Bài giảng dao động và điều khiển đại học thủy lợi 2

CHƯƠNG IV: DAO ĐỘNG CỦA HỆ LIÊN TỤC Stephen Prokf’yevich Timmoshenko (1878 – 1972), kỹ sư sinh Nga sau di cư sang Mĩ, tác giả sách biết đến rộng rãi lĩnh vực đàn hồi, sức bền vật liệu, dao động Ông trưởng khoa học Đại học Michigan, sau Đại học Stanford, ông xem cha đẻ học kỹ thuật Mĩ Sự hoàn thiện lý thuyết dao động dầm mà ông trình bày vào năm 1921 trở thành lý thuyết biết đến rộng rãi – lý thuyết dầm Timoshenko Mục tiêu: • Trình bày dao động ngang dây cáp; dao động dọc dao động xoắn trục; dao động ngang dầm • Giới thiệu phương pháp Rayleigh phương pháp Rayleigh – Ritz tìm tần số riêng hệ liên tục Nội dung: §4.1 Dao động ngang dây cáp 4.1.1 Phương trình chuyển động • Xét dây cáp đàn hồi kéo căng, chiều dài l , chịu tác dụng lực ngang đơn vị chiều dài f(x,t) (H4.1.a) Giả sử dịch chuyển ngang dây W(x,t) nhỏ Sơ đồ vật rắn tự cho phần tử dây AB biểu diễn (H4.1.b) Từ ta nhận phương trình dao động cưỡng dây không đồng là: ∂ W ( x, t ) ∂  W ( x, t )  P  + f ( x, t ) = ρ( x) ∂x  ∂x  ∂t 2 (4.1) • Nếu dây đồng nhất, sức căng số, phương trình (4.1) trở thành:  ∂ 2W ( x, t )  ∂ 2W ( x, t ) P  + f ( x, t ) = ρ 2 x t ∂ ∂   (4.2) HÌNH 4.1 Dao động dây Nếu f(x,t) = ta có phương trình dao động tự dây: 1/ P ∂W ∂W c = ;c =   ∂x ∂t ρ 2 (4.3) Phương trình (4.3) cịn gọi phương trình truyền sóng 4.1.2 Các điều kiện ban đầu điều kiện biên Phương trình (4.1) dạng đặc biệt nó: Phương trình (4.2) phương trình (4.3) phương trình đạo hàm riêng cấp hai: Do đạo hàm cao W x,t hai, nên cần phải biết rõ hai điều kiện ban đầu hai điều kiên biên • Điều kiện ban đầu: Nếu biết độ võng W0(x) vận tốc W&0 ( x) dây t = 0, thì: W ( x, t = 0) = W0 ( x) ∂W ( x, t = 0) & = W0 ( x) ∂t (4.4) • Điều kiện biên: Ta xét số liên kết đầu dây cáp: a) Dây cáp cố định đầu x = 0, dịch chuyển W không và: W(x=0,t) = , t ≥ (4.5) b) Dây cáp nối với chốt di chuyển theo phương vng góc với dây (H.4.2a) đầu dây cáp khơng chịu tác dụng lực ngang (lực dọc trục chốt), nên: P ( x) ∂W ( x, t ) =0 ∂x (4.6) Nếu đầu x = tự P số (4.6) trở thành: ∂W (0, t ) = 0, t ≥ ∂x (4.7) HÌNH 4.2a Dây nối với chốt đầu chúng c) Nếu đầu x = e liên kết đàn hồi (H4.2b) thì: ∂W ( x, t ) P ( x) ∂x = −kW ( x, t ) % x =e ;t ≥ Trong k số lị xo % HÌNH 4.2b Dây với liên kết đàn hồi (4.8) 4.1.3 Dao động tự dây đồng (đồng chất) • Phương trình dao động dây dẫn trên, (phương trình 4.3)- phương trình truyền sóng: 1/ P ∂W ∂W c = ; c=  ∂x ∂t ρ 2 (4.8) Có thể giải phương trình phương pháp tách biến; nghĩa biên độ viết dạng tích số: W(x,t) = W(x).T(t) (4.9) Trong W(x) phụ thuộc x, T(t) phụ thuộc t Thay (4.9) vào (4.3) thu được: c d 2W d 2T = W dx T dt (4.10) Vì vế trái (4.10) phụ thuộc vào x, vế phải phụ thuộc vào t, nên chúng phải số a, ta suy ra: d 2W a − 2W =0 dx c (4.11) d 2T − aT = dt (4.12) Hằng số a âm (tại ?): a = - ω2, phương trình (4.11) (4.12) trở thành: d 2W ω2 + W =0 dx c (4.13)  ∂  ∂ 2W  ∂W ∂ 2W  +m  EI  = m  kW + c  ∂x  ∂x  ∂t ∂t   (4.49) Dấu (-) đầu bên trái, dấu (+) đầu bên phải dầm 4.4.3 Dao động tự dầm Sử dụng phương pháp tách biến để tìm nghiệm phương trình (4.44): W ( x, t ) = W ( x)T (t ) (4.50) Thay (4.50) vào (4.44) ta nhận được: c d 4W ( x) d 2T (t ) = − = a = ω W ( x) dx T (t ) dt (4.51) Phương trình viết thành hai phương trình: Trong đó: d 4W ( x) − β W ( x) = dx (4.52) d 2T (t ) T (t ) = + ω dt (4.53) 2 ω ρ A ω β4 = = c EI (4.54) Như biết trên, nghiệm phương trình (4.53) có dạng: T(t) = Acosωt + Bsinωt (4.55) Ở đây: A, B số xác định từ điều kiện ban đầu Nghiệm phương trình (4.52) có dạng: W ( x) = C1eβx + C2e −βx + C3eiβx + C4e − iβx (4.56) Hoặc W ( x) = C1 cos β x + C2 sin β x + C3 cosh β x + C4 sinh β x (4.57) Hoặc W ( x) = C1 (cos βx + cosh βx) + C2 (cos βx − cosh βx) +C3 (sin βx + sinh βx) + C4 (sin βx − sinh βx) (4.58) Ở C1, C2, C3, C4 dạng nghiệm số khác xác định từ điều kiện biên Tần số riêng xác định từ (4.54) bằng: ω=β EI EI = ( Bl ) ρA ρAl (4.59) Hàm W(x) gọi dao động riêng (hay hàm dặc trưng); ω tần số riêng Chú ý: Các hàm chuẩn W(x) thỏa mãn phương trình (4.52) có tính trực giao, nghĩa là: l ∫ WW dx = i j (4.60) • Các ví dụ áp dụng: Ví dụ 4.3 Các tần số riêng dầm đầu ngàm đầu liên kết chốt Xem ví dụ 8.7 Xác định tần số riêng dao động dầm đồng chất ngàm chặt x = gối tựa đơn giản x = l Bài giải: Các điều kiện biên phát biểu sau: W (0) = (E.1) dW (0) = dx (E.2) W (l ) = (E.3) d 2W EI (l ) = dx hay d 2W (l ) = dx (E.4) Điều kiện (E.1), dẫn tới: C1 + C3 = (E.5) phương trình (4.57), phương trình (E.2) (4.57) cho dW dx = β[ −C1 sin βx + C2 cos βx + C3 sinh βx + C4 cosh β x]x =0 = x =0 hay β[C2 + C4 ] = (E.6) Do nghiệm, phương trình (4.57), trở thành W ( x) = C1 (cos βx − cosh βx) + C2 (sin β x − sinh β x) (E.7) Áp dụng điều kiện (E.3) (E.4) cho phương trình (E.7), ta (E.8) C1 (cos βl − cosh β l ) + C2 (sin β l − sinh β l ) = −C1 (cos βl + cosh β l ) − C2 (sin β l + sinh βl ) = (E.9) Để xác định nghiệm không tầm thường C1 C2 , định thức hệ số chúng phải không – tức là: (cos β l − cosh βl ) (sin β l − sinh β l ) =0 −(cos β l + cosh β l ) −(sin β l + sinh βl ) (E.10) Khai triển định thức ta phương trình tần số cos β l sinh βl − sin β l cosh β l = Hay (E.11) tan β l = β l Các nghiệm phương trình này, βnl , cho tần số riêng dao động: 1/  EI  ωn = (βnl )   ρ Al   , n = 1, 2, K (E.12) giá trị βnl , n = 1, 2, K thỏa mãn phương trình (E.11) cho hình 8.15 Nếu giá trị C2 tương ứng với βn biểu thị dạng C2n , biểu diễn theo C1n từ phương trình (E.8) sau:  cos βnl − cosh βnl  C2 n = −C1n    sin βnl − sinh βnl  (E.13) Do phương trình (E.7) viết lại thành    cos βnl − cosh βnl  Wn ( x) = C1n (cos βn x − cosh βn x) −   (sin βn x − sinh βn x)   sin βnl − sinh βnl    (E.14) Từ phương trình (8.81) xác định