Bài giảng dao động và điều khiển (đại học thủy lợi)

CHƯƠNG 2: DAO ĐỘNG CỦA HỆ MỘT BẬC TỰ DO Mục tiêu: • Trình bày dao động tự khơng tắt dần tắt dần với cản nhớt (Phương trình chuyển động; nghiệm, tần số tự nhiên (tần số riêng); Độ suy giảm Lơgarít) • Nghiên cứu dao động chịu kích thích điều hịa (phương trình chuyển động đáp ứng hệ, cộng hưởng, hệ số phóng đại (khuếch đại hay tỉ số biên độ) Một vài mơ hình áp dụng quan trọng • Đáp ứng hệ với điều kiện cưỡng tổng quát, đặc biệt tác dụng hệ tuần hồn tổng qt NỘI DUNG: §2.1 Dao động tự không tắt dần hệ bậc tự • Nhận đốn hệ dao động tự do? • Hệ bậc tự do? Mơ hình tính cho hệ bậc tự do: Hệ khối lượng – lò xo; dao động xoắn; dao động uốn (dầm) (H.2.1.a,b,c) O k m Trục (kt) x d l Đĩa (Jo) m A Thanh (EJ) y h θ a b D (a) (b) Hình 2.1 (c) B • Phương trình chuyển động: a Sử dụng định luật II Niutơn chuyển động b Dùng nguyên lý Đalămbe phương pháp lực (trường hợp riêng Nguyên lý Đalămbe) c Dùng nguyên lý di chuyển ảo d Dùng nguyên lý bảo toàn lượng Chẳng hạn, xét cụ thể trường hợp sau: • Hệ khối lượng – lị xo: (m – k, H 2.1.a) Sử dụng định luật II Niutơn chuyển động (H2.2.a) - Chọn tọa độ thích hợp để mơ tả vị trí khối lượng m sử dụng tọa độ dài để biểu diễn chuyển động thẳng khối lượng - Xác định dạng cân tĩnh khối lượng (ở trùng với vị trí lị xo chưa biến dạng) tính di chuyển khối lượng từ vị trí cân tĩnh - Vẽ sơ đồ vật rắn tự cho khối lượng (biểu thị tất lực hoạt động phản lực liên kết tác dụng lên nó) cho di chuyển vận tốc theo hướng dương - Áp dụng định luật II Niu tơn chuyển động: Biến thiên động lượng khối lượng lực tác dụng lên r r d  dx (t )  F (t ) =  m  dt  dt  Nếu m khơng đổi thì: 2r 2r r r &&r d x (t ) d x (t ) && F (t ) = m = mx; x = dt dt O kx x, x& , && x l + δ st k kδ st O m m m (2.1) +x Vị trí cân tĩnh k (δ st + x) Vị trí cuối m W = mg +x W + kx W (a) (b) Hình 2.2 Trong trường hợp xét, ta có: mx&& + kx = Chú ý: Nếu xét hệ khối lượng – lò xo hướng thẳng đứng (H2.2b) mx&& = −k ( x + δδt ) + W ; W = mg = k δδt Ta nhận (2.2) Như vậy, khối lượng di chuyển theo phương thẳng đứng, ta khơng cần xét đến trọng lượng miễn khoảng cách x tính từ vị trí cân tĩnh Phương trình (2.2) đưa dạng chuẩn: k && x+ x=0 m Đặt: ωn = k m (rad / s, s −1 ) (2.3) && x + ωn x = Phương trình (2.2) trở thành: (2.4) Trong đó: ωn biểu thị (2.3) gọi tần số góc tự nhiên (tần số vòng riêng) Nếu ta lưu ý, trường hợp hệ chuyển động theo phương thẳng đứng: k=w δδt = mg δδt ωn = g δδt (2.5) Từ (2.3) (2.5) dẫn cơng thức tính chu kỳ thời gian tự nhiên tần số dài tự nhiên theo định nghĩa công thức chương I (sinh viên tự viết) • Dao động xoắn trục mang đĩa (H2.1.b) J 0&& θ + kt θ = Tần số vòng riêng hệ xoắn, chu kỳ thời gian tự nhiên tần số dao động giây chu trình bằng: kt J0 ωn = τn = 2π fn = J0 (2.6) kt kt J0 2π (2.7) (2.8) • Dao động uốn dầm mang khối lượng tập trung (H2.1.c) Sử dụng phương pháp lực (H2.3.a,b) Nếu gọi độ cứng