 1.2468  0.5544    ( 3) Trong giá trị X (1) (2) (E.24) chọn tùy ý Các giá trị ( 3) X , X , X thường lấy 1, dạng dao động riêng biểu diễn hình 6.12 Dạng thứ Dạng thứ hai Dạng thứ ba HÌNH 3.13b Các dạng dao động riêng hệ ba bậc tự Ví dụ 3.11 (H.3.14) Phân tích dao động tự hệ khối lượng – lò xo Xem ví dụ 6.14 Hãy tìm đáp ứng dao động tự hệ khối lượng - lò xo biểu diễn hình 3.14, tương ứng với điều kiện đầu x&i (0) = 0(i = 1, 2,3), x1 (0) = x10 , x2 (0) = x3 (0) = , giả thiết ki = k mi = m với i = 1, 2, Hình 3.14 Bài giải: Cách tiếp cận: Giả thiết đáp ứng dao động tự tổng dạng dao động tự nhiên Các tần số riêng dạng riêng hệ xác định (xem ví dụ 6.10) k k k ω1 = 0.44504 , ω2 = 1.2471 , ω3 = 1.8025 m m m  1.0   1.0   1.0  r (1)  r r      (2) (3) X =  1.8019 , X =  0.4450 , X =  − 1.2468  2.2470  −0.8020   0.5544        Trong đó, để đơn giản, thành phần thứ dạng riêng giả thiết đơn vị Áp dụng điều kiện đầu, phương trình (6.98) (6.99), ta có A1cosφ1 + A2cosφ2 + A3cosφ3 = x10 (E.1) 1.8019 A1cosφ1 + 0.4450 A2cosφ2 − 1.2468 A3cosφ3 = (E.2) 2.2470 A1cosφ1 − 0.8020 A2cosφ2 + 0.5544 A3cosφ3 = (E.3) k k k A1sinφ1 − 1.2471 A2sinφ2 − 1.8025 A3sinφ3 = (E.4) m m m k k k −0.80192 A1sinφ1 − 0.55496 A2sinφ2 + 2.2474 A3sinφ3 = (E.5) m m m k k k −1.0 A1sinφ1 + 1.0 A2sinφ2 − 1.0 A3sinφ3 = (E.6) m m m −0.44504 Giải phương trình từ (E.1) đến (E.6) ta xác định A1 =0.1076x10 , A2 =0.5431x10 , A3 =0.3493x10 , φ1 = 0, φ2 = 0, φ3 = Bởi nghiệm dao động tự hệ biết sau:  k k x1 (t ) = x10 0.1076cos(0.44504 t ) + 0.5431cos(1.2471 t ) m m  k  + 0.3493cos(1.8025 t ) m   k k x2 (t ) = x10 0.1939cos(0.44504 t ) + 0.2417cos(1.2471 t) m m  k  − 0.4355cos(1.8025 t ) m   k k x3 (t ) = x10 0.2418cos(0.44504 t ) − 0.4356cos(1.2471 t) m m  k  + 0.1937cos(1.8025 t ) m  (E.7) (E.8) (E.9) Chú ý: Phương pháp tìm tần số riêng (các giá trị riêng) dạng riêng (các véctơ riêng) hệ nhiều bậc tự cách cho định thức đặc trưng khơng phương pháp xác, dài dòng n lớn Nhiều phương pháp giải tích phương pháp số đạt để tính tần số riêng dạng riêng hệ nhiều bậc tự Sinh viên tham khảo nội dung trình bày chương 7, chẳng hạn như: Công thức Dunkerley; phương pháp Rayleigh, phương pháp Holzer, phương pháp lặp ma trận, phương pháp Jacobi,… Bài tập chương III: 5(1, 2, 3, 5, 6, 7, 12, 17, 19, 27, 28, 44, 45, 47, 48, 49) 6(5 (H.6.17), 19, 20, 46)./ ... dao động hệ hai bậc tự (phương trình chuyển động dao động cưỡng bức; phân tích dao động tự hệ khơng tắt dần (hệ khối lượng – lò xo, hệ xoắn); ràng buộc tọa độ tọa độ chính; phương trình dao động. .. phải có n tọa độ độc lập để xác định vị trí Đối với hệ dao động học, thường tọa độ đại lượng hình học độc lập tính từ vị trí cân vật dao động Có thể chọn số tập hợp n tọa độ khác để miêu tả vị... phương trình (E.8) hệ dao động theo dạng thứ nó, biên độ hai khối lượng giống Điều có nghĩa chiều dài lị xo khơng đổi Do chuyển động m1 m2 pha (xem hình 3.3) Khi hệ dao động theo dạng thứ hai,