dạng riêng dao động: wn ( x, t ) = Wn ( x)( An cos ωnt + Bn sin ωnt ) (E.15) với Wn ( x) xác định từ phương trình (E.14) Nghiệm tổng qt hay nghiệm tồn phần dầm đầu ngàm chặt đầu gối tựa đơn giản biểu diễn tổng dao động riêng: ∞ w( x, t ) = ∑ wn ( x, t ) n =1 (E.16) §4.4 Phương pháp Rayleigh phương pháp Rayleigh – Ritz 4.4.1 Phương pháp Rayleigh Phương pháp Rayleigh tìm tần số riêng hệ liên tục đơn giản so với phương pháp giải tích xác trình bày Nói chung phương pháp áp dụng thuận tiện dầm Để áp dụng ta cần đưa biểu thức động năng, lớn tỷ số Rayleigh Động dầm: l l T = ∫ w& dm = ∫ w& ρA( x)dx 2 Giả thiết dao động điều hịa: w(x) = W(x)cosωt thì: (4.61) Tmax ω2 = ∫ l ρA( x)W ( x)dx (4.62) Thế dầm công lực sinh biến dạng dầm Ta bỏ qua công lực cắt kể đến mơmen uốn, ta có: l V = ∫ Md θ ∂2w ∂w Chú ý rằng: M = EI ; θ = (4.63) trở thành: ∂x ∂x l  ∂ w( x)  V = ∫ EI  dx  2  dx  Giá trị lớn V xác định bằng: (4.64) Vmax  d 2W ( x)  l = ∫ EI ( x)  dx  2  dx  (4.65) Cho Tmax = Vmax , ta thu tỷ số Rayleigh: R (ω) = ω2 =  d 2W ( x)  l EI ( x)  dx  ∫  dx  ∫ l (4.66) ρA( x)(W ( x)) dx Như vậy, tần số dầm tìm biết W(x) Nói chung W(x) chưa biết phải giả thiết Thường để có tần số bản, ta giả thiết W(x) có hình dạng cân tĩnh Đối với dầm hình bậc (tiết diện thay đổi đoạn) viết lại công thức (4.66) thuận tiện hơn: E1I1 ∫ R ( ω) = ω = l1 2 l2  d W  d W   dx  dx + E2 I ∫0  dx  dx + K     2 l1 l2 0 ρA1 ∫ W dx + ρA2 ∫ W dx + K (4.67) 4.4.2 Phương pháp Rayleigh-Ritz Phương pháp Rayleigh-Ritz coi mở rộng phương pháp Rayleigh Nếu chọn n hàm số xấp xỉ độ võng W(x) thì: W ( x) = C1w1 ( x) + C2 w2 ( x) + K + Cn wn ( x) (4.68) Trong đó: w1(x), w2(x), …, wn(x) hàm độc lập tuyến tính biết x; C1, C2, …, Cn hệ số cần tìm Để có được, thay (4.68) vào (4.66) thu đạo hàm riêng liên quan đến Ci (i = 1, 2, …, n) Tần số riêng ổn định giải từ hệ: ∂ (ω) = 0; i = 1, 2, , n ∂Ci (4.69) Phương trình (4.69) gồm n phương trình đại số tuyến tính theo hệ số Ci (i = 1, 2, …, n) chứa ω2 cần xác định Nó xác định toán giá trị riêng hệ nhiều bậc tự Nghiệm toán giá trị riêng cho n tần số riêng n véc tơ riêng Thay véc tơ riêng vào (4.68) ta giá trị gần dạng dầm./ (Sinh viên tự đọc thảo luận ví dụ 8.12 8.13 sách) Bài tập chương IV: (7, 10, 15, 19, 29, 31, 35, 36) ... Wn(x,t) xác định (4 .22 ) gọi dạng dao động thứ n (hay dao động điều hòa thứ n dao động riêng thứ n) dây Hàm Wn(x) gọi dao động riêng thứ n (hay hàm đặc trưng) Ba dạng dao động riêng (H.4.3) Dạng... l u =1 (4 .26 ) Khi đó: l nπx Cn = ∫ W0 ( x)sin dx l l (4 .27 ) l nπx & Dn = W0 ( x)sin dx ∫ ncπ l (4 .28 ) §4 .2 Dao động dọc dao động xoắn trục 4 .2. 1 phương trình chuyển động nghiệm dao động dọc •... l 2l (E.6) l (2n + 1)πx & Dn = u0 ( x)sin dx ∫ (2n + 1)πc 2l (E.7) 4 .2. 2 Phương trình chuyển động nghiệm dao động xoắn trục Sinh viện tự đọc thảo luận nhóm học tập, mục 8.4 sách §4.3 Dao động