chống uốn AB EJ; khối lượng gắn vào dao động m Khi m dịch chuyển khỏi vị trí cân tĩnh đoạn y, lực đàn hồi tác dụng lên khối lượng là: F= y δ11 δ11 hệ số ảnh hưởng, phụ thuộc vào a, b EJ Đặt lực quán tính my&& vào khối lượng; theo nguyên lý Đalămbe, ta có: my&& + y=0 δ11 Hay && y + ω2n y = (2.9) Trong đó: ωn = (2.10) mδ11 P=1 my&& A EJ B y EJ m a F a b b y1 M1 P ab a+b Ω2 Ω1 a/3 b/3 (a) (b) Hình 2.3 y2  6ξr  φ3 = tan    − 9r  −1  × 0.2 × 0.031416  = tan  = 0.0380483 rad   − 9(0.031416)  −1 (E.19) Từ phương trình (E.2)và (E.14) tới (E.19), nghiệm viết sau x p (t ) = 0.019635 − 0.015930cos( πt − 0.0125664) − 0.0017828cos(3πt − 0.0380483)m (E.20) Ví dụ 1.11 Sự đáp ứng tồn phần ảnh hưởng kích thích móng (đế) điều hịa – Xem ví dụ 4.2 Tìm đáp ứng toàn phần hệ bậc tự do, giảm chấn nhớt chịu tác động kích thích móng (đế) điều hoà với liệu sau: m =10 kg, c = 20 N-m/s, k = 4000 N/m, y(t) = 0.05sin5t m, x0 = 0.02 m, x&0 =10 m/s Bài giải: Phương trình chuyển động hệ cho (xem phương trình (2.69)): mx&& + cx& + kx = ky + cy& = kY sin ωt + cω cos ωt (E.1) Chú ý phương trình (E.1) tương đương với phương trình (2.90) với a0=0, a1 = cωY , b1=kY ai=bi=0; i=2, 3, …; Bằng việc sử dụng phương trình (2.91), đáp ứng ổn định hệ biểu diễn sau: b1  a1  cos(ωt − φ1 ) + sin(ωt − φ1 )  x p (t ) = 2  k k  (1 − r ) + (2ξr )  (E.2) Với liệu cho, ta tìm được: k 4000 = = 20 Y = 0.05 m, ω = rad/s, ωn = m 10 rad/s ω c c 20 r= = = 0.25, ξ = = = = 0.05 ωn 20 cc km (4000)(10) ωd = − ξ ωn = 19.975 rad/s a1 = cωY = (20)(5)(0.05) = 5, b1 = kY = (4000)(0.05) = 200,  2ξr  −1  2(0.05)(0.25)  φ1 = tan  = tan  = 0.02666 rad   1− r   − (0.25)  −1 (1 − r ) + (2ξr ) = (1 − 0.252 ) + (2(0.05)(0.25)) = 0.937833 Nghiệm phương trình cho (xem phương trình (2.70)) xh (t ) = X 0e −ξωnt cos(ωd t − φ0 ) = X 0e −t cos(19.975t − φ0 ) (E.3) X0 φ0 số chưa biết Nghiệm tổng quát biểu diến tông xh(t) xp(t): x(t ) = X 0e − t cos(19.975t − φ0 ) 200   + cos(5t − φ1 ) + sin(5t − φ1 )   0.937833  4000 4000  (E.4) = X 0e −t cos(19.975t − φ0 ) + 0.001333cos(5t − 0.02666) +0.053314sin(5t − 0.02666) số chưa biết X0 φ tìm từ điều kiện ban đầu Từ phương trình (E.4), vận tốc khối lượng biểu diễn là: x& (t ) = dx (t ) = − X 0e − t cos(19.975t − φ0 ) − 19.975 X 0e − t sin(19.975t − φ0 ) dt − 0.006665sin(5t − 0.02666) + 0.266572cos(5t − 0.02666) (E.5) Sử dụng phương trình (E.4) (E.5), ta tìm được: x0 = x(t = 0) = 0.02 = X cos φ0 + 0.001333cos(0.02666) − 0.053314sin(0.02666) hay X cos φ0 = 0.02008 (E.6) Và x&0 = x& (t = 0) = 10 = − X cos φ0 + 19.975 X o sin φ0 +0.006665sin(0.02666) + 0.266572cos(0.02666) − X cos φ0 + 19.975sin φ0 = 9.733345 (E.7) Giải phương trình (E.6) (E.7) X0=0.488695 φ0 =1.529683 rad Bởi đáp ứng toàn phần khối lượng ảnh hưởng kích thích móng (đế), đồng hồ đo cho bởi: x(t ) = 0.48869e − t cos(19.975t − 1.529683) +0.001333cos(5t − 0.02666) + 0.053314sin(5t − 0.02666) (E.8) 2.4.2 Đáp ứng điều kiện cưỡng tổng quát • Xét đáp ứng hệ ảnh hưởng lực F(t) (H.2.24) HÌNH 2.24 Một hàm lực cưỡng (khơng tuần hồn) Có thể chứng được, đáp ứng hệ bậc tự tắt dần chậm kích động F(t) tùy ý bằng: t −ζωn ( t −τ ) ) x (t ) = F τ e sin ωd ( t − τ ) d τ ( ) ∫ mω (2.92) Phương trình (2.92) chưa xét đến ảnh hưởng điều kiện ban đầu hệ Tích phân phương trình gọi tích phân chập hay tích phân Duhamél • Hệ khối lượng - lị xo - giảm chấn chịu kích thích móng (nền) tùy ý, biểu diễn di chuyển, vận tốc, gia tốc phương trình chuyển động biểu thị theo chuyển vị tương đối khối lượng z = x - y mz&& + cz& + kz = −my&& Khi chuyển vị tương đối tìm từ cơng thức: t −ζωn ( t −τ ) && z (t ) = − y τ e sin ωd ( t − τ ) d τ ( ) ∫ ωd (2.93) • Các ví dụ áp dụng Ví dụ 2.12 (H 2.25a,b) Tải trọng nổ tác dụng lên khung tòa nhà - Xem ví dụ 4.10 Một khung tịa nhà mơ hệ bậc tự khơng tắt dần (hình 2.25a) Tìm đáp ứng khung chịu tải trọng nổ biểu thị xung tam giác biểu thị hình 2.25(b) Hình 2.25 Khung nhà chịu tác dụng tải trọng nổ Bài giải: Hàm cưỡng cho bởi:  τ F ( τ) = F0 1 −   t0  với ≤ τ ≤ t0 (E.1) với τ>t0 F (τ) = (E.2) Phương trình (2.92) cho hệ không tắt dần x(t ) = mωn t ∫ F (τ)sin ω (t − τ)d τ n (E.3) Sự đáp ứng khoảng ≤ t ≤ t0 Thay F (τ) từ phương trình (E.1) vào phương trình (E.3) cho: F0 x(t ) = mωn2  τ ∫0 1 − t0 [sin ωnt cos ωn τ − cos ωnt sin ωn τ]d (ωn τ) t t t F0 F0 τ τ = sin ωnt ∫ 1 −  cos ωn τ⋅ d (ωn τ) − cos ωnt ∫ 1 −  sin ωn τ⋅ d (ωn τ) 0 k k  t0   t0  (E.4) Sử dụng phép lấy tích phân phần ta có ∫ τcosωn τ ⋅ d (ωn τ) = τ sin ωn τ + cos ωn τ ωn (E.5) ∫ τ sin ωn τ ⋅ d (ωn τ) = −τ cos ωn τ + ωn sin ωn τ (E.6) Phương trình (E.4) viết sau:  F0  t 1  x(t ) = sin ωnt sin ωnt − sin ωnt − cos ωnt +  k  t ω t ω t n n 0    t − cos ωnt  − cos ωnt + + cos ωnt − sin ωnt   t0 ωnt0   (E.7) Rút gọn biểu thức này, ta thu được: F0 x(t ) = k  t  sin ωnt  1 − − cos ωnt + ωnt0  t0  (E.8) Sự đáp ứng khoảng t > t0 : Ở ta sử dụng F (τ) từ phương trình (E.1), giới hạn tích phân phương trình (E.3) t0 , F (τ) = t > t0 Bởi đáp ứng tìm từ phương trình (E.7) cách đặt t = t0 dấu ngoặc vuông Các kết cho biểu thức sau: x(t ) = F0 [(1 − cos ωnt0 )sin ωnt − (ωnt0 − sin ωnt0 ) cos ωnt ] k ωnt0 (E.9) Bài tập chương II: (2, 6, 9, 10, 12, 38, 39, 40, 44, 45, 46, 71, 73, 101, 106) (4, 8, 19, 21, 35, 36, 40, 42, 48, 61) (1, 2, 3, 4, 6, 7, 14, 17, 23) ...§2.1 Dao động tự không tắt dần hệ bậc tự • Nhận đốn hệ dao động tự do? • Hệ bậc tự do? Mơ hình tính cho hệ bậc tự do: Hệ khối lượng – lò xo; dao động xoắn; dao động uốn (dầm) (H.2.1.a,b,c)... 2.2: Đáp ứng dao động tự gây va chạm Một dầm côngxon mang khối lượng M đầu tự hình 2.5(a) Một khối lượng m rơi từ độ cao h vào khối lượng M gắn chặt vào mà khơng nẩy lên Xác định dao động ngang... số dao động tắt dần Chuyển động mơ tả phương trình (2.32) chuyển động điều hịa với tần số góc ωd biểu diễn hình (2.8) HÌNH 2.8 Nghiệm tắt dần yếu Trường hợp tắt dần yếu quan trọng nghiên cứu dao